Hur kan någon tala med säkerhet om oändligheten? Vad kan vi egentligen veta om de mystiska primtalen utan att känna till dem alla? Precis som forskare behöver data för att bedöma sina hypoteser, behöver matematiker bevis för att bevisa eller motbevisa gissningar. Men vad räknas som bevis i den immateriella sfären av talteorin? I det här avsnittet pratar Steven Strogatz med Melanie Matchett Wood, professor i matematik vid Harvard University, för att lära sig hur sannolikhet och slumpmässighet kan hjälpa till att etablera bevis för de lufttäta argument som krävs av matematiker.
Lyssna på Apple Podcasts, Spotify, Google Podcasts, häft, TuneIn eller din favoritpoddapp, eller så kan du streama det från Quanta.
Avskrift
Steven Strogatz (00:02): Jag är Steve Strogatz, och det här är Glädjen över varför, en podcast från Quanta Magazine som tar dig in i några av de största obesvarade frågorna inom matematik och naturvetenskap idag. I det här avsnittet kommer vi att prata om bevis i matematik. Vilka typer av bevis använder matematiker? Vad får dem att misstänka att något kan vara sant, innan de har ett vattentätt bevis?
(00:26) Det kan låta som en paradox, men det visar sig att resonemang baserade på sannolikhetsteori, studiet av slump och slumpmässighet, ibland kan leda till vad matematiker verkligen är ute efter, vilket är säkerhet, inte bara sannolikhet. Till exempel, inom den gren av matematik som kallas talteori, finns det en lång historia av att använda slumpmässighet för att hjälpa matematiker att gissa vad som är sant. Nu används sannolikhet för att hjälpa dem att bevisa vad som är sant.
(00:53) Vi kommer att fokusera här på primtal. Du kommer säkert ihåg primtal, eller hur? Du lärde dig om dem i skolan. Ett primtal är ett heltal större än 1 som bara kan delas med 1 och sig själv. Till exempel 7 eller 11. Det är primtal, men 15 beror inte på att 15 kan delas jämnt med 3 eller 5. Du kan tänka på primtal som ungefär som grundämnena i kemins periodiska system, i betydelsen att de är de odelbara atomerna som utgör alla andra tal.
(01:27) Primtal verkar vara enkla, men några av de största mysterierna i matematik är frågor om primtal. I vissa fall frågor som har funnits i hundratals år. Det är verkligen något väldigt subtilt med primtal. De verkar leva i ett gränsland mellan ordning och slumpmässighet. Min gäst idag kommer att hjälpa oss att förstå mer om karaktären av bevis i matematik, och särskilt hur och varför slumpmässighet kan berätta så mycket om primtal, och varför modeller baserade på sannolikhet kan vara så användbara i framkanten av talteorin. Med mig nu för att diskutera allt detta är Melanie Matchett Wood, professor i matematik vid Harvard University. Välkommen, Melanie!
Melanie Matchett Wood (02:09): Hej, det är bra att prata med dig.
Strogatz (02:11): Det är väldigt bra att prata med dig, jag är ett stort fan. Låt oss prata om matematik och naturvetenskap i relation till varandra eftersom orden ofta används tillsammans, och ändå är teknikerna som vi använder för att komma till bevis och säkerhet i matematik något annorlunda än vad vi försöker göra inom naturvetenskap. Till exempel, när vi pratar om att samla bevis i matematik, hur är det samma eller hur är det annorlunda än att samla bevis med den vetenskapliga metoden inom naturvetenskap?
Trä (02:38): Ett matematiskt bevis är ett absolut lufttätt, fullständigt logiskt argument för att något matematiskt påstående måste vara så och inte kan vara på något annat sätt. Så till skillnad från en vetenskaplig teori - som kan vara den bästa vi har baserat på de bevis vi har idag, men vi kommer att få mer bevis, du vet, under de kommande 10 åren och kanske kommer det att finnas en ny teori - ett matematiskt bevis säger att något uttalande måste vara så, vi kan omöjligen upptäcka att det kommer att vara fel om 10 år, eller 20 år.
Strogatz (03:17): Ja, vilken typ av saker räknas som bevis i matematik?
Trä (03:19): Så du kanske ser att något är sant i många exempel. Och baserat på att det är sant i många exempel, vilket man kanske skulle kunna säga skulle vara bevis för det faktum, du kan göra en gissning, vad matematiker skulle kalla en gissning, en gissning om att något är sant. Men sedan, vad matematiker skulle vilja ha skulle vara ett bevis på att det som du såg fungerade i så många exempel alltid skulle fungera som du påstod.
Strogatz (03:49): Rätt, väldigt annorlunda än bara vikten av bevisen. Det här är ett uttalande om att det finns en anledning till varför något kommer att vara sant för alltid, för alltid, i alla fall.
Trä (03:58): Och inte bara "jaha, jag har tittat på en miljon fall och det är sant i vart och ett av dem." Vilket är en anledning att gissa eller gissa att det alltid är sant. Men i matematik gör vi en skillnad mellan en sådan gissning som kan baseras på många fall eller bevis, och att ha en teorem eller ett bevis, ett argument som säger att det kommer att fungera i alla fall, även de du har inte försökt.
Strogatz (04:25): Nu, är det bara så att matematiker är kräsna till sin natur, eller finns det fall där något som såg ut som om det var sant, upp till ett väldigt stort antal möjligheter, slutade med att inte vara sant utöver något annat stort tal ?
Trä (04:39): Åh, det är en bra fråga. Tja, här är ett exempel som jag gillar, eftersom jag gillar primtalen. Så när du går igenom primtalen – 2, 3, 5, 7 – en av de saker du kan göra, kan du titta och säga, "hej, är de delbara med 2?" Och det visar sig inte vara särskilt intressant. Efter 2 är ingen av dem delbar med 2. De är alla, de är alla udda.
(05:10) Och då kanske du tänker, "ja, är de delbara med 3?" Och naturligtvis, efter 3, kan de inte heller vara delbara med 3, eftersom de är primtal. Men du kanske märker att vissa av dem, när du dividerar dem med 3, får du en återstod av 1, att de är 1 mer än en multipel av 3. Så saker som 7, vilket är 1 mer än 6, eller 13 , vilket är 1 mer än 12. Och några av dessa primtal, som 11 eller 17, vilket är 2 mer än 15, de kommer att ha en återstod av 2 när du dividerar dem med 3, eftersom de är 2 mer än en multipel av 3.
(05:47) Och så man kan tänka på dessa primtal i lag. Lag 1 är alla de som är 1 mer än en multipel av 3 och Lag 2 är alla de som är 2 mer än en multipel av 3. Och när du går igenom primtal och listar primtal, kan du lista alla primtal och du kan räkna upp och se hur många som finns i Team 1 och hur många som är i Team 2. Och om du gjorde det upp till 600 miljarder, vid varje punkt, varje nummer upp till 600 miljarder, skulle du finna att det finns fler lag 2-primtal än lag 1-primtal. Så du kan naturligtvis gissa, baserat på dessa bevis, att det alltid kommer att finnas fler lag 2-primtal än lag 1-primtal.
Strogatz (06:33): Visst. Låter helt som det.
Trä: Det visar sig, vid ett antal runt 608 miljarder-något, jag glömmer det exakta antalet, det ändras.
Strogatz (06:46): Åh, kom igen.
Trä: Japp, det förändras verkligen. Och nu är helt plötsligt lag 1 i ledningen. Så det är en -
Strogatz (06:53): Vänta lite. Vänta, men det här är fantastiskt. Vad - nu, fortsätter de att förändras? Vet vi vad som händer när du fortsätter? Fortsätter de att förändras?
Trä (07:01): Ja, bra fråga. Så det är faktiskt ett teorem att de kommer att byta avledningar oändligt ofta.
Strogatz (07:07): Verkligen?
Trä: Så de kommer att fortsätta handla med leads. Men det är ett riktigt bra exempel att ha i bakhuvudet när du studerar primtal, att bara för att något var sant för de första 600 miljarderna fallen betyder det inte att det alltid kommer att vara sant.
Strogatz (07:25): Åh, wow. Trevlig. Okej. Så, precis som i allmänhet, hur kommer man från en gissning till ett bevis?
Trä (07:31): Det beror mycket på fallet. Jag menar, det finns många fall av matematik där vi har gissningar och vi har inga bevis. Så det finns inte något enkelt recept för att komma från en gissning till ett bevis, annars skulle vi inte ha så många kända öppna problem där, du vet, det finns några - vissa gissningar om att folk tror att något fungerar på ett visst sätt, men vi gör det vet det inte säkert. Men, du vet, ibland kan gissningarna antyda skäl till att något är sant. Ibland är det bara matematisk teori, som bygger på mer och mer matematisk teori som människor har utvecklat i hundratals år, ger oss tillräckligt med verktyg och struktur att arbeta med för att förstå saker som, att vi kommer med ett bevis. Men det är inte så att gissningarna nödvändigtvis leder till beviset. Gissningarna kan inspirera människor att försöka hitta beviset, men hur beviset kommer till kan vara helt skilt från, från själva gissningen.
Strogatz (08:31): Ja, jag är intresserad av att räkna upp, eller lista upp de typer av bevis som saknar bevis, som leder till att folk tror på att det är värt att försöka gå efter ett bevis.
Trä (08:41): Ja, en annan sak som vi kan kalla som bevis som inte bara är exempel skulle vara en heuristik. En heuristik kan vara något som liknar ett argument, förutom vid en mycket lägre standard av rigor. Det är precis som, verkar det okej? Inte "har jag absolut fastställt detta faktum bortom varje skugga av tvivel?" men "gör det - ja, det verkar ganska rimligt." Så en heuristik kan vara ett resonemang som verkar ganska rimligt, du vet, men som faktiskt inte är ett rigoröst argument. Så det är ett slags bevis.
(09:12) Ibland kan man ha en modell som vi tror fångar de väsentliga delarna av det matematiska system vi försöker förstå, och så då skulle du gissa att ditt system har samma beteende som din modell.
Strogatz (09:30): Okej. Vid något tillfälle vill jag höra några exempel på modeller och gissningar och, du vet, i vilken utsträckning de fungerar eller inte fungerar på vissa frågor eller inte andra, men om du inte har något emot det skulle jag gillar att gå tillbaka bara till några små personliga saker, typ, för vi pratar här om siffror, och du är en talteoretiker. Människor kanske inte känner till många talteoretiker i sin vardag. Så jag undrar om du kan berätta för oss vad är talteori, och även, varför tycker du att det är intressant? Varför kom du för att studera det?
Trä (10:02) Tja, talteori är den matematiska studien av hela talen. Så tänk 1, 2, 3, 4, 5. Och i synnerhet en av de viktiga sakerna i hela talen är primtalen. Som du förklarade, precis i början, är de byggstenarna från vilka vi kan, genom multiplikation, bygga upp alla andra siffror. Så eftersom talteorin handlar om alla dessa heltal, handlar den också om deras byggstenar, primtalen och hur andra tal påverkar primtal och hur de är uppbyggda — upp av primtal.
Strogatz (10:37): Så talteori, för våra syften idag, antar jag, kommer att vara studiet av hela talen, med ett särskilt intresse för primtal. Det verkar vara en ganska bra början. Jag antar att det är mer än så. Men det kanske är en bra definition för oss nu. Tror du det?
Trä (10:50): Det är en bra, det är en bra början. Jag menar, därifrån utforskar man ytterligare saker som, ja, vad händer om du börjar överväga talsystem som är mer komplicerade än bara hela talen? Som att du börjar lägga in andra tal, som kvadratroten ur 2, vad händer då med primtal och faktorisering? Du leds till ytterligare frågor. Men ärligt talat, det finns mycket rik och vacker matematik bara i hela talen och primtal.
Strogatz (11:16): Så med det i åtanke, varför tycker du att det är övertygande? Varför gillar du att studera talteori? Vad lockade dig till det?
Trä (11:22): Jag tror att jag gillar att frågorna kan vara så konkreta. Du vet, jag går och pratar med barn i grundskolan. Och jag kan berätta för dem om, du vet, några av de saker som - som jag tänker på. Så, det är roligt för mig att arbeta med något som å ena sidan kan frågorna vara så konkreta, men å andra sidan kan pusslet med att försöka lösa det vara så svårt. Jag menar, folk har försökt svara på frågor om hela talen, om primtal i bokstavligen tusentals år.
(11:54) Och det finns många grenar inom matematiken. En av de viktiga delarna av modern talteori är att för att göra framsteg på dessa envisa gamla frågor som människor har arbetat med så länge, måste man ta in nya idéer och måste knyta kopplingar till andra delar av matematiken. Så även om jag skulle kalla mig en talteoretiker använder jag matematik från alla olika typer av områden. Från att studera, ni vet, geometri och topologi och utrymmens former till sannolikhet och att studera slumpmässighet. Jag använder all slags matematik, men för att försöka säga något om saker som heltal och primtal och faktorisering.
Strogatz (12:36): Ja, jag älskar den där visionen om matematik som denna gigantiska sammanlänkade väv av idéer, och du kan vilja leva i en viss del av den som är din favorit. Men du har nämnt primtal som ett särskilt intresseområde inom talteorin, den mest grundläggande delen av det, egentligen. Vad är svårt med dem? Det är inte klart än, i vår diskussion, vad som är så mystiskt där? Som vi har definierat dem, skulle vi förmodligen kunna fortsätta lista dem, antar jag. Vilka är några av de problem du hänvisar till som är hundratals år gamla?
Trä (13:05): Tja, en av de största och viktigaste frågorna, som kanske är ungefär 120 år gammal eller så, är, sa du, "åh, du kan lista dem. Om du gjorde det, hur många skulle du hitta?” Så låt oss säga att du listade primtalen, upp till hundra, eller tusen, eller hundra tusen, eller en miljon, en miljard. När du listar primtal upp till större och större tal, hur många av dessa tal som du går igenom kommer faktiskt att vara primtal? Så att förstå den kvantiteten är verkligen hjärtat i Riemanns hypotes, som är en av Clay Math Institute Millenniumprisproblem, det finns ett miljonpris för ett svar. Det är en av de mest kända frågorna och vi har ingen aning om hur man gör det, och det handlar egentligen bara om frågan om, när du listar dessa primtal, hur många kommer du att hitta?
Strogatz (13:58): Okej. Det är roligt, eller hur? För när du börjar göra listan, även om någon bara slentrianmässigt började lista siffrorna som är primtal upp till 100 — märker du några roliga saker. Som att först 11 och 13 är de två ifrån varandra. Femton, ja, det fungerar inte, för det är delbart med 2 och 5. Sedan 3, så det är ett gap på 17 nu, mellan 4 och 13. Men då är 17 nära igen. Jag vet inte, jag menar, så avståndet mellan primtalen kan vara lite knasigt. Som att ibland finns det en ganska stor lucka där, och ibland är de precis bredvid varandra, bara två ifrån varandra.
Trä (14:31): Ja, så att förstå att mellanrum och de där luckorna också har varit en stor fråga av intresse. Det har gjorts anmärkningsvärda framsteg under det senaste decenniet när det gäller att förstå avståndet mellan primtal. Men det finns fortfarande en riktigt lockande, grundläggande fråga som vi inte vet svaret på. Så du nämnde att dessa primtal, 11 och 13, bara är två ifrån varandra. Så sådana primtal kallas tvillingprimtal. Vi kunde inte förvänta oss att primtal skulle komma närmare än 2 från varandra eftersom efter 2 måste de alla vara udda. Här är en öppen fråga i matematik, vilket betyder att vi inte vet svaret, och det är: Finns det oändligt många par av tvillingprimtal? Och så här, det finns en gissning, gissningen skulle vara, ja. Jag menar, det finns inte bara en gissning om att "ja, de borde fortsätta för evigt, och det borde alltid finnas fler av dem", utan det finns till och med en gissning om, typ hur många du kommer att hitta när du går. Men det är helt öppet. Så vitt vi vet kan det vara så att när du väl kommer till ett riktigt stort tal så slutar de bara och du hittar inga fler par av tvillingprimtal alls.
Strogatz (15:40): Det är något väldigt poetiskt med det där, gripande, att tanken, typ, att det kan vara slutet på raden någon gång. Jag menar, ingen av oss tror nog på det. Men det är möjligt, antar jag, det är tänkbart att det finns något sista ensamma tvillingpar som myser i mörkret, långt där ute, du vet, på tallinjen.
Trä (15:57): Ja, det kan finnas. Och du vet, som matematiker skulle vi säga, du vet, vi vet inte. Även om du kunde göra en graf när du går längs med hur många du hittade, om du ritar den grafen, ser det ut som att det verkligen går upp och upp i en takt som aldrig skulle vända. Men jag antar att det är en del av skillnaden mellan matematik och naturvetenskap är att vi behåller den skepsisen och säger, ja, vi vet inte. Jag menar, kanske någon gång vänder grafen bara, och det finns inga fler.
Strogatz (16:29): Så, det — jag gillar din bild där av en graf, för jag tror att alla kan relatera till den här idén, att göra ett diagram, att göra någon form av graf. Du vet, tänker på primtal som typ som data. Och så jag tror att det här kanske är ett bra tillfälle för oss att vända oss, att börja prata om sannolikhetsteori. Och det verkar lite konstigt att prata om sannolikhet och statistik i samband med primtal eftersom det inte finns någon chans här. Primtal bestäms av definitionen som vi gav, att de inte är delbara. Men ändå har matematiker och talteoretiker, som du, använt statistiska eller probabilistiska argument när de tänker på primtal. Jag undrar om du skulle kunna skissa något sånt för mig med hjälp av myntvändning, och tillbaka till - det vi pratade om i början, udda nummer och jämna nummer.
Trä (17:14): Okej. Så till skillnad från primtal förstår vi faktiskt mycket väl mönstret av udda och jämna tal. De blir udda, jämna, udda, jämna, förstås. Men antar att vi inte förstod det mönstret. Och vi använder detta för att förstå hur många udda nummer du kan hitta om du tittade på alla siffror upp till en miljon. Du kan föreställa dig, eftersom det finns två möjligheter, ett nummer kan vara udda eller ett nummer kan vara jämnt, att någon kanske gick med och slog ett mynt för varje nummer, och om myntet kom upp i huvudet var numret udda. Och om myntet kom upp i svansar var siffran jämn. Och så kan du få din myntvändande person att gå längs sifferlinjen, vända ett mynt vid varje nummer, och det kommer upp, säg, att antingen förklara den siffran udda eller jämn.
(18:03) Nu är det å ena sidan nonsens. Å andra sidan kommer den myntvändande modellen att få en del saker rätt. Till exempel, om du säger, du vet, ungefär, hur många av siffrorna upp till en miljon är jämna? Vi vet att det ungefärliga antalet myntväxlingar som, säg, kommer upp, om du gör ett stort antal myntvändningar, som en miljon, är ungefär hälften av dem. Och så kan den modellen, hur fånig den än är, fortfarande göra vissa förutsägelser korrekt. Och jag borde säga att det kanske låter dumt, eftersom vi redan vet svaret på den frågan. Tanken är att vi bygger modeller för mer komplicerade mönster, som var primtal förekommer bland siffrorna, istället för bara där oddsen visas.
Strogatz (18:55): Ja. Jag menar, jag tror att vi måste understryka det - hur djupt mystiska primtalen är. Det finns ingen formel för primtal, så som det finns en formel för udda tal. Som om du tänker, åh, kom igen, det här är - vi pratar verkligen om absurda saker här, det är faktiskt väldigt värdefullt att ha dessa statistiska modeller som kan förutsäga egenskaper som är genomsnittliga egenskaper. Liksom analogen av kommer hälften av siffrorna mindre än ett stort tal att vara udda. Detta är något som, när det gäller primtal, är en mycket allvarlig, intressant fråga. Vilken bråkdel av tal mindre än ett stort tal är primtal? Och, som du säger, du kan göra en statistisk modell som stämmer. Och då, samma modell kan användas för att sedan förutsäga hur många tvillingprimtal det skulle vara mindre än ett stort tal? Gör samma modell ett bra jobb i så fall?
Trä (19:41): Så när det gäller primtal, om vi byggde en modell — du vet, och det finns en modell som matematiker använder som heter primtalarnas Cramér-modell — om vi byggde en myntvändande modell av primtal där vi föreställer oss någon som går längs tallinjen, och vid varje tal, du vet, vänder ett mynt, säg, för att avgöra om det talet var primtal eller inte, skulle vi införliva så mycket som vi vet om primtal i den modellen. Så först och främst vet vi att stora tal är mindre benägna att vara primtal än mindre tal. Så dessa mynt skulle behöva vägas. Och vi skulle — vi måste försöka lägga in exakt de viktningar som vi förväntar oss. Och vi vet saker som att du inte kan ha två primtal bredvid varandra, eftersom en av dem måste vara udda och en av dem måste vara jämn. Så vi lägger in det i modellen. Och så finns det mer saker vi vet om primtal.
(20:37) Så modellen är något som börjar med den här myntvändande modellen, men sedan modifieras den av alla dessa andra regler, och alla andra saker som vi vet om primtal. Och när du väl har lagt in alla de sakerna som vi vet i modellen, frågar du den här myntvändande, du vet, modell, ja, ser du, oändligt ofta, mynt som kommer upp med bara två mellanrum? Och modellen säger dig, åh, ja, det ser vi. Faktum är att vi ser det i denna mycket speciella takt som vi kan ge dig en formel för. Och sedan, om du plottar antalet faktiska tvillingprimtal, i de faktiska talen, där det inte finns några mynt vända, mot vad modellen förutsäger, ser du att modellen ger dig en mycket exakt förutsägelse för antalet par av tvillingprimtal. du hittar när du går. Och då tänker du, du vet, kanske den här modellen vet vad den pratar om.
Strogatz (21:31): Det är bra. Jag menar, det är lite viktigt, vad vi just kommit dit, att - du har inte använt ordet datorer än. Men jag antar att du inte gör detta för hand. De människor som listar tvillingprimtal till, jag vet inte, vad pratar vi om? biljoner biljoner biljoner? Jag menar, det är stora siffror vi pratar om, eller hur?
Trä (21:49): Tja, för listningen av tvillingprimtal, det vill säga - skulle göras med dator, absolut. Men för att bygga den här modellen och komma på formeln som modellen ger. Du vet, det görs för hand, huvudsakligen, genom att matematiker tänker på modellen och räknar ut med den.
Strogatz (22:07): Det är så häftigt. Så det är där modellen visar sina grejer, att modellen faktiskt kan förutsäga vad datorn ser. Och det krävs ingen dator för att göra den förutsägelsen. Det kan göras för hand, av människor och kan faktiskt leda till bevis. Förutom att det är bevis på modellens egenskaper, inte nödvändigtvis ännu bevis på det du är intresserad av.
Trä (22:28): Rätt. Och någon gång stannar datorn. Du vet, det finns bara så mycket datorkraft. Men den formeln som du skulle få, som modellen skulle ge dig, som du kan bevisa är sann, återigen, om den här modellen med myntsnurr, den formeln kommer att fortsätta. Du kan lägga in större och större siffror i den formeln, mycket större än din dator någonsin skulle kunna beräkna med.
Strogatz (22:53): Så du har berättat lite om hur slumpmässighet kan bidra till att ge modeller av intressanta fenomen inom talteorin, och jag är säker på att det också är sant i andra delar av matematiken. Finns det några fall där du kan använda slumpmässighet för att tillhandahålla faktiska bevis, inte bara modeller?
Trä (23:10): Absolut. En annan gren av matematiken kallas sannolikhetsteori. Och i sannolikhetsteorin bevisar de satser om slumpmässiga system och hur de beter sig. Och du kanske tror att, ja, om du börjar med något slumpmässigt, och du gör något med det, kommer du alltid att ha något slumpmässigt. Men en av de anmärkningsvärt vackra sakerna som man hittar i sannolikhetsteorin är att man ibland kan få ut något deterministiskt ur något slumpmässigt.
Strogatz (23:45): Ja, hur fungerar det? Som vad?
Trä (23:48): Ja. Så du har sett klockkurvan, eller normalfördelningen, skulle matematiker kalla det. Det dyker upp överallt i naturen. Som det ser ut om man tittar på folks blodtryck, eller bebisens födelsevikter, eller något. Och du kanske tror, åh, den här klockkurvan, att det här är ett, det är ett faktum av naturen. Men i själva verket finns det en sats, kallad central gränssatsen i sannolikhetsteorin, som säger dig att faktiskt, att den här klockkurvan i någon mening inte är ett naturfaktum, utan ett matematiskt faktum. Den centrala gränssatsen säger att om du kombinerar en hel massa små slumpmässiga effekter oberoende av varandra, kommer resultatet av det alltid att matcha en viss fördelning. Den här formen, den här klockkurvan. Matematik, och sannolikhetsteorin, kan bevisa att om du har - om du kombinerar många små oberoende slumpmässiga saker, kommer resultatet av all den kombinationen att ge dig en fördelning som ser ut som den här klockkurvan. Och så - även om du inte vet hur ingångarna var. Och det är ett riktigt kraftfullt teorem och ett riktigt kraftfullt verktyg i matematik.
Strogatz (25:05): Ja, det är det verkligen. Och jag gillade din betoning på att du inte behöver veta vad som händer med de små effekterna. Att det där, på något sätt, tvättas ut. Den informationen behövs inte. Klockkurvan är förutsägbar, även om du inte vet vad de små effekterna har för natur. Så länge det är många och de är små. Och de påverkar inte varandra, eller hur är de oberoende, i någon mening.
Trä (25:27): Ja, absolut. Och så det är en idé, du vet, ibland kallas det universalitet i sannolikhetsteorin, att det finns vissa typer av maskiner som om du lägger in många slumpmässiga indata kan du förutsäga resultatet. Som till exempel att du skulle få den här klockkurvan, eller den här normalfördelningen, även om du inte vet vad du stoppar i maskinen. Och det är otroligt kraftfullt när det finns saker som vi inte förstår så väl, för...
Strogatz (25:56): Men så, säger du till mig - åh, jag är ledsen att jag avbröt dig - men säger du att det här händer i sifferteoretiskt nu också? Att vi på något sätt får idén om universalitet att dyka upp i talteorin? Eller drömmer jag?
Trä (26:09): Tja, i viss mån skulle jag säga att det är min dröm som börjar. Du vet, vi är bara, vi tar de första stegen för att se det förverkligas. Så det är inte bara din dröm, det är min dröm också. En del av det arbete jag gör idag och som jag och mina medarbetare arbetar med är att försöka göra den sortens dröm till verklighet så att några av dessa förbryllande frågor om siffror som vi inte vet svaret på, kanske kan förstå att det finns mönster som kommer ut, som en klockkurva, som en normalfördelning, som vi kan bevisa kom ut ur maskinen även om vi inte vet vilka mysterier som lagts in.
Strogatz (26:55): Tja, det är en väldigt inspirerande, spännande vision, faktiskt, och jag hoppas att allt går i uppfyllelse. Tack så mycket för att du pratade med oss idag, Melanie.
Trä (27:03): Tack. Det här var väldigt roligt.
åman (27:06): Om du vill Glädjen över varförkolla in Quanta Magazine Science Podcast, värd av mig, Susan Valot, en av producenterna av denna show. Berätta också för dina vänner om denna podcast och ge oss en gilla eller följ där du lyssnar. Det hjälper människor att hitta Glädjen över varför podcast.
Strogatz (27: 26): Glädjen över varför är en podcast från Quanta Magazine, en redaktionellt oberoende publikation som stöds av Simons Foundation. Finansieringsbeslut av Simons Foundation har inget inflytande på valet av ämnen, gäster eller andra redaktionella beslut i denna podcast eller i Quanta Magazine. Glädjen över varför produceras av Susan Valot och Polly Stryker. Våra redaktörer är John Rennie och Thomas Lin, med stöd av Matt Carlström, Annie Melchor och Leila Sloman. Vår temamusik komponerades av Richie Johnson. Vår logotyp är av Jackie King, och konstverk för avsnitten är av Michael Driver och Samuel Velasco. Jag är din värd, Steve Strogatz. Om du har några frågor eller kommentarer till oss, vänligen maila oss på quanta@simonsfoundation.org. Tack för att du lyssna.
