1Institutionen för matematik, Duke University, Durham, NC 27708, USA
2Institutionen för elektro- och datateknik, Institutionen för datavetenskap, Duke University, NC 27708, USA
Hitta det här uppsatsen intressant eller vill diskutera? Scite eller lämna en kommentar på SciRate.
Abstrakt
Utmaningen med kvantberäkning är att kombinera felresiliens med universell beräkning. Diagonala grindar som den transversala $T$-porten spelar en viktig roll för att implementera en universell uppsättning kvantoperationer. Denna artikel introducerar ett ramverk som beskriver processen att förbereda ett kodtillstånd, applicera en diagonal fysisk grind, mäta ett kodsyndrom och tillämpa en Pauli-korrigering som kan bero på det uppmätta syndromet (den genomsnittliga logiska kanalen inducerad av en godtycklig diagonal gate) . Den fokuserar på CSS-koder och beskriver interaktionen mellan kodtillstånd och fysiska grindar i termer av generatorkoefficienter som bestäms av den inducerade logiska operatorn. Interaktionen mellan kodtillstånd och diagonala grindar beror mycket starkt på tecknen på $Z$-stabilisatorer i CSS-koden, och det föreslagna generatorkoefficientramverket inkluderar uttryckligen denna frihetsgrad. Papperet härleder nödvändiga och tillräckliga villkor för att en godtycklig diagonal grind ska bevara kodutrymmet för en stabilisatorkod, och tillhandahåller ett explicit uttryck för den inducerade logiska operatorn. När diagonalgrinden är en kvadratisk form av diagonalport (introducerad av Rengaswamy et al.), kan villkoren uttryckas i termer av delbarhet av vikter i de två klassiska koder som bestämmer CSS-koden. Dessa koder kan användas i magisk tillståndsdestillation och på andra ställen. När alla tecken är positiva, karakteriserar papperet alla möjliga CSS-koder, invarianta under transversell $Z$-rotation till $pi/2^l$, som är konstruerade från klassiska Reed-Muller-koder genom att härleda de nödvändiga och tillräckliga begränsningarna på $ l$. Generatorkoefficientramverket sträcker sig till godtyckliga stabilisatorkoder men det finns inget att vinna genom att beakta den mer allmänna klassen av icke-degenererade stabilisatorkoder.
Populär sammanfattning
Vi har härlett nödvändiga och tillräckliga villkor för en diagonal gate för att bevara kodutrymmet för en CSS-kod och har tillhandahållit ett explicit uttryck för dess inducerade logiska operator. När den diagonala grinden är en transversell $Z$-rotation genom en vinkel $theta$ härledde vi ett enkelt globalt villkor som kan uttryckas i termer av delbarhet av vikter i de två klassiska koderna som bestämmer CSS-koden. När alla tecken i CSS-koden är positiva har vi visat de nödvändiga och tillräckliga förutsättningarna för Reed-Muller-komponentkoder för att konstruera familjer av CSS-koder invarianta under transversell $Z$-rotation genom $pi/2^l$ för något heltal $ l$.
Generatorkoefficientramverket tillhandahåller ett verktyg för att analysera utvecklingen under en given diagonal gate av stabilisatorkoder med godtyckliga tecken, och hjälper till att karakterisera fler möjliga CSS-koder som kan användas i magiskt tillståndsdestillation.
► BibTeX-data
► Referenser
[1] Jonas T. Anderson och Tomas Jochym-O'Connor. Klassificering av tvärgående grindar i qubit-stabilisatorkoder. Kvantinformation. Comput., 16(9–10):771–802, juli 2016. doi:10.26421/qic16.9-10-3.
https: / / doi.org/ 10.26421 / qic16.9-10-3
[2] Hussain Anwar, Earl T. Campbell och Dan E Browne. Qutrit magisk tillståndsdestillation. New J. Phys., 14(6):063006, 2012. doi:10.1088/1367-2630/14/6/063006.
https://doi.org/10.1088/1367-2630/14/6/063006
[3] James Axe. Nollor av polynom över ändliga fält. Am. J. Math., 86(2):255–261, 1964. doi:10.2307/2373163.
https: / / doi.org/ 10.2307 / 2373163
[4] Salman Beigi och Peter W Shor. $mathcal{C}_3$, semi-Clifford och generaliserade semi-Clifford-operationer. Quantum Inf. Comput., 10(1&2), 2010. doi:10.26421/QIC10.1-2-4.
https: / / doi.org/ 10.26421 / QIC10.1-2-4
[5] Ingemar Bengtsson, Kate Blanchfield, Earl T. Campbell och Mark Howard. Ordnings 3 symmetri i Clifford-hierarkin. J. Phys. En matte. Theor., 47(45):455302, 2014. doi:10.1088/1751-8113/47/45/455302.
https://doi.org/10.1088/1751-8113/47/45/455302
[6] Yuri L. Borissov. På Mcelieces resultat om delbarheten av vikterna i de binära Reed-Muller-koderna. I Seventh International Workshop, Optimal Codes och relaterade ämnen, sidorna 47–52, 2013. URL: http:///www.moi.math.bas.bg/oc2013/a7.pdf.
http:///www.moi.math.bas.bg/oc2013/a7.pdf
[7] P. Oscar Boykin, Tal Mor, Matthew Pulver, Vwani Roychowdhury och Farrokh Vatan. Om universell och feltolerant kvantberäkning: en ny grund och ett nytt konstruktivt bevis på universalitet för Shors grund. I 40:e år. Symp. Hittades. Comput. Sci. (Cat. No. 99CB37039), sidorna 486–494. IEEE, 1999. doi:10.1109/sffcs.1999.814621.
https://doi.org/ 10.1109/sffcs.1999.814621
[8] Sergey Bravyi, Matthias Englbrecht, Robert König och Nolan Peard. Korrigera sammanhängande fel med ytkoder. Npj Quantum Inf., 4(1):1–6, 2018. doi:10.1038/s41534-018-0106-y.
https: / / doi.org/ 10.1038 / s41534-018-0106-y
[9] Sergey Bravyi och Jeongwan Haah. Magic-state destillation med låg overhead. Phys. Rev. A, 86(5):052329, 2012. doi:10.1103/physreva.86.052329.
https: / ⠀ </ ⠀ <doi.org/†<10.1103 / ⠀ <physreva.86.052329
[10] Sergey Bravyi och Alexei Kitaev. Universell kvantberäkning med perfekta Clifford-portar och bullriga anslutningar. Phys. Rev. A, 71(2):022316, 2005. doi:10.1103/physreva.71.022316.
https: / ⠀ </ ⠀ <doi.org/†<10.1103 / ⠀ <physreva.71.022316
[11] Robert A. Calderbank, Eric M. Rains, Peter W. Shor och Neil JA Sloane. Kvantfelskorrigering via koder över ${GF}$(4). IEEE Trans. Inf. Theory, 44(4):1369–1387, 1998. doi:10.1109/isit.1997.613213.
https: / / doi.org/ 10.1109 / isit.1997.613213
[12] Robert A. Calderbank och Peter W. Shor. Det finns bra kvantfelskorrigerande koder. Phys. Rev. A, 54:1098–1105, aug 1996. doi:10.1103/physreva.54.1098.
https: / ⠀ </ ⠀ <doi.org/†<10.1103 / ⠀ <physreva.54.1098
[13] Earl T. Campbell, Hussain Anwar och Dan E Browne. Magic-state destillation i alla prime dimensioner med hjälp av quantum Reed-Muller-koder. Phys. Rev. X, 2(4):041021, 2012. doi:10.1103/physrevx.2.041021.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevx.2.041021
[14] Earl T. Campbell och Mark Howard. Enhetlig ram för magisk tillståndsdestillation och multiqubit-grindsyntes med reducerad resurskostnad. Phys. Rev. A, 95(2):022316, 2017. doi:10.1103/physreva.95.022316.
https: / ⠀ </ ⠀ <doi.org/†<10.1103 / ⠀ <physreva.95.022316
[15] Shawn X. Cui, Daniel Gottesman och Anirudh Krishna. Diagonala grindar i Clifford-hierarkin. Phys. Rev. A, 95(1):012329, 2017. doi:10.1103/physreva.95.012329.
https: / ⠀ </ ⠀ <doi.org/†<10.1103 / ⠀ <physreva.95.012329
[16] Dripto M. Debroy, Laird Egan, Crystal Noel, Andrew Risinger, Daiwei Zhu, Debopriyo Biswas, Marko Cetina, Chris Monroe och Kenneth R. Brown. Optimering av stabilisatorpariteter för förbättrade logiska qubit-minnen. Phys. Rev. Lett., 127(24), dec 2021. doi:10.1103/physrevlett.127.240501.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevlett.127.240501
[17] Bryan Eastin och Emanuel Knill. Restriktioner för transversellt kodade kvantgrinduppsättningar. Phys. Rev. Lett., 102(11):110502, 2009. doi:10.1103/physrevlett.102.110502.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevlett.102.110502
[18] Daniel Gottesman. Stabilisatorkoder och kvantfelskorrigering. California Institute of Technology, 1997. doi:10.48550/arXiv.quant-ph/9705052.
https:///doi.org/10.48550/arXiv.quant-ph/9705052
arXiv: kvant-ph / 9705052
[19] Daniel Gottesman. Heisenberg-representationen av kvantdatorer. arXiv preprint quant-ph/9807006, 1998. doi:10.48550/arXiv.quant-ph/9807006.
https:///doi.org/10.48550/arXiv.quant-ph/9807006
arXiv: kvant-ph / 9807006
[20] Daniel Gottesman och Isaac L. Chuang. Demonstrera genomförbarheten av universell kvantberäkning med hjälp av teleportering och en-qubit-operationer. Nature, 402(6760):390–393, 1999. doi:10.1038/46503.
https: / / doi.org/ 10.1038 / 46503
[21] Jeongwan Haah. Torn av generaliserade delbara kvantkoder. Phys. Rev. A, 97(4):042327, 2018. doi:10.1103/physreva.97.042327.
https: / ⠀ </ ⠀ <doi.org/†<10.1103 / ⠀ <physreva.97.042327
[22] Jeongwan Haah och Matthew B. Hastings. Koder och protokoll för destillering av $ t $, kontrollerade-$ s $ och toffoli-portar. Quantum, 2:71, 2018. doi:10.22331/q-2018-06-07-71.
https://doi.org/10.22331/q-2018-06-07-71
[23] Jingzhen Hu, Qingzhong Liang, Narayanan Rengaswamy och Robert Calderbank. Dämpar sammanhängande buller genom att balansera vikt-$2$ $Z$-stabilisatorer. IEEE Trans. Inf. Theory, 68(3):1795–1808, 2022. doi:10.1109/tit.2021.3130155.
https: / / doi.org/ 10.1109 / tit.2021.3130155
[24] Emanuel Knill, Raymond Laflamme och Wojciech Zurek. Noggrannhetströskel för kvantberäkning. arXiv quant-ph/9610011, 1996. doi:10.48550/arXiv.quant-ph/9610011.
https:///doi.org/10.48550/arXiv.quant-ph/9610011
arXiv: kvant-ph / 9610011
[25] Anirudh Krishna och Jean-Pierre Tillich. Mot låg overhead magisk destillation. Phys. Rev. Lett., 123(7):070507, 2019. doi:10.1103/physrevlett.123.070507.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevlett.123.070507
[26] Andrew J. Landahl och Chris Cesare. Komplex instruktionsuppsättning beräkningsarkitektur för att utföra exakta kvant $ z $-rotationer med mindre magi. arXiv preprint arXiv:1302.3240, 2013. doi:10.48550/arXiv.1302.3240.
https:///doi.org/10.48550/arXiv.1302.3240
arXiv: 1302.3240
[27] Florence J. MacWilliams. Ett sats om viktfördelningen i en systematisk kod. Bell Labs Tech. J., 42(1):79–94, januari 1963. doi:10.1002/j.1538-7305.1963.tb04003.x.
https: / / doi.org/ 10.1002 / j.1538-7305.1963.tb04003.x
[28] Florence J. MacWilliams och Neil JA Sloane. Theory of error correcting codes, volym 16. Elsevier, 1977.
[29] Robert J. McEliece. På periodiska sekvenser från GF($q$). J. Comb. Teori Ser. A., 10(1):80–91, 1971. doi:10.1016/0097-3165(71)90066-5.
https://doi.org/10.1016/0097-3165(71)90066-5
[30] Robert J. McEliece. Viktkongruenser för p-ary cykliska koder. Discrete Math, 3(1):177–192, 1972. doi:10.1016/0012-365X(72)90032-5.
https://doi.org/10.1016/0012-365X(72)90032-5
[31] Sepehr Nezami och Jeongwan Haah. Klassificering av små triortogonala koder. Phys. Rev. A, 106:012437, juli 2022. doi:10.1103/PhysRevA.106.012437.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.106.012437
[32] Michael A. Nielsen och Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information: 10th Anniversary Edition. Cambridge University Press, 2011.
[33] Tefjol Pllaha, Narayanan Rengaswamy, Olav Tirkkonen och Robert A. Calderbank. Un-weyl-ing Clifford hierarkin. Quantum, 4:370, 2020. doi:10.22331/q-2020-12-11-370.
https://doi.org/10.22331/q-2020-12-11-370
[34] Ben W. Reichardt. Kvantuniversalitet från magiska tillståndsdestillation tillämpas på css-koder. Quantum Inf. Process., 4(3):251–264, 2005. doi:10.1007/s11128-005-7654-8.
https://doi.org/10.1007/s11128-005-7654-8
[35] Narayanan Rengaswamy, Robert A. Calderbank, Michael Newman och Henry D. Pfister. Om optimalitet för CSS-koder för transversal $T$. IEEE J. Sel. Områden i Inf. Theory, 1(2):499–514, 2020. doi:10.1109/jsait.2020.3012914.
https://doi.org/ 10.1109/jsait.2020.3012914
[36] Narayanan Rengaswamy, Robert A. Calderbank och Henry D. Pfister. Att förena Clifford-hierarkin via symmetriska matriser över ringar. Phys. Rev. A, 100(2):022304, 2019. doi:10.1103/physreva.100.022304.
https: / ⠀ </ ⠀ <doi.org/†<10.1103 / ⠀ <physreva.100.022304
[37] AM Steane. Enkla kvantfelkorrigerande koder. Phys. Rev. A, 54(6):4741–4751, 1996. doi:10.1103/PhysRevA.54.4741.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.54.4741
[38] Michael Vasmer och Aleksander Kubica. Morphing kvantkoder. PRX Quantum, 3(3), aug 2022. doi:10.1103/prxquantum.3.030319.
https: / / doi.org/ 10.1103 / prxquantum.3.030319
[39] Christophe Vuillot och Nikolas P. Breuckmann. Quantum pin-koder. IEEE Trans. Inf. Theory, 68(9):5955–5974, sep 2022. doi:10.1109/tit.2022.3170846.
https: / / doi.org/ 10.1109 / tit.2022.3170846
[40] Mark M Wilde. Kvantinformationsteori. Cambridge University Press, 2013.
[41] Paolo Zanardi och Mario Rasetti. Ljudfria kvantkoder. Phys. Rev. Lett., 79(17):3306, 1997. doi:10.1103/PhysRevLett.79.3306.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.79.3306
[42] Bei Zeng, Xie Chen och Isaac L. Chuang. Semi-Clifford-operationer, struktur av $mathcal{C}_k$-hierarki och grindkomplexitet för feltolerant kvantberäkning. Phys. Rev. A, 77(4):042313, 2008. doi:10.1103/physreva.77.042313.
https: / ⠀ </ ⠀ <doi.org/†<10.1103 / ⠀ <physreva.77.042313
[43] Bei Zeng, Andrew Cross och Isaac L. Chuang. Transversalitet kontra universalitet för additiva kvantkoder. IEEE Trans. Inf. Theory, 57(9):6272–6284, 2011. doi:10.1109/tit.2011.2161917.
https: / / doi.org/ 10.1109 / tit.2011.2161917
Citerad av
[1] Jingzhen Hu, Qingzhong Liang, Narayanan Rengaswamy och Robert Calderbank, "Mitigating Coherent Noise by Balancing Weight-2 $Z$-Stabilizers", arXiv: 2011.00197.
[2] Jingzhen Hu, Qingzhong Liang och Robert Calderbank, "Climbing the Diagonal Clifford Hierarchy", arXiv: 2110.11923.
[3] Jingzhen Hu, Qingzhong Liang och Robert Calderbank, "Divisible Codes for Quantum Computation", arXiv: 2204.13176.
Ovanstående citat är från SAO / NASA ADS (senast uppdaterad framgångsrikt 2022-09-08 15:11:47). Listan kan vara ofullständig eftersom inte alla utgivare tillhandahåller lämpliga och fullständiga citatdata.
Det gick inte att hämta Crossref citerade data under senaste försöket 2022-09-08 15:11:45: Det gick inte att hämta citerade data för 10.22331 / q-2022-09-08-802 från Crossref. Detta är normalt om DOI registrerades nyligen.
Detta papper publiceras i Quantum under Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) licens. Upphovsrätten kvarstår med de ursprungliga upphovsrättsinnehavarna som författarna eller deras institutioner.
