บทพิสูจน์ใหม่ตอกเข็มลงบนปัญหาเรขาคณิตเหนียว | นิตยสารควอนตั้ม

ในปี 1917 นักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่น Sōichi Kakeya ได้สร้างสิ่งที่ตอนแรกดูเหมือนไม่มีอะไรมากไปกว่าแบบฝึกหัดสนุกๆ เกี่ยวกับเรขาคณิต วางเข็มยาวหนึ่งนิ้วที่บางเป็นอนันต์ลงบนพื้นผิวที่เรียบ จากนั้นหมุนเพื่อให้เข็มชี้ไปทุกทิศทุกทาง พื้นที่ที่เล็กที่สุดที่เข็มกวาดออกได้คือเท่าใด

หากคุณเพียงแค่หมุนรอบจุดศูนย์กลาง คุณจะได้วงกลม แต่เป็นไปได้ที่จะขยับเข็มด้วยวิธีที่สร้างสรรค์ เพื่อให้คุณเจาะพื้นที่น้อยลงมาก ตั้งแต่นั้นมา นักคณิตศาสตร์ได้ตั้งคำถามที่เกี่ยวข้องในเวอร์ชันนี้ ซึ่งเรียกว่าการคาดคะเนของคาเคยะ ในความพยายามที่จะแก้ปัญหานี้ พวกเขาได้ค้นพบความเชื่อมโยงที่น่าประหลาดใจกับการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก ทฤษฎีจำนวน และแม้แต่ฟิสิกส์

“ยังไงก็ตาม รูปทรงเรขาคณิตของเส้นที่ชี้ไปในทิศทางต่างๆ กันนี้มีอยู่ทั่วไปในทุกหนทุกแห่งในวิชาคณิตศาสตร์เป็นส่วนใหญ่” กล่าว โจนาธาน ฮิคแมน ของมหาวิทยาลัยเอดินเบอระ

แต่ก็ยังเป็นสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ยังไม่เข้าใจ ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา พวกเขาได้พิสูจน์การคาดคะเนของคาเคยะในรูปแบบต่างๆ ในการตั้งค่าที่ง่ายขึ้นแต่คำถามยังคงไม่ได้รับการแก้ไขในพื้นที่สามมิติปกติ ในบางครั้ง ดูเหมือนว่าความคืบหน้าทั้งหมดจะหยุดอยู่กับการคาดคะเนเวอร์ชันนั้น แม้ว่าจะมีผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์มากมายก็ตาม

ตอนนี้ นักคณิตศาสตร์สองคนได้ขยับเข็มแล้ว บทพิสูจน์ใหม่ของพวกเขา กระทบกับสิ่งกีดขวางที่สำคัญ ที่ยืนหยัดมานานหลายทศวรรษ - ความหวังที่จุดประกายอีกครั้งว่าในที่สุดทางออกอาจปรากฏขึ้น

ดีลเล็กคืออะไร?

คาเคยะสนใจฉากในระนาบที่มีส่วนของเส้นตรงยาว 1 ในทุกทิศทาง มีตัวอย่างมากมายของชุดดังกล่าว ชุดที่ง่ายที่สุดคือดิสก์ที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 1 Kakeya ต้องการทราบว่าชุดดังกล่าวที่เล็กที่สุดจะมีลักษณะอย่างไร

เขาเสนอรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเว้าเข้าเล็กน้อย เรียกว่าเดลทอยด์ ซึ่งมีพื้นที่ครึ่งหนึ่งของดิสก์ อย่างไรก็ตาม มันกลับกลายเป็นว่ามันเป็นไปได้ที่จะทำได้ดีขึ้นมาก

ในปี 1919 เพียงสองสามปีหลังจากที่ Kakeya ตั้งโจทย์ของเขา Abram Besicovitch นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียได้แสดงให้เห็นว่าหากคุณจัดเข็มของคุณด้วยวิธีที่เจาะจง คุณจะสามารถสร้างฉากที่ดูมีหนามซึ่งมีพื้นที่เล็กๆ ตามอำเภอใจได้ (เนื่องจากสงครามโลกครั้งที่หนึ่งและการปฏิวัติรัสเซีย ผลลัพธ์ของเขาจะไม่ไปถึงส่วนที่เหลือของโลกทางคณิตศาสตร์เป็นเวลาหลายปี)

เพื่อดูว่าวิธีนี้ใช้ได้ผลอย่างไร ให้นำสามเหลี่ยมมาแยกตามฐานเป็นชิ้นสามเหลี่ยมที่บางลง จากนั้นเลื่อนชิ้นส่วนเหล่านั้นไปรอบ ๆ เพื่อให้ทับซ้อนกันมากที่สุด แต่ยื่นออกมาในทิศทางที่ต่างกันเล็กน้อย ทำซ้ำขั้นตอนนี้ซ้ำแล้วซ้ำอีก แบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นเศษเล็กเศษน้อยและจัดเรียงอย่างระมัดระวังในที่ว่าง คุณสามารถทำให้ชุดของคุณมีขนาดเล็กเท่าที่คุณต้องการ ในขีดจำกัดที่ไม่มีที่สิ้นสุด คุณสามารถได้รับชุดที่ไม่มีพื้นที่ในทางคณิตศาสตร์ แต่ยังคงสามารถรองรับเข็มที่ชี้ไปในทิศทางใดก็ได้ ในทางที่ขัดแย้งกัน

“นั่นเป็นเรื่องที่น่าแปลกใจและขัดกับสัญชาตญาณ” กล่าว รุ่ยเซียงจาง แห่งมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย เบิร์กลีย์ “มันเป็นชุดที่มีพยาธิสภาพมาก”

ผลลัพธ์นี้สามารถสรุปเป็นมิติที่สูงขึ้น: เป็นไปได้ที่จะสร้างชุดที่มีปริมาณน้อยตามอำเภอใจซึ่งมีส่วนของเส้นหน่วยที่ชี้ไปทุกทิศทางใน n- พื้นที่มิติ

Besicovitch ดูเหมือนจะตอบคำถามของ Kakeya ได้อย่างสมบูรณ์ แต่หลายทศวรรษต่อมา นักคณิตศาสตร์เริ่มทำงานในรูปแบบอื่นของปัญหาโดยแทนที่พื้นที่ (หรือปริมาตร ในกรณีมิติที่สูงกว่า) ด้วยแนวคิดเรื่องขนาดที่ต่างออกไป

เพื่อทำความเข้าใจการเรียบเรียงคำถามใหม่นี้ ก่อนอื่นให้นำแต่ละส่วนของเส้นในชุด Kakeya มาทำให้อ้วนขึ้นเล็กน้อย ราวกับว่าคุณกำลังใช้เข็มจริงๆ แทนที่จะเป็นเส้นในอุดมคติ ในระนาบ ชุดของคุณจะประกอบด้วยสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่บางมาก ในพื้นที่สามมิติ คุณจะมีชุดท่อที่บางมาก

ชุดอ้วนเหล่านี้มีพื้นที่เสมอ (หรือปริมาตร แต่เราจะยึดกรณีสองมิติไว้ก่อน) เมื่อคุณเปลี่ยนความกว้างของเข็ม พื้นที่นี้จะเปลี่ยนไป ในปี 1970 นักคณิตศาสตร์ Roy Davies (ซึ่งเสียชีวิตเมื่อเดือนที่แล้ว) ได้แสดงให้เห็นว่าหากพื้นที่ทั้งหมดเปลี่ยนไปเพียงเล็กน้อย ความกว้างของเข็มแต่ละเข็มจะต้องเปลี่ยนไปอย่างมาก ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการให้ชุดเบซิโควิชรุ่นอ้วนขึ้นมีพื้นที่ 1/10 ของตารางนิ้ว เข็มแต่ละเล่มต้องมีความหนาประมาณ 0.000045 นิ้ว: e^-10 หนึ่งนิ้วเพื่อความแม่นยำ แต่ถ้าคุณต้องการทำให้พื้นที่ทั้งหมด 1/100 ของตารางนิ้ว — เล็กลง 10 เท่า — เข็มจะต้องเป็น e^-100 หนาหนึ่งนิ้ว (สี่สิบสามศูนย์ตามจุดทศนิยมก่อนที่จะถึงหลักอื่นๆ)

“ถ้าคุณบอกฉันว่าคุณต้องการพื้นที่เล็กแค่ไหน ฉันก็ต้องสั่งเข็มที่บางอย่างไม่น่าเชื่อ” กล่าว ชาร์ลส์ เฟเฟอร์แมน ของมหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน

นักคณิตศาสตร์วัด "ขนาด" ของชุด Kakeya โดยใช้ปริมาณที่เรียกว่ามิติ Minkowski ซึ่งสัมพันธ์กันแต่ไม่ถึงกับเหมือนกับมิติทั่วไป (กำหนดเป็นจำนวนทิศทางอิสระที่คุณต้องการอธิบายช่องว่าง)

ต่อไปนี้คือวิธีคิดเกี่ยวกับมิติของ Minkowski: นำชุดของคุณแล้วหุ้มด้วยลูกบอลขนาดเล็กที่แต่ละลูกมีเส้นผ่านศูนย์กลางหนึ่งในล้านของหน่วยที่คุณต้องการ หากชุดของคุณเป็นส่วนของเส้นตรงความยาว 1 คุณจะต้องใช้ลูกบอลอย่างน้อย 1 ล้านลูกเพื่อให้ครอบคลุม ถ้าเซตของคุณเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสของพื้นที่ 1 คุณจะต้องการอีกมาก เช่น ล้านกำลังสองหรือหนึ่งล้านล้าน สำหรับทรงกลมปริมาตร 1 จะมีประมาณ 1 ล้านลูกบาศก์ (หนึ่งล้านล้าน) ไปเรื่อยๆ มิติ Minkowski คือค่าของเลขชี้กำลังนี้ วัดอัตราที่จำนวนลูกบอลที่คุณต้องการเพื่อให้ครอบคลุมชุดของคุณเพิ่มขึ้นเมื่อเส้นผ่านศูนย์กลางของลูกบอลแต่ละลูกเล็กลง ส่วนของเส้นตรงมีมิติ 1 สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีมิติ 2 และลูกบาศก์มีมิติ 3

ขนาดเหล่านี้คุ้นเคย แต่การใช้คำจำกัดความของ Minkowski ทำให้สามารถสร้างเซตที่มีขนาดเท่ากับ 2.7 ได้ แม้ว่าชุดดังกล่าวจะไม่เติมเต็มพื้นที่สามมิติ แต่ก็ "ใหญ่กว่า" พื้นผิวสองมิติในแง่หนึ่ง

เมื่อคุณปิดชุดด้วยลูกบอลที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางที่กำหนด คุณกำลังประมาณปริมาตรของรุ่นอ้วนขึ้นของชุด ยิ่งปริมาตรของเข็มลดลงช้าลงตามขนาดของเข็ม คุณก็ยิ่งต้องใช้ลูกบอลมากขึ้น คุณจึงสามารถเขียนผลลัพธ์ของเดวีส์ใหม่ได้ ซึ่งระบุว่าพื้นที่ของชุด Kakeya ในระนาบลดลงอย่างช้าๆ เพื่อแสดงว่าชุดนั้นต้องมีมิติ Minkowski เป็น 2 การคาดคะเนของ Kakeya สรุปการอ้างสิทธิ์นี้ให้มีมิติที่สูงขึ้น: ชุด Kakeya จะต้อง จะมีมิติเดียวกับพื้นที่ที่มันอาศัยอยู่เสมอ

คำพูดง่ายๆ นั้นพิสูจน์ได้ยากอย่างน่าประหลาดใจ

หอคอยแห่งการคาดเดา

จนกระทั่งเฟฟเฟอร์แมนทำ การค้นพบที่น่าตกใจ ในปี 1971 การคาดคะเนถูกมองว่าเป็นเรื่องอยากรู้อยากเห็น

เขากำลังแก้ไขปัญหาที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงในเวลานั้น เขาต้องการทำความเข้าใจเกี่ยวกับการแปลงฟูริเยร์ ซึ่งเป็นเครื่องมืออันทรงพลังที่ช่วยให้นักคณิตศาสตร์สามารถศึกษาฟังก์ชันโดยการเขียนผลรวมของคลื่นไซน์ ลองนึกถึงโน้ตดนตรีซึ่งประกอบด้วยความถี่ที่ทับซ้อนกันจำนวนมาก (นั่นเป็นสาเหตุที่เสียง C กลางบนเปียโนแตกต่างจากเสียง C กลางบนไวโอลิน) การแปลงฟูริเยร์ช่วยให้นักคณิตศาสตร์สามารถคำนวณความถี่ที่เป็นส่วนประกอบของโน้ตตัวใดตัวหนึ่งได้ หลักการเดียวกันนี้ใช้ได้กับเสียงที่ซับซ้อนพอๆ กับคำพูดของมนุษย์

นักคณิตศาสตร์ยังต้องการทราบว่าพวกเขาสามารถสร้างฟังก์ชันเดิมขึ้นมาใหม่ได้หรือไม่ หากพวกเขาได้รับความถี่ที่เป็นองค์ประกอบมากมายนับไม่ถ้วนของมันมาเพียงบางส่วน พวกเขามีความเข้าใจที่ดีเกี่ยวกับวิธีการทำเช่นนี้ในมิติเดียว แต่ในมิติที่สูงกว่า พวกเขาสามารถเลือกได้หลากหลายเกี่ยวกับความถี่ที่จะใช้และความถี่ใดที่ควรละเว้น Fefferman พิสูจน์ให้เพื่อนร่วมงานประหลาดใจว่าคุณอาจล้มเหลวในการสร้างฟังก์ชันใหม่เมื่ออาศัยวิธีการเลือกความถี่ที่รู้จักกันดีโดยเฉพาะ

หลักฐานของเขาขึ้นอยู่กับการสร้างฟังก์ชั่นโดยการปรับเปลี่ยนชุด Kakeya ของ Besicovitch ต่อมาสิ่งนี้ได้สร้างแรงบันดาลใจให้นักคณิตศาสตร์พัฒนาลำดับชั้นของการคาดเดาเกี่ยวกับพฤติกรรมในมิติที่สูงขึ้นของการแปลงฟูริเยร์ ทุกวันนี้ ลำดับชั้นยังมีการคาดเดาเกี่ยวกับพฤติกรรมของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่สำคัญในฟิสิกส์ เช่น สมการชโรดิงเงอร์ การคาดเดาแต่ละครั้งในลำดับชั้นจะบ่งบอกถึงสิ่งที่อยู่ด้านล่างโดยอัตโนมัติ

การคาดคะเนของคาเคยะอยู่ที่ฐานสุดของหอคอยแห่งนี้ หากเป็นเท็จ ข้อความในลำดับชั้นก็จะสูงขึ้นตามไปด้วย ในทางกลับกัน การพิสูจน์ว่าเป็นความจริงไม่ได้หมายความถึงความจริงของการคาดเดาที่อยู่ด้านบนในทันที แต่อาจให้เครื่องมือและข้อมูลเชิงลึกในการโจมตีสิ่งเหล่านั้น

“สิ่งที่น่าทึ่งเกี่ยวกับการคาดคะเนของคาเคยะคือมันไม่ใช่แค่ปัญหาสนุกๆ มันเป็นคอขวดทางทฤษฎีอย่างแท้จริง” ฮิคแมนกล่าว “เราไม่เข้าใจปรากฏการณ์เหล่านี้มากมายในสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยและการวิเคราะห์ฟูริเยร์ เพราะเราไม่เข้าใจเซต Kakeya เหล่านี้”

ฟักแผน

การพิสูจน์ของ Fefferman ร่วมกับการค้นพบความเชื่อมโยงกับทฤษฎีจำนวน การรวมกัน และด้านอื่นๆ ในเวลาต่อมา ได้ฟื้นความสนใจในปัญหา Kakeya ในหมู่นักคณิตศาสตร์ชั้นนำ

ในปี 1995 โทมัส วูล์ฟได้พิสูจน์ว่ามิติของ Minkowski ของ Kakeya ที่ตั้งอยู่ในพื้นที่ 3 มิติต้องมีอย่างน้อย 2.5 ขอบเขตล่างนั้นยากที่จะเพิ่มขึ้น จากนั้นในปี 1999 นักคณิตศาสตร์ เน็ตแคทซ์, อิซาเบลลา วาบา และ เทอเรนซ์เต๋า สามารถเอาชนะมันได้ ขอบเขตใหม่ของพวกเขา: 2.500000001 แม้ว่าการปรับปรุงจะเล็กน้อยเพียงใด แต่ก็เอาชนะอุปสรรคทางทฤษฎีขนาดใหญ่ได้ กระดาษของพวกเขาคือ ตีพิมพ์ใน พงศาวดารของคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นวารสารที่มีชื่อเสียงที่สุดของภาคสนาม

ต่อมา Katz และ Tao หวังว่าจะใช้แนวคิดบางอย่างจากงานนั้นเพื่อโจมตีการคาดเดา 3 มิติของ Kakeya ด้วยวิธีที่ต่างออกไป พวกเขาตั้งสมมติฐานว่าตัวอย่างใด ๆ จะต้องมีคุณสมบัติพิเศษสามประการ และการอยู่ร่วมกันของคุณสมบัติเหล่านั้นจะต้องนำไปสู่ความขัดแย้ง ถ้าพวกเขาพิสูจน์ได้ ก็หมายความว่าการคาดคะเนของคาเคยะเป็นจริงในสามมิติ

พวกเขาไม่สามารถไปได้ตลอดทาง แต่พวกเขาก็มีความคืบหน้าบ้าง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พวกเขา (ร่วมกับนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ) แสดงให้เห็นว่าตัวอย่างใดตัวอย่างหนึ่งต้องมีคุณสมบัติสองในสามคุณสมบัตินี้ ต้องเป็น "ระนาบ" ซึ่งหมายความว่าเมื่อใดก็ตามที่ส่วนของเส้นตรงตัดกัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง ส่วนเหล่านั้นก็เกือบจะอยู่ในระนาบเดียวกันด้วย นอกจากนี้ยังต้องเป็น "เม็ดเล็ก" ซึ่งต้องการให้ระนาบของจุดตัดใกล้เคียงมีทิศทางใกล้เคียงกัน

ที่เหลือคุณสมบัติที่สาม. ในชุด "เหนียว" ส่วนของเส้นที่ชี้ไปเกือบทิศทางเดียวกันจะต้องอยู่ใกล้กันในอวกาศด้วย Katz และ Tao ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าตัวอย่างทั้งหมดจะต้องเหนียว แต่โดยสังหรณ์ใจแล้ว ชุดเหนียวดูเหมือนเป็นวิธีที่ดีที่สุดในการบังคับส่วนที่ทับซ้อนกันมากระหว่างส่วนของเส้น จึงทำให้ชุดมีขนาดเล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ซึ่งเป็นสิ่งที่คุณต้องการในการสร้างตัวอย่างตรงข้าม หากมีใครสามารถแสดงว่าชุด Kakeya แบบเหนียวมีขนาด Minkowski น้อยกว่า 3 มันจะหักล้างการคาดเดา 3 มิติของ Kakeya “ดูเหมือนว่า 'เหนียว' จะเป็นกรณีที่น่าเป็นห่วงที่สุด” กล่าว แลร์รี่ กัธ ของสถาบันเทคโนโลยีแมสซาชูเซตส์

ไม่ต้องกังวลอีกต่อไป

จุดติด

ในปี 2014 — กว่าทศวรรษหลังจากที่ Katz และ Tao พยายามพิสูจน์การคาดคะเนของ Kakeya — Tao โพสต์โครงร่างของแนวทางของพวกเขา ในบล็อกของเขา เปิดโอกาสให้นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ได้ลองด้วยตัวเอง

ใน 2021, หงหวางนักคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัยนิวยอร์ก และ โจชัว ซาห์ล แห่งมหาวิทยาลัยบริติช โคลัมเบีย ตัดสินใจเลือกจุดที่เทาและแคทซ์จากไป

พวกเขาเริ่มต้นด้วยการสันนิษฐานว่ามีตัวอย่างตอบโต้แบบเหนียวที่มีมิติของ Minkowski น้อยกว่า 3 พวกเขารู้จากงานก่อนหน้านี้ว่าตัวอย่างตอบโต้ดังกล่าวต้องมีลักษณะเป็นแผนและเป็นเม็ดเล็กๆ “เราอยู่ในโลกแบบที่ Terry Tao และ Nets Katz กำลังนึกถึง” Zahl กล่าว ตอนนี้พวกเขาจำเป็นต้องแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติที่เป็นเม็ดเล็กๆ เป็นเม็ดเล็กๆ และเหนียวเหนอะหนะเล่นออกจากกันและนำไปสู่ความขัดแย้ง ซึ่งหมายความว่าตัวอย่างที่ย้อนแย้งนี้ไม่สามารถมีอยู่จริงได้

อย่างไรก็ตาม เพื่อให้ได้ข้อขัดแย้งนั้น Wang และ Zahl ได้เบนความสนใจไปในทิศทางที่ Katz และ Tao คาดไม่ถึง นั่นคือพื้นที่ที่เรียกว่าทฤษฎีการฉายภาพ

พวกเขาเริ่มต้นด้วยการวิเคราะห์โครงสร้างของตัวอย่างที่เหนียวแน่นในรายละเอียดเพิ่มเติม หากคุณพิจารณารูปแบบอุดมคติของชุด ชุดนั้นมีส่วนเส้นจำนวนไม่จำกัดที่ชี้ไปทุกทิศทุกทาง แต่ในปัญหานี้ จำไว้ว่าคุณกำลังเผชิญกับส่วนที่อ้วนขึ้นของส่วนของเส้นเหล่านั้น — เข็มจำนวนมาก เข็มแต่ละอันสามารถประกอบด้วยส่วนของเส้นในอุดมคติจำนวนมาก หมายความว่าคุณสามารถเข้ารหัสชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดทั้งหมดด้วยจำนวนเข็มที่จำกัด ชุดไขมันของคุณอาจดูแตกต่างกันมากขึ้นอยู่กับความหนาของเข็ม

หากชุดเหนียวจะดูเหมือนกันมากหรือน้อยไม่ว่าเข็มจะหนาแค่ไหนก็ตาม

Wang และ Zahl ใช้คุณสมบัตินี้เพื่อแสดงให้เห็นว่าเมื่อเข็มบางลง ชุดก็จะดูเรียบๆ มากขึ้น ด้วยกระบวนการนี้ พวกเขาสามารถ “แยกวัตถุที่มีพยาธิสภาพได้มากขึ้น” ซาห์ลกล่าว ซึ่งเป็นสิ่งที่ดูเหมือนจะมีคุณสมบัติที่เป็นไปไม่ได้

นั่นคือสิ่งที่พวกเขาแสดงต่อไป พวกเขาพิสูจน์ว่าวัตถุทางพยาธิวิทยานี้ต้องดูอย่างใดอย่างหนึ่งจากสองวิธี ซึ่งทั้งสองอย่างนี้นำไปสู่ความขัดแย้ง ไม่ว่าคุณจะสามารถฉายภาพลงในพื้นที่ 2 มิติด้วยวิธีที่ทำให้มันเล็กลงมากในหลายๆ ทิศทาง ซึ่งเป็นสิ่งที่ Wang และเพื่อนร่วมงานของเธอเพิ่งมี แสดงว่าเป็นไปไม่ได้. หรือในกรณีที่สอง เข็มในชุดจะถูกจัดระเบียบตามลักษณะการทำงานที่เฉพาะเจาะจงมาก ซึ่ง Zahl และผู้ร่วมงานของเขาเพิ่งพิสูจน์ให้เห็น ไม่สามารถอยู่ได้เพราะจะนำไปสู่การคาดคะเนแบบอื่นที่ไม่สมเหตุสมผล

ตอนนี้ Wang และ Zahl มีความขัดแย้งกัน — หมายความว่าไม่มีตัวอย่างที่ขัดแย้งกับการคาดคะเนของ Kakeya (พวกเขาแสดงสิ่งนี้ไม่เฉพาะสำหรับมิติ Minkowski เท่านั้น แต่ยังรวมถึงปริมาณที่เกี่ยวข้องที่เรียกว่ามิติ Hausdorff ด้วย) “ผลลัพธ์จะกำหนดตัวอย่างโต้แย้งทั้งคลาสนี้” Zahl กล่าว — ประเภทของเซตที่นักคณิตศาสตร์พิจารณาว่าน่าจะหักล้างได้มากที่สุด การคาดเดา

ผลงานชิ้นใหม่นี้ “เป็นการสนับสนุนอย่างมากสำหรับการคาดคะเนของ Kakeya ที่เป็นจริง” กล่าว ปาโบล เชเมอร์กิน ของมหาวิทยาลัยบริติชโคลัมเบีย แม้ว่าจะใช้กับกรณีสามมิติเท่านั้น แต่เทคนิคบางอย่างอาจมีประโยชน์ในมิติที่สูงขึ้น หลังจากใช้เวลาหลายปีในการพัฒนาการคาดคะเนในระบบจำนวนอื่น นักคณิตศาสตร์รู้สึกตื่นเต้นกับการกลับคืนสู่โดเมนเดิมของปัญหาที่เป็นจำนวนจริง

“เป็นเรื่องน่าทึ่งที่พวกเขาไขคดีนี้ได้อย่างสมบูรณ์” จางกล่าว “ในสภาพแวดล้อมจริงนั้นหายากมาก” และถ้าใครสามารถพิสูจน์ได้ว่า counterexample ต้องมีความเหนียว ผลลัพธ์ใหม่จะบ่งบอกถึงการคาดเดาทั้งหมดในรูปแบบสามมิติ ลำดับชั้นของการคาดคะเนที่สร้างขึ้นเหนือมันจะยังคงปลอดภัย รากฐานของมันมั่นคง

“อย่างไรก็ตาม ทั้งสองปัญหาที่แตกต่างกันในทฤษฎีการฉายภาพ ซึ่งดูเผิน ๆ แล้วไม่ได้เกี่ยวข้องกันมากนัก เข้ากันได้ดีทีเดียวที่จะให้สิ่งที่จำเป็นสำหรับ Kakeya” Zahl กล่าว