Predstavitev
Teorija vozlov se je začela kot poskus razumevanja temeljne zgradbe vesolja. Leta 1867, ko so znanstveniki vneto poskušali ugotoviti, kaj bi lahko pojasnilo vse različne vrste snovi, je škotski matematik in fizik Peter Guthrie Tait svojemu prijatelju in rojaku siru Williamu Thomsonu pokazal svojo napravo za ustvarjanje dimnih obročev. Thomson, ki je kasneje postal lord Kelvin (imenjak temperaturne lestvice), je bil očaran nad mamljivimi oblikami prstanov, njihovo stabilnostjo in medsebojnim delovanjem. Navdih ga je vodil v presenetljivo smer: morda, si je mislil, tako kot so bili dimni obroči vrtinci v zraku, so bili atomi zavozlani vrtinčni obroči v svetlobnem etru, nevidnem mediju, skozi katerega se, kot so verjeli fiziki, širi svetloba.
Čeprav se ta ideja iz viktorijanske dobe zdaj morda sliši smešno, ni šlo za neresno preiskavo. Ta teorija vrtinca je imela veliko priporočil: sama raznolikost vozlov, od katerih se je vsak rahlo razlikoval, je zdelo, da odraža različne lastnosti številnih kemičnih elementov. Stabilnost vrtinčnih obročev bi lahko zagotovila tudi trajnost, ki jo potrebujejo atomi.
Teorija vrtincev je dobila oprijem v znanstveni skupnosti in navdihnila Taita, da je začel tabelarizirati vse vozle in tako ustvaril tisto, za kar je upal, da bo enakovredno tabeli elementov. Seveda atomi niso vozli in etra ni. Do poznih osemdesetih let 1880. stoletja je Thomson postopoma opuščal svojo teorijo vrtincev, toda do takrat je Taita očarala matematična eleganca njegovih vozlov in nadaljeval je svoj projekt tabeliranja. Pri tem je vzpostavil matematično področje teorije vozlov.
Vsi poznamo vozle – zaradi njih so čevlji na naših nogah, čolni pritrjeni na dokih, plezalci pa od skal spodaj. Toda ti vozli niso ravno tisto, kar bi matematiki (vključno s Taitom) imenovali vozel. Čeprav je zapleten podaljšek morda videti zavozlan, ga je vedno mogoče razvozlati. Če želite dobiti matematični vozel, morate proste konce vrvice združiti v zaprto zanko.
Ker so niti vozla prožne kot vrvica, matematiki gledajo na teorijo vozlov kot na podpodročje topologija, preučevanje voljnih oblik. Včasih je mogoče vozel razvozlati tako, da postane preprost krog, ki ga imenujemo "nevozel". Toda pogosteje je razvozlati vozel nemogoče.
Vozli se lahko tudi združijo in tvorijo nove vozle. Na primer, kombinacija preprostega vozla, znanega kot trolist, z njegovo zrcalno podobo ustvari kvadratni vozel. (In če združite dva enaka trilistna vozla, naredite babič vozel.)
Z uporabo terminologije iz sveta števil matematiki pravijo, da je trolist prvi vozel, kvadratni vozel je sestavljen in, tako kot število 1, nevozel ni ne eno ne drugo. Ta analogija je bila nadalje podprta leta 1949, ko je Horst Schubert dokazal, da je vsak vozel praštevilski ali pa ga je mogoče edinstveno razstaviti na pravozle.
Drug način ustvarjanja novih vozlov je prepletanje dveh ali več vozlov, ki tvorijo povezavo. Boromejski prstani, tako imenovani, ker se pojavljajo na grbu italijanske hiše Boromeje, so preprost primer.
Thomson in Tate nista bila prva, ki sta gledala na vozle na matematični način. Carl Friedrich Gauss je že leta 1794 pisal in risal primere vozlov v svojem osebnem zvezku. In Gaussov študent Johann Listing je v svoji monografiji iz leta 1847 pisal o vozlih Vorstudien zur Topologie (»Preliminarne študije topologije«) — kar je tudi izvor izraza topologija.
Toda Tait je bil prvi učenjak, ki se je ukvarjal s tem, kar je postalo temeljni problem v teoriji vozlov: klasifikacija in tabeliranje vseh možnih vozlov. Skozi leta mukotrpnega dela, pri čemer je uporabljal le svojo geometrijsko intuicijo, je našel in razvrstil vse pravozle, ki imajo pri projekciji na ravnino največ sedem križišč.
V poznem 19. stoletju je Tait izvedel, da ta problem preučujeta še dva človeka – častitljivi Thomas Kirkman in ameriški matematik Charles Little. S skupnimi močmi so razvrstili vse glavne vozle z do 10 križišči in veliko tistih z 11 križišči. Neverjetno, njihove tabele do 10 so bile popolne: zgrešili niso nobenega vozla.
Izjemno je, da so Tait, Kirkman in Little dosegli toliko brez teoremov in tehnik, ki bodo odkriti v prihodnjih letih. Toda ena stvar, ki je delovala v njihovo korist, je bilo dejstvo, da je večina majhnih vozlov "izmeničnih", kar pomeni, da imajo projekcijo, v kateri križišča kažejo dosleden vzorec nad-pod-nad-spodaj.
Izmenični vozli imajo lastnosti, zaradi katerih jih je lažje razvrstiti kot neizmenične vozle. Na primer, iskanje najmanjšega števila križanj za katero koli projekcijo vozla je težko. Toda Tait, ki je leta zmotno domneval, da se vsi vozli izmenjujejo, je domneval, kako ugotoviti, ali ste našli to minimalno število: če izmenična projekcija nima križišč, ki bi jih lahko odstranili z obračanjem dela vozla, potem mora biti projekcija z najmanjšim številom prehodov.
Ta in še dve Taitovi domnevi o izmeničnih vozlih sta se na koncu izkazali za resnične. Vendar so bile te slavne domneve dokazane šele v poznih osemdesetih in zgodnjih devetdesetih letih prejšnjega stoletja z matematičnim orodjem, ki ga je leta 1980 razvil Vaughan Jones, ki je prejel Fieldsovo medaljo za svoje delo na področju teorije vozlov.
Na žalost vas menjavanje vozlov popelje le tako daleč. Ko pridemo v vozle z osmimi ali več križanji, število neizmeničnih vozlov hitro naraste, zaradi česar so Taitove tehnike manj uporabne.
Prvotna tabela vseh 10 križajočih se vozlov je bila popolna, vendar so Tait, Kirkman in Little dvakrat šteli. Šele leta 1970 je Kenneth Perko, odvetnik, ki je študiral teorijo vozlov na Princetonu, opazil, da sta dva vozla zrcalna slika drug drugega. Njemu na čast sta zdaj znana kot par Perko.
V zadnjem stoletju so matematiki našli veliko pametnih načinov za ugotavljanje, ali so vozli resnično različni. V bistvu je ideja identificirati invarianto — lastnost, količina ali algebraična entiteta, ki je povezana z vozlom in jo je pogosto mogoče enostavno izračunati. (Te lastnosti imajo imena, kot so barvnost, številka mostu ali zvijanje.) Oboroženi s temi oznakami lahko matematiki zdaj zlahka primerjajo dva vozla: če se razlikujeta v katerem koli danem atributu, potem nista isti vozel. Nobena od teh lastnosti pa matematiki ne imenujejo popolna invarianta, kar pomeni, da imata lahko dva različna vozla isto lastnost.
Zaradi vse te kompleksnosti morda ni presenetljivo, da tabeliranje vozlov še vedno poteka. Nazadnje, leta 2020, Benjamin Burton razvrščeni vsi glavni vozli do 19 prehodov (teh je skoraj 300 milijonov).
Tradicionalna teorija vozlov je smiselna le v treh razsežnostih: v dveh dimenzijah je možen samo razvozel, v štirih dimenzijah pa dodatni prostor omogoča, da se vozli razvežejo sami, zato je vsak vozel enak razvozlu.
Vendar lahko v štiridimenzionalnem prostoru vozlamo krogle. Če želite razumeti, kaj to pomeni, si predstavljajte, da v rednih intervalih režete običajno kroglo. S tem dobimo kroge, kot so zemljepisne širine. Vendar, če bi imeli dodatno dimenzijo, bi lahko zavozlali kroglo, tako da so rezine, ki so zdaj tridimenzionalne in ne dveh, lahko vozli.
Ta ideja je bila v ozadju enega največjih nedavnih rezultatov v teoriji vozlov. Leta 2018 takratna podiplomska študentka Lisa Piccirillo rešil 50 let staro vprašanje o 11-križnem vozlu, ki ga je prvi odkril John Conway. Vprašanje je bilo povezano z lastnostjo, imenovano rezina. Kot smo videli, ko zavozlano kroglo razrežemo v štirih dimenzijah, dobimo vozel ali člen v treh dimenzijah. Včasih lahko dani vozel dobimo iz lepo gladko zavozlane krogle, pri drugih vozlih pa je treba kroglo zavozlati in zmečkati kot kos starega papirja. Piccirillo je v bistvu dokazal, da je bil Conwayev vozel slednje vrste. V tehničnem jeziku je dokazala, da to ni "gladko rezina".
Teorija vozlov je skozi stoletja prepletala matematično krajino. Začelo se je kot uporabno področje matematike, pri čemer je Thomson poskušal uporabiti vozle za razumevanje sestave snovi. Ko je ta ideja zbledela, je postala področje čiste matematike, veja zanimive in še vedno nepraktične domene topologije. Toda v zadnjih letih je teorija vozlov spet postala uporabno področje matematike, saj znanstveniki uporabljajo ideje iz teorije vozlov za raziskovanje dinamika tekočin, elektrodinamika, zavozlane molekule, kot je DNK in tako naprej. Na srečo, medtem ko so bili znanstveniki zaposleni s preučevanjem drugih stvari, so matematiki gradili kataloge vozlov in orodij za razvozlavanje njihovih skrivnosti.
