Teorija verjetnosti in števil trčita — v trenutku

Njihove ambicije so bile vedno visoke. Ko sta Will Sawin in Melanie Matchett Wood prvič začela sodelovati poleti 2020, sta se odločila ponovno razmisliti o ključnih sestavinah nekaterih najbolj mamljivih domnev v teoriji števil. Predmeti njihove pozornosti, razredne skupine, so tesno povezani z osnovnimi vprašanji o tem, kako deluje aritmetika, ko so števila razširjena onkraj celih števil. Sawin, na univerzi Columbia, in Les, na Harvardu, je želel napovedati strukture, ki so še bolj splošne in matematično zastrašujoče kot razredna skupina.

Še preden so končali z oblikovanjem svojih napovedi, oktobra izkazali a nov rezultat ki matematikom omogoča uporabo enega najbolj uporabnih orodij teorije verjetnosti ne le za skupine razredov, temveč tudi za zbirke števil, mreže in številne druge matematične objekte.

"To bo samo temeljni dokument, h kateremu se bodo vsi obrnili, ko bodo začeli razmišljati o teh težavah," je dejal David Zureick-Brown, matematik na univerzi Emory. "Ne zdi se, da bi si moral več izumljati stvari iz nič."

Zakon o razredu

Razredna skupina je primer strukturiranega matematičnega niza, imenovanega skupina. Skupine vključujejo številne znane nize, kot so cela števila. Zaradi česar so cela števila skupina in ne le niz števil, je to, da lahko njihove elemente seštejete in dobite drugo celo število. Na splošno je množica skupina, če vključuje neko operacijo, ki tako kot seštevanje združuje dva elementa v tretji element na način, ki izpolnjuje nekatere osnovne zahteve. Na primer, obstajati mora različica nič, element, ki ne spremeni nobenega od drugih.

Celih števil, ki jih matematiki običajno imenujejo $latex mathbb{Z}$, je neskončno. Toda veliko skupin ima končno število elementov. Če želite na primer narediti skupino s štirimi elementi, upoštevajte niz {0, 1, 2, 3}. Namesto običajnega seštevanja vsoto poljubnih dveh števil delite s 4 in vzemite preostanek. (V skladu s temi pravili je 2 + 2 = 0 in 2 + 3 = 1.) Ta skupina se imenuje $latex mathbb{Z}/4mathbb{Z}$.

Na splošno, če želite narediti skupino z elementi $latex n$, lahko popeljete številke od nič do n – 1 in pri deljenju z upoštevajte ostanek n. Nastala skupina se imenuje $latex mathbb{Z}/nmathbb{Z}$, čeprav to ni vedno edina skupina z n elemente.

Skupina razredov se pojavi, ko teoretiki števil raziskujejo strukturo števil onkraj celih števil. Da bi to naredili, dodajajo nova števila celim številom, kot npr i (kvadratni koren iz −1), $latex sqrt{5}$ ali celo $latex sqrt{–5}$.

»Stvari, ki smo jih bili vajeni glede številk, v tem kontekstu ne držijo več. Ali pa vsaj niso nujno resnične,« je rekel Jordan ellenberg, matematik na Univerzi Wisconsin, Madison.

Natančneje, faktoring deluje drugače v razširitvah celih števil. Če se držite le celih števil, lahko števila razložite na praštevila (števila, ki jih je mogoče deliti samo s seboj in z 1) na samo en način. Na primer, 6 je 2 × 3 in ga ni mogoče všteti v druga praštevila. Ta lastnost se imenuje edinstvena faktorizacija.

Če pa svojemu številskemu sistemu dodate $latex sqrt{–5}$, nimate več edinstvene faktorizacije. 6 lahko razložite na praštevila na dva različna načina. Še vedno je 2 × 3, vendar je tudi $latex (1 + sqrt{–5})$ × $latex (1 – sqrt{–5})$.

Skupine razredov so ustvarjene iz takšnih razširitev na cela števila. "Razredne skupine so izjemno pomembne," je dejal Wood. "Zato je naravno, da se sprašujemo: Kakšni so običajno?"

Velikost skupine razredov, povezane s katero koli razširitvijo celih števil, je barometer za to, koliko edinstvene faktorizacije se pokvari. Čeprav so matematiki dokazali, da so razredne skupine vedno končne, je ugotavljanje njihove strukture in velikosti zapleteno. Zato sta leta 1984 Henri Cohen in Hendrik Lenstra spustil nekaj ugibanj. Njihove domneve, ki se zdaj imenujejo Cohen-Lenstra hevristika, so zadevale vse skupine razredov, ki se pojavijo, ko celim številom dodate nove kvadratne korene. Če bi bile vse te razredne skupine zbrane skupaj, sta Cohen in Lenstra predlagala odgovore na vprašanja, kot so: Kolikšen delež med njimi vsebuje skupino $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$? Ali $latex mathbb{Z}/7mathbb{Z}$? Ali kakšna druga znana vrsta končne skupine?

Cohen in Lenstra sta teoretike števil spodbudila, naj ne upoštevajo le izoliranih primerov razrednih skupin, ampak statistike, ki so osnova razrednih skupin kot celote. Njihove napovedi so se nanašale na vizijo matematike kot vesolja z vzorci, ki jih je treba odkriti na vseh ravneh.

Skoraj 40 let pozneje se na splošno verjame, da je hevristika Cohen-Lenstra resnična, čeprav se nihče ni niti približal dokazovanju. Njihov vpliv na matematiko je bil očiten, je dejal Nigel Boston, zaslužni profesor na Univerzi Wisconsin v Madisonu. "Kar je bilo odkrito, je ta neverjeten splet," je dejal. "Tam je ogromna infrastruktura načina, na katerega mislimo, da je svet sestavljen."

Edina igra v mestu

Ker se matematiki niso mogli neposredno lotiti hevristike, so se domislili bolj obvladljivih problemov, za katere so upali, da bodo osvetlili situacijo. Iz tega dela je nastal uporaben nabor količin, ki so jih matematiki začeli imenovati trenutki, po izrazu, ki se uporablja v teoriji verjetnosti.

Po vsej verjetnosti vam lahko trenutki pomagajo določiti porazdelitve za naključnimi števili. Na primer, razmislite o porazdelitvi najvišje dnevne temperature 1. januarja v New Yorku – možnosti, da bo 1. januarja naslednje leto 10 stopinj Fahrenheita ali 40 stopinj ali 70 ali 120. Vse, kar morate delati s preteklimi podatki: zgodovino dnevnega vrha 1. januarja vsako leto od začetka zapisane zgodovine.

Če izračunate povprečje teh temperatur, boste izvedeli nekaj malega, ne pa vsega. Povprečna visoka temperatura 40 stopinj vam ne pove možnosti, da bo temperatura nad 50 stopinj ali pod 20 stopinj.

Vendar se to spremeni, če dobite več informacij. Natančneje, lahko se naučite povprečja kvadrata temperature, količine, znane kot drugi trenutek porazdelitve. (Povprečje je prvi trenutek.) Lahko pa se naučite povprečje kock, ki je znano kot tretji trenutek, ali povprečje četrtih potenc – četrti trenutek.

Do dvajsetih let 1920. stoletja so matematiki ugotovili, da če trenutki v tem nizu rastejo dovolj počasi, vam poznavanje vseh trenutkov omogoča sklepanje, da ima samo ena možna porazdelitev te trenutke. (Čeprav vam to ne omogoča neposrednega izračuna te porazdelitve.)

"To je res neintuitivno," je dejal Wood. »Če razmišljate o neprekinjeni porazdelitvi, ima neko obliko. Zdi se, kot da ima več, kot je mogoče zajeti v zaporedje številk.«

Matematiki, ki jih je zanimala hevristika Cohen-Lenstra, so ugotovili, da so lahko trenutki, definirani na poseben način za skupine razredov, leča, skozi katero lahko vidimo njihovo velikost in strukturo, tako kot je mogoče uporabiti trenutke v teoriji verjetnosti, da bi dobili verjetnostno porazdelitev. . Jacob Tsimerman, matematik z Univerze v Torontu, je dejal, da si ne more predstavljati, kako bi lahko neposredno izračunali porazdelitev velikosti razrednih skupin. Uporaba trenutkov je po njegovih besedah ​​»več kot lažja. To je edina igra v mestu.”

Ta čarobni trenutek

Medtem ko je vsak trenutek v verjetnosti povezan s celim številom – tretja potenca, četrta potenca itd. – vsaka od novih količin, ki so jih uvedli teoretiki števil, ustreza skupini. Ti novi trenutki so odvisni od dejstva, da lahko skupino pogosto zmanjšate na manjšo skupino tako, da združite različne elemente.

Za izračun trenutka, povezanega s skupino G, vzemite vse možne skupine razredov — eno za vsak nov kvadratni koren, ki ga dodate celim številom. Za vsako razredno skupino preštejte število različnih načinov, na katere jo lahko strnete G. Nato vzemite povprečje teh številk. Ta proces se morda zdi zapleten, vendar je z njim veliko lažje delati kot z dejansko porazdelitvijo, ki stoji za napovedmi Cohena in Lenstre. Čeprav je samo Cohen-Lenstrovo hevristiko zapleteno navesti, so vsi trenutki porazdelitve, ki jih napovedujejo, 1.

"To ti da misliti, vau, morda so trenutki naraven način za pristop," je dejal Ellenberg. "Zdi se bolj verjetno dokazati, da je nekaj enako 1, kot dokazati, da je enako nekemu noremu neskončnemu produktu."

Ko matematiki preučujejo porazdelitve po skupinah (razrednih skupinah ali kako drugače), končajo z enačbo za vsako skupino G, pri čemer verjetnosti zdaj predstavljajo, recimo, delež skupin razredov, ki izgledajo kot $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$. Z neskončno veliko enačbami in neskončno številnimi možnimi skupinami razredov je težko rešiti verjetnosti. Ni očitno, da je to sploh smiselno početi.

"Ko imate neskončne vsote, gre lahko kaj narobe," je dejal Wood.

Vendar so se matematiki, ki še vedno niso mogli najti drugih poti za preučevanje porazdelitev, vedno znova vračali k problemu trenutka. V delu, objavljenem v Anali matematike leta 2016 je Ellenberg skupaj z Akshayem Venkateshem in Craigom Westerlandom, uporabljeni trenutki preučiti statistiko razrednih skupin v nekoliko drugačnem okolju, kot sta razmišljala Cohen in Lenstra. Ta ideja je bila ponovno uporabljena več krat. Toda vsakič, ko so raziskovalci uporabili te trenutke, so se oprli na posebnosti svojega problema, da bi dokazali, da ima neskončna množica enačb rešitev. To je pomenilo, da njihove tehnike niso bile prenosljive. Naslednji matematik, ki bi moral uporabiti trenutke, bi moral problem trenutkov rešiti znova.

Na začetku sodelovanja sta Sawin in Wood tudi načrtovala, da bo šla po tej poti. Izkoristili bi trenutke, da bi napovedali, kako so bile porazdeljene bolj zapletene različice razrednih skupin. Toda približno leto dni po začetku njihovega projekta so se osredotočili na sam trenutni problem.

Zavrnitev

Kolegi opisujejo Sawina in Wooda kot nenavadno strastna do svojega dela. »Oba sta zelo pametna. Vendar je veliko pametnih ljudi,« je dejal Zureick-Brown. "Imajo samo ta pozitiven odnos do matematike."

Sprva sta Sawin in Wood želela izkoristiti trenutke za razširitev napovedi Cohen-Lenstre na nove nastavitve. Toda kmalu so postali nezadovoljni s svojim trenutnim problemom. "Podobne argumente smo morali pisati večkrat," se je spominjal Sawin. Poleg tega je dodal, da se matematični jezik, ki so ga uporabljali, "ni zdel v bistvu tega, kar je argument počel ... Zamisli so bile, vendar preprosto nismo našli pravega načina, da bi jih izrazili."

Sawin in Wood sta se poglobila v svoj dokaz in poskušala ugotoviti, kaj je v resnici pod vsem tem. Končali so z dokazom, ki je rešil problem trenutka ne samo za njihovo specifično uporabo, ampak za vsako porazdelitev skupin - in za vse vrste drugih matematičnih struktur.

Težavo razdelijo na majhne, ​​obvladljive korake. Namesto da bi naenkrat poskušali rešiti celotno porazdelitev verjetnosti, so se osredotočili le na majhen delček trenutkov.

Na primer, da bi rešili problem trenutka za porazdelitev verjetnosti po skupinah, bi bil vsak trenutek povezan s skupino G. Sprva sta Sawin in Wood pogledala sistem enačb, ki je vključeval le trenutke za omejen seznam skupin. Nato so počasi dodajali skupine na seznam in si vsakič ogledali več in več trenutkov. S postopnim zapletanjem problema so vsak korak spremenili v rešljiv problem. Postopoma so prišli do popolne rešitve trenutnega problema.

"Ta fiksni seznam je nekako kot očala, ki si jih nadenete, in več skupin kot ste pripravljeni upoštevati, boljša so vaša očala," je pojasnil Wood.

Ko sta končno obrisala prah še zadnje tuje podrobnosti, sta se znašla pred prepirom, katerega vitice so segale čez matematiko. Njihov rezultat je deloval za razredne skupine, za skupine, povezane z geometrijskimi oblikami, za mreže pik in črt, pa tudi za druge sklope z bolj matematično zapletenostjo. V vseh teh situacijah sta Sawin in Wood našla formulo, ki vzame nabor trenutkov in izpljune porazdelitev, ki ima te trenutke (dokler med drugimi zahtevami trenutki ne rastejo prehitro).

"To je zelo v Melanijinem slogu," je dejal Ellenberg. »Če želite reči, 'Dokažimo zelo splošen izrek, ki na enoten in eleganten način obravnava veliko različnih primerov.'«

Sawin in Wood se zdaj vračata k prvotnemu cilju. V začetku januarja sta si delila nov papir to popravi zmotne napovedi Cohen-Lenstre ki sta ga v poznih osemdesetih izdelala Cohen in njegov kolega Jacques Martinet. Poleg tega imajo v čakalni vrsti še več rezultatov, z načrti za razširitev hevristike na še več novih situacij. "Ne vem, ali se bo ta projekt kdaj končal," je dejal Sawin.

Trenutni problem, ki sta ga rešila Sawin in Wood, je bil "nekakšen trn na zadnji strani glave za veliko različnih vprašanj," je dejal Tsimerman. "Mislim, da si bo veliko matematikov oddahnilo."