När Daniel Larsen gick i mellanstadiet började han designa korsord. Han var tvungen att lägga hobbyn ovanpå sina andra intressen: schack, programmering, piano, fiol. Han kvalificerade sig två gånger till Scripps National Spelling Bee nära Washington, DC, efter att ha vunnit sin regionala tävling. "Han blir fokuserad på något, och det är bara pang, pang, pang, tills han lyckas", sa Larsens mamma, Ayelet Lindenstrauss. Hans första korsord förkastades av stora tidningar, men han fortsatte med det och bröt sig till slut in. Hittills har han innehar rekordet för yngsta personen att publicera ett korsord i The New York Times, vid 13 års ålder. "Han är väldigt ihärdig", sa Lindenstrauss.
Ändå kändes Larsens senaste besatthet annorlunda, "längre och mer intensiv än de flesta av hans andra projekt", sa hon. I mer än ett och ett halvt år kunde Larsen inte sluta tänka på ett visst matematiskt problem.
Den hade rötter i en bredare fråga, en som matematikern Carl Friedrich Gauss ansåg vara bland de viktigaste inom matematiken: hur man skiljer ett primtal (ett tal som bara är delbart med 1 och sig själv) från ett sammansatt tal. I hundratals år har matematiker sökt ett effektivt sätt att göra det. Problemet har också blivit aktuellt i samband med modern kryptografi, eftersom några av dagens mest använda kryptosystem går ut på att göra aritmetik med enorma primtal.
För över ett sekel sedan, i den strävan efter ett snabbt, kraftfullt primathetstest, snubblade matematiker på en grupp bråkmakare – siffror som lurar tester att tro att de är prime, även om de inte är det. Dessa pseudoprimer, kända som Carmichael-tal, har varit särskilt svåra att förstå. Det var till exempel först i mitten av 1990-talet som matematiker visade att det finns oändligt många av dem. Att kunna säga något mer om hur de är fördelade längs tallinjen har inneburit en ännu större utmaning.
Sedan följde Larsen med ett nytt bevis om just det, en inspirerad av nyligen epokalt arbete inom ett annat område av talteorin. Då var han bara 17.
Gnistan
Larsen växte upp i Bloomington, Indiana, och drogs alltid till matematik. Hans föräldrar, båda matematiker, introducerade honom och hans äldre syster till ämnet när de var unga. (Hon doktorerar nu i matematik.) När Larsen var 3 år gammal, minns Lindenstrauss, började han ställa filosofiska frågor till henne om oändlighetens natur. "Jag tänkte, det här barnet har ett matematiskt sinne," sa Lindenstrauss, professor vid Indiana University.
Sedan för några år sedan - ungefär när han var fördjupad i sina stavnings- och korsordsprojekt - stötte han på en dokumentär handla om Yitang Zhang, en okänd matematiker som reste sig från dunkel 2013 efter bevisar ett landmärkeresultat som sätter en övre gräns för mellanrummen mellan på varandra följande primtal. Något klickade i Larsen. Han kunde inte sluta tänka på talteorin och på det relaterade problem som Zhang och andra matematiker fortfarande hoppades kunna lösa: tvillingprimtalsförmodan, som säger att det finns oändligt många primtalspar som skiljer sig med endast 2.
Efter Zhangs arbete, som visade att det finns oändligt många par av primtal som skiljer sig med mindre än 70 miljoner, andra hoppade in för att sänka denna gräns ytterligare. Inom månader, matematikerna James Maynard och Terence tao oberoende bevisat ett ännu starkare uttalande om klyftorna mellan primtal. Det gapet har sedan dess minskat till 246.
Larsen ville förstå en del av matematiken bakom Maynards och Taos arbete, "men det var ganska omöjligt för mig", sa han. Deras papper var alldeles för komplicerade. Larsen försökte läsa besläktade verk, bara för att också finna det ogenomträngligt. Han fortsatte med det och hoppade från ett resultat till ett annat, tills han till slut, i februari 2021, kom över ett papper som han tyckte var både vackert och begripligt. Dess ämne: Carmichael-tal, de där konstiga sammansatta talen som ibland kan framstå som primtal.
Alla utom Prime
I mitten av 17-talet skrev den franske matematikern Pierre de Fermat ett brev till sin vän och förtrogna Frénicle de Bessy, där han angav vad som senare skulle kallas hans "lilla sats". Om N är alltså ett primtal bN - b är alltid en multipel av N, oavsett vad b är. Till exempel är 7 ett primtal och som ett resultat 27 – 2 (som är lika med 126) är en multipel av 7. På samma sätt, 37 – 3 är en multipel av 7, och så vidare.
Matematiker såg potentialen för ett perfekt test av om ett givet tal är primtal eller sammansatt. De visste att om N är prime, bN - b är alltid en multipel av N. Tänk om det omvända också var sant? Det vill säga om bN - b är en multipel av N för alla värden på b, måste N vara prime?
Tyvärr visade det sig att i mycket sällsynta fall, N kan uppfylla detta villkor och ändå vara sammansatt. Det minsta talet är 561: För vilket heltal som helst b, b561 - b är alltid en multipel av 561, även om 561 inte är primtal. Siffror som dessa var uppkallade efter matematikern Robert Carmichael, som ofta krediteras för att ha publicerat det första exemplet 1910 (även om den tjeckiske matematikern Václav Šimerka självständigt upptäckte exempel 1885).
Matematiker ville bättre förstå dessa tal som så nära liknar de mest fundamentala objekten inom talteorin, primtalen. Det visade sig att 1899 – ett decennium före Carmichaels resultat – hade en annan matematiker, Alwin Korselt, kommit med en motsvarande definition. Han hade helt enkelt inte vetat om det fanns några siffror som passade.
Enligt Korselts kriterium, ett antal N är ett Carmichael-nummer om och endast om det uppfyller tre egenskaper. För det första måste den ha mer än en primfaktor. För det andra kan ingen primfaktor upprepas. Och för det tredje, för varje prime p som delar N, p – 1 delar också N – 1. Betrakta igen talet 561. Det är lika med 3 × 11 × 17, så det uppfyller helt klart de två första egenskaperna i Korselts lista. För att visa den sista egenskapen subtraherar du 1 från varje primtal för att få 2, 10 och 16. Dessutom subtraherar du 1 från 561. Alla tre av de mindre talen är divisorer av 560. Talet 561 är därför ett Carmichael-tal.
Även om matematiker misstänkte att det finns oändligt många Carmichael-tal, finns det relativt få jämfört med primtal, vilket gjorde dem svåra att fastställa. Sedan 1994, Red Alford, Andrew Granville och Carl Pomerance publicerade ett genombrott papper där de slutligen bevisade att det verkligen finns oändligt många av dessa pseudoprimer.
Tyvärr tillät teknikerna de utvecklade dem inte att säga något om hur dessa Carmichael-siffror såg ut. Dök de upp i kluster längs tallinjen, med stora luckor emellan? Eller kan du alltid hitta ett Carmichael-nummer i ett kort intervall? "Du skulle kunna tro att om du kan bevisa att det finns oändligt många av dem," sa Granville, "du borde säkert kunna bevisa att det inte finns några stora klyftor mellan dem, att de borde vara relativt väl fördelade."
I synnerhet hoppades han och hans medförfattare kunna bevisa ett uttalande som återspeglade denna idé - som givet ett tillräckligt stort antal X, kommer det alltid att finnas ett Carmichael-nummer mellan X och 2X. "Det är ett annat sätt att uttrycka hur allmänt förekommande de är", säger Jon Grantham, en matematiker vid Institutet för försvarsanalyser som har gjort relaterat arbete.
Men i årtionden kunde ingen bevisa det. Teknikerna som utvecklats av Alford, Granville och Pomerance "tillät oss att visa att det skulle finnas många Carmichael-nummer", sa Pomerance, "men tillät oss inte riktigt att ha en hel del kontroll över var de skulle vara. ”
Sedan, i november 2021, öppnade Granville ett mejl från Larsen, då 17 år gammal och i sista året på gymnasiet. A papper var fäst — och till Granvilles förvåning såg det korrekt ut. "Det var inte den lättaste läsningen någonsin," sa han. "Men när jag läste det var det ganska tydligt att han inte bråkade. Han hade briljanta idéer."
Pomerance, som läste en senare version av verket, höll med. "Hans bevis är egentligen ganska avancerade," sa han. "Det skulle vara en uppsats som vilken matematiker som helst skulle vara riktigt stolt över att ha skrivit. Och här är ett gymnasiebarn som skriver det."
Nyckeln till Larsens bevis var det arbete som hade dragit honom till Carmichael-siffror i första hand: resultaten av Maynard och Tao om primtalsluckor.
Osannolikt - Inte omöjligt
När Larsen först gav sig ut för att visa att man alltid kan hitta ett Carmichael-nummer i ett kort intervall, "verkade det som att det var så uppenbart sant, hur svårt kan det vara att bevisa?" han sa. Han insåg snabbt att det kunde vara väldigt svårt. "Detta är ett problem som testar vår tids teknik," sa han.
I sin tidning från 1994 hade Alford, Granville och Pomerance visat hur man skapar oändligt många Carmichael-nummer. Men de hade inte kunnat kontrollera storleken på de primtal som de använde för att konstruera dem. Det är vad Larsen skulle behöva göra för att bygga Carmichael-nummer som var relativt nära i storlek. Svårigheten med problemet oroade hans far, Michael Larsen. "Jag trodde inte att det var omöjligt, men jag trodde att det var osannolikt att han skulle lyckas," sa han. "Jag såg hur mycket tid han spenderade på det ... och jag kände att det skulle vara förödande för honom att ge så mycket av sig själv till det här och inte få det."
Ändå visste han bättre än att försöka avråda sin son. "När Daniel engagerar sig för något som verkligen intresserar honom, håller han fast vid det i vått och torrt", sa han.
Så Larsen återvände till Maynards papper - i synnerhet för att arbeta som visar att om du tar vissa sekvenser med tillräckligt många tal, måste någon delmängd av dessa tal vara primtal. Larsen modifierade Maynards tekniker för att kombinera dem med metoderna som används av Alford, Granville och Pomerance. Detta gjorde det möjligt för honom att säkerställa att de primtal han slutade med skulle variera i storlek - tillräckligt för att producera Carmichael-tal som skulle falla inom de intervall han ville ha.
"Han har mer kontroll över saker än vi någonsin har haft," sa Granville. Och han uppnådde detta genom en särskilt smart användning av Maynards verk. "Det är inte lätt ... att använda dessa framsteg på korta avstånd mellan primtal," sa Kaisa Matomäki, matematiker vid Åbo universitet i Finland. "Det är ganska trevligt att han kan kombinera det med den här frågan om Carmichael-siffrorna."
Faktum är att Larsens argument inte bara tillät honom att visa att ett Carmichael-nummer alltid måste stå mellan X och 2X. Hans bevis fungerar för mycket mindre intervaller också. Matematiker hoppas nu att det också kommer att hjälpa till att avslöja andra aspekter av beteendet hos dessa konstiga siffror. "Det är en annan idé," sa Thomas Wright, en matematiker vid Wofford College i South Carolina som arbetar med pseudoprimer. "Det förändrar många saker om hur vi kan bevisa saker om Carmichaels siffror."
Grantham höll med. "Nu kan du göra saker du aldrig tänkt på", sa han.
Larsen har precis börjat sitt första år på Massachusetts Institute of Technology. Han är inte säker på vilket problem han kan arbeta med härnäst, men han är ivrig att lära sig vad som finns där ute. "Jag går bara kurser ... och försöker vara fördomsfri," sa han.
"Han gjorde allt detta utan en grundutbildning," sa Grantham. "Jag kan bara föreställa mig vad han kommer att hitta på i forskarskolan."
