Mer än ett sekel efter att Albert Einstein avslöjade den allmänna relativitetsteorin, har hans episka gravitationsteori klarat varje experimentellt test som den har utsatts för. Allmän relativitetsteori har förändrat vår förståelse av gravitation, och skildrar den inte som en attraktionskraft mellan massiva objekt, som länge ansetts, utan snarare som en konsekvens av hur rum och tid kurvor i närvaro av massa och energi. Teorin har uppnått fantastiska triumfer – från bekräftelsen 1919 av att ljuset böjer sig i solens gravitationsfält till 2019 års observationer som avslöjade silhuetten av ett svart hål. Det kan därför vara förvånande att höra att allmän relativitetsteori fortfarande är ett pågående arbete.
Även om ekvationerna som Einstein introducerade 1915 rör krökningen som induceras av massiva föremål, erbjuder teorin inte ett enkelt eller standardiserat sätt att avgöra vad ett föremåls massa är. Vinkelmoment - ett mått på ett objekts rotationsrörelse i rum-tid - är ett ännu svårare att definiera koncept.
En del av svårigheterna härrör från en återkopplingsslinga som är inbyggd i den allmänna relativitetsteorien. Materia och energi kröker rum-tidskontinuumet, men denna krökning blir en energikälla i sig, vilket kan orsaka ytterligare krökning - ett fenomen som ibland kallas "tyngdkraftens gravitation". Och det finns inget sätt att separera ett objekts inneboende massa från den extra energi som kommer från denna olinjära effekt. Dessutom kan man inte definiera momentum eller vinkelmomentum utan att först ha ett fast grepp om massan.
Einstein insåg de utmaningar som är involverade i att kvantifiera massa och beskrev aldrig helt vad massa är eller hur den kan mätas. Det var inte förrän i slutet av 1950-talet och början av 1960-talet som den första rigorösa definitionen föreslogs. Fysikerna Richard Arnowitt, Stanley Deser och Charles Misner definierade massan av ett isolerat föremål, till exempel ett svart hål, sett från nästan oändligt långt borta, där rum-tiden är nästan platt och föremålets gravitationsinflytande närmar sig noll.
Även om detta sätt att beräkna massa (känd efter dess författare som "ADM-massa") har visat sig användbart, tillåter det inte fysiker att kvantifiera massan inom en ändlig region. Säg till exempel att de studerar två svarta hål som håller på att smälta samman, och de vill bestämma massan av varje enskilt svart hål före sammanslagningen, i motsats till systemet som helhet. Massan som är innesluten inom varje enskild region - mätt från ytan av den regionen, där gravitationen och rumtidskrökningen kan vara mycket stark - kallas "kvasilokal massa."
År 2008, matematikerna Mu-Tao Wang vid Columbia University och Shing-Tung Yau, nu professor vid Tsinghua University i Kina och emeritusprofessor vid Harvard University, avancerade en definition av kvasilokal massa som har visat sig särskilt fruktbart. 2015 gjorde det möjligt för dem och en samarbetspartner definiera kvasilokalt rörelsemängd. Och i våras, de författarna och en fjärde medarbetare publicerade den första, länge eftersökta definitionen av rörelsemängd som är "superöversättningsinvariant", vilket betyder att det inte beror på var en observatör befinner sig eller vilket koordinatsystem han eller hon väljer. Med en sådan definition kan observatörer i princip ta mätningar av krusningar i rumtid som genereras av ett roterande föremål och beräkna den exakta mängden rörelsemängd som förs bort från föremålet av dessa krusningar, som är kända som gravitationsvågor.
"Det är ett fantastiskt resultat" Lydia Bieri, en matematiker och allmän relativitetsexpert vid University of Michigan, sa om uppsatsen från mars 2022, "och en kulmen av invecklade matematiska undersökningar under flera år." Utvecklingen av dessa aspekter av allmän relativitet tog faktiskt inte bara år utan många decennier.
Att stanna kvasilokal
På 1960-talet kom Stephen Hawking med en definition av kvasilokal massa som fortfarande gynnas idag under vissa omständigheter på grund av dess enkelhet. I ett försök att beräkna massan som omges av ett svart håls händelsehorisont - dess osynliga sfäriska gräns - visade Hawking att du kan beräkna massan inuti vilken sfär som helst genom att bestämma i vilken utsträckning inkommande och utgående ljusstrålar böjs av materien och energin som finns inom. Medan "Hawking massa" har fördelen att vara relativt lätt att beräkna, fungerar definitionen bara antingen i en rumtid som är sfäriskt symmetrisk (ett idealiserat tillstånd, eftersom ingenting i den verkliga världen är perfekt runt) eller i en "statisk" (och ganska tråkig) rum-tid där ingenting förändras i tiden.
Jakten på en mer mångsidig definition fortsatte. I en föreläsning vid Princeton University 1979, identifierade den brittiske matematiska fysikern Roger Penrose, en annan pionjär inom svarta håls fysik, uppgiften att karakterisera kvasilokal massa - "där man inte behöver gå "hela vägen till oändligheten" för att begrepp som ska definieras meningsfullt" - som det olösta problemet nummer ett i den allmänna relativitetsteorien. En definition av kvasilokalt vinkelmomentum rankades tvåa på Penroses lista.
Tidigare samma år, Yau och hans tidigare student Richard Schoen, som nu är emeritusprofessor vid Stanford University, visat en viktig förutsättning för att fastställa dessa kvasilokala definitioner. De visade nämligen att ADM-massan för ett isolerat fysiskt system - dess massa mätt från oändligt långt borta - aldrig kan vara negativ. Schoen-Yaus "positiva masssats" utgjorde ett viktigt första steg för att definiera kvasilokal massa och andra fysiska storheter, eftersom rum-tid och allt i den kommer att vara instabil om dess energi inte har något golv utan istället kan bli negativ och fortsätta att sjunka utan gränser . (1982 vann Yau en Fields-medalj, den högsta utmärkelsen i matematik, delvis för sitt arbete med den positiva masssatsen.)
1989, den australiensiske matematikern Robert Bartnik erbjuds en ny definition av kvasilokal massa som förlitade sig på det teoremet. Bartniks idé var att ta en region av ändlig storlek omsluten av en yta och sedan, genom att omsluta den med många lager av ytor med allt större area, utöka den ändliga regionen till en av oändlig storlek så att dess ADM-massa kan beräknas. Men området kan förlängas på många sätt, precis som en ballongs yta kan sprängas jämnt eller sträckas i olika riktningar, var och en ger en annan ADM-massa. Det lägsta värdet på ADM-massa som kan erhållas är, enligt Bartnik, den kvasilokala massan. "Argumentet skulle inte ha varit möjligt före den positiva masssatsen", förklarade Wang, "för annars kunde massan ha gått till negativ oändlighet", och en minimimassa kunde aldrig fastställas.
Bartnik-massa har varit ett viktigt begrepp inom matematik, sa matematiker vid University of Connecticut Lan-Hsuan Huang, men dess största nackdel är praktisk: Att hitta minimum är extremt svårt. "Det är nästan omöjligt att beräkna ett verkligt tal för den kvasilokala massan."
Fysikerna David Brown och James York kom på en helt annan strategi på 1990-talet. De lindade in ett fysiskt system i en tvådimensionell yta och försökte sedan bestämma massan inom den ytan baserat på dess krökning. Ett problem med Brown-York-metoden är dock att den kan ge fel svar i en helt platt rumtid: Den kvasilokala massan kan bli positiv även när den borde vara noll.
Ändå användes metoden i 2008 års uppsats av Wang och Yau. Bygger på Brown och Yorks arbete, såväl som på forskning som Yau hade utfört med Columbia-matematikern Melissa Liu, Wang och Yau hittade ett sätt att kringgå problemet med positiv massa i helt platt utrymme. De mätte ytans krökning i två olika inställningar: den "naturliga" miljön, en rum-tid som representerar vårt universum (där krökningen kan vara ganska komplex) och en "referens" rum-tid som kallas Minkowski-rymd som är perfekt platt eftersom det saknar materia. Eventuella skillnader i krökningen mellan dessa två inställningar, antog de, måste bero på massan som är begränsad inom ytan - den kvasilokala massan, med andra ord.
Deras definition uppfyllde "alla krav som krävs för en giltig definition av kvasilokal massa", som de sa i tidningen. Som sagt, deras tillvägagångssätt lider av en egenskap som begränsar dess tillämpbarhet: "Även om vår definition är mycket exakt," sa Wang, "inbegriper det alltid att lösa flera mycket svåra olinjära ekvationer." Tillvägagångssättet är bra i teorin men ofta ansträngande i praktiken.
Tvetydiga vinklar
Under 2015, Wang och Yau, tillsammans med Po-Ning Chen vid University of California, Riverside, för att definiera kvasilokalt vinkelmomentum. I klassisk mekanik ges rörelsemängden för ett föremål som rör sig i en cirkel helt enkelt av dess massa gånger dess hastighet gånger cirkelns radie. Det är en användbar kvantitet att mäta eftersom den är bevarad, vilket betyder att den passerar mellan saker men aldrig skapas eller förstörs. Fysiker kan spåra hur rörelsemängd utbyts mellan objekt och miljön för att få insikt i ett systems dynamik.
För att definiera det kvasilokala vinkelmomentet inneslutet i en yta behövde Wang, Yau och Chen två saker: en definition av kvasilokal massa, som de hade, tillsammans med detaljerad kunskap om hur rotation fungerar i rum-tid. Som tidigare bäddade de först in sin yta i den enklaste möjliga miljön, Minkowskis rum-tid - vald för att den är ofelbart platt och därför har egenskapen rotationssymmetri, där alla riktningar ser likadana ut. Rotationssymmetri gjorde det möjligt för forskarna att definiera kvasilokalt rörelsemängd på ett sätt som inte beror på var du placerar ursprunget för det koordinatsystem du använder för att mäta hastigheter och avstånd (ursprunget är den punkt där x, y, zoch t axlar skär varandra). Därefter etablerade de en en-till-en-överensstämmelse mellan punkter på ytan i Minkowskis rumtid och punkter på samma yta när de placerades i dess ursprungliga (naturliga) rumtid, vilket säkerställde koordinerat oberoende även i den senare miljön.
Trion gick sedan ihop med Ye-Kai Wang från National Cheng Kung University för att ta itu med ett problem som hade förblivit olöst i cirka 60 år: hur man karakteriserar det vinkelmomentum som svepts bort av gravitationsvågor, som de som sänds ut när två svarta hål spirar ihop sig och sammansmälter våldsamt. Deras definition av kvasilokalt vinkelmomentum skulle inte fungera för denna uppgift, eftersom mätningen måste göras långt från malströmmen snarare än i närheten av det svarta hålets sammanslagning. Den rätta utsiktspunkten kallas "noll oändlighet", ett begrepp som uppfanns av Penrose och som hänvisar till den slutliga destinationen för utåtgående strålning, både gravitationell och elektromagnetisk.
Som ofta händer inom allmän relativitetsteori uppstår en ny komplikation: vinkelmomentet som transporteras av gravitationsvågor, även om det mäts vid noll oändlighet (eller tillräckligt långt bort för att vara en rimlig faksimil), kan tyckas variera beroende på val av ursprung och orientering av en observatörs koordinatsystem. Svårigheten härrör från "gravitationsvågens minneseffekt” — det faktum att när gravitationsvågor färdas genom rumtiden, lämnar de ett permanent avtryck. Vågor kommer att expandera rumtiden i en riktning och dra ihop den i ortogonal riktning (detta är signalen som detekteras av gravitationsvågobservatorier som LIGO och Jungfrun), men rymdtiden återgår aldrig exakt till sitt ursprungliga tillstånd. "Passerande gravitationsvågor förändrar avståndet mellan objekt," förklarade Eanna Flanagan, en allmän relativist vid Cornell University. "Vågorna kan också röra observatörer lite... men de kommer inte att veta att de har flyttats."
Detta betyder att även om olika observatörer till en början kommer överens om var ursprunget till deras koordinatsystem ligger, kommer de inte att komma överens efter att gravitationsvågor har viftat runt. Den osäkerheten leder i sin tur till tvetydigheter, kallade "superöversättningar", i deras respektive bedömningar av vinkelmomentum. Ett annat sätt att förstå superöversättningar är att medan varken massan av ett föremål eller dess hastighet kommer att förvrängas av en passerande gravitationsvåg, kommer radien för dess rotationsrörelse att vara. Beroende på orienteringen av radien i förhållande till ens koordinatsystem, kan den tyckas vara utsträckt av gravitationsstrålning, eller krympt, vilket leder till olika möjliga bestämningar av rörelsemängd.
Bevarade fysiska kvantiteter bör inte variera, eller tyckas göra det, baserat på hur vi väljer att märka saker. Det var situationen som Chen, Wang, Wang och Yau hoppades kunna rätta till. Från 2015 års definition av kvasilokalt rörelsemängd beräknade de rörelsemängden inom ett område med ändlig radie. Sedan tog de gränsen för den kvantiteten när radien går till oändligheten, vilket förvandlade den koordinatoberoende kvasilokala definitionen till en supertranslationsinvariant kvantitet vid noll oändlighet. Med denna första superöversättning någonsin, invariant definition av rörelsemängd, publicerad i mars i Framsteg inom teoretisk och matematisk fysik, skulle man i princip kunna bestämma vinkelmomentet som förs bort av gravitationsvågorna som sänds ut under en kollision med svarta hål.
"Det här är ett underbart papper och ett underbart resultat," sa Marcus Khuri, en matematiker vid Stony Brook University i New York, "men frågan är, hur användbart är det?" Han förklarade att den nya definitionen är abstrakt och svår att beräkna, "och generellt sett gillar fysiker inte saker som är svåra att beräkna."
Ett unikt val
Svårt att beräkna är dock ett nästan oundvikligt inslag i allmän relativitetsteori. Det är vanligtvis inte ens möjligt att exakt lösa de olinjära ekvationerna som Einstein formulerade 1915 förutom i mycket symmetriska situationer. Istället förlitar sig forskare på superdatorer för att få fram ungefärliga lösningar. De gör problemet hanterbart genom att dela upp rum-tid i små rutnät och uppskatta krökningen av varje rutnät separat och vid olika tidpunkter. Deras uppskattningar kan bli bättre när de lägger till fler rutnät – ungefär som att lägga till fler pixlar till en högupplöst TV.
Dessa uppskattningar gör det möjligt för forskare att beräkna massorna och vinkelmomentet för sammanslagna svarta hål eller neutronstjärnor baserat på gravitationsvågsignalerna som detekterats av LIGO- och Virgo-observatorierna. Enligt Vijay Varma, fysiker vid Max Planck Institute for Gravitational Physics i Potsdam, Tyskland, och medlem av LIGO-samarbetet, är nuvarande observationer av gravitationsvågor inte tillräckligt exakta för att de subtila skillnaderna som orsakas av superöversättningar ska bli märkbara. "Men när noggrannheten i våra observationer blir 10 gånger bättre, kommer dessa överväganden att bli viktigare," sa Varma. Han påpekade att förbättringar av den ordningen skulle kunna realiseras redan på 2030-talet.
Flanagan har ett annat perspektiv och hävdar att superöversättningar "inte är ett problem som behöver fixas" utan snarare är oundvikliga egenskaper hos vinkelmomentum i allmän relativitetsteori som vi måste leva med.
Fysikern Robert Wald, en allmän relativitetsspecialist vid University of Chicago, delar Flanagans åsikt i viss mån och säger att superöversättningar är mer av en "olägenhet" än ett verkligt problem. Ändå har han granskat Chen, Wang, Wang och Yau tidningen noggrant och drar slutsatsen att bevisen håller väl. "Det är verkligen att lösa tvetydigheten i superöversättningen," sa Wald och tillade, "I den allmänna relativitetsteorien, när du har alla dessa alternativa definitioner att välja mellan," är det trevligt att ha ett "unikt val" att välja ut.
Yau, som har arbetat med att definiera dessa kvantiteter sedan 1970-talet, ser på lång sikt. "Det kan ta lång tid för idéer från matematik att genomsyra fysiken," sa han. Han noterade att även om den nya definitionen av rörelsemängd förblir oanvänd för nu, beräknar forskare vid LIGO och Jungfrun alltid något ungefär. Men i slutändan är det bra att veta vad grejen är som du försöker uppskatta.”
Redaktörens anteckning: Po-Ning Chen får finansiering från Simons Foundation, som också stöder denna redaktionellt oberoende tidning.
