Färgläggning med siffror avslöjar aritmetiska mönster i bråk

Ett år efter att han började sin doktorsexamen. i matematik vid McGill University hade Matt Bowen ett problem. "Jag tog mina kvalificerande prov och gjorde det helt fruktansvärt på dem," sa han. Bowen var säker på att hans poäng inte speglade hans matematiska färdigheter, och han bestämde sig för att bevisa det. I höstas gjorde han, när han och hans rådgivare, Marcin Sabok, gjorde ett stort framsteg inom det område som kallas Ramsey teori.

I nästan ett sekel har Ramsey-teoretiker samlat bevis på att matematisk struktur kvarstår under fientliga omständigheter. De kan bryta isär stora uppsättningar av tal som heltal eller bråk, eller skära upp kopplingarna mellan punkter i ett nätverk. De hittar sedan sätt att bevisa att vissa strukturer är oundvikliga, även om du försöker undvika att skapa dem genom att bryta eller skiva på ett smart sätt.

När Ramsey-teoretiker talar om att dela upp en uppsättning siffror använder de ofta färgspråket. Välj flera färger: röd, blå och gul, till exempel. Tilldela nu en färg till varje nummer i en samling. Även om du gör detta på ett slumpmässigt eller kaotiskt sätt, kommer vissa mönster oundvikligen att dyka upp så länge du bara använder ett ändligt antal olika färger, även om det antalet är mycket stort. Ramsey-teoretiker försöker hitta dessa mönster och letar efter strukturerade uppsättningar av tal som är "monokromatiska", vilket betyder att deras element alla har tilldelats samma färg.

De första färgningsresultaten går tillbaka till slutet av 19-talet. År 1916 hade Issai Schur bevisat att hur man än färgar de positiva heltalen (även kända som naturliga tal), kommer det alltid att finnas ett par tal x och y Så att x, y, och deras summa x+y är alla i samma färg. Under hela 20-talet fortsatte matematiker att arbeta med färgproblem. 1974, Neil Hindman utökade Schurs resultat att inkludera en oändlig delmängd av heltalen. Liksom Schurs teorem gäller Hindmans oavsett hur de naturliga talen är färgade (med ett ändligt antal kritor). Inte bara har dessa heltal i Hindmans uppsättning samma färg, men om du summerar någon samling av dem kommer resultatet också att bli den färgen. Sådana mängder liknar de jämna talen genom att precis som vilken summa som helst av jämna tal alltid är jämn, så skulle även summan av alla tal i en av Hindmans mängder ingå i den mängden.

"Hindmans teorem är ett fantastiskt stycke matematik," sa Sabok. "Det är en historia som vi kan göra en film av."

Men Hindman trodde att mer var möjligt. Han trodde att man kunde hitta en godtyckligt stor (men ändlig) monokromatisk uppsättning som innehöll inte bara summan av dess medlemmar, utan också produkterna. "Jag har hävdat i årtionden att det är ett faktum," sa han och tillade: "Jag hävdar inte att jag kan bevisa det."

Hindmans gissning

Om du ger upp på summan och bara vill säkerställa att produkterna har samma färg, är det enkelt att anpassa Hindmans sats genom att använda exponentiering för att omvandla summor till produkter (ungefär som en skjutregel gör).

Att brottas med summor och produkter samtidigt är dock långt tuffare. "Det är väldigt svårt att få de två att prata med varandra," sa Joel Moreira, en matematiker vid University of Warwick. "Att förstå hur addition och multiplikation relaterar - detta är på sätt och vis grunden för all talteori, nästan."

Även en enklare version som Hindman först föreslog på 1970-talet visade sig vara utmanande. Han antog att varje färgning av de naturliga talen måste innehålla en monokromatisk uppsättning av formen {x, y, xy, x+y} — två siffror x och y, samt deras summa och produkt. "Människor har egentligen inte gjort några framsteg på det här problemet på decennier," sa Bowen. "Och så plötsligt, runt 2010, började folk bevisa mer och mer saker om det."

Bowen lärde sig om {x, y, xy, x+y} problem 2016, hans andra termin på college, när en av hans professorer vid Carnegie Mellon University beskrev problemet i klassen. Bowen slogs av dess enkelhet. "Det är en av de här coola sakerna där det är som, ja, jag kan inte mycket matematik, men jag kan typ förstå det här," sa han.

2017, Moreira visat den där dig Kan alltid hitta en monokromatisk uppsättning som innehåller tre av de fyra önskade elementen: x, xyoch x + y. Under tiden började Bowen slentrianmässigt pyssla med frågan under sitt sista år. "Jag kunde faktiskt inte lösa problemet", sa han. "Men jag skulle komma tillbaka till det var sjätte månad eller så." Efter hans dåliga uppvisning på sin Ph.D. kvalificerade prov 2020 fördubblade han sina insatser. Några dagar senare hade han bevisat {x, y, xy, x+y} gissningar för fallet med två färger, ett resultat som Ron Graham hade bevisat redan på 1970-talet med hjälp av en dator.

Med den framgången arbetade Bowen med Sabok för att utöka resultatet till valfritt antal färger. Men de fastnade snabbt i tekniska detaljer. "Komplexiteten i problemet växer helt utom kontroll när antalet färger är stort," sa Sabok. I 18 månader försökte de komma ur sig själva, utan lycka. "Under detta och ett halvt år hade vi ungefär en miljon felaktiga bevis," sa Sabok.

En svårighet i synnerhet hindrade de två matematikerna från att gå vidare. Om du väljer två heltal slumpmässigt kommer du förmodligen inte att kunna dela dem. Division fungerar bara i de sällsynta fall där det första talet är en multipel av det andra. Detta visade sig vara extremt begränsande. Med den insikten svängde Bowen och Sabok om att bevisa {x, y, xy, x+y} gissningar i de rationella talen (som matematiker kallar bråk) istället. Där kan siffror delas med uppgivenhet.

Bowen och Saboks bevis är som mest elegant när alla inblandade färger förekommer ofta i de rationella talen. Färger kan visas "ofta" på flera olika sätt. De kan var och en täcka stora delar av tallinjen. Eller så kan det betyda att du inte kan resa för långt längs tallinjen utan att se varje färg. Vanligtvis överensstämmer dock inte färgerna med sådana regler. I de fallen kan du fokusera på små områden inom de rationella talen där färgerna förekommer oftare, förklarade Sabok. "Det är här huvuddelen av arbetet kom", sa han.

I oktober 2022 publicerade Bowen och Sabok ett bevis på att om du färgar de rationella talen med ändligt många färger kommer det att finnas en uppsättning av formen {x, y, xy, x+y} vars element alla har samma färg. "Det är ett otroligt smart bevis," sa Imre ledare vid University of Cambridge. "Den använder kända resultat. Men den kombinerar dem på ett helt briljant, väldigt originellt, väldigt innovativt sätt.”

Många frågor kvarstår. Kan ett tredje nummer z läggas till samlingen, tillsammans med efterföljande summor och produkter? Att tillfredsställa Hindmans djärvaste förutsägelser skulle innebära att lägga till ett fjärde, ett femte och så småningom godtyckligt många nya nummer till sekvensen. Det skulle också kräva att man flyttade från de rationella talen till de naturliga talen och att man hittade en väg runt uppdelningsgåtan som hindrade Bowen och Saboks ansträngningar.

Leader tror att med Moreira, Bowen och Sabok som alla arbetar med problemet, kanske det beviset inte är långt borta. "De här killarna verkar särskilt briljanta på att hitta nya sätt att göra saker på," sa han. "Så jag är ganska optimistisk att de eller några av deras kollegor kan hitta det."

Sabok är mer försiktig i sina förutsägelser. Men han utesluter ingenting. "En av tjusningarna med matematik är att innan du får ett bevis är allt möjligt," sa han.