Skrivnostna matematika biljardnih miz | Revija Quanta

V Disneyjevem filmu iz leta 1959 Donald v matematični deželi, Donald Duck, navdihnjen s pripovedovalčevimi opisi geometrije biljarda, energično udari belo kroglo, ki jo pošilja od odbijača okoli mize, preden končno zadene predvidene žogice. Donald vpraša: "Kako vam je všeč to za matematiko?"

Ker imajo pravokotne biljardne mize štiri stene, ki se stikajo pod pravim kotom, so poti biljarda, kot je Donaldova, predvidljive in dobro razumljive – tudi če jih je v praksi težko izvesti. Matematiki raziskovalci pa še vedno ne morejo odgovoriti na osnovna vprašanja o možnih trajektorijah biljardnih krogel na mizah v obliki drugih mnogokotnikov (oblik z ravnimi stranicami). Tudi trikotniki, najpreprostejši poligoni, še vedno skrivajo skrivnosti.

Ali je vedno mogoče udariti žogo tako, da se vrne na svojo začetno točko in potuje v isti smeri ter ustvari tako imenovano periodično orbito? Nihče ne ve. Pri drugih, bolj zapletenih oblikah ni znano, ali je mogoče žogico udariti s katere koli točke na mizi na katero koli drugo točko na mizi.

Čeprav se zdi, da se ta vprašanja tesno prilegajo okvirom geometrije, kot se poučuje v srednji šoli, so poskusi njihove rešitve zahtevali, da nekateri najpomembnejši svetovni matematiki prinesejo ideje z različnih področij, vključno z dinamičnimi sistemi, topologijo in diferencialno geometrijo. Kot pri vsakem velikem matematičnem problemu je delo na teh problemih ustvarilo novo matematiko in se vrnilo v in napredovalo znanje na teh drugih področjih. Toda kljub vsem tem naporom in vpogledu, ki so ga prinesli sodobni računalniki, se te navidezno enostavne težave trmasto upirajo rešitvi.

Evo, kaj so se matematiki naučili o biljardu od epsko zapletenega udarca Donalda Ducka.

Običajno domnevajo, da je njihova biljardna krogla neskončno majhna točka brez razsežnosti in da se odbija od sten s popolno simetrijo in odleti pod enakim kotom, kot prispe, kot je prikazano spodaj.

Brez trenja žoga potuje neomejeno dolgo, razen če doseže kot, ki jo ustavi kot žep. Razlog, da je biljard tako težko matematično analizirati, je, da imata lahko dva skoraj enaka udarca, ki pristaneta na obeh straneh vogala, zelo različni poti.

Ključna metoda za analizo poligonalnega biljarda je, da ne razmišljamo o žogi, kot da se odbija od roba mize, temveč si predstavljamo, da vsakič, ko žogica zadene steno, še naprej potuje v novo kopijo mize, ki je obrnjena čez rob, ki ustvarja zrcalno sliko. Ta proces (viden spodaj), ki se imenuje odvijanje biljardne poti, omogoča žogi, da nadaljuje v ravni liniji. Če namišljene mize zložite nazaj na njihove sosede, lahko obnovite dejansko pot žogice. Ta matematični trik omogoča dokazovanje stvari o poti, ki bi jih sicer bilo težko videti.

Uporabimo ga lahko na primer, da pokažemo, zakaj imajo preproste pravokotne tabele neskončno veliko periodičnih trajektorij skozi vsako točko. Podoben argument velja za kateri koli pravokotnik, toda zaradi konkretnosti si predstavljajte mizo, ki je dvakrat širša kot dolga.

Recimo, da želite najti periodično orbito, ki prečka mizo n krat v dolgi smeri in m krat v kratki smeri. Ker vsaka zrcalna slika pravokotnika ustreza žogici, ki se odbije od stene, mora žogica, da se vrne na svojo začetno točko in potuje v isti smeri, prečkati mizo sodo število krat v obe smeri. torej m in n mora biti celo. Postavite mrežo enakih pravokotnikov, od katerih je vsak videti kot zrcalna slika svojih sosedov. Narišite odsek črte od točke na izvirni tabeli do enake točke na kopiji n mize stran v dolgi smeri in m mize stran v kratki smeri. Rahlo prilagodite prvotno točko, če gre pot skozi vogal. Tukaj je primer, kjer n = 2 in m = 6. Ko je pot prepognjena nazaj, ustvari periodično trajektorijo, kot je prikazano v zelenem pravokotniku.

Neenakost trikotnika

Biljard v trikotnikih, ki nimajo lepe pravokotne geometrije pravokotnikov, je bolj zapleten. Kot se morda spomnite iz srednješolske geometrije, obstaja več vrst trikotnikov: ostri trikotniki, kjer so vsi trije notranji koti manjši od 90 stopinj; pravokotne trikotnike, ki imajo kot 90 stopinj; in topi trikotniki, ki imajo en kot večji od 90 stopinj.

Biljardne mize v obliki ostrokotnega in pravokotnega trikotnika imajo periodične trajektorije. Nihče pa ne ve, ali enako velja za tope trikotnike.

Če želite najti periodično trajektorijo v ostrokotnem trikotniku, narišite pravokotno črto iz vsakega oglišča na nasprotno stran, kot je prikazano levo spodaj. Spojite točke, kjer se pojavijo pravi koti, da oblikujete trikotnik, kot je prikazano na desni.

Ta včrtani trikotnik je periodična biljardna trajektorija, imenovana Fagnanova orbita, imenovana po Giovanniju Fagnanu, ki je leta 1775 pokazal, da ima ta trikotnik najmanjši obseg od vseh včrtanih trikotnikov.

V zgodnjih devetdesetih letih je Fred Holt na Univerzi v Washingtonu in Gregor Galperin in njegovi sodelavci na Moskovski državni univerzi neodvisno je pokazala, da ima vsak pravokotni trikotnik periodične orbite. Eden preprostih načinov za prikaz tega je odsev trikotnika okoli enega in nato drugega kraka, kot je prikazano spodaj.

Začnite s trajektorijo, ki je pod pravim kotom na hipotenuzo (dolgo stran trikotnika). Hipotenuza in njen drugi odsev sta vzporedna, zato pravokotni odsek, ki ju povezuje, ustreza trajektoriji, ki se bo večno odbijala naprej in nazaj: žogica zapusti hipotenuzo pod pravim kotom, se odbije od obeh krakov in se vrne na hipotenuzo na desni strani. kota in se nato vrne po svoji poti.

Toda tupi trikotniki ostajajo skrivnost. V svojem prispevku iz leta 1992 so Galperin in njegovi sodelavci predstavili različne metode odsevanja topih trikotnikov na način, ki vam omogoča ustvarjanje periodičnih orbit, vendar so metode delovale le v nekaterih posebnih primerih. Potem, leta 2008, Richard Schwartz na univerzi Brown je pokazala, da vsi topokotni trikotniki z koti 100 stopinj ali manj vsebujejo periodično trajektorijo. Njegov pristop je vključeval razčlenitev problema na več primerov in preverjanje vsakega primera z uporabo tradicionalne matematike in računalniške pomoči. Leta 2018 Jacob Garber, Boyan Marinov, Kenneth Moore in George Tokarsky na Univerzi v Alberti razširil ta prag na 112.3 stopinje. (Tokarski in Marinov preživel več kot desetletje loviti ta cilj.)

Topološki obrat

Drug pristop je bil uporabljen za prikaz, da morajo imeti topi trikotniki s še večjimi koti periodične trajektorije, če so vsi koti racionalni - to pomeni, da jih je mogoče izraziti kot ulomke. Namesto samo kopiranja poligona na ravno ravnino, ta pristop preslika kopije poligonov na topološke površine, krofe z eno ali več luknjami v njih.

Če pravokotnik odsevate čez njegovo krajšo stranico in nato oba pravokotnika odsevate čez njuno najdaljšo stranico, tako da ustvarite štiri različice prvotnega pravokotnika, nato pa zlepite zgornji in spodnji del ter levo in desno skupaj, boste naredili krof, ali torus, kot je prikazano spodaj. Biljardne trajektorije na mizi ustrezajo trajektorijam na torusu in obratno.

V prelomnem članku iz leta 1986, Howard Masur uporabil to tehniko, da bi pokazal, da imajo vse poligonalne tabele z racionalnimi koti periodične orbite. Njegov pristop ni deloval le pri topih trikotnikih, ampak tudi pri veliko bolj zapletenih oblikah: nepravilne 100-stranske mize, recimo, ali mnogokotniki, katerih stene se cik in cak ustvarjajo kotičke in špranje, imajo periodične orbite, če so koti racionalni.

Nekoliko presenetljivo je, da obstoj ene periodične orbite v mnogokotniku implicira obstoj neskončno mnogo; samo za malenkost premik trajektorije bo dal družino povezanih periodičnih trajektorij.

Problem z osvetlitvijo

Oblike z vogali in luknjami sprožajo sorodno vprašanje. Namesto spraševanja o trajektorijah, ki se vrnejo na začetno točko, ta problem sprašuje, ali lahko trajektorije obiščejo vsako točko na dani tabeli. Temu rečemo problem osvetlitve, ker si o njem lahko razmišljamo tako, da si predstavljamo laserski žarek, ki se odbija od zrcalnih sten, ki obkrožajo biljardno mizo. Sprašujemo se, ali lahko glede na dve točki na določeni mizi vedno usmerite laser (idealiziran kot neskončno tanek svetlobni žarek) iz ene točke v drugo. Povedano drugače, če bi žarnico, ki sveti v vse smeri hkrati, postavili na neko točko na mizo, ali bi osvetlila ves prostor?

Obstajata dve glavni smeri raziskovanja problema: iskanje oblik, ki jih ni mogoče osvetliti, in dokazovanje, da je mogoče velike razrede oblik osvetliti. Medtem ko je mogoče najti nenavadne oblike, ki jih ni mogoče osvetliti, s pametno uporabo preproste matematike, je bilo dokazati, da je mogoče veliko oblik osvetliti, mogoče le z uporabo težkih matematičnih strojev.

V 1958, Roger Penrose, matematik, ki je zmagal 2020 Nobelova nagrada za fiziko, je našel ukrivljeno tabelo, v kateri katera koli točka v eni regiji ne more osvetliti nobene točke v drugi regiji. Desetletja si nihče ni mogel izmisliti mnogokotnika, ki bi imel enako lastnost. Toda leta 1995 je Tokarsky uporabil preprosto dejstvo o trikotnikih, da je ustvaril grobi 26-stranski mnogokotnik z dvema točkama, ki sta medsebojno nedostopni, prikazano spodaj. To pomeni, da laserski žarek, izstreljen iz ene točke, ne glede na svojo smer ne more zadeti druge točke.

Ključna ideja, ki jo je Tokarsky uporabil pri izdelavi svoje posebne mize, je bila, da če se laserski žarek začne pri enem od ostrih kotov v trikotniku 45°-45°-90°, se ne more nikoli vrniti v ta kot.

Njegova nazobčana miza je sestavljena iz 29 takih trikotnikov, ki so razporejeni tako, da pametno izkoristijo to dejstvo. Leta 2019 Amit Wolecki, takrat podiplomski študent na Univerzi v Tel Avivu, je isto tehniko uporabil pri ustvariti obliko z 22 stranicami (prikazano spodaj), kar je dokazal kot najmanjše možno število stranic za obliko, ki ima dve notranji točki, ki se ne osvetljujeta.

Dokazovanje rezultatov v drugo smer je bilo veliko težje. Leta 2014 je Maryam Mirzakhani, matematik na univerzi Stanford, postala prva ženska, osvojiti Fieldsovo medaljo, najprestižnejša nagrada v matematiki, za njeno delo o prostorih modulov Riemannovih površin — neke vrste posplošitev krofov, s katerimi je Masurjeva pokazala, da imajo vse poligonalne tabele z racionalnimi koti periodične orbite. Leta 2016, Samuel Lelièvre Univerze Paris-Saclay, Thierry Monteil francoskega nacionalnega centra za znanstvene raziskave in Barak Weiss Univerze v Tel Avivu je uporabil številne Mirzakhanijeve rezultate pokazati da vsaka točka v racionalnem mnogokotniku osvetljuje vse točke razen končnega števila. Lahko so izolirane temne lise (kot v primerih Tokarskega in Woleckega), vendar ne temnih območij, kot je v primeru Penrose, ki ima ukrivljene stene namesto ravnih. noter Woleckijev članek iz leta 2019, je ta rezultat okrepil z dokazom, da obstaja samo končno veliko parov neosvetljenih točk.

Na žalost, Mirzakhani je umrl leta 2017 v starosti 40 let, po boju z rakom. Njeno delo se je zdelo daleč stran od trikov v biljardih. In vendar analiza poti biljarda pokaže, kako se lahko celo najbolj abstraktna matematika poveže s svetom, v katerem živimo.