Predstavitev
Študentka geometrije Gina je sinoči ostala budna prepozno in med gledanjem delala domačo nalogo Velika Britanska Bake Off, tako da, ko je končno odšla spat, so bile njene zaspane misli še vedno polne kolačkov in kompasov. To je vodilo do zelo nenavadnih sanj.
Gina se je znašla kot sodnica tekmovanja Great Brownie Bake Off na Imaginary University, šoli, kjer se učenci učijo veliko geometrije, a zelo malo aritmetike. Ekipe študentov Imaginary U so imele nalogo pripraviti največji piškotek, ki ga lahko, Gina pa je morala določiti zmagovalca.
Prva je v cilj prišla ekipa Alpha, ki je svoj pravokotni brownie ponosno predstavila v ocenjevanje. Gina je izvlekla ravnilo in izmerila kolač: dolg je bil 16 in širok 9 centimetrov. Ekipa Beta je hitro sledila s svojim kvadratnim piškotom, ki je na vsaki strani meril 12 palcev. Takrat so se začele težave.
"Naš brownie je veliko daljši od vašega," je rekel kapitan ekipe Alpha. "Naš je očitno večji, zato smo zmagovalci!"
"Toda kratka stranica vašega pravokotnika je veliko krajša od stranice našega kvadrata," je dejal predstavnik ekipe Beta. »Naš trg je očitno večji. Zmagali smo!”
Gini se je zdelo čudno prepirati se o tem. "Površina pravokotnega kolačka je 9 krat 16, kar je 144 kvadratnih palcev," je rekla. »Površina kvadratnega kolačka je 12 krat 12, kar je prav tako 144 kvadratnih palcev. Browniji so enake velikosti: to je kravata.”
Obe ekipi sta bili videti začudeni. »Ne razumem, kaj misliš s 'časi',« je rekel en študent, ki se nikoli ni učil množenja. "Jaz tudi ne," je rekel drugi. Tretji je rekel: "Slišal sem za študente na Complex College, ki so enkrat merili s številkami, toda kaj to sploh pomeni?" Namišljena univerza je bila res čudno mesto, čeprav v sanjah.
Kaj naj naredi Gina? Kako je lahko prepričala ekipe, da so njihovi rjavčki enako veliki, če niso razumele merjenja ploščine in množenja števil? Na srečo je imela Gina genialno idejo. "Daj mi nož," je rekla.
Gina je izmerila 12 palcev po dolgi strani pravokotnega kolačka in naredila rez, vzporeden s krajšo stranjo. S tem se je velik pravokotnik spremenil v dva manjša: enega z merami 9 x 12 in drugega 9 x 4. S tremi hitrimi rezi je kos 9x4 spremenila v tri manjše kose 3x4. Malo preurejanja je privedlo do slišnih oh in aah iz množice: Gina je spremenila pravokotnik v natančno kopijo kvadrata.
Obe ekipi sta se zdaj morali strinjati, da so njuni piškoti enake velikosti. S seciranjem enega in preureditvijo v drugega je Gina pokazala, da oba brownija zavzemata enako skupno površino. Disekcije, kot je ta, so v geometriji uporabljali že tisočletja, da bi pokazali, da so figure enake velikosti, in obstaja veliko izjemnih rezultatov o disekcijah in enakovrednosti. Celo danes matematiki še vedno uporabljajo seciranje in preurejanje, da bi popolnoma razumeli, kdaj so določene oblike enakovredne, kar vodi do nekaterih presenetljivih nedavnih rezultatov.
Verjetno ste pri pouku matematike videli geometrijske razčlenitve, ko ste razvijali ploščinske formule za osnovne oblike. Na primer, morda se spomnite, da je ploščina paralelograma enaka dolžini njegove osnove, pomnoženi z njegovo višino: to je zato, ker je mogoče paralelogram razrezati in preurediti v pravokotnik.
Ta razčlenitev kaže, da je ploščina paralelograma enaka ploščini pravokotnika z enako osnovo in višino, ki je, kot ve vsakdo, ki ni obiskoval Imaginarne univerze, produkt teh dveh števil.
Ko že govorimo o Imaginary U, Great Brownie Bake Off se je ravno segreval. Ekipa Gamma je pristopila z velikim trikotnim piškotom. "Tu je zmagovalec," so pogumno sporočili. "Obe naši strani sta veliko daljši od drugih."
Gina je merila stranice. "Tudi to ima isto območje!" je vzkliknila. »To je pravokotni trikotnik in kraka merita 18 in 16, zato je ploščina ...« Gina je za trenutek obstala in opazila zbegane poglede na obrazih vseh. »Oh, vseeno. Samo daj mi nož."
Gina je spretno zarezala od središča hipotenuze do središča daljšega kraka, nato pa novonastali trikotnik zasukala tako, da je nastal popoln pravokotnik, ko je bil vgnezden v večji del.
“Točno to je naš brownie!” je zavpila ekipa Alpha. Seveda je bil nastali pravokotnik 9 krat 16: popolnoma enake velikosti kot njihov.
Ekipa Beta je dvomila. "Toda kakšen je ta trikotnik v primerjavi z našim kvadratom?" je vprašal njihov vodja ekipe.
Gina je bila pripravljena na to. "Vemo že, da sta pravokotnik in kvadrat enake velikosti, tako da sta po tranzitivnosti trikotnik in kvadrat enake velikosti." Prehodnost je ena najpomembnejših lastnosti enakosti: Pravi, da če a = b in b = c, Potem a = c. Gina je nadaljevala: »Če je ploščina prvega kolačka enaka površini drugega in je površina drugega kolačka enaka površini tretjega, morata imeti tudi prvi in tretji kolaček enako površino.«
Toda Gina se je s seciranjem preveč zabavala, da bi se ustavila pri tem. "Lahko pa naredimo še nekaj rezov."
Najprej je Gina zavrtela pravokotnik, ki je bil prej trikotnik. Nato ga je odrezala z enakim vzorcem, ki ga je uporabila na pravokotniku ekipe Alpha.
Nato je pokazala, kako je mogoče to novo seciranje trikotnika ekipe Gamma spremeniti v kvadrat ekipe Beta, natanko tako kot je storila s pravokotnikom ekipe Alpha.
V tej situaciji pravimo, da sta trikotnik in kvadrat »škarjasto skladna«: Lahko si predstavljate, da s škarjami razrežete eno figuro na končno število kosov, ki jih je nato mogoče preurediti v drugo. V primeru trikotnika in kvadrata rjavčki natančno pokažejo, kako deluje ta skladnost škarij.
Upoštevajte, da vzorec deluje v obe smeri: lahko ga uporabite za spreminjanje trikotnika v kvadrat ali kvadrata v trikotnik. Z drugimi besedami, skladnost škarij je simetrična: če je oblika A škarjasto skladna z obliko B, potem je tudi oblika B škarjasto skladna z obliko A.
Pravzaprav zgornji argument, ki vključuje trikotnik, pravokotnik in kvadrat, kaže, da je kongruenca škarij tudi tranzitivna. Ker je trikotnik škarjasto skladen s pravokotnikom in je pravokotnik škarjasto skladen s kvadratom, je trikotnik škarjasto skladen s kvadratom. Dokaz je v vzorcih: samo prekrijte jih na vmesni obliki, kot je bilo storjeno s pravokotnikom zgoraj.
Če trikotnik razrežete na dele, ki tvorijo pravokotnik, nato pa pravokotnik razrežete na dele, ki tvorijo kvadrat, lahko nastale dele uporabite za oblikovanje katere koli od treh oblik.
Dejstvo, da je škarjasta skladnost tranzitivna, je v središču neverjetnega rezultata: če imata dva poligona enako ploščino, potem sta škarjasto skladna. To pomeni, da lahko glede na poljubna dva poligona z enako površino enega vedno razrežete na končno število kosov in jih preuredite, da naredite drugega.
Dokaz tega izjemnega izreka je prav tako izjemno preprost. Najprej vsak poligon razrežite na trikotnike.
Drugič, vsak trikotnik spremenite v pravokotnik, podobno kot je Gina preuredila trikotni kolaček.
Zdaj prihaja zapleten tehnični del: vsak pravokotnik spremenite v nov pravokotnik, širok eno enoto.
Če želite to narediti, začnite od pravokotnika rezati kose, široke eno enoto.
Če lahko pravokotnik razrežete na celo število kosov širine 1, ste končali: preprosto jih zložite enega na drugega. V nasprotnem primeru prenehajte z sekljanjem, ko bo zadnji kos širok med 1 in 2 enotama, ostale pa zložite enega na drugega.
Naj vas ne skrbi, če je sam pravokotnik širok manj kot 1 enoto: samo ga prerežite na pol in iz obeh delov naredite nov pravokotnik, ki bo dvakrat daljši in pol debelejši. Po potrebi ponavljajte, dokler ne dobite pravokotnika s širino med 1 in 2 enotama.
Zdaj si predstavljajte, da ima ta zadnji pravokotnik višino h in širino w, z 1 w < 2. Ta pravokotnik bomo razrezali in ga preuredili v pravokotnik s širino 1 in višino h × w. Če želite to narediti, prekrijte h × w pravokotnik z želenim hw × 1 takšen pravokotnik.
Nato zarežite od kota do kota vzdolž črtkane črte in odrežite majhen trikotnik spodaj desno, ki sledi desnemu robu hw × 1 pravokotnik.
To zmanjša h × w pravokotnik na tri dele, ki jih je mogoče preurediti v hw × 1 pravokotnik. (Za utemeljitev tega zadnjega seciranja je potrebnih nekaj pametnih argumentov, ki vključujejo podobne trikotnike. Za podrobnosti glejte spodnje vaje.)
Nazadnje postavite ta zadnji pravokotnik na vrh sklada in uspešno ste spremenili ta mnogokotnik – pravzaprav kateri koli mnogokotnik – v pravokotnik širine 1.
Zdaj, če je bila površina prvotnega poligona A, potem mora biti višina tega pravokotnika A, torej vsak mnogokotnik s površino A so škarje skladne s pravokotnikom s širino 1 in višino A. To pomeni, da če imata dva poligona površino A, potem sta oba škarjasto skladna istemu pravokotniku, torej sta po tranzitivnosti škarjasto skladna med seboj. To kaže, da vsak poligon s površino A je škarjasto skladen z vsemi drugimi mnogokotniki s ploščino A.
Toda tudi ta močan rezultat ni bil dovolj za uspešno dokončanje ocenjevanja Brownie Bake Off podjetja Imaginary University. Ostala je še ena prijava in nihče ni bil presenečen nad tem, s čim se je ekipa Pi pojavila.
V trenutku, ko je Gina zagledala ta krog, se je prebudila iz svojih sanj v hladnem znoju. Vedela je, da je nemogoče razrezati krog na končno število kosov in jih preurediti v kvadrat, pravokotnik ali katerikoli mnogokotnik. Leta 1964 so matematiki Lester Dubins, Morris Hirsch in Jack Karush dokazali, da krog ni škarje, skladne z nobenim mnogokotnikom. Ginine sanje so se spremenile v geometrično nočno moro.
A kot se zdi vedno, so matematiki to oviro spremenili v novo matematiko. Leta 1990 je Miklós Laczkovich dokazal, da je mogoče razrezati krog in ga preurediti v kvadrat, če le lahko uporabiš neskončno majhne, neskončno ločene, neskončno nazobčane kose, ki jih nikakor ni mogoče izdelati s škarjami.
Čeprav je bil Laczkovichov rezultat presenetljiv in vznemirljiv, je dokazal le, da je takšen razpad teoretično mogoč. Ni pojasnilo, kako sestaviti dele, le to, da lahko obstajajo. Kje so nastopili Andras Máthé, Oleg Pikhurko in Jonathan Noel: v začetku leta 2022 so objavil prispevek v katerem so se ujemali z Laczkovichevim dosežkom, vendar s deli, ki jih je mogoče vizualizirati.
Na žalost ne boste mogli uporabiti njihovega rezultata za poravnavo morebitnih težav pri peki piškotov. Škarje same ne morejo ustvariti 10200 kosov, potrebnih za njihovo razgradnjo. Toda to je še en korak naprej pri odgovarjanju na dolg niz vprašanj, ki so se začela, ko je Arhimed prvič izumil ali odkril $latex pi$. In nas spodbuja k izumljanju ali odkrivanju nove matematike, o kateri prejšnje generacije niso mogle niti sanjati.
vaje
1. Pojasnite, kako vemo, da se pri izpeljavi ploščinske formule za paralelogram trikotnik, ki smo ga odrezali, popolnoma prilega prostoru na drugi strani paralelograma.
2. Pojasni, zakaj je vsak trikotnik mogoče razčleniti na pravokotnik.
Za vaji 3 in 4 razmislite o diagramu, ki prikazuje, da an h × w pravokotnik je škarje, ki so skladne z an hw × 1 pravokotnik z označenimi točkami.
3. Pojasnite, zakaj $lateksni trikotnik$ XYQ je podoben $latextriangle$ ABX. Kaj je to dolžina QY?
4. Pojasnite, zakaj $lateksni trikotnik$ PCX je skladen z $lateksnim trikotnikom$ AZQ.
Kliknite za odgovor 1:
Obstaja veliko načinov, kako pokazati, da sta trikotnika skladna. Eden od načinov je ugotoviti, da je razdalja med vzporednima črtama konstantna, tako da imata dva pravokotna trikotnika par skladnih krakov.
In v paralelogramu sta nasprotni strani skladni, zaradi česar sta dva trikotnika skladna po izreku o skladnosti trikotnika hipotenuza-krak. Lahko bi tudi podali argument z uporabo izreka o skladnosti kot-stranica-kot trikotnika.
Kliknite za odgovor 2:
Eden od odličnih elementarnih rezultatov v geometriji trikotnika je izrek o razpolovni strani trikotnika: če povežete razpoloviščni točki dveh strani trikotnika, je dobljeni odsek vzporeden s tretjo stranico in je polovica njene dolžine.
Ker je odsek vzporeden s tretjo stranico, sta kota 1 in 3 skladna ustrezna kota. In kota 1 in 2 sta istostranična notranja kota, torej sta dopolnilna, kar pomeni, da je vsota njunih mer 180 stopinj. Ker je $latexangle$ 1 skladen z $latexangle$ 3, to pomeni, da sta tudi kota 3 in 2 dopolnilna.
Torej, ko obrnete zgornji trikotnik naokoli in v desno, se bosta skladni stranici popolnoma ujemali, kota 2 in 3 pa bosta tvorila ravno črto.
S tem trikotnik spremenimo v paralelogram, ki ga, kot že vemo, lahko spremenimo v pravokotnik.
Kliknite za odgovor 3:
Od leta BXYZ je pravokotnik, oboje $latexangle$ ZBC in $latexangle$ ZYX so pravi koti. In ker sta nasprotni stranici pravokotnika vzporedni, je to $latexangle$ YQX skladen z $latexangle$ AXB, saj gre za nadomestne notranje kote. Torej $latextriangle$ XYQ je podoben $latextriangle$ ABX po podobnosti kot-kot. V podobnih trikotnikih so stranice sorazmerne, torej $latex frac{XY}{AB} = frac{QY}{BX}$. Tako je $latex frac{h}{hw} = frac{QY}{w}$ in tako QY = 1. Upoštevajte, da od $latexangle$ ADC je pravi kot in $lateksni kot$ DAP in $lateksni kot$ YQX sta skladna ustrezna kota, to naredi $lateksni trikotnik$ DAP skladen z $latextriangle$ YQX. To dokazuje, da lahko drsite $latextriangle$ YQX na mesto, ki ga trenutno zaseda $trikotnik iz lateksa$ DAP, kot je potrebno v argumentu skladnosti škarij.
Kliknite za odgovor 4:
Upoštevajte ta $latex angle$ AZQ in $latexangle$ PCX sta oba prava kota in torej skladna. Z uporabo lastnosti vzporednih premic kot v vaji 3 lahko vidimo tudi ta $latex kot$ AQZ in $lateksni kot$ razširitev PX so skladni ustrezni koti. Tudi pri vaji 3 smo to pokazali QY = 1. To naredi QZ = w − 1, kar je točno to CX je enako. Torej $trikotnik iz lateksa$ PCX je skladen z $lateksnim trikotnikom$ AZQ s skladnostjo kot-stranica-kot trikotnika. To upravičuje drugi del argumenta, da an h × w pravokotnik je škarje, ki so skladne z an hw × 1 pravokotnik.
