Nekaj minut po začetku govora leta 2018 na Univerzi v Michiganu, Ian Tobasco vzel velik kos papirja in ga zmečkal v na videz neurejeno kroglo kaosa. Dvignil ga je, da ga je občinstvo videlo, stisnil za dober ukrep, nato pa ga spet razširil.
"Dobim divjo množico gub, ki se pojavijo, in to je uganka," je dejal. "Kaj loči ta vzorec od drugega, bolj urejenega vzorca?"
Nato je dvignil drugi velik kos papirja - ta je bil predhodno prepognjen v slavni origami vzorec paralelogramov, znan kot Miura-ori - in ga stisnil. Sila, ki jo je uporabil na vsakem listu papirja, je bila približno enaka, je dejal, vendar rezultati ne bi mogli biti bolj različni. Miura-ori je bil lepo razdeljen na geometrične regije; zmečkana žoga je bila zmešnjava nazobčanih linij.
"Imaš občutek, da je to," je rekel in pokazal na razpršeno razporeditev gub na zmečkanem listu, "samo naključna neurejena različica tega." Pokazal je na čeden, urejen Miura-ori. "Ampak nismo se odločili, ali je to res ali ne."
Vzpostavitev te povezave ne bi zahtevala nič manj kot vzpostavitev univerzalnih matematičnih pravil elastičnih vzorcev. Tobasco že leta dela na tem in preučuje enačbe, ki opisujejo tanke elastične materiale - stvari, ki se na deformacijo odzovejo tako, da se poskušajo vrniti v prvotno obliko. Dovolj močno potisnite balon in nastal bo zvezdni vzorec radialnih gub; odstranite prst in spet se bodo zgladile. Stisnite zmečkano kroglico papirja in ko jo izpustite, se bo razširila (čeprav se ne bo popolnoma zmečkala). Inženirji in fiziki so preučevali, kako se ti vzorci pojavijo v določenih okoliščinah, vendar matematiku ti praktični rezultati nakazujejo bolj temeljno vprašanje: ali je na splošno mogoče razumeti, kaj izbere en vzorec namesto drugega?
Januarja 2021 je Tobasco objavil papir ki je na to vprašanje odgovorilo pritrdilno - vsaj v primeru gladke, ukrivljene, elastične plošče, stisnjene v ravnost (situacija, ki ponuja jasen način za raziskovanje vprašanja). Njegove enačbe napovedujejo, kako na videz naključne gube vsebujejo "urejene" domene, ki imajo ponavljajoč se prepoznaven vzorec. In soavtor je bil članek, objavljen prejšnji mesec, ki prikazuje novo fizikalno teorijo, utemeljeno na strogi matematiki, ki bi lahko napovedala vzorce v realističnih scenarijih.
Predvsem Tobascovo delo nakazuje, da je gubanje v številnih oblikah mogoče videti kot rešitev geometrijskega problema. "To je čudovit del matematične analize," je rekel Štefan Müller Hausdorffovega centra za matematiko Univerze v Bonnu v Nemčiji.
Prvič na eleganten način predstavi matematična pravila – in novo razumevanje – za tem pogostim pojavom. "Vloga matematike tukaj ni bila dokazati domneve, ki so jo fiziki že izdelali," je dejal Robert Kohn, matematik na Courantovem inštitutu Univerze v New Yorku in svetovalec Tobascove podiplomske šole, "ampak zato, da bi zagotovil teorijo, kjer prej ni bilo sistematičnega razumevanja."
Raztezanje
Cilj razvoja teorije gub in elastičnih vzorcev je star. Leta 1894 je v recenziji v Narava, je matematik George Greenhill izpostavil razliko med teoretiki (»Kaj naj si mislimo?«) in uporabnimi aplikacijami, ki bi jih lahko ugotovili (»Kaj naj naredimo?«).
V 19. in 20. stoletju so znanstveniki v veliki meri napredovali pri slednjem, saj so preučevali probleme, ki vključujejo gube v določenih predmetih, ki se deformirajo. Zgodnji primeri vključujejo problem kovanja gladkih, ukrivljenih kovinskih plošč za pomorske ladje in poskus povezovanja nastanka gora s segrevanjem zemeljske skorje.
V zadnjem času so matematiki in fiziki razširili prizadevanja za povezovanje teorije in opazovanja s široko paleto gubanja situacij, geometrij in materialov. "To se dogaja približno zadnjih 10 let, kjer najprej izvajamo eksperimente in nato poskušamo najti teorijo, da bi jih razumeli," je dejal matematik Dominik Vella Univerze v Oxfordu. "Šele pred kratkim smo se začeli pravilno razumeti."
Zgodili so se razburljivi mejniki. Leta 2015 je Pedro Reis, inženir strojništva na tehnološkem inštitutu Massachusetts, opisali fizikalne zakone za geometrijske vzorce, ki se oblikujejo na napihnjenih silikonskih kroglicah. Njegovo delo je te gube povezalo z debelino notranje in zunanje plasti elastičnega materiala. Reis je tudi opozoril, da lahko gube, namesto da bi jih obravnavali kot napake, ponujajo priložnosti za oblikovanje novih mehanskih vedenj. Nato leta 2017 Vella vodil analizo nestabilnosti gubanja tankega elastičnega filma pod pritiskom, ki opisuje, kako se je število gub spreminjalo glede na globino začetnega udarca in druge specifične podrobnosti.
Toda ta razvoj je še vedno rešil le dele problema. Za bolj splošno matematično razumevanje, kako nastanejo gube, je bil potreben drugačen pristop. Tobasco bi bil tisti, ki bi ga premaknil naprej.
Sledi radovednosti
Ko je bil mlajši, je Tobasco mislil, da bi šel v vesoljski inženiring. Leta 2011 je diplomiral na Univerzi v Michiganu z diplomo na tem področju, vendar ga je do takrat že začelo poglobljeno razmišljati o matematičnem sklepanju in fizičnih sistemih. Prislužil si je doktorat iz matematike, vendar krivi Joeyja Paulsena, fizika, ki je zdaj na univerzi Syracuse, da ga je usmeril na posebno pot gub.
Na začetku Paulsenove kariere, ko je preučeval lastnosti nenavadnih materialov, se je naučil izdelovati in analizirati ultratanke polimerne filme s tehniko, imenovano spin coating. Najprej je ustvaril poseben tekoči material, ki vsebuje sledove raztopljenega polimera; nato je material položil na vrtečo se ploščo. Večina tekočine bi izhlapela, polimer pa bi se enakomerno razširil, preden bi se strdil. Ko je imel Paulsen svoj laboratorij v Syracuseu, se je naučil, kako prilagoditi centrifugalno prevleko za ustvarjanje ukrivljenih filmov - kot so ultratanki oklepi želv.
Nekega dne je nekaj teh ukrivljenih filmov postavil na mirno vodo in fotografiral, kako so se usedli na površje. "Gnala ga je zgolj radovednost," je dejal. Slike so pritegnile Tobascovo pozornost na neformalnem srečanju s Paulsenom leta 2017.
"Pokazali so, da lahko dobite te naključne neurejene vzorce gub - ko ste eksperiment izvedli dvakrat, ste dobili dva različna vzorca," je dejal Tobasco, ki je zdaj docent na Univerzi Illinois v Chicagu. »Želel sem videti, ali lahko pridem do nekega izpeljanega načina [za predvidevanje teh vzorcev] iz elastičnosti, ki vključuje obliko lupine. In da se model ne bi spreminjal iz školjke v školjko.«
Vzorci gubanja so konfiguracije z najmanj možno energijo. To pomeni, da ko se tanek film usede na ravno površino, se preoblikuje, dokler ne najde razporeditve gub, neurejene ali ne, za vzdrževanje katere je potrebno najmanj energije. "Vzorce lahko organizirate glede na količino energije, ki je shranjena, ko se [vzorec] manifestira," je dejal Tobasco.
Na podlagi tega vodilnega načela je izločil nekaj značilnosti filma, ki so se izkazale za tiste, ki izberejo njegov vzorec, vključno z merilom njegove oblike, imenovano Gaussova ukrivljenost. Površina s pozitivno Gaussovo ukrivljenostjo se upogne stran od sebe, kot zunanja stran krogle. Nasprotno pa so negativno ukrivljene površine sedlaste oblike, kot je čip Pringles: če greste v eno smer, potujete navzgor, če pa v drugo smer, greste navzdol.
Tobasco je ugotovil, da področja pozitivne Gaussove ukrivljenosti ustvarjajo eno vrsto razporeditve urejenih in neurejenih domen, področja z negativno ukrivljenostjo pa druge vrste. "Podrobna geometrija ni tako pomembna," je dejal Vella. "V resnici je odvisno samo od znaka Gaussove ukrivljenosti."
Sumili so, da je Gaussova ukrivljenost pomembna za gubanje, vendar je Vella dejal, da je presenečenje, da so domene tako močno odvisne od predznaka. Še več, Tobascova teorija velja tudi za širok spekter elastičnih materialov, ne le za Paulsenove oblike. "To je lepa geometrijska konstrukcija, ki kaže, kje se bodo pojavile gube," je dejal Vella. "Toda razumevanje, od kod prihaja, je res globoko in je nekako presenetljivo."
Paulsen se je strinjal. "Ianova teorija zelo lepo naredi to, da vam ponudi celoten vzorec, vse naenkrat."
Prave gube
V začetku leta 2018 je Tobasco svojo teorijo večinoma potrdil – a čeprav je delovala na papirju, ni mogel biti prepričan, da bo točna v resničnem svetu. Tobasco je kontaktiral Paulsena in ga vprašal, ali bi ga zanimalo sodelovanje. "Nekaj je nekako delovalo takoj," je dejal Paulsen. "Z nekaterimi Ianovimi napovedmi, položenimi na eksperimentalne slike, smo lahko takoj videli, da so se uresničile."
Na konferenci Društva za industrijsko in uporabno matematiko o matematičnih vidikih znanosti o materialih tistega leta je bil Tobasco predstavljen Eleni Katifori, fizik na Univerzi v Pensilvaniji, ki je raziskoval problem vzorcev gub v zaprtih školjkah in gradil zbirko podatkov o rezultatih. Bil je trenutek naključja. »Lahko smo videli domene [v simulacijah], ki jih je razložilo Ianovo delo,« je dejala. Tekma je bila nenavadna. Že med njunimi prvimi razpravami je bilo jasno, da Tobascova teorija, Paulsenove eksperimentalne slike in Katiforijeve simulacije opisujejo iste pojave. "Tudi v zgodnjih fazah, ko nismo imeli ničesar konkretnega, smo lahko videli povezavo."
To zgodnje navdušenje je hitro povzročilo skepticizem. Zdelo se je skoraj prelepo, da bi bilo res. "On je matematik in dela vse te stvari brezdimenzionalne," je dejal Paulsen in se skliceval na to, kako bi lahko Tobascove ideje o ukrivljenosti razširili daleč onkraj dvodimenzionalnih ravnih materialov. »Ali res gledamo na isti sistem? Se strinja, a bi se moral strinjati?«
Naslednji dve leti so trije raziskovalci razglabljali o podrobnostih, ki so pokazale, da je Tobascova teorija res napovedala – natančno – razporeditev gub, ki jo je Paulsen videl v svojih poskusih, Katifori pa v svojih računalniških modelih. 25. avgusta so objavili prispevek v Naravna fizika Prikaz kako se vsi trije pristopi stekajo na isti, preprosti geometrijski razporeditvi gub. Predvsem so ugotovili, da vzorci spadajo v čedne družine enakokrakih trikotnikov, ki razmejujejo področja reda in nereda. Poleg tega rezultati niso omejeni na matematične abstrakcije nemogoče tankih materialov, ampak obravnavajo več vrst velikosti debeline.
Njihovo delo nakazuje tudi možnosti za razširitev teorije in njenih aplikacij. Katifori je dejala, da jo kot fizičarka zanima izkoriščanje napovedi za oblikovanje novih materialov. "Želim razumeti, kako lahko oblikujete površine, tako da dejansko same organizirajo vzorce gubanja v nekaj, kar želite."
Drugo odprto vprašanje je, kako na splošno je mogoče teorijo uporabiti za različne vrste ukrivljenih površin. "Zelo se osredotoča na situacije, kjer je [Gaussova ukrivljenost] pozitivna ali negativna, vendar obstaja veliko situacij z nekaterimi regijami, ki so pozitivne in nekatere negativne," je dejal Vella.
Paulsen se je strinjal, da je to vznemirljiva možnost, Tobasco pa je dejal, da aktivno dela na tem področju in razmišlja o drugih oblikah školjk - kot so tiste z luknjami.
Toda Paulsen je dejal, da je teorija, tudi kot trenutno stoji, lepa in presenetljiva. "Če vam dam lupino in mejno obliko ter ta preprost nabor pravil, ki jih je predvidevala Ianova teorija, potem lahko vzamete šestilo in ravnilo ter v bistvu narišete gube," je dejal. »Ne bi se moralo zgoditi tako. Lahko bi bilo popolnoma grozljivo.”
