Skrita povezava, ki je spremenila teorijo števil | Revija Quanta

Obstajajo tri vrste praštevil. Prvi je osamljeni izstop: 2, edino sodo praštevilo. Po tem polovica praštevil pusti ostanek 1, ko ga delimo s 4. Druga polovica pusti ostanek 3. (5 in 13 spadata v prvi tabor, 7 in 11 v drugega.) Ni očitnega razloga, da ostanek -1 praštevila in preostali-3 praštevila bi se morala obnašati bistveno drugače. Ampak to počnejo.

Ena ključna razlika izhaja iz lastnosti, imenovane kvadratna recipročnost, ki jo je prvi dokazal Carl Gauss, verjetno najvplivnejši matematik 19. stoletja. "To je dokaj preprosta izjava, ki ima aplikacije povsod, v vseh vrstah matematike, ne le v teoriji števil," je dejal James Rickards, matematik na univerzi Colorado, Boulder. "Vendar je tudi dovolj neočitno, da je res zanimivo."

Teorija števil je veja matematike, ki se ukvarja s celimi števili (v nasprotju z, recimo, oblikami ali zveznimi količinami). Praštevila – tista, ki so deljiva le z 1 in sama sebe – so njeno jedro, tako kot je DNK jedro biologije. Kvadratna vzajemnost je spremenila predstavo matematikov o tem, koliko je o njih mogoče dokazati. Če si praštevila predstavljate kot gorovje, je vzajemnost kot ozka pot, ki matematikom omogoča, da se povzpnejo na prej nedosegljive vrhove in s teh vrhov vidijo resnice, ki so bile skrite.

Čeprav je to stari izrek, ima še vedno nove aplikacije. To poletje sta Rickards in njegov kolega Katherine Stange, skupaj z dvema študentoma, ovrgel splošno sprejeto domnevo o tem, kako je mogoče majhne kroge zapakirati v večjega. Rezultat je šokiral matematike. Peter Sarnak, teoretičarka števil na Inštitutu za napredne študije in Univerzi Princeton, je govorila s Stangejevo na konferenci kmalu za tem, ko je njena ekipa objavljene njihov papir. "Rekla mi je, da ima protiprimer," se spominja Sarnak. »Takoj sem jo vprašal: 'Ali kje uporabljaš recipročnost?' In to je res uporabljala.'«

Vzorci v parih praštevil

Da bi razumeli vzajemnost, morate najprej razumeti modularno aritmetiko. Modularne operacije temeljijo na izračunu ostankov, ko delite s številom, imenovanim modul. Na primer, 9 po modulu 7 je 2, ker če 9 delite s 7, vam ostane ostanek 2. V številskem sistemu po modulu 7 je 7 števil: {0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6}. Ta števila lahko seštevate, odštevate, množite in delite.

Tako kot pri celih številih imajo lahko tudi ti številski sistemi popolne kvadrate – števila, ki so zmnožek drugega števila, krat samega. Na primer, 0, 1, 2 in 4 so popolni kvadrati po modulu 7 (0 × 0 = 0, 1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4 in 3 × 3 = 2 mod 7). Vsak navaden kvadrat bo enak 0, 1, 2 ali 4 po modulu 7. (Na primer, 6 × 6 = 36 = 1 mod 7.) Ker so modularni številski sistemi končni, so popolni kvadrati pogostejši.

Kvadratna vzajemnost izhaja iz razmeroma enostavnega vprašanja. Dana sta dve praštevili p in q, če to veš p je popoln kvadratni modul q, lahko poveste ali ne q je popoln kvadratni modul p?

Izkazalo se je, da dokler bodisi p or q ostane ostanek 1 pri deljenju s 4, če p je popoln kvadratni modul q, Potem q je tudi modul popolnega kvadrata p. Dva premierja naj bi mu odgovorila.

Po drugi strani pa, če oba pustita ostanek 3 (na primer 7 in 11), potem ne odgovarjata: Če p je kvadratni modul q, to pomeni, da q ne bo kvadratni modul p. V tem primeru je 11 kvadrat po modulu 7, ker je 11 = 4 mod 7 in že vemo, da je 4 eden od popolnih kvadratov po modulu 7. Iz tega sledi, da 7 ni kvadrat po modulu 11. Če vzamete seznam navadnih kvadratke (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …) in poglejte njihove ostanke po modulu 11, potem se 7 ne bo nikoli pojavilo.

To je, če uporabim strokovni izraz, res čudno!

Moč posploševanja

Tako kot mnoge matematične zamisli je tudi vzajemnost vplivala, ker jo je mogoče posplošiti.

Kmalu po tem, ko je Gauss leta 1801 objavil prvi dokaz kvadratne vzajemnosti, so matematiki poskušali idejo razširiti onkraj kvadratov. »Zakaj ne tretje ali četrte moči? Predstavljali so si, da morda obstaja kubični zakon vzajemnosti ali kvartični zakon vzajemnosti,« je dejal Keith Conrad, teoretik števil na Univerzi v Connecticutu.

Vendar so se zataknili, je dejal Conrad, "ker ni enostavnega vzorca." To se je spremenilo, ko je Gauss prinesel vzajemnost na področje kompleksnih števil, ki seštevajo kvadratni koren iz minus 1, ki ga predstavlja i, na navadne številke. Predstavil je zamisel, da bi teoretiki števil lahko analizirali ne samo navadna cela števila, ampak tudi druge celim številom podobne matematične sisteme, kot so tako imenovana Gaussova cela števila, ki so kompleksna števila, katerih realni in imaginarni del sta cela števila.

Z Gaussovimi celimi števili se je celotna predstava o tem, kaj šteje za praštevila, spremenila. Na primer, 5 ni več praštevilo, ker je 5 = (2 + i) × (2 − i). »Moraš začeti znova, kot da si spet v osnovni šoli,« je rekel Conrad. Leta 1832 je Gauss dokazal kvartični zakon recipročnosti za kompleksna cela števila, ki nosijo njegovo ime.

Nenadoma so se matematiki naučili uporabljati orodja, kot sta modularna aritmetika in faktorizacija, v teh novih številskih sistemih. Po Conradu je bila navdih kvadratna vzajemnost.

Vzorci, ki so bili izmuzljivi brez kompleksnih števil, so se zdaj začeli pojavljati. Do sredine 1840-ih sta Gotthold Eisenstein in Carl Jacobi dokazala prve kubične zakone vzajemnosti.

Nato je v dvajsetih letih 1920. stoletja Emil Artin, eden od ustanoviteljev sodobne algebre, odkril, kar Conrad imenuje »končni zakon vzajemnosti«. Vse ostale zakone vzajemnosti bi lahko razumeli kot posebne primere Artinovega zakona o vzajemnosti.

Stoletje pozneje matematiki še vedno pripravljajo nove dokaze Gaussovega prvega kvadratnega zakona vzajemnosti in ga posplošujejo na nove matematične kontekste. Koristno je imeti veliko različnih dokazov. »Če želite rezultat razširiti na novo nastavitev, se bo morda eden od argumentov zlahka prenesel, drugi pa ne,« je dejal Conrad.

Zakaj je vzajemnost tako koristna

Kvadratna recipročnost se uporablja na tako raznolikih področjih raziskav, kot so teorija grafov, algebrska topologija in kriptografija. V slednjem je vplivni algoritem šifriranja javnega ključa, ki ga je leta 1982 razvil Šafi Goldwasser in Silvio Micali je odvisno od množenja dveh velikih praštevil p in q skupaj in izpiše rezultat, N, skupaj s številko, x, ki ni kvadrat po modulu N. Algoritem uporablja N in x za šifriranje digitalnih sporočil v nize večjih številk. Edini način za dešifriranje tega niza je odločitev, ali je vsako število v šifriranem nizu kvadratni modul ali ne N — praktično nemogoče brez poznavanja vrednosti praštevil p in q.

In seveda se kvadratna vzajemnost vedno znova pojavlja v teoriji števil. Uporabimo ga lahko na primer za dokazovanje, da je vsako praštevilo, enako 1 po modulu 4, mogoče zapisati kot vsoto dveh kvadratov (na primer, 13 je enako 1 po modulu 4 in 13 = 4 + 9 = 2).² + 3²). Nasprotno pa praštevil, enakih 3 po modulu 4, nikoli ne moremo zapisati kot vsoto dveh kvadratov.

Sarnak je opozoril, da bi lahko vzajemnost uporabili za reševanje odprtih vprašanj, kot je ugotavljanje, katere številke je mogoče zapisati kot vsoto treh kock. Znano je, da števila, ki so enaka 4 ali 5 po modulu 9, niso enaka vsoti treh kock, druga pa ostajajo skrivnost. (Leta 2019, Andrew Booker ustvarili naslove ko je odkril, da je (8,866,128,975,287,528)³ + (−8,778,405,442,862,239)³ + (−2,736,111,468,807,040)³ = 33.)

Kljub številnim aplikacijam in številnim različnim dokazom obstaja nekaj o vzajemnosti, ki ostaja skrivnost, je dejal Stange.

»Z matematičnim dokazom se pogosto zgodi, da lahko slediš vsakemu koraku; lahko verjamete, da je res,« je rekla. »In še vedno lahko prideš ven z drugega konca z občutkom: 'A zakaj?'«

Razumevanje, na visceralni ravni, zakaj se 7 in 11 razlikujeta od 5 in 13, bo morda za vedno nedosegljivo. "Lahko žongliramo samo s toliko ravnmi abstrakcije," je dejala. "Povsod se pojavlja v teoriji števil … in vendar je le korak dlje od tega, kar se zdi, kot da bi lahko res vedeli."

Quanta izvaja vrsto anket, da bi bolje služil svojemu občinstvu. Vzemite našo anketa bralcev matematike in vključeni boste v brezplačno zmago Quanta roba.