Isaac Newton var inte känd för sin generositet, och hans förakt för sina rivaler var legendarisk. Men i ett brev till sin konkurrent Gottfried Leibniz, nu känd som Epistola Posterior, Newton framstår som nostalgisk och nästan vänlig. I den berättar han en historia från sin studenttid, när han precis började lära sig matematik. Han berättar hur han gjorde en stor upptäckt som likställde områden under kurvor med oändliga summor genom en process av gissning och kontroll. Hans resonemang i brevet är så charmigt och lättillgängligt, det påminner mig om de mönstergissande spel små barn gillar att spela.
Allt började när unge Newton läste John Wallis Arithmetica Infinitorum, ett framstående verk av 17-talets matematik. Wallis inkluderade en ny och induktiv metod för att bestämma värdet på pi, och Newton ville hitta på något liknande. Han började med problemet med att hitta området för ett "cirkulärt segment" med justerbar bredd $latex x$. Detta är området under enhetscirkeln, definierad av $latex y=sqrt{1-x^2}$, som ligger ovanför delen av den horisontella axeln från 0 till $latex x$. Här $latex x$ kan vara vilket tal som helst från 0 till 1, och 1 är cirkelns radie. Arean av en enhetscirkel är pi, som Newton väl visste, så när $latex x=1$, arean under kurvan är en fjärdedel av enhetscirkeln, $latexfrac{π}{4}$. Men för andra värden av $latex x$, ingenting var känt.
Om Newton kunde hitta ett sätt att bestämma arean under kurvan för varje möjligt värde på $latex x$, det kan ge honom ett aldrig tidigare skådat sätt att approximera pi. Det var ursprungligen hans stora plan. Men på vägen hittade han något ännu bättre: en metod för att ersätta komplicerade kurvor med oändliga summor av enklare byggstenar gjorda av potenser av $latex x$.
Newtons första steg var att resonera analogt. Istället för att sikta direkt på området för det cirkulära segmentet, undersökte han områdena för analoga segment avgränsade av följande kurvor:
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}$,
$latex y_1=(1-x^2)^frac{1}{2}$,
$latex y_2=(1-x^2)^frac{2}{2}$,
$latex y_3=(1-x^2)^frac{3}{2}$,
$latex y_4=(1-x^2)^frac{4}{2}$,
$latex y_5=(1-x^2)^frac{5}{2}$,
$latex y_6=(1-x^2)^frac{6}{2}$.
Newton visste att områdena under kurvorna i listan med heltalpotenser (som $latex frac{0}{2}=0$ och $latex frac{2}{2} = 1$) skulle vara lätta att beräkna, eftersom de förenklar algebraiskt. Till exempel,
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}=(1-x^2)^0=1$.
På liknande sätt
Men ingen sådan förenkling är tillgänglig för cirkelns ekvation — $latex y_1 = sqrt {1-x^2}=(1-x^2)^frac{1}{2}$— eller de andra kurvorna med halvpotenserna. Vid tillfället visste ingen hur man skulle hitta området under någon av dem.
Lyckligtvis var områdena under kurvorna med heltalpotenser enkla. Ta kurvan $latex y_4=1-2x^2+x^4$. En vid den tiden känd regel för sådana funktioner gjorde det möjligt för Newton (och alla andra) att snabbt hitta arean: För en heltalspotens $latex nge 0$, arean under kurvan $latex y=x^n$ över intervallet från $latex 0$ till $latex x$ ges av $latex frac{x^{n+1}}{n+1}$. (Wallis hade gissat denna regel med sin induktiva metod, och Pierre de Fermat bevisade det definitivt.) Beväpnad med denna regel visste Newton att arean under kurvan $latex y_4$ var $latex x-frac{2x^3}{3 } + frac{x^5}{5}$.
Samma regel gjorde det möjligt för honom att hitta arean under de andra kurvorna med heltalpotenser i listan ovan. Låt oss skriva $latex A_n$ för arean under kurvan $latex y_n = (1-x^2)^frac{n}{2}$, där $latex n= 0, 1, 2, …$ . Att tillämpa regeln ger
$latex A_0=x$
$latex A_1 = hspace{.295em}?$
$latex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = hspace{.295em}?$
$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 =hspace{.295em}? $
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$
och så vidare. Newtons listiga idé var att fylla i luckorna i hopp om att gissa $latexA_1$ (serien för det okända området i det cirkulära segmentet) baserat på vad han kunde se i den andra serien. En sak var direkt klar: Varje $latexA_n$ började helt enkelt med $latex x$ . Det föreslog att man skulle ändra formlerna så här:
$latex A_0=x$
$latex A_1 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$.
Sedan, för att ersätta nästa sats av frågetecken, tittade Newton på termerna $latex x^3$. Med lite licens kan vi se att även $latexA_0$ hade en av dessa kubiska termer, eftersom vi kan skriva om den som $latex A_0 = x-frac{0}{3}x^3$. Som Newton förklarade för Leibniz, observerade han "att de andra termerna $latex frac{0}{3}x^3, frac{1}{3}x^3, frac{2}{3}x^3, frac{ 3}{3}x^3$ etc., var i aritmetisk progression” (han syftade på 0, 1, 2, 3 i täljarna). I misstanke om att denna aritmetiska progression också kan sträcka sig in i luckorna, gissade Newton att hela sekvensen av täljare, kända och okända, borde vara tal separerade med $latex frac{1}{2} (0, frac{1}{2 }, 1, frac{3}{2}, 2, frac{5}{2}, 3 …)$ "och därav de två första termerna i serien" han var intresserad av — den fortfarande okända $latex A_1$ , $latex A_3$ och $latex A_5$ — "bör vara $latex x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3), x-frac{1}{3} (frac) {3}{2}x^3), x-frac{1}{3}(frac{5}{2}x^3)$, etc.”
Således föreslog mönstren i detta skede för Newton att $latex A_1$ skulle börja som
$latex A_1 = x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3) + …$.
Det här var en bra början, men han behövde mer. När han letade efter andra mönster märkte Newton att nämnarna i ekvationerna alltid innehöll udda tal i ökande ordning. Titta till exempel på $latex A_6$, som har 1, 3, 5 och 7 i sina nämnare. Samma mönster fungerade för $latex A_4$ och $latex A_2$. Enkelt nog. Det mönstret kvarstod tydligen i alla nämnare i alla ekvationer.
Det som återstod var att hitta ett mönster i täljarna. Newton undersökte $latex A_2$, $latex A_4$ och $latex A_6$ igen och upptäckte något. I $latex A_2 = x-frac{1}{3}x^3$ såg han en 1 multiplicera $latex x$ och ytterligare 1 i termen $latexfrac {1}{3}x^3$ (han ignorerade dess negativt tecken för tillfället). I $latex A_4 = x-frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$ såg han täljare av 1, 2, 1. Och i $latex A_6=x-frac{ 3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 -frac{1}{7}x^7$ , han såg täljarna 1, 3, 3, 1. Dessa siffror borde vara bekanta för alla vem har någonsin studerat Pascals triangel, ett triangulärt arrangemang av tal som, som enklast, skapas genom att lägga ihop talen ovanför den, med början med 1 överst.
Istället för att åberopa Pascal, hänvisade Newton till dessa täljare som "krafter av talet 11." Till exempel 112 = 121, vilket är den andra raden i triangeln, och 113 = 1331, vilket är det tredje. Nuförtiden kallas dessa tal även för binomialkoefficienter. De uppstår när du utökar potenserna för en binomial som ($latex a +b$), som i $latex (a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b+3ab^2 +1b^3$. Med detta mönster i handen hade Newton nu ett enkelt sätt att skriva ut $latex A_2, A_4, A_6$ och alla andra jämna nummer AS.
Därefter, för att extrapolera sina resultat till halvpotenser och udda numrerade subskript (och slutligen komma till serien han ville ha, $latex A_1$), behövde Newton utöka Pascals triangel till en fantastisk ny regim: halvvägs mellan raderna. För att utföra extrapoleringen härledde han en allmän formel för binomialkoefficienterna i en given rad i Pascals triangel — rad $latex m$ — och pluggade sedan djärvt in $latex m= frac{1}{2}$. Och otroligt nog fungerade det. Det gav honom täljarna i serien han sökte för en enhetscirkel, $latexA_1$.
Här, med Newtons egna ord, är hans sammanfattning till Leibniz av de mönster han märkte induktivt fram till detta stadium i argumentationen:
Jag började reflektera över att nämnarna 1, 3, 5, 7, etc. var i aritmetisk progression, så att endast de numeriska koefficienterna för täljarna fortfarande var i behov av undersökning. Men i de omväxlande givna områdena var dessa potenssiffrorna för talet 11 … det vill säga först '1'; sedan '1, 1'; för det tredje, '1, 2, 1'; för det fjärde '1, 3, 3, 1'; för det femte '1, 4, 6, 4, 1' etc. och så började jag fråga hur de återstående siffrorna i serien kunde härledas från de två första givna siffrorna, och jag upptäckte att när jag satte $latex m$ för den andra figur, resten skulle produceras genom kontinuerlig multiplikation av termerna i denna serie,
$latex frac{m-0}{1} gånger frac{m-1}{2} gånger frac {m-2}{3} gånger frac{m-3}{4} gånger frac {m-4}{5 }$ osv.
… Följaktligen tillämpade jag den här regeln för att lägga in serier mellan serier, och eftersom, för cirkeln, den andra termen var $latex frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3)$, satte jag $latex m=frac{1}{2}$, och villkoren som uppstod var
$latex frac {1}{2} gånger frac{frac{1}{2}-1}{2}$ eller $latex -frac{1}{8}$,
$latex -frac{1}{8} gånger frac{frac{1}{2}-2}{3}$ eller $latex + frac{1}{16}$,
$latex frac{1}{16} gånger frac{frac{1}{2}-3}{4}$ eller $latex – frac {5}{128}$,så till oändligheten. Därifrån kom jag att förstå att området av det cirkulära segmentet som jag ville ha var
$latex x-frac{frac{1}{2}x^3}{3}-frac{frac{1}{8}x^5}{5}-frac{frac{1}{16}x^7}{7}-frac{frac{5}{128}x^9}{9}$ etc.
Slutligen, genom att koppla in $latex x=1$, kunde Newton få en oändlig summa för $latexfrac{π}{4}$. Det var ett viktigt fynd, men det visar sig att det finns bättre sätt att approximera pi med hjälp av en oändlig summa, som Newton själv snart upptäckte efter denna första razzia i dessa typer av oändliga summor, nu kallade potensserier. Så småningom beräknade han de första 15 siffrorna i pi.
För att återgå till problemet med det cirkulära segmentet insåg Newton att ekvationen för själva cirkeln (inte bara området under den) också kunde representeras av en potensserie. Allt han behövde göra var att utelämna nämnare och minska potenserna för $latex x$ med 1 i potensserien som visas ovan. Därför fick han gissa det
För att testa om detta resultat var vettigt multiplicerade Newton det med sig självt: "Det blev $latex 1-x^2$, de återstående termerna försvann genom att serien fortsatte till oändligheten."
Om vi tar ett litet steg tillbaka från detaljerna ser vi flera lektioner här om problemlösning. Om ett problem är för svårt, ändra det. Om det verkar för specifikt, generalisera det. Newton gjorde båda och fick resultat viktigare och kraftfullare än vad han ursprungligen eftersträvade.
Newton fixerade inte envist vid en kvarts cirkel. Han tittade på en mycket mer allmän form, vilket cirkulärt segment som helst med bredd $latex x$. Istället för att hålla sig till $latex x=1$, lät han $latex x$ löpa fritt från 0 till 1. Det avslöjade den binomala karaktären hos koefficienterna i hans serie – det oväntade uppträdandet av siffror i Pascals triangel och deras generaliseringar – som låt Newton se mönster som Wallis och andra hade missat. Att se dessa mönster gav sedan Newton de insikter han behövde för att utveckla teorin om maktserier mycket mer allmänt och generellt.
I hans senare arbete gav Newtons kraftserie honom en schweizisk armékniv för kalkyl. Med dem kunde han göra integraler, hitta rötter till algebraiska ekvationer och beräkna värden på sinus, cosinus och logaritmer. Som han uttryckte det, "Genom deras hjälp når analysen, kan jag nästan säga, alla problem."
Moralen: Att ändra ett problem är inte fusk. Det är kreativt. Och det kan vara nyckeln till något större.
