Ett århundrade senare jämnar ny matematik ut allmän relativitet | Quanta Magazine

Albert Einsteins allmänna relativitetsteori har varit oerhört framgångsrik när det gäller att beskriva hur gravitationen fungerar och hur den formar universums storskaliga struktur. Det sammanfattas i ett talesätt av fysikern John Wheeler: "Rymden visar hur man rör sig; materia talar om för rum-tiden hur den ska krökas." Ändå är den allmänna relativitetsteoriens matematik också djupt kontraintuitiv.

Eftersom dess grundläggande ekvationer är så komplicerade är även de enklast klingande påståendena svåra att bevisa. Till exempel var det inte förrän runt 1980 som matematiker bevisade, som en del av en storsats i den allmänna relativitetsteorem, att ett isolerat fysiskt system, eller rymden, utan någon massa i sig måste vara platt.

Detta lämnade olöst frågan om hur ett utrymme ser ut om det nästan är ett vakuum, med bara en liten mängd massa. Är det nödvändigtvis nästan platt?

Även om det kan tyckas uppenbart att mindre massa skulle leda till mindre krökning, är saker och ting inte så skära och torra när det kommer till allmän relativitet. Enligt teorin kan täta koncentrationer av materia "förvränga" en del av rymden, vilket gör det mycket krökt. I vissa fall kan denna krökning vara extrem, vilket kan leda till bildandet av svarta hål. Detta kan inträffa även i ett utrymme med små mängder materia, om det är tillräckligt starkt koncentrerat.

I en nyligen papper, Conghan Dong, en doktorand vid Stony Brook University, och Antoine Song, en biträdande professor vid California Institute of Technology, bevisade att en sekvens av krökta utrymmen med mindre och mindre mängder massa så småningom kommer att konvergera till ett platt utrymme med noll krökning.

Detta resultat är ett anmärkningsvärt framsteg i den matematiska utforskningen av allmän relativitet - en strävan som fortsätter att ge utdelning mer än ett sekel efter att Einstein utarbetade sin teori. Dan Lee, en matematiker vid Queens College som studerar matematiken i allmän relativitet men inte var involverad i denna forskning, sa att Dong och Songs bevis återspeglar en djup förståelse av hur krökning och massa interagerar.

Vad de bevisade

Beviset av Dong och Song gäller tredimensionella rum, men överväg först ett tvådimensionellt exempel för illustrationens skull. Föreställ dig ett plant utrymme utan massa som ett vanligt, slätt pappersark. Ett utrymme med liten massa kan i det här fallet se likadant ut på avstånd - det vill säga mestadels platt. Men en närmare inspektion kan avslöja några skarpa spikar eller bubblor som dyker upp här och där - konsekvenser av att materia hopar sig. Dessa slumpmässiga utklipp skulle få papperet att likna en välskött gräsmatta med en och annan svamp eller stjälk som sticker ut från ytan.

Dong och Song bevisade en gissa som formulerades 2001 av matematikerna Gerhard Huisken och Tom Ilmanen. Gissningen säger att när massan av ett utrymme närmar sig noll, så måste också dess krökning. Huisken och Ilmanen insåg dock att detta scenario kompliceras av närvaron av bubblor och spikar (som är matematiskt skilda från varandra). De antog att bubblorna och spikarna kunde skäras av på ett sådant sätt att gränsområdet som lämnades kvar på ytan av utrymmet vid varje excision var litet. De föreslog, men kunde inte bevisa, att utrymmet som återstod efter att dessa besvärliga bihang hade tagits bort skulle vara nära platt. De var inte heller säkra på hur sådana nedskärningar skulle göras.

"De här frågorna var svåra, och jag förväntade mig inte att se en lösning på Huisken-Ilmanens gissning," sa Lee.

Kärnan i gissningarna är en mätning av krökning. Utrymmet kan krökas på olika sätt, olika mängder och olika riktningar - som en sadel (i två dimensioner) som kröker sig uppåt framåt och bakåt, men nedåt till vänster och höger. Dong och Song ignorerar dessa detaljer. De använder ett koncept som kallas skalär krökning, som representerar krökningen som ett enda tal som sammanfattar hela krökningen i alla riktningar.

Dong och Songs nya verk, sa Daniel Stern från Cornell University, är "ett av de starkaste resultaten vi har hittills som visar oss hur skalär krökning styr [geometrin]" för utrymmet som helhet. Deras uppsats illustrerar att "om vi har en icke-negativ skalär krökning och liten massa, förstår vi rymdens struktur mycket väl."

Beviset

Huisken-Ilmanens gissning gäller geometrin hos utrymmen med stadigt minskande massa. Den föreskriver en specifik metod för att säga hur nära ett utrymme med liten massa är platt utrymme. Det måttet kallas avstånd Gromov-Hausdorff, uppkallat efter matematikerna Mikhael Gromov och Felix Hausdorff. Att beräkna avståndet Gromov-Hausdorff är en process i två steg.

Det första steget är att hitta Hausdorff-avståndet. Anta att du har två cirklar, A och B. Börja med valfri punkt på A och räkna ut hur långt det är till den närmaste punkten på B.

Upprepa detta för varje punkt på A. Det största avståndet du hittar är Hausdorff-avståndet mellan cirklarna.

När du väl har avståndet Hausdorff kan du beräkna avståndet Gromov-Hausdorff. För att göra det, placera dina föremål i ett större utrymme för att minimera Hausdorff-avståndet mellan dem. I fallet med två identiska cirklar, eftersom du kan lägga dem bokstavligen ovanpå varandra, är avståndet mellan Gromov-Hausdorff noll. Geometriskt identiska föremål som dessa kallas "isometriska".

Att mäta avstånd är naturligtvis svårare när objekten eller utrymmena som jämförs är lika men inte samma. Avståndet Gromov-Hausdorff ger ett exakt mått på likheterna (eller skillnaderna) mellan formerna på två objekt som initialt ligger i olika utrymmen. "Gromov-Hausdorff-avståndet är ett av de bästa sätten vi har att säga att två utrymmen är nästan isometriska, och det ger ett nummer till det "nästan", sa Stern.

Innan Dong och Song kunde göra jämförelser mellan ett utrymme med en liten massa och ett utrymme som är perfekt platt, var de tvungna att klippa av de irriterande utsprången - de smala spikarna där materia är tätt packad och ännu tätare bubblor som kan hysa små svarta hål. "Vi skär dem så att gränsområdet [där skivan gjordes] är litet," sa Song, "och vi visade att området blir mindre när massan går ner."

Även om den taktiken kan låta som ett fusk, sa Stern att det är tillåtet för att bevisa gissningen att göra en sorts förbearbetning genom att skära ut bubblor och spikar vars yta krymper till noll när massan minskar.

Som en proxy för ett utrymme med liten massa, föreslog han, kunde vi föreställa oss ett skrynkligt pappersark som, efter att ha blivit utjämnat igen, fortfarande har skarpa veck och veck. Du kan använda en hålslagare för att ta bort de mest framträdande ojämnheterna och lämna ett lite ojämnt papper med några hål i det. När storleken på dessa hål krymper, så kommer ojämnheten i papperets terräng att minska. Vid gränsen, kan man säga, skulle hålen krympa till noll, högarna och åsarna skulle försvinna, och du skulle sitta kvar med ett jämnt slätt papper - en äkta stand-in för platt utrymme.

Det var vad Dong och Song försökte bevisa. Nästa steg var att se hur dessa blottade utrymmen – befriade från sina grova drag – staplade upp mot standarden för fullständig planhet. Strategin de följde använde sig av en speciell sorts karta, som är ett sätt att jämföra två utrymmen genom att associera punkter i ett utrymme med punkter i ett annat. Kartan de använde utvecklades i en papper skriven av Stern och tre kollegor - Hubert Bray, Demetre Kazaras och Marcus Khuri. Denna procedur kan beskriva exakt hur nära två mellanslag är.

För att förenkla sin uppgift anammade Dong och Song ett annat matematiskt trick från Stern och hans medförfattare, som visade att ett tredimensionellt utrymme kan delas upp i oändligt många tvådimensionella skivor som kallas nivåuppsättningar, ungefär som ett hårdkokt ägg kan segmenteras i smala ark med de spända trådarna i en äggskärare.

Nivåuppsättningarna ärver krökningen av det tredimensionella utrymme de utgör. Genom att fokusera sin uppmärksamhet på nivåuppsättningar snarare än på det större tredimensionella utrymmet kunde Dong och Song reducera problemets dimensionalitet från tre till två. Det är mycket fördelaktigt, sa Song, eftersom "vi vet mycket om tvådimensionella objekt ... och vi har många verktyg för att studera dem."

Om de framgångsrikt kunde visa att varje nivåuppsättning är "typ av platt", sa Song, skulle detta tillåta dem att uppnå sitt övergripande mål att visa att ett tredimensionellt utrymme med liten massa är nära platt. Lyckligtvis slog denna strategi ut.

Nästa steg

När vi blickar framåt sa Song att en av fältets nästa utmaningar är att göra beviset mer explicit genom att lägga ut en exakt procedur för att bli av med bubblor och spikar och bättre beskriva de regioner som har skurits bort. Men för tillfället, medgav han, "vi har ingen tydlig strategi för att uppnå det."

 En annan lovande väg, sa Song, skulle vara att utforska en separat gissning som formulerades 2011 av Lee och Christina Sormani, en matematiker vid City University of New York. Lee-Sormani-förmodan ställer en liknande fråga som den som Huisken och Ilmanen ställde, men den bygger på ett annat sätt att mäta skillnaden mellan former. Istället för att överväga det maximala avståndet mellan två former, som avståndet Gromov-Hausdorff gör, frågar Lee-Sormani-metoden om utrymmets volym mellan dem. Ju mindre volym, desto närmare är de.

Song hoppas under tiden kunna undersöka grundläggande frågor om skalär krökning som inte är motiverade av fysik. "I den allmänna relativitetsteorien," sa han, "har vi att göra med mycket speciella utrymmen som är nästan platta i oändligheten, men i geometrin bryr vi oss om alla typer av utrymmen."

"Det finns hopp om att dessa tekniker kan vara av värde i andra miljöer" som inte är relaterade till allmän relativitetsteori, sa Stern. "Det finns en stor familj av relaterade problem," sa han, som väntar på att bli utforskad.

Quanta genomför en serie undersökningar för att bättre betjäna vår publik. Ta vår matematikläsarundersökning och du kommer att delta för att vinna gratis Quanta merch.