การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ดึงขอบเขตใหม่รอบการก่อตัวของหลุมดำ | นิตยสารควอนตั้ม

แนวคิดสมัยใหม่เกี่ยวกับหลุมดำอยู่กับเราตั้งแต่เดือนกุมภาพันธ์ พ.ศ. 1916 สามเดือนหลังจากที่อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์เปิดเผยทฤษฎีแรงโน้มถ่วงของเขา นั่นคือตอนที่นักฟิสิกส์ คาร์ล ชวาซชิลด์ ท่ามกลางการสู้รบในกองทัพเยอรมันในช่วงสงครามโลกครั้งที่ XNUMX ได้ตีพิมพ์บทความที่มีนัยอันน่าประหลาดใจ: หากมวลเพียงพอถูกจำกัดไว้ภายในบริเวณทรงกลมที่สมบูรณ์ (ล้อมรอบด้วย “รัศมีชวาร์สชิลด์”) ก็ไม่มีอะไรสามารถทำได้ หลบหนีจากแรงดึงดูดอันรุนแรงของวัตถุดังกล่าว แม้แต่ตัวแสงเองก็ตาม ที่ใจกลางของทรงกลมนี้มีภาวะเอกฐานที่ความหนาแน่นเข้าใกล้อนันต์ และฟิสิกส์ที่รู้จักหลุดลอยไป

ตลอดระยะเวลากว่า 100 ปีที่ผ่านมา นักฟิสิกส์และนักคณิตศาสตร์ได้สำรวจคุณสมบัติของวัตถุลึกลับเหล่านี้จากมุมมองของทั้งทฤษฎีและการทดลอง ดังนั้นจึงอาจเป็นเรื่องที่น่าแปลกใจที่ได้ยินว่า “ถ้าคุณเอาพื้นที่ในอวกาศที่มีสสารจำนวนหนึ่งกระจายอยู่ในนั้น และถามนักฟิสิกส์ว่าบริเวณนั้นจะพังทลายลงจนกลายเป็นหลุมดำหรือไม่ เรายังไม่มีเครื่องมือที่จะตอบ คำถามนั้น” กล่าว มาร์คัส คูรีเป็นนักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัย Stony Brook

อย่าสิ้นหวัง คูริและเพื่อนร่วมงานสามคน — สเวน เฮิร์ช ที่สถาบันการศึกษาขั้นสูง เดเมเตร คาซารัส ที่มหาวิทยาลัยดุ๊ก และ อี้เยว่ จาง ที่มหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย เออร์ไวน์ — ได้ออกรายการใหม่ กระดาษ ซึ่งทำให้เราเข้าใกล้การพิจารณาการมีอยู่ของหลุมดำโดยพิจารณาจากความเข้มข้นของสสารเพียงอย่างเดียว นอกจากนี้ รายงานของพวกเขายังพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ว่าหลุมดำที่มีมิติสูงกว่านั้นสามารถมีอยู่ได้ ซึ่งไม่ใช่สิ่งที่สามารถพูดได้อย่างมั่นใจมาก่อน

เพื่อนำเสนอบทความล่าสุดในบริบท มันอาจจะคุ้มค่าที่จะย้อนกลับไปถึงปี 1964 ซึ่งเป็นปีที่โรเจอร์ เพนโรสเริ่มแนะนำทฤษฎีบทเอกภาวะซึ่งทำให้เขาได้รับส่วนแบ่งใน 2020 รางวัลโนเบลในสาขาฟิสิกส์. เพนโรสพิสูจน์ว่าถ้ากาลอวกาศมีสิ่งที่เรียกว่าพื้นผิวติดกับดักแบบปิด ซึ่งเป็นพื้นผิวที่มีความโค้งมากจนแสงที่ส่องออกไปด้านนอกถูกพันรอบและหันเข้าด้านใน ก็จะต้องมีเอกภาวะด้วย

มันเป็นผลลัพธ์ที่ยิ่งใหญ่ ส่วนหนึ่งเป็นเพราะเพนโรสได้นำเครื่องมือใหม่ๆ อันทรงพลังตั้งแต่เรขาคณิตและโทโพโลยีมาสู่การศึกษาหลุมดำและปรากฏการณ์อื่นๆ ในทฤษฎีของไอน์สไตน์ แต่งานของเพนโรสไม่ได้บอกชัดเจนว่าต้องทำอย่างไรจึงจะสร้างพื้นผิวที่ติดกับดักแบบปิดตั้งแต่แรก

ในปี 1972 นักฟิสิกส์ คิป ธอร์น ก้าวไปในทิศทางนั้นด้วยการกำหนดการคาดเดาแบบห่วง Thorne ตระหนักดีว่าการค้นหาว่าวัตถุที่ไม่ใช่ทรงกลมซึ่งขาดความสมมาตรตามความพยายามบุกเบิกของ Schwarzschild จะพังลงไปในหลุมดำหรือไม่นั้น “ยากกว่ามากในการคำนวณ [และ] เกินกว่าพรสวรรค์ของฉันจริงๆ” (ธอร์นจะคว้าแชมป์. 2017 รางวัลโนเบลในสาขาฟิสิกส์.) แต่เขารู้สึกว่าการคาดเดาของเขาอาจทำให้ปัญหาจัดการได้ง่ายขึ้น แนวคิดพื้นฐานคือต้องหามวลของวัตถุที่กำหนดก่อน จากนั้นจึงคำนวณรัศมีวิกฤตของห่วงที่วัตถุนั้นต้องใส่เข้าไปได้ ไม่ว่าห่วงจะวางในทิศทางใดก็ตาม เพื่อทำให้การก่อตัวของหลุมดำเป็นสิ่งที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ มันเหมือนกับการแสดงให้เห็นว่าฮูลาฮูปที่พันรอบเอวของคุณได้ หากหมุนได้ 360 องศา ก็สามารถสวมได้พอดีกับลำตัวที่ยาวทั้งหมด รวมถึงเท้าและศีรษะด้วย หากวัตถุพอดี มันจะยุบเป็นหลุมดำ

“การคาดเดาแบบห่วงไม่ได้ถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจน” คาซารัสให้ความเห็น “ธอร์นจงใจใช้ถ้อยคำที่คลุมเครือโดยหวังว่าผู้อื่นจะให้ข้อความที่แม่นยำยิ่งขึ้น”

ในปี 1983 นักคณิตศาสตร์ Richard Schoen และ Shing-Tung Yau มีหน้าที่ พิสูจน์เวอร์ชันที่สำคัญของการคาดเดาแบบห่วงซึ่งต่อมาเรียกว่าทฤษฎีบทการดำรงอยู่ของหลุมดำ ในการโต้แย้งทางคณิตศาสตร์ที่ชัดเจน Schoen และ Yau ได้แสดงให้เห็นแล้วว่าจะต้องอัดสสารจำนวนเท่าใดลงในปริมาตรที่กำหนดเพื่อกระตุ้นความโค้งของกาลอวกาศซึ่งจำเป็นต่อการสร้างพื้นผิวที่ติดอยู่แบบปิด

Kazaras ยกย่องผลงาน Schoen-Yau ในเรื่องความคิดริเริ่มและลักษณะทั่วไป เทคนิคของพวกเขาสามารถเปิดเผยได้ว่าโครงร่างของสสารใดๆ โดยไม่คำนึงถึงความสมมาตร ถูกกำหนดให้กลายเป็นหลุมดำหรือไม่ แต่แนวทางของพวกเขามีข้อเสียเปรียบอย่างมาก วิธีที่พวกเขาวัดขนาดของพื้นที่ที่กำหนด โดยการกำหนดรัศมีของทอรัสหรือโดนัทที่อ้วนที่สุดที่สามารถใส่เข้าไปข้างในได้นั้น สำหรับผู้สังเกตการณ์หลายคนนั้น "ยุ่งยากและไม่เป็นธรรมชาติ" คาซารัสกล่าว และด้วยเหตุนี้จึงทำไม่ได้

บทความล่าสุดเสนอทางเลือกอื่น นวัตกรรมที่สำคัญอย่างหนึ่งของ Schoen และ Yau คือการรับรู้ว่าสมการที่นักฟิสิกส์ Pong Soo Jang คิดค้นขึ้น ซึ่งเดิมทีไม่เกี่ยวข้องกับหลุมดำ สามารถ “ระเบิด” ไปสู่จุดอนันต์ได้ที่จุดใดจุดหนึ่งในอวกาศ น่าประหลาดใจที่มันระเบิดเกิดขึ้นพร้อมกับตำแหน่งของพื้นผิวที่ปิดติดอยู่ ดังนั้นหากคุณต้องการหาพื้นผิวแบบนั้น ให้หาก่อนว่าสมการ Jang ไปถึงจุดอนันต์ที่ไหน “ในโรงเรียนมัธยม เรามักจะพยายามแก้สมการเมื่อผลเฉลยเท่ากับศูนย์” นักคณิตศาสตร์อธิบาย มู่เต้าหวัง ของมหาวิทยาลัยโคลัมเบีย “ในกรณีนี้ เรากำลังพยายามแก้สมการ [Jang] เพื่อให้ได้คำตอบที่ไม่มีที่สิ้นสุด”

Hirsch, Kazaras, Khuri และ Zhang ก็อาศัยสมการจางเช่นกัน แต่นอกเหนือจากพรูแล้ว พวกเขายังใช้ลูกบาศก์ซึ่งอาจทำให้เสียรูปร้ายแรงได้ แนวทางนี้ “คล้ายกับแนวคิดของ Thorne โดยใช้ห่วงสี่เหลี่ยมแทนห่วงวงกลมแบบดั้งเดิม” Khuri กล่าว มันดึงมาจาก "ความไม่เท่าเทียมกันของลูกบาศก์" ที่พัฒนาโดยนักคณิตศาสตร์ มิคาอิล กรอมอฟ ความสัมพันธ์นี้เชื่อมโยงขนาดของลูกบาศก์เข้ากับความโค้งของพื้นที่ภายในและรอบๆ

บทความใหม่แสดงให้เห็นว่าหากคุณสามารถหาลูกบาศก์ที่ไหนสักแห่งในอวกาศซึ่งมีความเข้มข้นของสสารมากเมื่อเทียบกับขนาดของลูกบาศก์ ก็จะเกิดพื้นผิวที่ติดอยู่ “การวัดนี้ตรวจสอบได้ง่ายกว่ามาก” กว่าการวัดที่เกี่ยวข้องกับพรูกล่าว เผิงซี เหมียวนักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยไมอามี “เพราะสิ่งที่คุณต้องคำนวณคือระยะห่างระหว่างใบหน้าตรงข้ามที่ใกล้ที่สุดสองใบของลูกบาศก์”

นักคณิตศาสตร์ยังสามารถสร้างโดนัท (โทริ) และลูกบาศก์ในมิติที่สูงกว่าได้ เพื่อขยายการพิสูจน์การดำรงอยู่ของหลุมดำไปยังอวกาศเหล่านี้ Hirsch และเพื่อนร่วมงานจึงสร้างความเข้าใจเชิงเรขาคณิตที่พัฒนาขึ้นในช่วงสี่ทศวรรษนับตั้งแต่รายงานของ Schoen และ Yau ในปี 1983 ทีมงานไม่สามารถไปได้ไกลเกินกว่ามิติอวกาศทั้งเจ็ดได้ เนื่องจากความแปลกประหลาดเริ่มปรากฏขึ้นในผลลัพธ์ของพวกเขา “การหลีกเลี่ยงความแปลกประหลาดเหล่านั้นเป็นจุดยึดที่พบบ่อยในเรขาคณิต” คูริกล่าว

เขากล่าวว่าขั้นตอนถัดไปที่เป็นตรรกะคือการพิสูจน์การมีอยู่ของหลุมดำโดยอาศัย "มวลกึ่งเฉพาะที่" ซึ่งรวมถึงพลังงานที่มาจากทั้งสสารและการแผ่รังสีความโน้มถ่วง มากกว่าจากสสารเพียงอย่างเดียว นั่นไม่ใช่เรื่องง่าย ส่วนหนึ่งเป็นเพราะไม่มีคำจำกัดความที่ตกลงกันในระดับสากลสำหรับมวลกึ่งท้องถิ่น

ในขณะเดียวกัน ก็มีคำถามอีกข้อหนึ่งเกิดขึ้น: ในการสร้างหลุมดำที่มีสามมิติเชิงพื้นที่ วัตถุจะต้องได้รับการบีบอัดทั้งสามทิศทางดังที่ Thorne ยืนกราน หรือสามารถบีบอัดในสองทิศทางหรือเพียงทิศทางเดียวก็เพียงพอแล้ว หลักฐานทั้งหมดชี้ว่าคำกล่าวของ Thorne เป็นความจริง คูริกล่าว แม้ว่าจะยังไม่ได้รับการพิสูจน์ก็ตาม อันที่จริง มันเป็นเพียงหนึ่งในหลายคำถามเปิดที่ยังคงมีอยู่เกี่ยวกับหลุมดำหลังจากที่พวกมันปรากฏตัวครั้งแรกเมื่อกว่าหนึ่งศตวรรษก่อนในสมุดบันทึกของทหารเยอรมัน