I början av 1950-talet påbörjade en grupp forskare vid Institutet för avancerade studier ett högteknologiskt projekt. Vid befallning av John von Neumann och Herman Goldstine programmerade fysikern Hedvig Selberg IAS:s dator med 1,700 18 vakuumrör för att beräkna märkliga matematiska summor vars ursprung sträckte sig tillbaka till XNUMX-talet.
Summorna var relaterade till kvadratiska Gauss-summor, uppkallade efter den berömda matematikern Carl Friedrich Gauss. Gauss skulle välja något primtal p, summera sedan tal av formen $latex e^{frac{2iπn^2}{p}}$. Sedan starten har kvadratiska Gauss-summor visat sig ovärderliga för uppgifter som att räkna lösningar på vissa typer av ekvationer. "Det visar sig att Gauss-summor är magiska, att de bara gör underbara saker för Gud vet vilken anledning," sa Jeffrey Hoffstein, en matematiker vid Brown University.
I mitten av 19-talet lekte den tyske matematikern Ernst Eduard Kummer med en nära släkting till dessa kvadratiska Gauss-summor, där n2 i exponenten ersätts med en n3. Kummer märkte att de tenderade att samla nära speciella värden i en överraskande grad - en skarp observation som skulle leda till århundraden av undersökningar i talteori.
Om kubiska Gauss-summor inte omarbetas till en enklare formel är deras värden svåra att sluta sig till. I brist på en sådan formel satte Kummer igång med att beräkna kubikgaussummor - och beräkna och beräkna. "Det var väldigt vanligt att de gjorde den här typen av heroiska beräkningar för hand då," sa Matthew Young, en matematiker vid Texas A&M University. Efter att ha plöjt igenom 45 summor, motsvarande de första 45 icke-triviala primtalen, gav Kummer till slut upp.
När han undersökte sina resultat, märkte Kummer något intressant. I teorin kan summorna vara allt mellan -1 och 1 (efter att ha "normaliserats" - dividerat med en lämplig konstant). Men när han gjorde beräkningarna upptäckte han att de fördelades på ett udda sätt. Hälften av resultaten var mellan ½ och 1, och endast en sjättedel av dem var mellan −1 och −½. De verkade samlas runt 1.
Kummer lade fram sina observationer, tillsammans med en gissning: Om du på något sätt lyckades plotta alla de oändligt många kubik Gauss-summorna, skulle du se de flesta av dem mellan ½ och 1; färre mellan −½ och ½; och ännu färre mellan −1 och −½.
Selberg, von Neumann och Goldstine gav sig i kast med att testa detta på sin tidiga dator. Selberg programmerade den för att beräkna kubiska Gauss-summorna för alla icke-triviala primtal mindre än 10,000 600 - runt 1 summor totalt. (Goldstine och von Neumann fortsatte med att författa tidningen; hennes bidrag skulle hamna förpassade till en linje av erkännande i slutet.) De upptäckte att när primtalstalen blev större, blev de normaliserade summorna mindre benägna att samlas nära XNUMX. Med Övertygande bevis för att Kummers gissning var fel, började matematiker försöka förstå kubik Gauss summor på ett djupare sätt som gick utöver enbart beräkning.
Den processen är nu klar. 1978, matematikern Samuel Patterson vågade en lösning på Kummers matematiska mysterium, men kunde inte bevisa det. Sedan i höstas bevisade två matematiker från California Institute of Technology Pattersons gissning, och äntligen avslutade Kummers funderingar från 1846.
Patterson fastnade först för problemet som doktorand vid University of Cambridge på 1970-talet. Hans gissning motiverades av vad som händer när siffror placeras slumpmässigt någonstans mellan −1 och 1. Om du lägger ihop N av dessa slumpmässiga tal kommer den typiska storleken på summan att vara $latexsqrt{N}$ (den kan vara positiv eller negativ). På samma sätt, om kubik Gauss summor var jämnt spridda från −1 till 1, skulle du förvänta dig N av dem för att lägga till ungefär $latexsqrt{N}$.
Med detta i åtanke lade Patterson till N kubiska Gauss-summor, ignorerar (för tillfället) kravet att hålla sig till primtalen. Han fann att summan var runt N5/6 — större än $latexsqrt{N}$ (som kan skrivas som N1/2), men mindre än N. Detta värde antydde att summorna betedde sig som slumpmässiga tal men med en svag kraft som pressade dem mot positiva värden, kallad bias. Som N blev större och större, skulle slumpmässigheten börja överväldiga biasen, och så om du på något sätt tittade på alla de oändligt många kubik Gauss-summorna på en gång, skulle de verka jämnt fördelade.
Detta förklarade till synes allt: Kummers beräkningar som visar en bias, såväl som IAS-beräkningarna som motbevisar en.
Men Patterson kunde inte göra samma beräkningar för primtal, så 1978 skrev han officiellt ner det som en gissa: Om du lägger ihop de kubikiga Gausssummorna för primtal bör du få samma N5/6 beteende.
Strax efter att ha hållit ett föredrag om sitt arbete med Kummer-problemet, kontaktades Patterson av en doktorand vid namn Roger Heath-Brown, som föreslog att man skulle införliva tekniker från primtalsteorin. De två slog sig ihop och snart publicerade ett förskott på problemet, men de kunde fortfarande inte visa att Pattersons förutspådde N5/6 bias var korrekt för primtal.
Under de efterföljande decennierna gjordes små framsteg. Äntligen, vid millennieskiftet, gjorde Heath-Brown ännu en genombrott, där ett verktyg han hade utvecklat kallat den kubiska stora sikten spelade en viktig roll.
För att använda den kubiska stora sikten använde Heath-Brown en serie beräkningar för att relatera summan av kubiska Gauss-summor till en annan summa. Med det här verktyget kunde Heath-Brown visa att om du lägger ihop de kubikiga Gausssummorna för primtal mindre än N, resultatet kan inte bli mycket större än N5/6. Men han trodde att han kunde göra bättre — att själva sållen kunde förbättras. Om det kunde, skulle det sänka gränsen till N5/6 exakt, vilket bevisar Pattersons gissning. I en kort textrad skissade han upp vad han trodde att den bästa möjliga formeln för sållen skulle vara.
Även med detta nya verktyg i handen kunde matematiker inte gå vidare. Sedan två decennier senare, ett lyckligt möte mellan Caltech postdoc Alexander Dunn och hans handledare Maksym Radziwiłł markerade början på slutet. Innan Dunn började sin tjänst i september 2020 föreslog Radziwiłł att de skulle arbeta på Pattersons gissningar tillsammans. Men med Covid-19-pandemin som fortfarande rasar fortsatte forskning och undervisning på distans. Slutligen, i januari 2021, ingrep slumpen – eller ödet – när de två matematikerna oväntat stötte på varandra på en parkeringsplats i Pasadena. "Vi pratade hjärtligt och vi kom överens om att vi skulle börja träffas och prata matematik", skrev Dunn i ett mejl. I mars arbetade de flitigt på ett bevis på Pattersons gissningar.
"Det var spännande att arbeta med, men extremt hög risk", sa Dunn. "Jag menar, jag minns att jag kom till mitt kontor ungefär klockan 5 varje morgon rakt av i fyra eller fem månader."
Dunn och Radziwiłł, liksom Heath-Brown före dem, fann den kubiska stora sikten oumbärlig för deras bevis. Men när de använde formeln som Heath-Brown hade skrivit ner i sin uppsats från 2000 – den som han trodde var den bästa möjliga sållen, en gissning som sifferteoretisk grupp hade kommit att tro var sann – insåg de att något inte stod rätt till. . "Vi kunde bevisa att 1 = 2, efter mycket, mycket komplicerat arbete," sa Radziwiłł.
Vid den tidpunkten var Radziwiłł säker på att misstaget var deras. "Jag var ganska övertygad om att vi i princip har ett fel i vårt bevis." Dunn övertygade honom om annat. Den kubiska stora sållen gick mot förmodan inte att förbättra.
Beväpnade med den kubiska stora siktens rätta kalibrering omkalibrerade Dunn och Radziwiłł sin inställning till Pattersons gissningar. Den här gången lyckades de.
"Jag tror att det var den främsta anledningen till att ingen gjorde det här, eftersom denna [Heath-Brown] gissning vilseledde alla", sa Radziwiłł. "Jag tror att om jag berättade för Heath-Brown att hans gissning är fel, så skulle han förmodligen komma på hur han skulle göra det."
Dunn och Radziwiłł publicerade sin artikel den 15 september 2021. I slutändan förlitade sig deras bevis på den generaliserade Riemann-hypotesen, en berömd obevisad gissning i matematik. Men andra matematiker ser detta bara som en mindre nackdel. ”Vi skulle vilja bli av med hypotesen. Men vi är glada över att ha ett resultat som ändå är villkorat”, sa Heath-Brown, som nu är professor emeritus vid University of Oxford.
För Heath-Brown är Dunn och Radziwiłłs arbete mer än bara ett bevis på Pattersons gissningar. Med sin oväntade insikt i den kubiska stora sållen fick deras papper ett överraskande slut på en berättelse han har varit del av i decennier. "Jag är glad att jag faktiskt inte skrev i min tidning, 'Jag är säker på att man kan bli av med det här'", sa han och syftade på den bit av sållen som Dunn och Radziwiłł upptäckte var avgörande. "Jag sa bara," Det skulle vara trevligt om man kan bli av med det här. Det verkar möjligt att du borde kunna. Och jag hade fel - inte för första gången."
