Predstavitev
Zamisel o neskončnosti je verjetno stara približno toliko kot številke same, saj sega v čas, ko so ljudje prvič ugotovili, da lahko štejejo za vedno. Toda čeprav imamo znak za neskončnost in se lahko sklicujemo na koncept v priložnostnem pogovoru, ostaja neskončnost globoko skrivnostna, tudi za matematike. V tej epizodi Steven Strogatz klepeta s svojim kolegom matematikom Justin Moore Univerze Cornell o tem, kako je lahko ena neskončnost večja od druge (in ali smo lahko prepričani, da med njima ni vmesne neskončnosti). Razpravljajo tudi o tem, kako fiziki in matematiki različno uporabljajo neskončnost in o pomenu neskončnosti za same temelje matematike.
Poslušaj Apple Podcasts, Spotify, Google Podcasti, Krojač, TuneIn ali vašo najljubšo aplikacijo za podcaste ali pa lahko pretakajte iz Quanta.
Prepis
Steven Strogatz (00:03): Jaz sem Steve Strogatz in to je Veselje zakaj, podcast iz Revija Quanta ki vas popelje do nekaterih največjih neodgovorjenih vprašanj v matematiki in znanosti danes.
(00:13) V tej epizodi bomo razpravljali o neskončnosti. Nihče v resnici ne ve, od kod izvira ideja o neskončnosti, vendar mora biti zelo starodavna - tako stara kot upi in strahovi ljudi glede stvari, ki bi lahko trajale večno. Nekatere med njimi so strašljive, kot brezne, nekatere pa vzpodbudne, kot neskončna ljubezen. Znotraj matematike je zamisel o neskončnosti verjetno stara približno toliko kot številke same. Nekoč so ljudje spoznali, da lahko samo še naprej štejejo za vedno - 1, 2, 3 in tako naprej. Toda čeprav je neskončnost zelo stara ideja, ostaja globoko skrivnostna. Ljudje si že tisoče let razbijajo glave o neskončnosti, vsaj od Zenona in Aristotela v stari Grčiji.
(00:57) Kako pa matematiki danes razumejo neskončnost? Ali obstajajo različne velikosti neskončnosti? Ali je neskončnost koristna za matematike? In če da, kako natančno? In kaj ima vse to opraviti s temelji same matematike?
(01:14) Danes se mi pri razpravi o neskončnosti pridruži Justin Moore, profesor matematike na Cornellu. Njegovi raziskovalni interesi vključujejo teorijo množic, matematično logiko in neskončno kombinatoriko ter njihove aplikacije na drugih področjih matematike, kot so topologija, funkcionalna analiza in algebra. Dobrodošel, Justin.
Justin Moore (01:33): Živjo, Steve. Hvala, da si me sprejel.
Strogatz (01:35): Ja, zelo se veselim pogovora s teboj. Moral bi reči, morda za popolno razkritje, da je Justin moj prijatelj in kolega na oddelku za matematiko na Cornellu. V redu, pojdimo torej k razmišljanju o neskončnosti, kot o njej razmišljajo matematiki. Pravzaprav, morda preden se potopimo v matematični del, se za trenutek pogovorimo o resničnem svetu, ker tam ne bomo dolgo. Ali imam prav, da ste bili nekoč usposobljeni za svet fizike?
Moore (02:02): Ja, to je bil dvopredmetni študij fizike z matematiko, ko sem bil dodiplomski. Pri fiziki sem se nekako opekel. Na začetku mi je bila bolj všeč fizika, matematika pa me je nekoliko bolj rekreativno zanimala. In potem sta me skozi to nekako bolj zanimali matematika in fizika.
Strogatz (02:18): OK. No, kaj pa fizika neskončnosti? Je to sploh smiselno? Ali v resničnem svetu obstaja kakšna neskončna stvar, ki jo poznamo?
Moore (02:26): Veš Ta video, Moči 10, ki sta ga ustvarila Charles in Ray Eames? Kjer v bistvu vsakih — mislim, da je vsakih 10 sekund, ste za moč 10 manjši. No, najprej mislim, da je moč 10 večja. Pomanjšaš. In potem ste vsakih 10 sekund za 10-krat manjši in greste od največjega obsega vesolja navzdol do najmanjšega obsega subatomskih delcev. Veste, to je bilo narejeno v, želim reči, v poznih 70-ih ali zgodnjih 80-ih. In mislim, da se je naše razumevanje nekaterih stvari od takrat nekoliko razvilo, vendar ne pretirano. Ampak mislim, bistvo je, da obstaja približno 40 potenc števila 10, ki ločijo najmanjšo lestvico dolžine od največje lestvice dolžine, in morda ste lahko velikodušni in dodate več dodatnih potenc števila 10, samo za dobro mero. Vendar je pošteno reči, da v fiziki ne morete izmeriti ničesar, kar bi bilo večje od, veste, 10100 ali 10200 ali nekaj takega.
(03:22) In morda je naš koncept, da so stvari neprekinjene - neprekinjeno gibanje ali karkoli drugega - morda vse to samo iluzija. Morda je res vse zrnato in končno. Res pa je, da so fiziki gotovo odkrili veliko o svetu, v katerem živimo, tako da so si predstavljali, da so stvari gladke in neprekinjene ter da je ta neskončnost smiselna. Ko greste v dele fizike, kjer še niso zares formalizirali stvari, se veliko težav, ki jih imajo matematiki s tem, spusti na fizike, je nekakšno obravnavanje neskončnosti na različne neskončne načine in odštevanje neskončnosti od neskončnosti. , in morda za to niso tako odgovorni, kot bi si želel matematik. Mislim, da to res ni sporna izjava. Mislim, da bi fizik - večina fizikov bi verjetno - mislim, OK, morda bi ti vedel bolje. Vendar verjamem, da bi večina fizikov rekla, da je to precej pravilna izjava.
Strogatz (04:20): Torej, kar zadeva tvojo osebno zgodbo – obljubim, da ne bom šel pregloboko, da bi te spravil v zadrego – toda kaj te je pritegnilo v neskončnost? Se vam je fizika nekako zdela premajhna? Ali vam je samo všeč strogost matematike ali ...?
Moore (04:33): Mislim, mislim, da me je začela zanimati matematika kot celota in sem se oddaljil od fizike, preden me je začela zanimati posebej teorija množic. Ironično je bilo zato, ker sem - no, če greš na tečaj fizike, si na neki točki na koncu precej hiter in ohlapen pri matematiki. In ali si s tem v redu ali pa ne. Bil sem eden tistih, ki jim to ni bilo v redu.
Strogatz (04:56): Huh. In jaz sem bil tisti, ki je bil v redu, in to še vedno počnem. Veste, mislim, te stvari me niso preveč skrbele, čeprav spoštujem skrb, ki jo – intelektualno integriteto, ki jo imajo čisti matematiki, veste, skrbi za te stvari.
(05:11): V redu, recimo, da sem samo, ne vem, kot radoveden najstnik in sploh ne vem, kaj je neskončnost. Kaj bi rekel, da je? Ali naj o tem razmišljam kot o zelo veliki številki? Je to kakšen simbol? Je lastnina? Kakšen je dober način razmišljanja o tem, kaj je neskončnost?
Moore (05:26): Ja, mislim, mislim, da je — lahko je idealizirana točka na koncu vrstice, kajne? Lahko je uradni simbol. Veš, na to si lahko misliš na nek način … formalni simbol v istem pomenu, kot recimo, da uvedemo -1, kajne? In spomnim se, ko sem bil majhen otrok, da učitelji niso bili pripravljeni pojasniti, ali je varno govoriti o negativnih številih. In res, to zveni neumno za nazaj, toda na neki ravni, kajne, ali -1 obstaja v resničnem svetu? Vendar lahko formalno manipulirate z njim in lahko formalno manipulirate z neskončnostjo na neki ravni, vendar morate morda pokazati malo več pozornosti. Neskončnost lahko uporabite tudi kot sredstvo za kvantificiranje, koliko nečesa je. In to tam odpre več vrat, ker lahko govorimo o neskončnih nizih, od katerih so nekateri večji od drugih.
Strogatz (06:15): OK. V redu. Torej ste omenili to besedo »množice« in danes bomo zagotovo veliko govorili o garniturah. Rekel sem, da vas zanima teorija množic. Ali želite povedati kaj več o tem, kaj mislite z nizom?
Moore (06:26): Mislim, da … Odgovor je tako da kot ne. Zato mislim, da je v redu, če letiš mimo svojih hlač in na to gledaš samo kot na, veste, nedefiniran pojem in ga uporabljaš nekako intuitivno. Vendar je bilo tudi nekako uporabljeno kot mehanizem za zagotavljanje temeljev za matematiko, ko so ljudje ugotovili, da moramo imeti nekaj, skrbno postaviti temelje za to, kaj matematika je.
Strogatz (06:49): Aha. To je zanimivo. Ker jaz – kot majhni otroci se učimo šteti na prste, ali pa naši starši verjetno začnejo izgovarjati besede, potem pa morda pokažejo na stvari in rečejo: "1, 2, 3 ..." In naučili smo se zvokov - otroci tako, ko so zelo majhni, vem, kajne? Mislim, če imate sami majhne otroke ali sorodnike. Torej obstaja ta plat stvari. In mislim, da bi si večina ljudi predstavljala, da so številke temelj matematike. Toda pravite, in mislim, da bi se večina matematikov strinjala, da obstaja nekaj še globljega od števil, kar je ta koncept množic, kajne?
Moore (07:22): Mislim, da je koncept "set" nastal kot temeljni koncept, ker je tako bazičen in tako primitiven. In če želite, če želite imeti nekaj, kar bi uporabili kot tkanino za matematiko, želite začeti z nečim, pri čemer se njegove osnovne lastnosti zdijo zelo primitivne, in nato začeti od tam. In potem je ideja ta, da potem uporabite nize za kodiranje stvari, kot so števila za štetje, in stvari, kot so racionalna števila, realna števila itd. In potem od tod vse vrste drugih bolj zapletenih matematičnih konstrukcij, kot so mnogoterosti, ali, ali karkoli drugega.
Strogatz (07:57): Torej se spomnim, v a Sesame Street epizoda, ki sem jo gledal s svojimi otroki. Bilo je v filmu; Mislim, da je bilo. Da obstaja lik, ki je naročil ribe za sobo, polno lačnih pingvinov. In prosil je pingvine, naj zakličejo in rečejo: "Ribe, ribe, ribe, ribe, ribe, ribe." In potem natakar zakliče v kuhinjo: "Ribe, ribe, ribe, ribe, ribe." In potem nekdo drug reče: "Ne, to si se zmotil." In nekdo drug reče: "No, zakaj nisi rekel, da so naročili šest rib?" Vendar poudarja, da ta zamisel o številu prihaja po tej zbirki ribjih predmetov. In potem je drugi lik presenečen in reče: »Ali deluje za svečke? In cimetove zvitke?"
Moore (08:42): Mislim, mislim tudi, da je samo, če vas zanima poskušanje razumeti, ali lahko to dokažete? Ali lahko to dokažeš? In poskušate določiti pravila, kako bi dokazovali stvari ali karkoli, želeli bi, da bi bila osnovna načela čim preprostejša. In tako namesto da poskušate zapisati pravila za delovanje aritmetike, začnete z zapisovanjem enostavnejših pravil za enostavnejše stvari in nato zgradite aritmetiko iz teh bolj osnovnih gradnikov.
Strogatz (09:08): OK. Torej, in to me spominja tudi na "novo matematiko", ko smo se kot otroci v 60-ih učili o presečiščih, Vennovih diagramih in unijah, kajne? To je bil začetek teorije množic. Učili so nas v — ne spomnim se — bil je drugi ali tretji razred; moji starši niso vedeli zakaj. Ampak mislim, da so bili matematiki vašega tipa ali drugi tisti, ki so mislili, da bi se morali otroci učiti množic, bodisi pred ali ob istem času, ko se učijo aritmetike.
Moore (09:33): Ja, večina tega, kar ljudje preučujejo v teoriji množic, mislim, dandanes je res, kako delujejo neskončne množice. Ker naša intuicija o neskončnih množicah ni tako dobra kot naša intuicija o končnih množicah. In mislim, da je to velik razlog, zakaj je bila želja po temeljih tam. Delno je bilo zato, ker bi radi zapisali, v redu, za katere smo dokaj prepričani, da bi morale biti lastnosti neskončnih množic in množic na splošno, in nato poskušali od tam razviti, kaj je res o neskončnih množicah?
Strogatz (10:03): OK, zakaj torej ne bi imeli nekaj primerov? Mi lahko poveste nekaj primerov stvari, ki so neskončne množice?
Moore (10:08): No, kot naravna števila. Kot ste rekli - kot so 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 in tako naprej - ampak tudi stvari, kot so racionalna števila. Saj veste, ulomki, kot sta dve naravni števili eno nad drugim ali morda negativni ulomek. Toda tu so tudi stvari, kot so realna števila, kjer - saj veste, vse, kar lahko izrazite z decimalko, vključno s stvarmi, kot sta pi in e.
Strogatz (10:28): Mm-hmm. Tako bi lahko imeli neskončno veliko števk za decimalno vejico.
Moore (10:32): Ja, ja, neskončno veliko števk. Ni jim treba ponavljati.
Strogatz (10:35): Aja. Kaj pa stvari, kot so oblike ali točke ali geometrijske stvari, ne samo numerične stvari?
Moore (10:41): Ja, lahko govorite tudi o zbirkah geometrijskih oblik.
Strogatz (10:45): OK, to je torej lepa lastnost množic: da lahko z množicami poenotimo ali imamo vsaj skupni jezik za pogovor o aritmetiki, geometriji, ….
Moore (10:54): Prav.
Strogatz (10:55): Predvidevam, da bi lahko govorili o nizu funkcij, če bi obiskovali predračunski tečaj. Veste, kot množica množice zveznih funkcij, če bi bili na tečaju računa.
Moore (11:04): Seveda. ja
Strogatz (11:05): Ali karkoli. Tako da, to nam daje skupni jezik za vse različne dele matematike.
Moore (11:09): Prav.
Strogatz (11:10): In — vendar je to razmeroma nova ideja kot temelj matematike v smislu celotne zgodovine matematike, kajne?
Moore (11:16): Ja, mislim, jaz … No, moderna matematika, kot jo poznamo, je stara nekje med 100 in 150 let. Ampak ponavadi to povezujem okoli - prvi del prejšnjega stoletja je bil čas, ko smo v resnici začeli opažati, da so se vsi glavni deli matematike, kot jih poznamo danes, začeli razvijati in res postati samostojni predmeti. In to je bilo tudi približno v istem času, ko je [Bertrand] Russell odkril svoj paradoks, ki je spodbudil potrebo po nekakšnih strogih temeljih za matematiko.
Strogatz (11:49): Uh, huh. Moramo omeniti - ja. Torej je Bertrand Russell, o katerem zdaj govorimo, pogosto bolj znan kot filozof ali pacifist, kljub temu pa je bil precej močan matematik in logik, nekdo, ki ga je zanimala logika kot del matematike.
Moore: Ja, ja.
Strogatz (12:04): Torej, kot pravite, je bil eden od ljudi, ki so pomagali, da je teorija množic resnično zaživela. In še pred njim je bil ta gospod, Georg Cantor, o katerem bomo kar nekaj govorili, v Nemčiji v poznih 1800. stoletjih.
(12:17): V redu, kako torej matematiki znotraj matematike, recimo, uporabljajo neskončnost? Omenili ste, kako koristno je lahko. Kje se uporablja?
Moore (12:27): Ja, v razredu računanja je to uporaben simbol za izvajanje določenih izračunov. Govorimo o tem, kako se funkcija obnaša, ko vhod postane zelo velik. Lahko govorite o meji v neskončnosti ali o razmerjih količin, ko število gre proti nič ali neskončnosti ali kaj podobnega. To je pojem neskončnosti, ki je nekako v prvem smislu, ki sem ga omenil, kjer na neskončnost gledate kot na idealizirano točko na koncu črte.
(12:53) Lahko pa o tem govorite tudi kot - veste, lahko, lahko govorite o štetju elementov neke zbirke ali nekega niza in spremljanju, koliko končnih elementov ima ali morda, če ima neskončno veliko elementov, poskuša razlikovati med različnimi velikostmi neskončnosti. Mislim, vsi razumejo - ali se pretvarjajo, da razumejo - razliko med končnim in neskončnim. In mislim Cantorjevo izjemno odkritje je bilo, da lahko za neskončno množico naredite nadaljnje razlikovanje. Razlikujete lahko med tem, kar se imenuje števno, in tem, kar se imenuje nešteto. Ali celo samo na splošno, višji nešteti kardinali kot razlike med različnimi neštetimi kardinali.
Strogatz (13:34): Torej v redu, pojdimo tja. Ker nas to res popelje v srce naše teme. Mislim, da bi povprečna oseba, ki prvič sliši besedo "šteto", pomislila, da pomeni dobesedno štetje, kot nekaj, kar ima 10. Veste, če je na mizi 10 svečk, bi jih lahko preštel - 1, 2, 3 , do 10. Toda vi in drugi matematiki uporabljate števec, da pomeni nekaj malo drugačnega od tega.
Moore (13:56): To samo pomeni, da lahko vsakemu elementu niza dodelite naravno število, tako da nobeno naravno število ne bo uporabljeno dvakrat.
Strogatz (13:56): Nekaj je torej lahko šteto in neskončno.
Moore (13:57): In neskončno. Torej so naravna števila očitno števna, ker štejejo sama sebe. Toda morda malo manj očitno je, da so cela števila, vključno z negativi naravnih števil, štetna.
Strogatz (14:18): Pogovorimo se o tem za trenutek. Torej, če človek o tem še ni razmišljal, je zanimivo. Ker kot - tako ste rekli, boste upoštevali vsa števila, vsa pozitivna cela števila, vsa negativna cela števila in nič.
Moore (14:29): Ja.
Strogatz (14:30): In lahko bi naredili narobe. Na primer, če bi začeli pri nič in začeli šteti v desno ter prišli do 0, 1, 2, 3, se ne bi nikoli več vrnili k negativnim številkam. In potem vam ne bi uspelo prešteti vseh celih števil.
Moore (14:41): Ja.
Strogatz: Toda kaj bi morali narediti namesto tega?
Moore: Lahko pa šteješ, veš, 0, 1, -1 in nato 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5. In če jih našteješ na ta način, potem na koncu našteješ vse.
Strogatz (14:55): Lepo. Ta cikcakasti argument, kjer skačete sem in tja med pozitivnimi in negativnimi točkami, je lep, organiziran, sistematičen način, da pokažete, da če pomislite na katero koli celo število, bo na koncu na seznamu.
Moore: Ja. ja
Strogatz(15:07): Torej, to je super. Torej v redu, torej so cela števila števna. Cantor je odkril tudi nekatere druge stvari, ki jih je mogoče prešteti in so bile — ne vem, ali je bil presenečen, a veliko nas je presenečenih, ko prvič izvemo za to. Kot, kot kaj?
Moore (15:21): Ja, mislim, da sta dva dobra primera, ki sta presenetljiva, prvi, racionalnost. Torej je zbirka vseh ulomkov dveh celih števil štetna. To je pravzaprav zelo enostavno videti, ko razmišljate o tem, saj lahko preprosto naštejete vse ulomke z imenovalcem 1 — ali absolutno vrednostjo števca in imenovalca največ 1. In potem največ 2, največ 3, največ 4 In na vsaki stopnji je samo končno veliko ulomkov, kjer sta števec in imenovalec vsaj po velikosti največ n. In potem lahko na ta način izčrpate vse racionalnosti.
Strogatz (15:55): Torej, če bi izbral število n kot 3, pravite, da bi lahko imel število kot je 1/2 ali 2/1 ali 0/3, ker se števec in imenovalec seštejeta do 3?
Moore (16:06): Ja. Še ena, ki je spet nekoliko presenetljiva, je, če vzamete število besed, ki jih lahko zapišete v latinici ali kateri koli abecedi, ki jo želite. Iz te abecede je kvečjemu prešteto število končnih besed ali končnih nizov simbolov. Če razmišljate o vseh besedah ali vseh stavkih, vseh delih literature, če želite -
Strogatz: Oh.
Moore (16:30): — vse, kar ne obstaja le zdaj, ampak bi lahko obstajalo nekoč v prihodnosti. Veste, tistih neskončno veliko opic postaviš za pisalni stroj in pogledaš, kakšne rezultate lahko ustvarijo v končnem času. To je vse samo štetje.
Strogatz (16:44): Vau. Torej vse mogoče knjige v vseh, recimo, v latinščini, v vseh možnih jezikih, ki jih poznamo?
Moore (16:50): V vseh možnih jezikih. ja Mislim, če hočete, imate lahko števno abecedo, če želite. To nič ne naredi večjega.
Strogatz (16:56): Torej bi se štetje zdelo kot zelo velika neskončnost. In vendar —
Moore (16:59): Ja. Prva presenetljiva stvar je, da so tiste množice, ki se zdijo večje od naravnih števil, v resnici enake velikosti kot naravna števila. Prešteti so. Toda potem je tu še drugo presenečenje, to je, da so realna števila, nabor decimalnih števil, nešteta.
Strogatz (17:13): Torej obstaja ta izjemna točka, ki ste jo omenili, da lahko obstajajo nizi, ki jih ni mogoče prešteti. In predvidevam, da bi bil morda najpreprostejši primer: pomislite na črto, ki gre v neskončnost v obe smeri. Torej kot neskončno dolga ravna črta. Prava linija, kot bi ji rekli. To je nešteto.
Moore (17:32): Prav. Če vi, če mi predate seznam, domnevni seznam vseh elementov na tej vrstici, obstaja postopek, imenovan diagonalni argument, ki vam omogoča, da ustvarite novo točko, ki je na vrstici, vendar ne na vašem seznamu. To je bilo Cantorjevo slavno odkritje.
Strogatz (17:49): Torej je bilo to takrat res popolnoma osupljivo odkritje, mislim, kajne? Da bi zdaj nenadoma lahko govorili o dveh neskončnih množicah in ju primerjali.
Moore (17:58): Ja, ja. In razlika med števnimi in neštetimi je v matematiki zelo uporabna. V bistvu, štetne množice, še vedno lahko govorimo o vsotah, ki so štetno neskončne dolžine. To je nekaj, kar se učijo na koncu standardnega tečaja računanja v drugem semestru. Medtem ko so vsote nad neštetimi množicami manj pomembne ali pa jih morate vsaj definirati na bolj občutljiv način. Se pravi, nekaj bolj v stilu integrala ali kaj podobnega.
Strogatz (18:30): V redu, zdaj, ko imamo to razliko med štetnimi, kot so cela števila — 1, 2, 3, 4, 5 — in neštetimi, kot so točke na premici. Obstaja še eno vprašanje, za katerega menim, da bi bilo dobro, če bi temu posvetili nekaj časa. Imenuje se hipoteza kontinuuma. Bi nam lahko povedali, kaj je to?
Moore (18:50): Ja. Tako se je Cantor spraševal: Ali obstaja, ali je kaj vmes? Lahko - saj veste, naravna števila so znotraj realnih števil in naravna števila so števna. Realna števila so nešteta in večja od naravnih števil. Ali obstaja niz realnih števil, ki je večji od naravnih števil, a manjši od —
Strogatz (19:10): Manjši v tem smislu štetja.
Moore (19:12): — manjši od črte? Ali obstaja množica točk na tej premici, na številski premici, ki je večja od naravnih števil, večja od racionalnih števil, vendar manjša od celotne premice? Trditev, da takega vmesnega niza ne obstaja, imenujemo hipoteza kontinuuma. In to je bil Hilbertov prvi problem, ali je hipoteza o kontinuumu resnična ali napačna izjava.
Strogatz (19:35): Uh, Hilbert je bil torej velik matematik tega — morda nekoliko kasnejše generacije, vendar ne veliko kasneje. In v letu - kaj je bilo to, približno 1900, mislim - je napovedal ali podal seznam tistih, za katere je mislil, da so nekateri največji problemi za prihodnost, na točki, na kateri morajo delati matematiki 20. stoletja. In mislim, da je bilo to vprašanje številka ena na njegovem seznamu?
Moore (19:58): Ja, to je bilo vprašanje številka ena.
Strogatz (20:00): Vau. Zato je bilo veliko razmišljati o tem. Pravite, da je Cantor temu rekel hipoteza. Mislil je, da se bo izkazalo za res.
Moore: Ja.
Strogatz (20:07): Da med tema dvema ni nobene neskončnosti, za katero je že vedel
Moore (20:11): Ja. In stvar je v tem, da preživi test iskanja protiprimerov. Mislim, če začnete gledati vse nize realnih vrednosti, podmnožice črte, ki jih lahko zapišete opis ali jih lahko sestavite na nek način. Poskusil je to. In dokazal je, mislim, no, pokazal je, da ni protiprimerov. Na začetku obstajajo celo izreki, ki pravijo, da množice te ali one vrste ne morejo biti protiprimeri.
Strogatz (20:40): To je neverjetno. Naj poskrbim, da bom to razumel. Nikoli nisem slišal te izjave: Že samo dejstvo, da so nekateri od njih opisljivi, jih v nekem smislu pomeni, da niso dovolj dobri.
Moore (20:49): Na primer, niz, ki je zaprt, ima vse svoje mejne točke. Cantor je dokazal, da to ne more biti protiprimer. Ali je števen ali pa ima enako velikost kot reali.
Strogatz (21:00): Torej, če obstaja nasprotni primer, mora biti neopisljiv.
Moore (21:04): Ja, mora biti zapleteno.
Strogatz (21:06): Vau. Seveda je možno, da ena obstaja, le da bi bila res bizarna stvar.
Moore (21:12): Ja. To nas nekako pripelje do nečesa, kar se vrača k temu temeljnemu vprašanju. Veste, približno v tistem času so začeli poskušati formalizirati, kaj so aksiomi za matematiko. In nekje kasneje, okoli leta 1930, je [Kurt] Gödel dokazal, da je dejansko kakršenkoli razumljiv sistem aksiomov, ki ga lahko imate in ki doseže skromen cilj formalizacije aritmetike na naravnih številih, nujno nepopoln. Obstajajo izjave, ki jih ne morete dokazati iz tega sistema aksiomov, in jih ne morete ovreči iz aksiomov z uporabo standardnih končnih dokazov.
(21:52) In to je bilo, mislim, precej šokantno. Ker vam pove, da je cilj, da nekako algoritemično poskušate rešiti vse svoje probleme v matematiki in izdelate nekakšno algoritemsko osnovo, neko popolno osnovo matematike, v nekem smislu obsojen na propad. Ali pa ga mora vsaj voditi neka višja intuicija, ki presega samo – ne vem – tisto, kar je bilo takrat na voljo.
(22:16) In kar je Gödel dokazal — ena od stvari, ki jih je dokazal pozneje, je bila, da je ena od izjav, ki je ne morete dokazati ali ovreči, izjava, da je vaš sistem aksiomov že v prvi vrsti skladen. Da ne vodi v nobena protislovja. To izjavo je mogoče kodirati kot nekakšno izjavo o teoriji števil, o aritmetiki naravnih števil, vendar ne na posebej naraven način. Če greste in se pogovorite z enim od teoretikov števil na oddelku, tega ne bodo imeli za težavo ali izjavo o teoriji števil, čeprav tehnično je. In tako je bilo - vprašanje, ki je ostalo iz Gödelovega časa, je bilo, ali hipoteza kontinuuma - ali obstaja kakšna druga naravna matematična izjava, ki je neodločljiva na podlagi sistema aksiomov, v katerem smo delali.
Strogatz (23:02): Torej obstaja ta koncept aksiomov. Verjetno bi se morali poskusiti spomniti, kako izgledajo. Ker če delamo zelo previdno matematiko, moramo določiti nekaj definicij, pa tudi nekatere stvari, ki jih jemljemo – ne vem, zakaj ne želim reči, da "jemljemo za samoumevno", ampak da sprejemamo kot temelj.
Moore (23:19): Ja, ja. Torej, to je, mislim, to je nekaj, kar so naredili Grki, to je bil, veste - eden od dosežkov pri formalizaciji geometrije - je bil, da namesto da bi poskušali definirati, kaj je geometrija, na to nekako gledate kot: vi ste zapisal bom nekaj nedefiniranih izrazov in nato zapisal pravila ali aksiome, ki urejajo, kako se ti nedefinirani izrazi obnašajo. Zanje so bile to stvari kot točka in črta. In ko je točka na črti, so to nedefinirani pojmi. In ko je točka med dvema drugima točkama na premici, so to nedefinirani pojmi. In potem zapišete niz aksiomov, ki urejajo delovanje teh konceptov. In če ste to naredili prav, potem se vsi strinjajo, da te lastnosti očitno veljajo za te, te stvari. In zato so ti aksiomi stvari, ki so nekako samoumevno resnične.
(23:19) Torej za geometrijo, veste, obstaja ta znameniti vzporedni postulat, ki — ga niste mogli izpeljati iz drugih. In bilo je nekoliko revolucionarno, ko je bilo odkrito, da lahko dejansko konstruirate modele geometrije, ki zadovoljujejo vse aksiome, ne pa tudi vzporednega postulata. In zato vzporednega postulata ni mogoče dokazati z drugimi aksiomi. V nekem smislu je torej Gödel razvil metodo za to, vendar na ravni matematičnih modelov ali vsaj modelov tega sistema aksiomov, ki ga imamo za matematiko.
Strogatz (24:45): Aha, to je zanimiv način povedati. Torej, tam, kjer imamo evklidsko geometrijo in potem imamo tudi te bolj novodobne neevklidske geometrije, ki jih je Einstein uporabljal v splošni teoriji relativnosti, vendar se uporabljajo tudi drugje. In logično so tako dobri kot evklidska geometrija. Ampak zdaj, namesto da bi govorili samo o geometriji, pravite, da je nekako tako, kot da bi lahko imeli tradicionalno - no, nisem prepričan, kaj so besede. Kaj je analog evklidske geometrije? Ali obstaja tradicionalna matematika?
Moore (25:16): To je odprto vprašanje. Mislim to, mislim - mislim, da je to deloma filozofsko vprašanje. Mogoče je to sociološko vprašanje, saj gre za to, kaj je matematika, kajne? Vrne se k tistemu osnovnemu vprašanju. In mislim, da so aksiomi, ki jih imamo, aksiomi ZFC, ki so bili razviti pred nekaj več kot 100 leti, tisti, za katere se na splošno strinjamo, da so resnični, ali pa so, to so lastnosti, ki bi jih moral imeti "nabor", vendar ponovno ni popolno.
Strogatz (25:44): No, počakaj, razpakirajmo vse to. To zveni dobro. Torej ZFC, zakaj ne bi začeli s tem? To so imena nekaterih ljudi in nekaj.
Moore (25:51): Ja, ja. “Zermelo-Fraenkel teorija množic« z nečim, kar se imenuje »aksiom izbire«. ja
Strogatz (25:55): OK. In tako so to pravila igre, ki so splošno sprejeta.
Moore (25:59): Ja, to je seznam aksiomov, ki so — je precej dolg, a ne tako dolg. Na primer, če imate dva niza, obstaja niz, ki ima oba kot svoja elementa. Aksiom združevanja, da lahko vzamete unijo zbirke množic in to je množica. In tako naprej.
Strogatz (26:15): OK. Torej obstaja način ZFC za izvajanje teorije množic, in to je, pravite, predlagano ob določenem času in ljudem je všeč, potem pa ste rekli, da ni popolno?
Moore (26:26): Ja. Torej je nekaj, kar lahko napišete. Računalniški algoritem za seznam aksiomov. To je neskončen nabor aksiomov. Toda z izjemo dveh vrst skupin aksiomov je končen. Če ne boste pozorni, bi dejansko mislili, da so ti, vsaka od teh drugih skupin aksiomov en sam aksiom. Toda dejansko so neskončna družina aksiomov. Ustvarite lahko računalniški program, ki bo izpljunil vse aksiome. Verjamemo, da je ZFC dosleden, ker nismo odkrili nobenih protislovij. Če verjamete temu, potem po Gödelovem izreku nepopolnosti ZFC ne bo mogel dokazati, da je konsistenten.
(27:03) In tako obstajajo izjave, kot je doslednost ZFC, ki je ZFC ne more dokazati. To je zanimiva točka. Ker spet verjamemo, da je ZFC dosleden. In to je, mislim, eden od razlogov, da, mislim ... Večina matematikov, ki bodo delali, temelji na veri, da je CFC dosleden. Prav? Toda to je nekaj, kar smatramo za resnično izjavo. Vendar to ni nekaj, kar ZFC sam zadostuje za dokazovanje.
Strogatz (27:27): Samo razmišljam. Na tej poti smo omenjali Gödela. Ne vem, da smo povedali, kdo je. Nam želite na kratko povedati?
Moore (27:34) Ja, bil je. Mislim, bil je neke vrste revolucionarni logik. Ta izrek o nepopolnosti je bil eden njegovih glavnih dosežkov. In njegov drugi večji dosežek je bil pokazati, da hipoteze o kontinuumu ni mogoče ovreči z uporabo aksiomov ZFC.
Strogatz (27:49): Nekateri ga imajo za največjega logika po Aristotelu. In Einstein, ki je bil njegov prijatelj in sodelavec na Inštitutu za napredne študije, je rekel, da je rad imel privilegij hoditi v službo z Kurt Godel. Mislim, bil je v isti intelektualni ligi z Einsteinom. Če še niste slišali zanj, priporočam, da si ogledate knjigo o njem z naslovom Potovanje na rob razuma. Čudovita knjiga o Gödelovem življenju. Ampak v redu, torej je, prav, torej je logik iz sredine 20. stoletja, zgodnjega 20. stoletja. In pravite, da je to dokazal - no, povejte še enkrat o hipotezi o kontinuumu?
Moore (28:23): Znotraj katerega koli modela teorije množic je zgradil manjši model teorije množic, ki zadovoljuje hipotezo kontinuuma. In to torej kaže, da hipoteze o kontinuumu ne morete ovreči znotraj aksiomov teorije množic. Iz enega modela teorije množic, če ga imate, lahko izdelam novega, ki zadovoljuje hipotezo kontinuuma.
Strogatz (28:43): Vidim. Torej lahko obstajajo različice teorije množic, nekakšne manjše različice, ki so še vedno primerne za aritmetiko, predvidevam.
Moore: Ja.
Strogatz (28:51): Ampak v katerem, OK, hipoteza o kontinuumu je resnična, tako kot je ugibal Cantor.
Moore: Ja.
Strogatz (28:56): In potem. Ampak potem - v tej zgodbi obstaja velik "ampak".
Moore (28:59): Ja. Toliko, mnogo let pozneje, [Paul] Cohen je razvil tehniko, imenovano forsiranje, ki mu je omogočila povečati modele teorije množic. In s tem je dokazal, da ne morete dokazati hipoteze o kontinuumu. Razen njegove tehnike je mogoče uporabiti tudi za dokazovanje, da tega ne morete ovreči. Ta, ja, ta tehnika, imenovana forsiranje, je res zelo močna. Forsiranje in tehnika gradnje manjšega modela znotraj vašega modela teorije množic. To sta dve orodji, ki ju imamo za gradnjo novih modelov teorije množic iz starih modelov teorije množic.
Moore (29:32): Če se vrnem k geometrijski analogiji. Mislim, celo ti modeli hiperbolične ravnine, ki so bili neevklidski modeli geometrije - ti sami začnejo tako, da vzamejo evklidsko ravnino ali njeno podmnožico in zgradijo model geometrije, kot so tamkajšnje točke in črte. Točke so navadne točke na tem disku. In črte tam so krogi, določeni krogi v originalni geometriji. Bistvo, ki ga želim povedati, je, da je to nekakšna plodna stvar, ki jo počneš v matematiki. Pogosto začnete z neko strukturo, ki zadovoljuje vaš sistem aksiomov, kot je geometrija, ki zadovoljuje vaše aksiome geometrije, in z njo nekako manipulirate in ustvarite novo stvar, ki morda zadovoljuje drugačen niz aksiomov. To je tisto, kar sta Cohen in Gödel počela, je bilo, da sta vzela model aksiomov teorije množic - in torej v nekem smislu model matematike - in z njim manipulirala z različnimi tehnikami, da bi proizvedla nove modele, ki so zadovoljili bodisi to, da hipoteza o kontinuumu resnična ali da je hipoteza o kontinuumu napačna.
Strogatz (30:36): To je zame res neverjetno in prepričan sem, da je za mnoge ljudi, saj veste ... Kot da ima Platon to filozofijo, da obstajajo določene idealne oblike in resnice, ki - morda lahko Ne vidim jih tukaj na Zemlji, toda v nekem platonskem kraljestvu njihova resnica obstaja.
Moore: Ja, ja.
Strogatz (30:57): In počutili bi se, kot da resnična števila obstajajo, ne glede na to, ali človeška bitja razmišljajo o njih ali ne, in da je hipoteza o kontinuumu resnična za resnična števila ali pa ne. Ampak mi praviš?
Moore (31:09): No, mislim, ja, o tem obstajajo različne šole mišljenja. Mislim, ne bi mogli — na to lahko gledate tako, da obstaja nekaj, za kar mislim, da gre pod to ime, tisti splošni multiverzalni pogled, da ni ničesar več, kar bi lahko rekli. Obstajajo samo vsi ti modeli teorije množic. In najboljše, kar lahko storimo, je, da poskušamo razumeti, kaj je res v vsakem od njih, in se premikamo med njimi. In to je zelo neplatonski pogled na stvari, nekakšen formalistični pogled na stvari. Lahko bi tudi zavzeli stališče, da obstaja nek morda prednostni model teorije množic. To je, veste, realnost, v kateri živimo, in vsi ti drugi modeli so modeli aksiomov, vendar v resnici niso to, kar poskušamo opisati z aksiomi. Mislim, da je analogija z geometrijo tam nekoliko ilustrativna, kajne? Mislim, ustvarite lahko veliko različnih modelov geometrije. Toda še vedno živimo v fizičnem svetu, ki ima geometrijo in morda je to tista geometrija, ki nas najbolj zanima.
Strogatz (32:03): Vidim. Torej na enak način, kot bi lahko evklidski geometriji dali nekaj prednostnega statusa, ker je ta, ki smo ga vajeni. To je tisti, ki obstaja že dolgo, ker je nekako najlažji in najbolj očiten, vendar še vedno menimo, da so ti drugi dobri in imajo svoje domene, kjer so uporabni in zanimivi.
Moore (32:20): Morda pa je stvar, ki jo je vredno poudariti, tudi to, da celo naše razumevanje – No, prvič, nisem prepričan, da živimo v evklidski geometriji. Toda v zvezi s tem obstaja vprašanje. Toda tudi naše razumevanje fizičnega sveta je močno obogateno z razumevanjem vseh teh drugih geometrij, s tem prostim raziskovanjem drugih modelov geometrije. In enako velja za teorijo množic. Mislim, da tudi če bi se v prihodnosti dogovorili o nekem soglasju o tem, kaj je nov aksiom za teorijo množic, je prihod na ta cilj nekaj, kar zagotovo ne bi bilo mogoče brez vsega tega raziskovanja, ki se zgodi vnaprej.
Strogatz (33:00): Kaj bi pomenilo dokazati ali ovreči hipotezo o kontinuumu? Za vsakega od teh taborišč? Kaj je na kocki?
Moore (33:08): Ja, to je — v redu, torej mislim, da bi tabor, ki ima tovrstno stališče "vseh svetov", preprosto rekel, da je to nesmiselno vprašanje. Ta Cohen in Gödel ter njune tehnike za gradnjo številnih modelov teorije množic so nekako konec razprave. In veste, morda bomo izdelali veliko novih modelov teorije množic, vendar nikoli ne bomo imeli končnega odgovora, ali je hipoteza o kontinuumu resnična ali napačna. Ljudje, ki zavzamejo stališče, da je v tej izjavi nekakšna resnica ali napačnost, bi verjetno poskušali priti do nekega novega aksioma in verjetno neke hevristične utemeljitve, zakaj bi ta aksiom moral biti resničen - bodisi hevristične ali morda pragmatične utemeljitve. zakaj je res. In potem, ko trdite, da je treba ta aksiom sprejeti, da nekako povzema neko intuicijo, ki jo imamo o matematiki ali množicah, če ta aksiom tudi dokazuje ali ovrže hipotezo o kontinuumu v nekakšnem formalnem pomenu besede, potem bi videli da je CH resničen ali napačen.
Strogatz (34:12): Tako nekako smo zdaj. Da trenutno res obstajata ta dva tabora.
Moore (34:16): Ja, do neke mere. Toliko časa je minilo, odkar se je pokazalo, da je hipoteza o kontinuumu neodločljiva na podlagi aksiomov, da mislim, da se je večina matematikov nekako navadila na dejstvo, da je morda to največ, kar lahko rečete. In mislim, da bi bilo na tej točki neverjetno, če bi se lahko matematiki kot celota zbrali okoli neke nove hevristike, za katero bi se vsi strinjali, da bi morala biti resnična. In morda se to nikoli ne bo zgodilo. Mogoče, morda ima skupnost v sebi preveč različnih pogledov. Po pravici povedano, mislim, da je – mislim, da je ZFC nabor resničnih aksiomov za matematiko nekako enoten, vendar ne univerzalen pogled. Zagotovo obstajajo ljudje, ki menijo, da karkoli neskončnega preprosto ne obstaja. In o tem nima smisla govoriti in o tem ne bi smeli govoriti.
Strogatz (35:05): No, to je starodavna tradicija. Mislim, to je - Aristotel nam je govoril, naj pazimo na neskončnost. In skozi zgodovino matematike so ljudje celo tako veliki kot [Carl Friedrich] Gauss bili zelo previdni glede tega koncepta dokončane neskončnosti, kar nam je Cantor odprl s to pločevinko črvov. Ampak ne vem, da so to črvi. Zdi se, kot da je — veš, kaj je škodo? Gre za to, da pustimo domišljiji prosto pot in odkrijemo veliko zanimivih stvari.
(35:30) Vendar imam vprašanje. Kot nekdo, ki ni teoretik množic, tega ne želim vprašati na nevljuden način. Toda morda bo zvenelo malce nevljudno, kar - saj veste, kam grem, kajne? Na primer, kako to vpliva name? Ali preostali del matematike čuti vibracije, ki se dogajajo znotraj teorije množic? Ali pa smo nekako izolirani od tega, kar počnete?
Moore (35:49): To je dobro vprašanje. Mislim, da se večina matematikov nikoli ne sreča z izjavo, ki ni ne dokazljiva ne ovrgljiva znotraj običajnega sistema aksiomov za matematiko znotraj ZFC. In teoretiki množic so do neke mere odkrili razlago za to. Obstaja model teorije množic, ki je večji od Gödelovega prvotnega modela, vendar manjši od vesolja vseh množic, imenovan trdni osnovni model, tj. [Robert] Solovay odkrit v času Cohenovega dela. In izjemno odkritje je, da na ta model — kar je res v njem, ni mogoče vplivati s siljenjem. In zato v bistvu, če lahko izrazite nekaj o tem, kaj je v tem modelu res ali napačno, je to nekaj, kar je v veliki meri imuno na pojav neodvisnosti.
(36:35) Kovček je v tem, da ta model teorije množic ni — ne izpolnjuje aksioma izbire. Aksiom izbire je torej — to je še ena pločevinka črvov. Toda eden od razlogov, zakaj je aksiom izbire drugačen od drugih aksiomov, je ta, da ni konstruktiven. Vsi drugi aksiomi vam povedo, da je neka množica, ki jo imate opis, pravzaprav množica. Tako pač delujejo aksiomi. Toda aksiom izbire vam pove, da lahko glede na zbirko nizov, ki niso prazni, izberete nekaj iz vsakega od njih - torej izbira -, vendar vam ne pove, kako boste naredili izbiro. To je bil aksiom, ki nam je po eni strani omogočal konstruirati najrazličnejše čudne, paradoksalne stvari. Veste, predvidevam, da so pred približno 100 leti, kot nemerljivi nizi, karkoli že to je. Obstaja ta znamenita razgradnja krogle, to Paradoks Banach-Tarski, to —
Strogatz (37:29): Oh, to je zanimivo.
Moore (37:32): — kroglo bi lahko razrezali na končno veliko kosov in jih nato ponovno sestavili v dve krogli, ki sta enakih dimenzij prvotne krogle. In zdaj je razlog, zakaj je to absurdno, ta, da bi moral biti sposoben dodeliti maso vsakemu od - saj veste, prvotni krogli, in nato dodeliti maso vsem tem kosom, na katere jih lahko razrežeš, in tistim bi morali dodati prvotni masi. In potem, ko jih preuredite, ta proces ne bi smel spremeniti mase. Ampak nekako, ko jih ponovno sestaviš, imaš dvakrat večjo maso kot na začetku. Zdaj, bistvo tega argumenta - kjer gredo stvari narobe, je to rezanje sfere, ki vam ga omogoča aksiom izbire, tako slabo, da ne morete dodeliti mase tem kosom, ki jih imate.
(38:11) To paradoksalno vedenje je ljudi napeljalo k misli, da je aksiom izbire nekako morda problematičen. Mogoče bo pripeljalo do neke vrste paradoksa v sami matematiki. In zato ne bi smeli sprejeti aksioma izbire. Ena od stvari, ki jih je Gödel dokazal hkrati z dokazom, da ne morete ovreči hipoteze o kontinuumu, je, da je varno domnevati tudi aksiom izbire. To pomeni, da če so aksiomi ZFC brez aksioma izbire skladni, je konsistenten tudi niz aksiomov ZFC z aksiomom izbire. Morda vam da veliko čudnih, eksotičnih stvari, toda s temeljnega vidika ne onesnažuje vode.
(38:51) Nekaj kasneje je prišlo do odkritja te stvari, imenovane Zornova lema, za katero se je izkazalo, da je enakovredna aksiomu izbire. In res je zelo ploden za razvoj številnih različnih vej matematike. To je nekaj - o tem se naučite, če ste višji dodiplomski študent ali če ste podiplomski študent matematike. To je nekako le del potrebnega učenja za diplomo iz matematike. In zaradi te izjemne uporabnosti je to nekaj, kar dandanes preprosto sprejemamo. Mislim, da večini matematikov ni prijetno delati brez aksioma izbire, samo zato, ker ga v mnogih primerih morda uporabljajo, ne da bi se tega sploh zavedali.
(39:31) Zato mislim, da je to tudi primer, kako bi lahko rešili hipotezo kontinuuma. Gre za to, da v prihodnosti odkrijemo nek aksiom, ki je tako uporaben pri nadaljnjem razvoju matematike, da ta aksiom do neke mere smatramo za resničnega. To se je zgodilo z Zornovo lemo. In z aksiomom izbire to ni bilo nekaj, kar se je sprva smatralo za resnično. Pravzaprav je bilo na začetku nanj gledano z nekaj skepse.
Strogatz (39:56): Ampak naj vidim, če lahko, saj se ... Zdaj smo veliko govorili o aksiomu izbire: njegovem odnosu do hipoteze o kontinuumu. Ali obstaja način, da povemo, kaj je to?
Moore (40:06): Veste, aksiom izbire in hipoteza o kontinuumu imata nenavaden odnos, ker sta… V redu, hipoteza o kontinuumu, s stališča teoretika množic vam omogoča, da sestavite veliko eksotičnih stvari . Omogoča vam, da naredite neskončno dolgo, celo nešteto dolgo konstrukcijo, kjer vse počnete na zelo nadzorovan način, na algoritemski način. In izdelava nekega čudnega predmeta, kjer ste med potjo ohranili veliko nadzora. V odsotnosti aksioma izbire je hipoteza kontinuuma, kot sem jo prvotno navedel, da ni niza pravil, ki bi bil vmesni, to nekaj, kar nima enakega zalogaja, kot če bi bil aksiom izbire resničen. In razlog za to je, da lahko na primer v odsotnosti aksioma izbire govorimo o še močnejših različicah hipoteze o kontinuumu. Na primer, vsaka podmnožica te številske premice, prave številske premice, je števna ali pa obstaja kopija Cantorjeve množice, ki živi v njej. Na primer, obstaja nekakšno drevo točk, binarno drevo točk, ki sedi znotraj vašega niza. In to je zelo konkreten način, da rečemo, da ima enako velikost kot realna števila.
Strogatz (41:14): Torej bi morali za nas ostale v matematiki zunaj teorije množic izgubiti kaj spanja zaradi — kar se zdi — nekakšnega nedoločenega statusa v trenutku hipoteze o kontinuumu? Rečeno nam je, da je neodločljivo v standardnem modelu teorije množic. Veš, ali je pomembno? Ali to vpliva na ostalo matematiko?
Moore (41:35): Odgovor je večinoma ne. Ni pa povsem znano. Hipoteza kontinuuma. Res je v Model Solovay, na primer: Vsaka množica realnih vrednosti je bodisi števna ali pa je znotraj nje zaprta množica realnih vrednosti, ki je nešteta in nima izoliranih točk. So pa trditve, ki se pojavljajo v matematiki, vprašanja, ki se pojavljajo naravno, nekako organsko na drugih področjih, kjer se izkaže, da so odvisna bodisi od hipoteze o kontinuumu bodisi od česa drugega, kar je neodvisno od aksiomov ZFC. En primer tega je nekaj, kar se imenuje medialna meja, ki je naprava, ki je uporabna pri verjetnosti in nekaterih delih verjetnosti za določanje meja stvari in še vedno ohranjanje, da so stvari merljive. Medialne meje so nekaj, kar lahko zgradite z uporabo hipoteze o kontinuumu, vendar jih ni nekaj, kar lahko zgradite v ZFC.
Strogatz (42:27): To me osrečuje, moram reči. Hočem verjeti, da je matematika en velik splet. In to, kot da obstaja star pregovor, "Noben človek ni otok," od koga, ne vem. Kakorkoli že, ne želim, da bi bil kateri koli del matematike otok. Zato ne bi rad mislil, da je teorija množic nekako nekaj — mislim, nihče ne bi rekel, da je, toda tudi tisti del, ki vsebuje hipotezo o kontinuumu, ne želim, da bi bil ločen od velike celine. In zveni, kot da ni.
Moore (42:52): Prav. Če vzamete Hilbertov prostor in pogledate omejene operaterje in kompaktne operatorje, so to dobro preučene algebre objektov, ki jih preučuje matematika. Lahko vzamete njihov količnik. Preučevanje tega, kar se imenuje skupina avtomorfizma, je nekaj, o čemer bi lahko matematik vprašal. In res, Brown, Douglas in Fillmore o tem spraševal v sedemdesetih. In znano je, da je hipoteza o kontinuumu resnična ali napačna povezana s tem, ali obstajajo zelo zapleteni avtomorfizmi te algebre ali ne. To je nekaj, kar je, veste, standardni predmet v tečaju funkcionalne analize, ki bi ga učili na podiplomski ravni. In to so nekako zelo, zelo osnovne lastnosti tega predmeta.
(43:34) Toda bistvo je, da je to nekaj, kar je na videz — to ni problem v teoriji množic. Različni teoretiki množic imajo različne poglede na to, zakaj je tema pomembna. Ampak zame je zato tema — za kaj je pomembna. Gre za to, da igra to edinstveno vlogo, da vas lahko obvesti, ko postavljate vprašanje, ki ga na podlagi aksiomov morda ni mogoče odločiti. Ker ne želite preučevati tega problema, o katerem se leta in leta in leta ne morete brez uspeha odločiti. In če vam lahko nekdo reče: "No, nikoli ne boste dejansko našli rešitve tega problema, ker tega ne morete ne dokazati ne ovreči," kajne? To je dobro vedeti.
Strogatz (44:13): V redu. No, zame je to zelo vzpodbudno sporočilo, ki ga daješ, Justin, da - John Donne! To je ime, ki sem ga iskal, John Donne. In povejmo to na sodoben način: Noben človek ni otok. In enako brez dela matematike. Obstaja – celo najbolj ezoterične navidezne stvari na zunanjih dometih teorije množic so še vedno povezane v zelo prizemljene dele matematike, verjetno v funkcionalni analizi, ki je osnova kvantne teorije. Torej, to je zame novica in rad bi se vam samo zahvalil, da ste nas razsvetlili. To je bilo zabavno. hvala
Moore (44:46): Hvala, da ste me sprejeli.
Napovedovalka (44:46): Raziščite več matematičnih skrivnosti v Quanta Knjiga Zarota glavnega števila, ki ga je izdal The MIT Press, zdaj na voljo na Amazon.com, Barnesandnoble.com, ali vaši lokalni knjigarni. Prav tako ne pozabite povedati svojim prijateljem o tem podcastu in nam dati pozitivno oceno ali spremljati, kje poslušate. Ljudem pomaga najti Veselje zakaj.
Strogatz (45: 12): Veselje zakaj je podcast iz Revija Quanta, uredniško neodvisna publikacija, ki jo podpira Fundacija Simons. Odločitve o financiranju fundacije Simons nimajo vpliva na izbor tem, gostov ali druge uredniške odločitve v tem podcastu ali v Revija Quanta. Veselje zakaj producirata Susan Valot in Polly Stryker. Naša urednika sta John Rennie in Thomas Lin, podpirajo pa jo Matt Carlstrom, Annie Melcher in Zach Savitsky. Našo tematsko glasbo je zložil Richie Johnson, Julian Lin je izmislil ime podkasta. Sliko epizode je napisal Peter Greenwood, naš logotip pa Jaki King. Posebna zahvala Burtu Odom-Reedu iz Cornell Broadcast Studios. Jaz sem vaš gostitelj Steve Strogatz. Če imate kakršna koli vprašanja ali komentarje za nas, nam pišite na Hvala za poslušanje.
- Distribucija vsebine in PR s pomočjo SEO. Okrepite se še danes.
- Platoblockchain. Web3 Metaverse Intelligence. Razširjeno znanje. Dostopite tukaj.
- Kovanje prihodnosti z Adryenn Ashley. Dostopite tukaj.
- vir: https://www.quantamagazine.org/how-can-some-infinities-be-bigger-than-others-20230419/
- :ima
- : je
- ][str
- $GOR
- 1
- 10
- 100
- 11
- 28
- 39
- 7
- 8
- a
- Sposobna
- O meni
- o IT
- absolutna
- AC
- Sprejmi
- dosežek
- dosežkov
- dejansko
- napredno
- vplivajo
- po
- algoritem
- algoritmični
- algoritemsko
- vsi
- omogoča
- skupaj
- Abeceda
- že
- Čeprav
- Neverjetno
- znesek
- Analiza
- Ancient
- in
- razglasitve
- Še ena
- odgovor
- kaj
- aplikacija
- Apple
- aplikacije
- SE
- trdijo
- Argument
- okoli
- prihod
- Umetnost
- AS
- Sodelavec
- At
- pozornosti
- Na voljo
- povprečno
- nazaj
- Slab
- baza
- temeljijo
- Osnovni
- V bistvu
- BE
- lepa
- ker
- postanejo
- postane
- bilo
- pred
- Začetek
- počutje
- Verjemite
- Berkeley
- Bertrand
- BEST
- Boljše
- med
- Poleg
- Big
- večji
- največji
- Bit
- Bloki
- Knjiga
- knjige
- veje
- Na kratko
- Prinaša
- oddaja
- izgradnjo
- Building
- spali
- by
- Izračuni
- klic
- se imenuje
- poziva
- Cambridge
- Kamp
- CAN
- ne more
- ki
- previdni
- , Carl
- primeri
- priložnostne
- wrestling
- Stoletje
- nekatere
- Zagotovo
- spremenite
- značaja
- Charles
- izbira
- krogi
- razred
- jasno
- zaprto
- Sodelavec
- zbirka
- Zbirke
- kako
- udobna
- prihajajo
- komentarji
- Skupno
- skupnost
- primerjate
- dokončanje
- Končana
- zapleten
- sestavljajo
- računalnik
- Koncept
- koncepti
- Soglasje
- Razmislite
- dosledno
- gradnjo
- Gradbeništvo
- konstruktiven
- Vsebuje
- celina
- neprekinjeno
- Continuum
- nadzor
- nadzorom
- sporen
- Pogovor
- bi
- Števec
- Tečaj
- ustvaril
- radovedna
- Cut
- rezanje
- Dnevi
- odloča
- odločitve
- globoko
- globlje
- Stopnja
- Oddelek
- odvisno
- opisati
- opis
- destinacija
- Razvoj
- razvili
- razvoju
- naprava
- diagrami
- DID
- drugačen
- števk
- dimenzije
- razkritje
- odkriti
- odkril
- odkrivanje
- Odkritje
- razpravlja
- razpravljali
- Razprava
- izrazit
- razlikovati
- Ne
- tem
- domen
- dont
- Obsojen
- vrata
- podvojila
- navzdol
- pogon
- vsak
- Zgodnje
- Zemlja
- najlažje
- Edge
- Uredništvo
- bodisi
- element
- elementi
- E-naslov
- Endless
- dovolj
- obogatena
- popolnoma
- Enakovredna
- v bistvu
- Tudi
- sčasoma
- Tudi vsak
- vsi
- vse
- razvil
- točno
- Primer
- Primeri
- Razen
- izjema
- razburjen
- izkazujejo
- obstaja
- Eksotični
- Razlaga
- raziskovanje
- raziskuje
- express
- dodatna
- ekstremna
- tkanina
- Obraz
- ni uspelo
- sejem
- pošteno
- vera
- družina
- slavni
- slavno
- FAST
- Priljubljeni
- strahovi
- Feature
- kolega
- Nekaj
- Področja
- končna
- Najdi
- prva
- prvič
- Ribe
- sledi
- za
- za vedno
- formalno
- Formalno
- Obrazci
- Fundacija
- Temelji
- ulomek
- brezplačno
- prijatelj
- prijatelji
- iz
- polno
- zabava
- funkcija
- funkcionalno
- funkcije
- Financiranje
- nadalje
- Prihodnost
- igra
- splošno
- splošno
- ustvarjajo
- generacija
- radodaren
- Nemčija
- dobili
- pridobivanje
- Daj
- dana
- daje
- Giving
- Go
- Cilj
- goes
- dogaja
- dobro
- razred
- diplomiral
- odobreno
- veliko
- Največji
- zelo
- Grčija
- Greenwood
- skupina
- ugibati
- gostov
- strani
- se zgodi
- se je zgodilo
- Zgodi se
- srečna
- Imajo
- ob
- he
- glave
- Slišal
- sluha
- Srce
- pomagal
- pomoč
- Pomaga
- tukaj
- več
- vzvratni pogled
- zgodovina
- upa
- gostitelj
- Kako
- HTTPS
- človeškega
- Lačni
- i
- Ideja
- idealen
- Illusion
- Domišljija
- Pomembnost
- Pomembno
- in
- V drugi
- vključujejo
- Vključno
- neodvisnost
- Neodvisni
- Neskončno
- neskončnost
- vplivajo
- vplivali
- na začetku
- vhod
- primer
- Namesto
- Inštitut
- integral
- celovitost
- intelektualne
- zainteresirani
- Zanimivo
- interesi
- uvesti
- Ironično
- Otok
- izolirani
- Vprašanja
- IT
- ITS
- sam
- John
- Johnson
- pridružil
- Justin
- Imejte
- vzdrževanje
- Kid
- otroci
- Otrok
- King
- Vedite
- Vedeti
- znano
- jezik
- jeziki
- velika
- v veliki meri
- večja
- Največji
- Zadnja
- Pozen
- Latinski
- vodi
- Liga
- UČITE
- naučili
- učenje
- Led
- lema
- dolžina
- najem
- Stopnja
- življenje
- kot
- LIMIT
- Meje
- vrstica
- linije
- povezane
- Seznam
- Poslušanje
- literatura
- malo
- v živo
- živi
- lokalna
- logo
- Long
- Poglej
- izgleda kot
- si
- izgube
- Sklop
- ljubezen
- ljubil
- je
- revije
- vzdrževanje
- velika
- Znamka
- IZDELA
- moški
- manipuliranje
- več
- veliko ljudi
- Masa
- mase
- math
- matematični
- matematika
- Matter
- smiselna
- pomeni
- merjenje
- Mehanizem
- omenjeno
- Sporočilo
- Metoda
- Mid
- morda
- MIT
- Model
- modeli
- sodobna
- Trenutek
- več
- Najbolj
- motion
- premikanje
- Film
- Multiverse
- Glasba
- skrivnostna
- Ime
- Imena
- naravna
- nujno
- Nimate
- negativna
- Niti
- Novo
- novice
- Pojem
- Številka
- številke
- predmet
- predmeti
- Očitna
- of
- velikokrat
- Staro
- on
- ONE
- odprite
- odprt
- Odpre
- operaterji
- redni
- organsko
- Organizirano
- izvirno
- originalno
- Ostalo
- drugi
- naši
- zunaj
- več
- Splošni
- lastne
- seznanjanje
- Paradox
- vzporedno
- Starši
- del
- zlasti
- deli
- paul
- plačilna
- Pingvini
- ljudje
- Ljudske
- mogoče
- oseba
- Osebni
- Peter
- pojav
- filozofija
- fizično
- Fizika
- kosov
- Kraj
- Mesta
- platon
- Platonova podatkovna inteligenca
- PlatoData
- prosim
- plus
- Podcast
- Podcasting
- Točka
- Pogled na točko
- točke
- pozitiven
- mogoče
- potencialno
- moč
- močan
- Pooblastila
- pragmatično
- prednostno
- pritisnite
- precej
- Predsednik
- primitivna
- Načela
- verjetno
- problem
- Težave
- Postopek
- proizvodnjo
- Proizvedeno
- Učitelj
- Program
- Obljuba
- dokazov
- Lastnosti
- nepremičnine
- predlagano
- zaščiteni
- dokazljiv
- Dokaži
- dokazano
- dokazuje
- zagotavljajo
- Objava
- objavljeno
- dal
- Quantamagazine
- Kvantna
- vprašanje
- vprašanja
- rally
- precej
- Rational
- RAY
- Doseže
- pravo
- resnični svet
- Reality
- realizirano
- kraljestvo
- Razlog
- Razlogi
- Priporočamo
- povezane
- Razmerje
- Razmerje
- relativno
- sorodniki
- ostanki
- izjemno
- ne pozabite
- ponovite
- obvezna
- Raziskave
- spoštovanje
- REST
- pregleda
- Revolucionarni
- strog
- ROBERT
- vloga
- Valjanje
- zvitki
- soba
- pravila
- varna
- Je dejal
- Enako
- zadovoljni
- pravi
- Lestvica
- Šole
- Znanost
- drugi
- sekund
- Zdi se,
- izbor
- Občutek
- ločena
- nastavite
- Kompleti
- poravnavo
- Rešeno
- več
- Oblike
- shouldnt
- Prikaži
- pokazale
- Razstave
- strani
- podpisati
- Enostavno
- saj
- sam
- SIX
- Velikosti
- velikosti
- Skepticizem
- spanje
- majhna
- manj
- So
- trdna
- Rešitev
- nekaj
- nekdo
- Nekaj
- nekoliko
- nekje
- Vesolje
- Spark
- posebna
- posebej
- preživeti
- Spotify
- Stage
- delež
- standardna
- Začetek
- začel
- Začetek
- navedla
- Izjava
- Izjave
- Status
- Steve
- Še vedno
- Zgodba
- naravnost
- močna
- močnejši
- Struktura
- študent
- študiral
- studii
- študija
- Študij
- predmet
- uspeh
- taka
- dovolj
- Podprti
- zagotovo
- presenečenje
- presenečen
- presenetljivo
- Susan
- Simbol
- sistem
- miza
- Bodite
- meni
- ob
- Pogovor
- pogovor
- Učitelji
- poučevanje
- tehnike
- najstnik
- pove
- Pogoji
- Test
- Hvala
- da
- O
- Prihodnost
- Linija
- svet
- njihove
- Njih
- tema
- sami
- Tukaj.
- zato
- te
- stvar
- stvari
- Razmišljanje
- tretja
- mislil
- tisoče
- skozi
- vsej
- čas
- do
- danes
- tudi
- orodja
- Teme
- POPOLNOMA
- sledenje
- tradicionalna
- tradicionalna
- usposobljeni
- zdravljenje
- izjemno
- Res
- Resnica
- OBRAT
- Obrnjen
- Dvakrat
- undefined
- pod
- razumeli
- razumevanje
- razume
- unija
- Sindikati
- edinstven
- Universal
- Vesolje
- univerza
- us
- uporaba
- Rabljeni
- navadno
- pripomoček
- vrednost
- različnih
- Poglej
- stališča
- Počakaj
- hoja
- želim
- Watch
- Voda
- način..
- načini
- web
- webp
- dobrodošli
- Dobro
- Kaj
- Kaj je
- ali
- ki
- WHO
- kdorkoli
- celoti
- pogosto
- bo
- pripravljeni
- z
- v
- brez
- beseda
- besede
- delo
- deluje
- deluje
- svet
- črvi
- Skrbi
- vredno
- bi
- pisati
- pisanje
- Napačen
- leto
- let
- Vi
- Vaša rutina za
- sami
- zefirnet
- nič
- zoom