Kratka zgodovina zapletenih matematičnih ploščic | Revija Quanta

Vsak dan vidimo primere ponavljajočih se motivov. Ta simetrija in pravilnost se lahko zdita vsakdanji in skoraj nevidni, kot pri zidakih na stenah stavb ali šestkotnem vzorcu v satju. Če pa imamo srečo, da naletimo na nekaj, kot je elegantno delo s ploščicami v španski Alhambri ali ustvarjalne risbe MC Escherja, nas lahko vzorci navdihnejo in presenetijo.

Stoletja so se matematiki igrali s temi ponavljajočimi se oblikami ter iz njih iztrgali zanimiva spoznanja in nove možnosti. Lepota matematike se kosa z lepoto samih modelov.

Najenostavnejše ploščice so sestavljene iz enakih mnogokotnikov s stranicami enake dolžine in koti enakih mer, ki so povezani s celotnim robom. A čeprav je teh "pravilnih" mnogokotnikov neskončno veliko - po eden za vsako število stranic - obstajajo samo tri pravilne ploščice, sestavljene iz oblik s tremi, štirimi ali šestimi stranicami - to so trikotniki, kvadrati in šesterokotniki.

Druge oblike preprosto niso ustvarjene za to. Pravilni peterokotnik (s petimi stranicami) ima notranji kot 108 stopinj. To ni enakomerno razdeljeno na 360 stopinj, zato vsak poskus sestavljanja pravilnih peterokotnikov v ploščico povzroči vrzeli, ki jih ni mogoče zapolniti; pravimo, da pravilni peterokotnik ne more poravnati ravnine. In pravilni mnogokotniki z več kot šestimi stranicami imajo prevelike notranje kote, da bi se trije srečali v eni točki, zato tudi ne morejo.

Johannes Kepler je danes najbolj znan po svojih odkritjih o gibanju planetov. Leta 1619 je pokazal, da lahko ustvarite samo osem novih vzorcev ploščic, kjer je konfiguracija okoli vsakega vozlišča enaka, tudi če uporabite več kot en pravilen poligon. (Če se smemo oddaljiti od te omejitve, obstaja več možnosti.)

Ko dovolimo nepravilne mnogokotnike, postanejo stvari bolj zanimive. Presenetljivo je, da lahko vsak trikotnik obloži ravnino, še bolj presenetljivo pa lahko tudi vsak štirikotnik.

Po drugi strani je ravnino nemogoče obložiti s konveksnim mnogokotnikom z več kot šestimi stranicami; vsota notranjih kotov je preprosto prevelika. Tako ostanejo samo še peterokotniki in šesterokotniki kot preostale možnosti.

V svoji doktorski disertaciji iz leta 1918 je Karl Reinhardt dokazal, da je možno letalo obložiti z neskončnim številom konveksnih šestkotnikov – tistih brez vdolbin –, ki jih je združil v tri družine.

Konveksne petkotnike, ki obkrožajo ravnino, je bilo težje razvrstiti. Reinhardt je odkril pet družin takih petkotnikov; 50 let pozneje je Richard Kershner našel še tri. Nato je leta 1975 Martin Gardner pisal o problemu za Scientific American, s čimer je nanj opozoril tako poklicne kot amaterske matematike. En tak amater, računalniški programer po imenu Richard James III., je Gardnerju poslal primer devete družine in ga vprašal: "Ali se strinjate, da je Kershner to spregledal?" Imel je.

Marjorie Rice, gospodinja, je prav tako prebrala Gardnerjevo kolumno in začela razmišljati o problemu za svojo kuhinjsko mizo. Več kot dve leti je brskala in odkrila še štiri družine polaganje peterokotnikov.

Raziskovalci so leta 14 našli 1985. družino peterokotnikov, tri desetletja pozneje pa je druga ekipa z računalniškim iskanjem našla 15. družino. Nihče ni vedel, ali je to odkritje dopolnilo seznam ali pa se skriva več družin. Odgovor na to vprašanje je dobil leta 2017, ko je Michaël Rao dokazano da so bili najdeni vsi konveksni pentagoni - in z njimi vsi konveksni poligoni.

Vse te ploščice se ponavljajo. To pomeni, da imajo periodično simetrijo, kar v bistvu pomeni, da če bi sledili ploščici na kosu papirja in ta papir podrsali v določenih smereh, bi se spet natančno poravnal s ploščico.

Možne so tudi druge vrste simetrij. Na primer, zrcalna simetrija pomeni, da se bodo naši vzorci poravnali, če pavs papir obrnemo na glavo okoli fiksne črte. Rotacijska simetrija pomeni, da se bodo poravnali, če zavrtimo naš papir. In lahko združimo dejanja, da dobimo simetrijo drsnega odboja, kar je, kot da drsimo po papirju in ga nato obrnemo.

Leta 1891 je ruski kristalograf Evgraf Fedorov dokazal, da obstaja samo 17 načinov, kako je mogoče te simetrije združiti. Ker ta omejitev velja za vse občasne dekoracije letala, jih na splošno imenujemo 17 »skupin ozadij«.

Ko se enkrat seznanimo s to klasifikacijo vzorcev simetrije, je skoraj nemogoče videti periodično zasnovo, še tako zapleteno, in nanjo ne gledati kot na uganko za dekodiranje: Kje in kako točno se ponavlja? Kje so te simetrije?

Seveda ni vsak dizajn ploščic periodičen. Možno je in pogosto preprosto postaviti ploščice v ravnino, tako da se nastali dizajn nikoli ne ponovi. V našem primeru s šesterokotniki, kvadrati in trikotniki lahko to storite tako, da en sam šestkotnik in mnogokotnike, ki ga obdajajo, preprosto zasukate za 30 stopinj. Nastala razporeditev nima več translacijskih simetrij.

Leta 1961 je logik Hao Wang domneval, da če nabor oblik poravna ravnino, potem morajo biti oblike sposobne periodično poravnati ravnino. Le nekaj let pozneje mu je njegov podiplomski študent Robert Berger dokazal, da se moti, tako da je odkril ogromen nabor več kot 20,000 ploščic, ki pokrivajo letalo, vendar le občasno. Takšni kompleti ploščic se imenujejo aperiodični.

Čeprav je Bergerju in drugim uspelo znatno zmanjšati velikost teh aperiodičnih nizov, je Roger Penrose sredi sedemdesetih let prejšnjega stoletja pritegnil svetovno pozornost z odkritjem zelo majhnih nizov lastnih aperiodičnih ploščic. Najmanjši kompleti zahtevajo samo dve ploščici.

Te oblike in vzorci so navdušili matematike, znanstvenike in širšo javnost. Vendar so postavili očitno naslednje vprašanje: Ali obstaja ena sama aperiodična ploščica? Končna naloga teorije o ploščicah je bila zdaj najti takšno "einsteinovo" ploščico - imenovano ne po fiziku, ampak po nemškem izrazu "en kamen".

Leta 2010 sta se Joshua Socolar in Joan Taylor zelo približala odkritju Einsteina. Težava njihovega pristopa je bila v tem njihovo ploščico je bilo treba odklopiti; to bi bilo kot oblaganje letala z oblikami, kot je država Havaji, eno samo entiteto, sestavljeno iz ločenih regij, namesto s povezanimi oblikami, kot je Kalifornija. Matematiki so čedalje bolj sumili, da če Einstein res obstaja, mora biti nekaj zelo geometrično zapletenega.

Marca 2023 je amater spet šokiral svet. Upokojeni tiskarski tehnik in matematični hobi David Smith ni odkril samo enega aperiodičnega monotila, ampak neskončna družina teh izmuzljivih einsteinov. Vključil je Craiga Kaplana, Chaima Goodman-Straussa in Josepha Samuela Myersa – strokovnjake za računalništvo, matematiko in teorijo ploščic – in skupaj so predstavili geometrijsko preprostega Einsteina, imenovanega klobučna ploščica (za katero je internet mislil, da izgleda kot majica s kratkimi rokavi ).

Reakcija je bila hitra in pozitivna. Odkritelji so govorili na konferencah in predavali na spletu. Matematični umetniki so izkoristili priložnost in našli kreativne načine za izdelavo Escherjevih modelov, ki temeljijo na teh novih geometrijsko zanimivih ploščicah. Klobučna ploščica se je pojavila celo v monologu ene poznonočne televizijske oddaje.

Vendar je bilo še vedno prostora za izboljšave. Če želite obložiti letalo s klobukom, morate obrniti približno eno sedmino ploščic na glavo. Lastnik stanovanja, ki želi svojo kopalnico obložiti s ploščicami hat, bi moral kupiti dve vrsti ploščic: standardno ploščico in njeno zrcalno sliko. Je bilo to res potrebno?

Še preden je vznemirjenje nad ploščico s klobukom potihnilo, je ekipa objavila še eno objavo. Smith je v tej neskončni družini aperiodičnih monotilov našel tistega, ki ga je poimenoval "spekter", ki bi lahko poravnal ravnino, ne da bi zahteval odbite kopije. Končno se je pojavil pravi einstein.

Zdaj smo sredi ponovnega vzpona matematičnega raziskovanja polaganja ploščic in teselacij. Zanaša se na pomembne prispevke amaterjev, navdihuje ustvarjalnost matematičnih umetnikov in izkorišča moč računalnikov za premikanje meja znanja naprej. In iz tega smo dosegli nove vpoglede v naravo simetrije, geometrije in oblikovanja.

Popravek: Oktober 30, 2023
Prvotna različica tega članka je navedla, da je nemogoče pokriti letalo s katerim koli poligonom z več kot šestimi stranicami. To velja le, če je poligon konveksen.

Quanta izvaja vrsto anket, da bi bolje služil svojemu občinstvu. Vzemite našo anketa bralcev matematike in vključeni boste v brezplačno zmago Quanta roba.