Hur stor är Infinity?

I slutet av Marvels storfilm Avengers: Endgame, ett förinspelat hologram av Tony Stark tar farväl av sin unga dotter genom att säga: "Jag älskar dig 3,000 XNUMX." Det rörande ögonblicket ekar en tidigare scen där de två är engagerade i den lekfulla läggdagsritualen att kvantifiera sin kärlek till varandra. Enligt Robert Downey Jr., skådespelaren som spelar Stark, var repliken inspirerad av liknande utbyten med hans egna barn.

Spelet kan vara ett roligt sätt att utforska stora antal:

"Jag älskar dig 10."

"Men jag älskar dig 100."

"Tja, jag älskar dig 101!"

Det var precis så "googolplex" blev ett populärt ord i mitt hem. Men vi vet alla vart detta argument i slutändan leder:

"Jag älskar dig i det oändliga!"

"Åh ja? Jag älskar dig oändlighet plus 1!"

Oavsett om det är på lekplatsen eller vid läggdags, möter barn begreppet oändlighet långt före mattelektionen, och de utvecklar förståeligt nog en fascination för detta mystiska, komplicerade och viktiga koncept. Några av dessa barn växer upp och blir matematiker fascinerade av oändligheten, och några av dessa matematiker upptäcker nya och överraskande saker om oändligheten.

Du kanske vet att vissa uppsättningar av tal är oändligt stora, men visste du att vissa oändligheter är större än andra? Och att vi inte är säkra på om det finns andra oändligheter mellan de två vi känner bäst? Matematiker har funderat över denna andra fråga i minst ett sekel, och en del nyare arbeten har förändrat hur människor tänker om frågan.

För att ta itu med frågor om storleken på oändliga mängder, låt oss börja med set som är lättare att räkna. En mängd är en samling objekt, eller element, och en ändlig mängd är bara en mängd som innehåller ändligt många objekt.

Det är enkelt att bestämma storleken på en ändlig mängd: Räkna bara antalet element som den innehåller. Eftersom uppsättningen är ändlig vet du att du slutar räkna så småningom, och när du är klar vet du storleken på din uppsättning.

Denna strategi fungerar inte med oändliga uppsättningar. Här är uppsättningen naturliga tal, som betecknas ℕ. (Vissa kanske hävdar att noll inte är ett naturligt tal, men den debatten påverkar inte våra undersökningar av oändligheten.)

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,5,...}$

Vad är storleken på denna uppsättning? Eftersom det inte finns något största naturliga tal, kommer det inte att fungera att försöka räkna antalet element. En lösning är att helt enkelt förklara att storleken på denna oändliga mängd är "oändlig", vilket inte är fel, men när du börjar utforska andra oändliga mängder inser du att det inte är helt rätt heller.

Betrakta mängden reella tal, som är alla tal som kan uttryckas i en decimalexpansion, som 7, 3.2, −8.015, eller en oändlig expansion som $latexsqrt{2} = 1.414213...$. Eftersom varje naturligt tal också är ett reellt tal, är mängden reella minst lika stor som mängden naturliga tal, och måste därför också vara oändlig.

Men det finns något otillfredsställande med att förklara storleken på mängden reella tal som samma "oändlighet" som används för att beskriva storleken på de naturliga talen. För att se varför, välj två valfria tal, som 3 och 7. Mellan dessa två tal kommer det alltid att finnas ändligt många naturliga tal: Här är det talen 4, 5 och 6. Men det kommer alltid att finnas oändligt många reella tal mellan dem, tal som 3.001, 3.01, π, 4.01023, 5.666... ​​och så vidare.

Anmärkningsvärt nog, oavsett hur nära två distinkta reella tal är varandra, kommer det alltid att finnas oändligt många reella tal emellan. Detta betyder i sig inte att mängderna av reella tal och naturliga tal har olika storlek, men det tyder på att det är något fundamentalt annorlunda med dessa två oändliga mängder som motiverar ytterligare undersökning.

Matematikern Georg Cantor undersökte detta i slutet av 19-talet. Han visade att dessa två oändliga uppsättningar verkligen har olika storlekar. För att förstå och uppskatta hur han gjorde det måste vi först förstå hur man jämför oändliga mängder. Hemligheten är en stapelvara i matematiklektioner överallt: funktioner.

Det finns många olika sätt att tänka på funktioner — funktionsnotation som $latex f(x) = x^2 +1$, grafer över paraboler i det kartesiska planet, regler som "ta ingången och lägg till 3 till den" — men här kommer vi att tänka på en funktion som ett sätt att matcha elementen i en uppsättning med elementen i en annan.

Låt oss ta en av dessa mängder för att vara ℕ, mängden naturliga tal. För den andra uppsättningen, som vi kallar S, tar vi alla de jämna naturliga talen. Här är våra två set:

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,...}$ $latex S= {0,2,4,6,8,...}$

Det finns en enkel funktion som förvandlar elementen i ℕ till elementen i S: $latex f(x) = 2x$. Denna funktion fördubblar helt enkelt sina ingångar, så om vi tänker på elementen i ℕ som ingångarna för $latex f(x)$ (vi kallar uppsättningen av ingångar för en funktion för "domänen"), kommer utgångarna alltid att vara element av S. Till exempel, $latex f(0)=0$, $latex f(1) = 2$, $latex f(2) = 4$, $latex f(3) = 6$ och så vidare.

Du kan visualisera detta genom att rada upp elementen i de två uppsättningarna sida vid sida och använda pilar för att indikera hur funktionen $latex f$ omvandlar indata från ℕ till utgångar i S.

Lägg märke till hur $latex f(x)$ tilldelar exakt ett element av S till varje element av ℕ. Det är vad funktioner gör, men $latex f(x)$ gör det på ett speciellt sätt. Först tilldelar $latex f$ allt in S till något i ℕ. Med hjälp av funktionsterminologi säger vi att varje element i S är "bilden" av ett element av ℕ under funktionen $latex f$. Till exempel är det jämna talet 3,472 XNUMX in S, och vi kan hitta en x i ℕ så att $latex f(x) = 3,472$ (nämligen 1,736). I den här situationen säger vi att funktionen $latex f(x)$ mappar ℕ på S. Ett snyggare sätt att säga det är att funktionen $latex f(x)$ är "surjektiv." Hur du än beskriver det, vad som är viktigt är detta: Eftersom funktionen $latex f(x)$ omvandlar ingångar från ℕ till utgångar i S, ingenting i S blir missad i processen.

Det andra speciella med hur $latex f(x)$ tilldelar utgångar till ingångar är att inga två element i ℕ omvandlas till samma element i S. Om två siffror är olika, är deras dubblar olika; 5 och 11 är olika naturliga tal i ℕ, och deras utdata i S är också olika: 10 och 22. I det här fallet säger vi att $latex f(x)$ är "1-till-1" (även skrivet "1-1"), och vi beskriver $latex f(x)$ som "injektiv." Nyckeln här är att ingenting är inne S används två gånger: Varje element i S är parat med endast ett element i ℕ.

Dessa två funktioner i $latex f(x)$ kombineras på ett kraftfullt sätt. Funktionen $latex f(x)$ skapar en perfekt matchning mellan elementen i ℕ och elementen i S. Det faktum att $latex f(x)$ är "på" betyder att allt i S har en partner i ℕ, och det faktum att $latex f(x)$ är 1-till-1 betyder att ingenting i S har två partners i ℕ. Kort sagt, funktionen $latex f(x)$ parar varje element av ℕ med exakt ett element av S.

En funktion som är både injektiv och surjektiv kallas bijektion, och en bijektion skapar en 1-till-1-överensstämmelse mellan de två uppsättningarna. Detta betyder att varje element i en uppsättning har exakt en partner i den andra uppsättningen, och detta är ett sätt att visa att två oändliga uppsättningar har samma storlek.

Eftersom vår funktion $latex f(x)$ är en bijektion, visar detta att de två oändliga mängderna ℕ och S är av samma storlek. Detta kan tyckas förvånande: trots allt är varje jämnt naturligt tal i sig ett naturligt tal, så ℕ innehåller allt i S och mer. Borde det inte göra ℕ större än S? Om vi ​​hade att göra med ändliga mängder skulle svaret vara ja. Men en oändlig uppsättning kan helt innehålla en annan och de kan fortfarande vara av samma storlek, på ett sätt som "oändlighet plus 1" faktiskt inte är en större mängd kärlek än vanlig gammal "oändlighet". Detta är bara en av de många överraskande egenskaperna hos oändliga uppsättningar.

En ännu större överraskning kan vara att det finns oändliga uppsättningar av olika storlekar. Tidigare undersökte vi de olika karaktärerna hos de oändliga mängderna av reella och naturliga tal, och Cantor bevisade att dessa två oändliga mängder har olika storlekar. Han gjorde det med sitt lysande, och berömda, diagonala argument.

Eftersom det finns oändligt många reella tal mellan två distinkta reella tal, låt oss bara för ögonblicket fokusera på de oändligt många reella talen mellan noll och 1. Vart och ett av dessa tal kan ses som en (möjligen oändlig) decimalexpansion, så här.

Här är $latex a_1, a_2, a_3$ och så vidare bara siffrorna i numret, men vi kräver att inte alla siffror är noll så vi inkluderar inte själva talet noll i vår uppsättning.

Det diagonala argumentet börjar i huvudsak med frågan: Vad skulle hända om en bijektion existerade mellan de naturliga talen och dessa reella tal? Om en sådan funktion fanns skulle de två uppsättningarna ha samma storlek, och du kan använda funktionen för att matcha varje reellt tal mellan noll och 1 med ett naturligt tal. Du kan tänka dig en ordnad lista över matchningarna, så här.

Det geniala med diagonalargumentet är att du kan använda den här listan för att konstruera ett reellt tal som inte kan finnas på listan. Börja bygga ett reellt tal siffra för siffra på följande sätt: Gör den första siffran efter decimalkomman till något annorlunda än $latex a_1$, gör den andra siffran till något annorlunda än $latex b_2$, gör den tredje siffran till något annorlunda än $latex c_3 $, och så vidare.

Detta reella tal definieras av dess förhållande till diagonalen i listan. Finns det på listan? Det kan inte vara den första siffran på listan, eftersom den har en annan första siffra. Det kan inte heller vara den andra siffran på listan, eftersom den har en annan andra siffra. I själva verket kan det inte vara nnummer på den här listan, eftersom den har en annan nsiffran. Och detta är sant för alla n, så detta nya nummer, som är mellan noll och 1, kan inte finnas med på listan.

Men alla reella siffror mellan noll och 1 skulle vara med på listan! Denna motsägelse uppstår från antagandet att det finns en bijektion mellan de naturliga talen och realtalen mellan noll och 1, och därför kan ingen sådan bijektion existera. Detta innebär att dessa oändliga uppsättningar har olika storlekar. Lite mer arbete med funktioner (se övningarna) kan visa att mängden av alla reella tal är lika stor som mängden av alla reella mellan noll och 1, och därför måste de reella, som innehåller de naturliga talen, vara en större oändlig uppsättning.

Den tekniska termen för storleken på en oändlig mängd är dess "kardinalitet". Det diagonala argumentet visar att de reellas kardinalitet är större än de naturliga talens kardinalitet. Kardinaliteten av de naturliga talen skrivs $latex aleph_0$, uttalas "aleph naught." I en vanlig syn på matematik är detta den minsta oändliga kardinal.

Nästa oändliga kardinal är $latex aleph_1$ ("aleph one"), och en enkelt ställd fråga har förvirrat matematiker i mer än ett sekel: Är $latex aleph_1$ kardinaliteten av de reella talen? Med andra ord, finns det några andra oändligheter mellan de naturliga talen och de reella talen? Cantor trodde att svaret var nej - ett påstående som kom att kallas kontinuumhypotes – men han kunde inte bevisa det. I början av 1900-talet ansågs denna fråga så viktig att när David Hilbert satte ihop sin berömda lista över 23 viktiga öppna problem i matematik, var kontinuumhypotesen nummer ett.

Hundra år senare har många framsteg gjorts, men de framstegen har lett till nya mysterier. 1940 den berömda logikern Kurt Gödel bevisade att det, enligt de allmänt accepterade reglerna för mängdteorin, är omöjligt att bevisa att det finns en oändlighet mellan de naturliga talens och realtalens. Det kan tyckas vara ett stort steg mot att bevisa att kontinuumhypotesen är sann, men två decennier senare matematikern Paul Cohen visat att det är omöjligt att bevisa att en sådan oändlighet inte existerar! Det visar sig att kontinuumhypotesen inte kan bevisas på ett eller annat sätt.

Tillsammans etablerade dessa resultat kontinuumhypotesens "oberoende". Detta betyder att de allmänt accepterade reglerna för mängder helt enkelt inte säger tillräckligt för att tala om för oss om det finns en oändlighet mellan de naturliga talen och de reella talen. Men snarare än att avskräcka matematiker i deras strävan efter att förstå oändligheten, har det lett dem i nya riktningar. Matematiker letar nu efter nya grundläggande regler för oändliga mängder som både kan förklara det som redan är känt om oändligheten och hjälpa till att fylla i luckorna.

Att säga "Min kärlek till dig är oberoende av axiomen" kanske inte är lika roligt som att säga "Jag älskar dig oändlighet plus 1", men kanske kommer det att hjälpa nästa generation av oändlighetsälskande matematiker att få en god natts sömn.

övningar

1. Låt $latex T = {1,3,5,7,...}$, mängden positiva udda naturliga tal. Är T större än, mindre än, eller samma storlek som ℕ, mängden naturliga tal?

2. Hitta en 1-till-1-överensstämmelse mellan mängden naturliga tal, ℕ, och mängden heltal $latexmathbb{Z}={…,-3,-2,-1,0,1,2,3, …}$.

3. Hitta en funktion $latex f(x)$ som är en bijektion mellan mängden reella tal mellan noll och 1 och mängden reella tal större än noll.

4. Hitta en funktion som är en bijektion mellan mängden reella tal mellan noll och 1 och mängden av alla reella tal.

Klicka för svar 1:

Klicka för svar 2:

Klicka för svar 3:

Klicka för svar 4: