Beskrivning
Knutteorin började som ett försök att förstå universums grundläggande sammansättning. 1867, när forskare ivrigt försökte ta reda på vad som möjligen kunde förklara alla de olika typerna av materia, visade den skotske matematikern och fysikern Peter Guthrie Tait sin vän och landsman Sir William Thomson sin enhet för att generera rökringar. Thomson – som senare blev Lord Kelvin (namne av temperaturskalan) – blev fängslad av ringarnas förföriska former, deras stabilitet och deras interaktioner. Hans inspiration ledde honom i en överraskande riktning: Kanske, tänkte han, precis som rökringarna var virvlar i luften, var atomer knutna virvelringar i den lysande etern, ett osynligt medium genom vilket, trodde fysikerna, ljus fortplantade sig.
Även om denna viktorianska idé nu kanske låter löjlig, var det ingen lättsinnig undersökning. Den här virvelteorin hade mycket att rekommendera den: den stora mångfalden av knutar, var och en något olika, tycktes spegla de olika egenskaperna hos de många kemiska elementen. Stabiliteten hos virvelringar kan också ge den beständighet som atomer krävde.
Vortexteorin fick genomslag i det vetenskapliga samfundet och inspirerade Tait att börja tabulera alla knutar och skapa vad han hoppades skulle motsvara en tabell med element. Naturligtvis är atomer inte knutar, och det finns ingen eter. I slutet av 1880-talet övergav Thomson gradvis sin vortexteori, men då var Tait fängslad av den matematiska elegansen i sina knutar, och han fortsatte sitt tabuleringsprojekt. I processen etablerade han det matematiska området knutteorin.
Vi är alla bekanta med knutar - de håller skor på fötterna, båtar säkrade vid bryggor och bergsklättrare utanför klipporna nedanför. Men dessa knutar är inte exakt vad matematiker (inklusive Tait) skulle kalla en knut. Även om en trasslig förlängningssladd kan verka knuten, är det alltid möjligt att lossa den. För att få en matematisk knut måste du koppla ihop sladdens fria ändar för att bilda en sluten slinga.
Eftersom trådarna i en knut är flexibla som ett snöre, ser matematiker knutteori som ett delfält av topologi, studiet av formbara former. Ibland är det möjligt att lösa upp en knut så att den blir en enkel cirkel, som vi kallar "unknoten". Men oftare är det omöjligt att lösa upp en knut.
Knutar kan också kombineras för att bilda nya knutar. Till exempel, att kombinera en enkel knut känd som trefoil med dess spegelbild ger en fyrkantig knut. (Och om du förenar två identiska trefoil-knutar gör du en mormorsknut.)
Med hjälp av terminologi från siffrornas värld säger matematiker att trefoilen är en primknut, den fyrkantiga knuten är sammansatt och, liksom siffran 1, är oknuten ingendera. Denna analogi fick ytterligare stöd 1949 när Horst Schubert bevisade att varje knut antingen är prime eller kan sönderdelas unikt i prime knots.
Ett annat sätt att skapa nya knutar är att fläta samman två eller flera knutar och bilda en länk. De borromeiska ringarna, så namngivna eftersom de finns på vapenskölden för det italienska huset Borromeo, är ett enkelt exempel.
Thomson och Tate var inte de första som såg knutar på ett matematiskt sätt. Redan 1794 skrev Carl Friedrich Gauss om och tecknade exempel på knutar i sin personliga anteckningsbok. Och Gauss elev Johann Listing skrev om knutar i sin monografi från 1847 Vorstudien zur Topologie ("Preliminära studier av topologi") - vilket också är ursprunget till termen topologi.
Men Tait var den första forskaren som arbetade med det som blev det grundläggande problemet inom knutteorin: klassificeringen och tabelleringen av alla möjliga knutar. Genom år av mödosamt arbete med enbart sin geometriska intuition hittade han och klassificerade alla prime knutar som, när de projiceras på ett plan, har högst sju korsningar.
I slutet av 19-talet fick Tait veta att två andra personer - pastorn Thomas Kirkman och den amerikanske matematikern Charles Little - också studerade detta problem. Med sina samlade ansträngningar klassificerade de alla prime knop med upp till 10 korsningar och många av dem med 11 korsningar. Otroligt nog var deras bord upp till 10 kompletta: De missade inga knutar.
Det är anmärkningsvärt att Tait, Kirkman och Little åstadkommit så mycket utan de teorem och tekniker som skulle upptäckas under de kommande åren. Men en sak som fungerade till deras fördel var det faktum att de flesta små knutar är "omväxlande", vilket innebär att de har en projektion där korsningarna uppvisar ett konsekvent över-under-över-under-mönster.
Alternerande knutar har egenskaper som gör dem lättare att klassificera än icke alternerande knutar. Det är till exempel svårt att hitta det minsta antalet korsningar för varje projektion av en knut. Men Tait, som i flera år av misstag antog att alla knutar var alternerande, förmodade ett sätt att se om du har hittat det minsta antalet: Om en alternerande projektion inte har några korsningar som kan tas bort genom att vända över en del av knuten, måste det vara projektionen med det minsta antalet korsningar.
Detta och ytterligare två av Taits gissningar om alternerande knutar blev sanna. Ändå bevisades dessa berömda gissningar inte förrän i slutet av 1980-talet och början av 90-talet med hjälp av ett matematiskt verktyg utvecklat 1984 av Vaughan Jones, som vann Fields-medaljen för sitt arbete med knutteori.
Tyvärr tar alternerande knutar dig bara så långt. När vi väl kommer i knop med åtta eller fler korsningar, växer antalet icke-alternerande knop snabbt, vilket gör Taits tekniker mindre användbara.
Den ursprungliga tabellen över alla 10-korsande knop var komplett, men Tait, Kirkman och Little dubbelräknade. Det var inte förrän på 1970-talet som Kenneth Perko, en advokat som hade studerat knutteori vid Princeton, märkte att två av knutarna är spegelbilder av varandra. De är nu kända som Perko-paret till hans ära.
Under det senaste århundradet har matematiker hittat många smarta sätt att avgöra om knutar verkligen är olika. I grund och botten är tanken att identifiera en invariant — en egenskap, kvantitet eller algebraisk enhet som är associerad med knuten och som ofta enkelt kan beräknas. (Dessa egenskaper har namn som färgbarhet, bronummer eller vridning.) Beväpnade med dessa etiketter kan matematiker nu enkelt jämföra två knutar: Om de skiljer sig åt i ett visst attribut är de inte samma knut. Ingen av dessa egenskaper är dock vad matematiker kallar en fullständig invariant, vilket betyder att två olika knutar kan ha samma egenskap.
På grund av all denna komplexitet kan det inte vara någon överraskning att tabelleringen av knutar fortfarande pågår. Senast, 2020, Benjamin Burton klassificerade alla prime knots upp till 19 överfarter (varav nästan 300 miljoner).
Traditionell knutteori är bara meningsfull i tre dimensioner: I två dimensioner är endast den oknutna möjliga, och i fyra dimensioner tillåter det extra rummet knutar att lossa sig själva, så varje knut är densamma som den oknutna.
Men i det fyrdimensionella rummet kan vi knyta sfärer. För att få en känsla av vad detta betyder, föreställ dig att skiva en vanlig sfär med jämna mellanrum. Att göra det ger cirklar, som latitudlinjer. Men om vi hade en extra dimension kunde vi knyta ihop sfären så att skivorna, nu tredimensionella snarare än två, kunde vara knutar.
Denna idé låg bakom ett av de största senaste resultaten inom knutteorin. 2018, dåvarande doktorand Lisa Piccirillo avgjorde en 50-årig fråga om en 11-korsande knut som först upptäcktes av John Conway. Frågan hade att göra med en egenskap som kallas sliceness. Som vi har sett, när vi skär en knuten sfär i fyra dimensioner, får vi en knut eller länk i tre dimensioner. Ibland kan vi erhålla en given knut från en snygg, smidigt knuten sfär, men för andra knutar måste sfären knytas och krympa ihop som en pappersbit. Piccirillo bevisade i huvudsak att Conways knut var av den senare typen. På tekniskt språk visade hon att det inte är "smidigt skiva."
Knutteorin har korsat det matematiska landskapet genom århundradena. Det började som ett tillämpat område inom matematiken, med Thomson som försökte använda knutar för att förstå materiens sammansättning. När den idén bleknade blev den ett område av ren matematik, en gren av topologins spännande och fortfarande opraktiska domän. Men på senare år har knutteori återigen blivit ett tillämpat område inom matematiken, eftersom forskare använder idéer från knutteorin för att undersöka vätskedynamik, elektrodynamik, knutna molekyler som DNA och så vidare. Lyckligtvis, medan forskare var upptagna med att studera andra saker, byggde matematiker kataloger över knutar och verktyg för att reda ut deras hemligheter.
