Kvantni Goemans-Williamsonov algoritem s Hadamardovim testom in približnimi amplitudnimi omejitvami

Kvantni Goemans-Williamsonov algoritem s Hadamardovim testom in približnimi amplitudnimi omejitvami

Časovni žig: 12. julij 2023 8

Taylor L. Patti1,2, Jean Kossaifi2, Anima Anandkumar3,2in Susanne F. Yelin1

1Oddelek za fiziko, Univerza Harvard, Cambridge, Massachusetts 02138, ZDA
2NVIDIA, Santa Clara, Kalifornija 95051, ZDA
3Oddelek za računalništvo in matematične znanosti (CMS), Kalifornijski inštitut za tehnologijo (Caltech), Pasadena, CA 91125 ZDA

Se vam zdi ta članek zanimiv ali želite razpravljati? Zaslišite ali pustite komentar na SciRate.

Minimalizem

Poldoločeni programi so optimizacijske metode s široko paleto aplikacij, kot je približevanje težkih kombinatoričnih problemov. Eden takšnih poldoločenih programov je Goemans-Williamsonov algoritem, priljubljena tehnika celoštevilske sprostitve. Predstavljamo variacijski kvantni algoritem za Goemans-Williamsonov algoritem, ki uporablja samo $n{+}1$ kubitov, konstantno število priprav vezja in vrednosti pričakovanj $text{poly}(n)$, da približno reši poldoločene programe z do $N=2^n$ spremenljivkami in $M sim O(N)$ omejitvami. Učinkovito optimizacijo dosežemo s kodiranjem objektivne matrike kot pravilno parametrizirane enote, pogojene s pomožnim kubitom, tehnika, znana kot Hadamardov test. Hadamardov test nam omogoča, da optimiziramo funkcijo cilja tako, da ocenimo samo eno samo pričakovano vrednost ancilla kubita, namesto da ločeno ocenjujemo eksponentno veliko pričakovanih vrednosti. Podobno ponazarjamo, da je mogoče omejitve poldoločenega programiranja učinkovito uveljaviti z implementacijo drugega Hadamardovega testa, kot tudi z uvedbo polinomskega števila omejitev amplitude niza Pauli. Učinkovitost našega protokola prikazujemo z zasnovo učinkovite kvantne implementacije Goemans-Williamsonovega algoritma za različne NP-težke probleme, vključno z MaxCut. Naša metoda presega zmogljivost analognih klasičnih metod na raznoliki podmnožici dobro raziskanih problemov MaxCut iz knjižnice GSet.

Kvantni Goemans-Williamsonov algoritem s Hadamardovim testom in približnimi amplitudnimi omejitvami Podatkovna inteligenca PlatoBlockchain. Navpično iskanje. Ai.

Predstavljena slika: Diagram HTAAC-QSDP za Goemans-Williamsonov algoritem z $n=3$ nepomožnimi kubiti. a) Klasični problem $N$ spremenljivk (tukaj $N$-vertex MaxCut problem, kjer je $N=8$). Matrika uteži $W$ se uporablja za ustvarjanje enotnega $U_W$. b) Hadamardov test se uporablja za učinkovito ovrednotenje ciljne funkcije in omejitev uravnoteženja populacije. $n$-kubitno stanje $|psirangle = U_V|mathbf{0}rangle$ je pripravljeno z variacijskim kvantnim vezjem $U_V$. $n+1$-ti (pomožni) kubit je inicializiran kot $(|0rangle -i |1rangle)/sqrt{2}$. Nato se izvede Hadamardov test: $U_W$ se implementira kot nadzorovana enota, pogojena s pomožnim kubitom, ki se nato izmeri za izračun $langle sigma_{n+1} rangle_{W,t} = text{Im} [langle psi|U_W|psi rangle]$ ali $langle sigma_{n+1} rangle_{P,t} = besedilo{Im}[langle psi|U_P|psi rangle]$. c) Omejitve amplitude $M=2^n$ SDP so približno uveljavljene s samo $m sim text{poly}(n)$ omejitvami niza Pauli. Te se izračunajo z zbiranjem meritev $n$-qubit Pauli-$z$ in uporabo mejne statistike za oceno pričakovanih vrednosti $m$.

Priljubljen povzetek

Poldoločeni programi nam omogočajo aproksimacijo širokega nabora težkih problemov, vključno s NP-težkimi problemi. Eden takšnih poldoločenih programov je Goemans-Williamsonov algoritem, ki lahko reši težke probleme, kot je MaxCut. Predstavljamo variacijski kvantni algoritem za Goemans-Williamsonov algoritem, ki uporablja samo $n{+}1$ kubitov, konstantno število priprav vezja in polinomsko število pričakovanih vrednosti, da bi približno rešili poldoločene programe z eksponentnim številom spremenljivke in omejitve. Težavo kodiramo v kvantno vezje (ali enotno) in jo preberemo na enem samem pomožnem kubitu, tehnika, znana kot Hadamardov test. Podobno ponazarjamo, da je omejitve problema mogoče uveljaviti z 1) drugim Hadamardovim testom in 2) polinomskim številom omejitev Paulijevega niza. Učinkovitost našega protokola prikazujemo z zasnovo učinkovite kvantne implementacije Goemans-Williamsonovega algoritma za različne NP-težke probleme, vključno z MaxCut. Naša metoda presega zmogljivost analognih klasičnih metod na raznoliki podmnožici dobro raziskanih problemov MaxCut.

► BibTeX podatki

► Reference

[1] Stephen P. Boyd in Lieven Vandenberghe. "Konveksna optimizacija". Cambridge Press. (2004).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511804441

[2] Michel X. Goemans. “Poldefinitno programiranje v kombinatorični optimizaciji”. Matematično programiranje 79, 143–161 (1997).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02614315

[3] Lieven Vandenberghe in Stephen Boyd. "Uporaba poldoločenega programiranja". Uporabna numerična matematika 29, 283–299 (1999).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​S0168-9274(98)00098-1

[4] Wenjun Li, Yang Ding, Yongjie Yang, R. Simon Sherratt, Jong Hyuk Park in Jin Wang. "Parametrizirani algoritmi temeljnih np-težkih problemov: anketa". Na človeka osredotočeno računalništvo in informacijske znanosti 10, 29 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1186 / s13673-020-00226-w

[5] Christoph Helmberg. “Poldefinitno programiranje za kombinatorično optimizacijo”. Konrad-Zuse-Zentrum fur Informationstechnik Berlin. (2000).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02614315

[6] Michel X. Goemans in David P. Williamson. "Izboljšani aproksimacijski algoritmi za težave z največjim rezom in zadovoljivostjo z uporabo poldoločenega programiranja". J. ACM 42, 1115–1145 (1995).
https: / / doi.org/ 10.1145 / 227683.227684

[7] Florian A. Potra in Stephen J. Wright. "Metode notranjih točk". Journal of Computational and Applied Mathematics 124, 281–302 (2000).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​S0377-0427(00)00433-7

[8] Haotian Jiang, Tarun Kathuria, Yin Tat Lee, Swati Padmanabhan in Zhao Song. »Hitrejša metoda notranjih točk za poldefinitno programiranje«. Leta 2020 61. letni simpozij IEEE o temeljih računalništva (FOCS). Strani 910–918. IEEE (2020).
https: / / doi.org/ 10.1109 / FOCS46700.2020.00089

[9] Baihe Huang, Shunhua Jiang, Zhao Song, Runzhou Tao in Ruizhe Zhang. »Hitrejše reševanje sdp: robusten okvir ipm in učinkovita implementacija«. Leta 2022 na 63. letnem simpoziju IEEE o temeljih računalništva (FOCS). Strani 233–244. IEEE (2022).
https: / / doi.org/ 10.1109 / FOCS54457.2022.00029

[10] David P. Williamson in David B. Shmoys. "Načrtovanje aproksimacijskih algoritmov". Cambridge University Press. (2011).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511921735

[11] Nikolaj Moll, Panagiotis Barkoutsos, Lev S Bishop, Jerry M Chow, Andrew Cross, Daniel J Egger, Stefan Filipp, Andreas Fuhrer, Jay M Gambetta, Marc Ganzhorn, et al. "Kvantna optimizacija z uporabo variacijskih algoritmov na bližnjeročnih kvantnih napravah". Kvantna znanost in tehnologija 3, 030503 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1088 / 2058-9565 / aab822

[12] Edward Farhi, Jeffrey Goldstone, Sam Gutmann in Michael Sipser. “Kvantno računanje z adiabatno evolucijo” (2000). arXiv:quant-ph/​0001106.
arXiv: kvant-ph / 0001106

[13] Tameem Albash in Daniel A. Lidar. "Adiabatno kvantno računanje". Rev. Mod. Phys. 90, 015002 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.90.015002

[14] Sepehr Ebadi, Alexander Keesling, Madelyn Cain, Tout T Wang, Harry Levine, Dolev Bluvstein, Giulia Semeghini, Ahmed Omran, JG Liu, Rhine Samajdar, et al. "Kvantna optimizacija največjega neodvisnega niza z uporabo rydbergovih atomskih nizov". Znanost 376, 1209–1215 (2022).
https://​/​doi.org/​10.1126/​science.abo6587

[15] Tadashi Kadowaki in Hidetoshi Nishimori. “Kvantno žarjenje v transverzalnem modelu Ising”. Phys. Rev. E 58, 5355–5363 (1998).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevE.58.5355

[16] Elizabeth Gibney. “Nadgradnja D-wave: Kako znanstveniki uporabljajo najbolj kontroverzen kvantni računalnik na svetu”. Narava 541 (2017).
https://​/​doi.org/​10.1038/​541447b

[17] Edward Farhi, Jeffrey Goldstone in Sam Gutmann. "Kvantni približni optimizacijski algoritem". arXiv (2014). arXiv:1411.4028.
https://​/​doi.org/​10.48550/​arXiv.1411.4028
arXiv: 1411.4028

[18] Juan M Arrazola, Ville Bergholm, Kamil Brádler, Thomas R Bromley, Matt J Collins, Ish Dhand, Alberto Fumagalli, Thomas Gerrits, Andrey Goussev, Lukas G Helt, et al. "Kvantna vezja z veliko fotoni na programabilnem nanofotoničnem čipu". Narava 591, 54–60 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41586-021-03202-1

[19] Fernando GSL Brandão, Amir Kalev, Tongyang Li, Cedric Yen-Yu Lin, Krysta M. Svore in Xiaodi Wu. »Kvantni reševalci SDP: velike pospešitve, optimalnost in aplikacije za kvantno učenje«. 46. ​​mednarodni kolokvij o avtomatih, jezikih in programiranju (ICALP 2019) 132, 27:1–27:14 (2019).
https: / / doi.org/ 10.4230 / LIPIcs.ICALP.2019.27

[20] Joran Van Apeldoorn in András Gilyén. "Izboljšave kvantnega reševanja sdp z aplikacijami". V zborniku 46. mednarodnega kolokvija o avtomatih, jezikih in programiranju (2019).
https://​/​doi.org/​10.4230/​LIPICS.ICALP.2019.99

[21] Joran van Apeldoorn, Andràs Gilyèn, Sander Gribling in Ronald de Wolf. "Kvantni reševalci sdp: boljše zgornje in spodnje meje". Quantum 4, 230 (2020).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2020-02-14-230

[22] Fernando GSL Brandão in Krysta M. Svore. “Kvantne pospešitve za reševanje poldoločenih programov”. Leta 2017 IEEE 58th Annual Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS). Strani 415–426. (2017).
https: / / doi.org/ 10.1109 / FOCS.2017.45

[23] Fernando GS L. Brandão, Richard Kueng in Daniel Stilck França. "Hitrejše kvantne in klasične aproksimacije SDP za kvadratno binarno optimizacijo". Quantum 6, 625 (2022).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2022-01-20-625

[24] Dhrumil Patel, Patrick J. Coles in Mark M. Wilde. »Variacijski kvantni algoritmi za poldefinitno programiranje« (2021). arXiv:2112.08859.
arXiv: 2112.08859

[25] Anirban N. Chowdhury, Guang Hao Low in Nathan Wiebe. »Variacijski kvantni algoritem za pripravo kvantnih Gibbsovih stanj« (2020). arXiv:2002.00055.
arXiv: 2002.00055

[26] Taylor L Patti, Omar Shehab, Khadijeh Najafi in Susanne F Yelin. "Variacijski kvantni algoritmi z izboljšano Markovo verigo Monte Carlo". Kvantna znanost in tehnologija 8, 015019 (2022).
https://​/​doi.org/​10.1088/​2058-9565/​aca821

[27] Youle Wang, Guangxi Li in Xin Wang. "Variacijska priprava kvantnega Gibbsovega stanja s skrajšano Taylorjevo serijo". Uporabljen fizični pregled 16, 054035 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevApplied.16.054035

[28] Sanjeev Arora, Elad Hazan in Satyen Kale. "Metoda posodabljanja multiplikativnih uteži: metaalgoritem in aplikacije". Teorija računalništva 8, 121–164 (2012).
https: / / doi.org/ 10.4086 / toc.2012.v008a006

[29] Iordanis Kerenidis in Anupam Prakash. "Metoda kvantne notranje točke za lps in sdps". Transakcije ACM na kvantnem računalništvu 1 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1145 / 3406306

[30] Brandon Augustino, Giacomo Nannicini, Tamás Terlaky in Luis F. Zuluaga. »Metode kvantnih notranjih točk za poldefinitno optimizacijo« (2022). arXiv:2112.06025.
arXiv: 2112.06025

[31] M. Cerezo, Andrew Arrasmith, Ryan Babbush, Simon C. Benjamin, Suguru Endo, Keisuke Fujii, Jarrod R. McClean, Kosuke Mitarai, Xiao Yuan, Lukasz Cincio in Patrick J. Coles. "Variacijski kvantni algoritmi". Nature Reviews Physics 3, 625–644 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s42254-021-00348-9

[32] Kishor Bharti, Tobias Haug, Vlatko Vedral in Leong-Chuan Kwek. "Hrupni kvantni algoritem vmesne lestvice za poldefinitno programiranje". Phys. Rev. A 105, 052445 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.105.052445

[33] Lennart Bittel in Martin Kliesch. "Urjenje variacijskih kvantnih algoritmov je np-težko". Phys. Rev. Lett. 127, 120502 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.127.120502

[34] Jarrod R. McClean, Sergio Boixo, Vadim N. Smelyanskiy, Ryan Babbush in Hartmut Neven. "Neplodne planote v pokrajinah za usposabljanje kvantnih nevronskih mrež". Nature Communications 9, 4812 (2018).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41467-018-07090-4

[35] Carlos Ortiz Marrero, Mária Kieferová in Nathan Wiebe. "Neplodne planote, ki jih povzroči zaplet". PRX Quantum 2, 040316 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.2.040316

[36] Taylor L. Patti, Khadijeh Najafi, Xun Gao in Susanne F. Yelin. "Zapletenost je zasnovala ublažitev neplodnih planot". Phys. Rev. Res. 3, 033090 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevResearch.3.033090

[37] Arthur Pesah, M. Cerezo, Samson Wang, Tyler Volkoff, Andrew T. Sornborger in Patrick J. Coles. "Odsotnost neplodnih platojev v kvantnih konvolucijskih nevronskih mrežah". Phys. Rev. X 11, 041011 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.11.041011

[38] Dorit Aharonov, Vaughan Jones in Zeph Landau. "Polinomski kvantni algoritem za aproksimacijo jonesovega polinoma". Algorithmica 55, 395–421 (2009).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s00453-008-9168-0

[39] Clayton W. Poveljnik. "Maximum cut problem, max-cutmaximum cut problem, max-cut". Strani 1991–1999. Springer ZDA. Boston, MA (2009).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-0-387-74759-0_358

[40] Steven J. Benson, Yinyu Yeb in Xiong Zhang. “Mešano linearno in poldoločeno programiranje za kombinatorično in kvadratno optimizacijo”. Optimizacijske metode in programska oprema 11, 515–544 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1080 / 10556789908805761

[41] Changhui Choi in Yinyu Ye. “Reševanje redkih poldoločenih programov z algoritmom dvojnega skaliranja z iterativnim reševalcem”. Rokopis, Oddelek za management znanosti, Univerza v Iowi, Iowa City, IA 52242 (2000). url: web.stanford.edu/​ yyye/​yyye/​cgsdp1.pdf.
https://​/​web.stanford.edu/​~yyye/​yyye/​cgsdp1.pdf

[42] Angelika Wiegele. “Knjižnica Biq mac – zbirka primerkov programiranja max-cut in quadratic 0-1 srednje velikosti”. Alpen-Adria-Universität Klagenfurt (2007). url: biqmac.aau.at/​biqmaclib.pdf.
https://​/​biqmac.aau.at/​biqmaclib.pdf

[43] Stefan H. Schmieta. “Knjižnica dimacs mešanih semidefinite-kvadratno-linearnih programov”. 7th DIMACS Implementation Challenge (2007). url: http://​/​archive.dimacs.rutgers.edu.
http://​/​archive.dimacs.rutgers.edu

[44] Yoshiki Matsuda. "Primerjalna analiza problema največjega rezanja na simuliranem bifurkacijskem stroju". Srednje (2019). url: medium.com/​toshiba-sbm/​benchmarking-the-max-cut-problem-on-the-simulated-bifurcation-machine-e26e1127c0b0.
https://​/​medium.com/​toshiba-sbm/​benchmarking-the-max-cut-problem-on-the-simulated-bifurcation-machine-e26e1127c0b0

[45] RM Karp. “Reducibilnost med kombinatoričnimi problemi”. Springer ZDA. Boston, MA (1972).

[46] Dimitri P Bertsekas. "Omejena optimizacija in metode lagrangeovega množitelja". Akademski tisk. (1982).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​C2013-0-10366-2

[47] G Mauro D'Ariano, Matteo GA Paris in Massimiliano F Sacchi. "Kvantna tomografija". Napredek v slikanju in fiziki elektronov 128, 206–309 (2003).
https://​/​doi.org/​10.48550/​arXiv.quant-ph/​0302028
arXiv: kvant-ph / 0302028

[48] Alessandro Bisio, Giulio Chiribella, Giacomo Mauro D'Ariano, Stefano Facchini in Paolo Perinotti. “Optimalna kvantna tomografija”. IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics 15, 1646–1660 (2009).
https: / / doi.org/ 10.1109 / JSTQE.2009.2029243

[49] Max S. Kaznady in Daniel FV James. “Numerične strategije za kvantno tomografijo: Alternative popolni optimizaciji”. Phys. Rev. A 79, 022109 (2009).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.79.022109

[50] Javier Peña. “Konvergenca metod prvega reda preko konveksnega konjugata”. Pisma operacijskih raziskav 45, 561–564 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.orl.2017.08.013

[51] Alan Frieze in Mark Jerrum. "Izboljšani aproksimacijski algoritmi za maxk-cut in max bisection". Algorithmica 18, 67–81 (1997).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02523688

[52] Clark David Thompson. “Teorija kompleksnosti za vlsi”. doktorsko delo. Univerza Carnegie Mellon. (1980). url: dl.acm.org/​doi/​10.5555/​909758.
https: / / dl.acm.org/ doi / 10.5555 / 909758

[53] Chu Min Li in Felip Manya. "Maxsat, trde in mehke omejitve". V Priročniku zadovoljljivosti. Strani 903–927. IOS Press (2021).
https:/​/​doi.org/​10.3233/​978-1-58603-929-5-613

[54] Nicholas J Higham. "Izračunavanje najbližje korelacijske matrike - težava iz financ". Revija IMA za numerično analizo 22, 329–343 (2002).
https://​/​doi.org/​10.1093/​imanum/​22.3.329

[55] Tadayoshi Fushiki. “Ocenjevanje pozitivnih poldoločenih korelacijskih matrik z uporabo konveksnega kvadratnega poldoločenega programiranja”. Nevronsko računanje 21, 2028–2048 (2009).
https://​/​doi.org/​10.1162/​neco.2009.04-08-765

[56] Todd MJ. "Študija smeri iskanja v metodah primarnih dvojnih notranjih točk za poldefinitno programiranje". Optimizacijske metode in programska oprema 11, 1–46 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1080 / 10556789908805745

[57] Roger Fletcher. "Kazenske funkcije". Matematično programiranje The State of the Art: Bonn 1982, strani 87–114 (1983).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-642-68874-4_5

[58] Robert M Freund. "Kazenske in pregradne metode za omejeno optimizacijo". Zapiski predavanj, Massachusetts Institute of Technology (2004). url: ocw.mit.edu/​courses/​15-084j-nonlinear-programming-spring-2004.
https://​/​ocw.mit.edu/​courses/​15-084j-nonlinear-programming-spring-2004

[59] Eric Ricardo Anschuetz. “Kritične točke v kvantnih generativnih modelih”. Na mednarodni konferenci o predstavitvah učenja. (2022). url: openreview.net/​forum?id=2f1z55GVQN.
https://​/​openreview.net/​forum?id=2f1z55GVQN

[60] Amir Beck. “Metode prvega reda v optimizaciji”. SIAM. (2017).
https: / / doi.org/ 10.1137 / 1.9781611974997

[61] Sanjeev Arora in Satyen Kale. “Kombinatorni, primalno-dualni pristop k poldoločenim programom”. J. ACM 63 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1145 / 2837020

[62] Taylor L. Patti, Jean Kossaifi, Susanne F. Yelin in Anima Anandkumar. »Tenzorsko-kvantno: kvantno strojno učenje s tenzorskimi metodami« (2021). arXiv:2112.10239.
arXiv: 2112.10239

[63] Jean Kossaifi, Yannis Panagakis, Anima Anandkumar in Maja Pantic. "Tensorly: učenje tenzorjev v pythonu". Journal of Machine Learning Research 20, 1–6 (2019). url: http://​/​jmlr.org/​papers/​v20/​18-277.html.
http: / / jmlr.org/ papers / v20 ​​/ 18-277.html

[64] ekipa cuQuantum. »Nvidia/​cuquantum: cuquantum v22.11« (2022).

[65] Diederik P. Kingma in Jimmy Ba. »Adam: Metoda za stohastično optimizacijo« (2017). arXiv:1412.6980.
arXiv: 1412.6980

[66] Brahim Chaourar. “Linearni časovni algoritem za različico problema največjega reza v zaporednih vzporednih grafih”. Napredek v operacijskih raziskavah (2017).
https: / / doi.org/ 10.1155 / 2017/1267108

[67] Jurij Makaričev. “Kratek dokaz merila planarnosti kuratowskega grafa”. Journal of Graph Theory 25, 129–131 (1997).
<a href="https://doi.org/10.1002/(SICI)1097-0118(199706)25:23.0.CO;2-O”>https:/​/​doi.org/​10.1002/​(SICI)1097-0118(199706)25:2<129::AID-JGT4>3.0.CO;2-O

[68] Béla Bollobás. "Razvoj naključnih grafov - velikanska komponenta". Stran 130–159. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press. (2001). 2 izdaja.
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511814068.008

[69] Sanjeev Arora, David Karger in Marek Karpinski. “Polinomske časovne aproksimacijske sheme za goste primere np-težkih problemov”. Journal of computer and system sciences 58, 193–210 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1006 / jcss.1998.1605

[70] Rick Durrett. "Erdös–rényi naključni grafi". Stran 27–69. Cambridge Series iz statistične in verjetnostne matematike. Cambridge University Press. (2006).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511546594.003

[71] Gary Chartrand in Ping Zhang. “Kromatična teorija grafov”. Taylor in Francis. (2008).
https: / / doi.org/ 10.1201 / 9781584888017

[72] John van de Wetering. »Zx-račun za delujočega kvantnega računalničarja« (2020). arXiv:2012.13966.
arXiv: 2012.13966

[73] Alexander Cowtan, Silas Dilkes, Ross Duncan, Will Simmons in Seyon Sivarajah. "Sinteza faznega pripomočka za plitva vezja". Electronic Proceedings in Theoretical Computer Science 318, 213–228 (2020).
https: / / doi.org/ 10.4204 / eptcs.318.13

[74] Andrew M. Childs, Yuan Su, Minh C. Tran, Nathan Wiebe in Shuchen Zhu. “Teorija trotterjeve napake s skaliranjem komutatorja”. Phys. Rev. X 11, 011020 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.11.011020

[75] Joseph W Britton, Brian C Sawyer, Adam C Keith, CC Joseph Wang, James K Freericks, Hermann Uys, Michael J Biercuk in John J Bollinger. "Zasnovane dvodimenzionalne ising interakcije v kvantnem simulatorju ujetih ionov s stotinami vrtljajev". Narava 484, 489–492 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1038 / nature10981

[76] Hannes Bernien, Sylvain Schwartz, Alexander Keesling, Harry Levine, Ahmed Omran, Hannes Pichler, Soonwon Choi, Alexander S. Zibrov, Manuel Endres, Markus Greiner idr. "Sondiranje dinamike več teles na 51-atomskem kvantnem simulatorju". Narava 551, 579–584 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1038 / nature24622

[77] Gheorghe-Sorin Paraoanu. "Nedavni napredek v kvantni simulaciji z uporabo superprevodnih vezij". Journal of Low Temperature Physics 175, 633–654 (2014).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s10909-014-1175-8

[78] Katsuki Fujisawa, Hitoshi Sato, Satoshi Matsuoka, Toshio Endo, Makoto Yamashita in Maho Nakata. »Visoko zmogljiv splošni reševalec za izjemno obsežne probleme s poldoločenim programiranjem«. V SC '12: Zbornik mednarodnih konferenc o visokozmogljivem računalništvu, omrežju, shranjevanju in analizi. Strani 1–11. (2012).
https: / / doi.org/ 10.1109 / SC.2012.67

[79] Adrian S. Lewis in Michael L. Overton. “Optimizacija lastnih vrednosti”. Acta Numerica 5, 149–190 (1996).
https: / / doi.org/ 10.1017 / S0962492900002646

[80] Xiaosi Xu, Jinzhao Sun, Suguru Endo, Ying Li, Simon C. Benjamin in Xiao Yuan. “Variacijski algoritmi za linearno algebro”. Znanstveni bilten 66, 2181–2188 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.scib.2021.06.023

Navedel

Pridobitve ni bilo mogoče Crossref citirani podatki med zadnjim poskusom 2023-07-12 14:07:40: ni bilo mogoče pridobiti navajanih podatkov za 10.22331 / q-2023-07-12-1057 od podjetja Crossref. To je normalno, če je bil DOI registriran pred kratkim. Na SAO / NASA ADS ni bilo najdenih podatkov o navajanju del (zadnji poskus 2023-07-12 14:07:40).

Ta dokument je objavljen v Quantumu pod Priznanje avtorstva Creative Commons 4.0 International (CC BY 4.0) licenca. Avtorske pravice ostajajo pri izvirnih imetnikih avtorskih pravic, kot so avtorji ali njihove ustanove.

Časovni žig:

Več od Quantum Journal