บัณฑิตปีแรกพบชุดตัวเลขที่ขัดแย้งกัน | นิตยสารควอนตั้ม

นักคณิตศาสตร์ชื่นชมยินดีเมื่อพิสูจน์ได้ว่าสิ่งที่ดูเหมือนเป็นไปไม่ได้นั้นมีอยู่จริง ดังกล่าวเป็นกรณีที่มีก บทพิสูจน์ใหม่ โพสต์ออนไลน์ในเดือนมีนาคมโดย เซดริก ปีลาตต์ซึ่งเป็นนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาปีแรกที่มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด

Pilatte พิสูจน์ว่าเป็นไปได้ที่จะสร้างชุด - คอลเลกชันของตัวเลข - ซึ่งเป็นไปตามคุณสมบัติสองอย่างที่ดูเหมือนจะเข้ากันไม่ได้ อย่างแรกคือไม่มีตัวเลขสองคู่ในชุดรวมกันแล้วมีผลรวมเท่ากัน ตัวอย่างเช่น บวกเลขสองตัวใดๆ ใน {1, 3, 5, 11} แล้วคุณจะได้เลขเฉพาะเสมอ เป็นเรื่องง่ายที่จะสร้างฉาก "ไซดอน" เล็กๆ แบบนี้ แต่เมื่อจำนวนองค์ประกอบเพิ่มขึ้น ความเป็นไปได้ที่ผลรวมจะตรงกันก็ทำลายความเป็นไซดอนของฉากไปด้วย

ข้อกำหนดที่สองคือชุดจะต้องมีขนาดใหญ่มาก ต้องมีค่าเป็นอนันต์ และคุณควรจะสามารถสร้างจำนวนที่มากเพียงพอได้โดยบวกเลขสามตัวในชุดเข้าด้วยกัน คุณสมบัตินี้ซึ่งทำให้ชุดเป็น "พื้นฐานเชิงซีมโทติคของลำดับที่ 3" ต้องใช้ชุดตัวเลขจำนวนมากและหนาแน่น “พวกเขากำลังดึงไปในทิศทางตรงกันข้าม” ปีลาตกล่าว “ชุดของไซดอนถูกจำกัดให้มีขนาดเล็ก และพื้นฐานเชิงเส้นกำกับถูกจำกัดให้มีขนาดใหญ่ ไม่ชัดเจนว่าสามารถทำงานได้”

คำถามที่ว่าชุดดังกล่าวมีอยู่จริงหรือไม่นั้นคงอยู่มานานหลายทศวรรษแล้วนับตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา ถูกวางตัว โดย Paul Erdős นักคณิตศาสตร์ชาวฮังการีที่มีผลงานมากมายและผู้ร่วมงานอีกสองคนในปี 1993 ความหลงใหลของ Erdős ต่อเซต Sidon สามารถโยงไปถึงบทสนทนาที่เขามีในปี 1932 กับ Simon Sidon ผู้ประดิษฐ์ของพวกเขา ซึ่งในขณะนั้นสนใจที่จะทำความเข้าใจอัตราการเติบโตของเซตเหล่านี้ (ต่อมา Erdős อธิบาย Sidon ว่า "บ้ากว่านักคณิตศาสตร์ทั่วไป" ซึ่งเขาเกือบจะหมายถึงคำชมอย่างแน่นอน)

ชุดของไซดอนเกิดขึ้นในบริบททางคณิตศาสตร์ที่หลากหลาย รวมถึงทฤษฎีจำนวน คอมบิเนเตอร์ การวิเคราะห์ฮาร์มอนิก และการเข้ารหัส แต่คำถามง่ายๆ ที่ว่าพวกมันจะยิ่งใหญ่ได้อย่างไรนั้นเป็นปริศนาที่ยืนยงซึ่งแอร์โดครุ่นคิดมาตลอดอาชีพการงานของเขา Erdős ตระหนักตั้งแต่เนิ่นๆ ว่าฉากของ Sidon นั้นยากที่จะปรับขนาดได้ ในปี 1941 เขาและนักคณิตศาสตร์อีกคน พิสูจน์แล้วว่า ชุดไซดอนที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้ซึ่งสมาชิกทั้งหมดน้อยกว่าจำนวนเต็มบางตัว N ต้องเล็กกว่าสแควร์รูทของ N บวกกับเทอมที่เติบโตตามสัดส่วนของรากที่สี่ของ N. (ภายในปี 1969 Bernt Lindström แสดงว่ามีค่าน้อยกว่า $latex sqrt{N}+sqrt[4]{N}+1$ และในปี 2021 นักคณิตศาสตร์อีกกลุ่มหนึ่ง กระชับขอบเขต ถึง $latex sqrt{N}+0.998 คูณ sqrt[4]{N}$.) กล่าวคือ ชุด Sidon จะต้องเบาบาง

เป็นที่ทราบกันมานานแล้วว่าชุดไซดอนไม่สามารถเป็นพื้นฐานเชิงซีมโทติคของลำดับที่ 2 ได้ โดยที่จำนวนเต็มใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของจำนวนได้สูงสุดสองจำนวน (ตัวอย่างเช่น เลขคี่ เป็นพื้นฐานของลำดับที่ 2) ดังที่ปีลาตอธิบายไว้ นี่เป็นเรื่องง่ายมากที่จะแสดงให้เห็นว่านักคณิตศาสตร์ไม่ต้องสนใจที่จะจดมันลงไป: “ลำดับที่ 2 ที่เป็นไปไม่ได้นั้นน่าจะเป็นที่รู้จักเร็วกว่าที่เขียนไว้อย่างชัดเจนในวรรณกรรมเสียอีก” เขาอธิบายว่านี่เป็นเพราะ "ลำดับไซดอนไม่สามารถมีความหนาแน่นเกินค่าที่กำหนดได้ ในขณะที่ฐานซีมโทติคของลำดับที่ 2 มักจะหนาแน่นกว่าเกณฑ์นั้น ดังนั้นคุณสมบัติทั้งสองจึงไม่สามารถคงอยู่พร้อมกันได้"

เชื่อกันว่าพื้นฐานเชิงซีมโทติคของลำดับที่ 3 สามารถสร้างจากฉากไซดอนได้ แต่การพิสูจน์ว่านี่เป็นอีกเรื่องหนึ่ง “ผู้คนเชื่อว่าสิ่งนี้ควรเป็นความจริง” ที่ปรึกษาของปีลาตกล่าว เจมส์เมย์นาร์ด. “แต่มีความยุ่งยากกับเทคนิคที่เราใช้”

มีความคืบหน้าบางอย่างก่อนที่ปีลาตจะรับคำท้า ในปี 2010 Sándor Kiss นักคณิตศาสตร์ชาวฮังการี แสดงให้เห็นว่า ว่าเซตไซดอนสามารถเป็นพื้นฐานเชิงซีมโทติคของลำดับที่ 5 ซึ่งหมายความว่าจำนวนเต็มใดๆ ที่มากเพียงพอสามารถเขียนเป็นผลรวมขององค์ประกอบได้สูงสุดห้าตัวของเซต และในปี 2013 คิสและเพื่อนร่วมงานสองคนของเขา พิสูจน์แล้วว่า การคาดเดาสำหรับพื้นฐานเชิงซีมโทติคของคำสั่ง 4 สองปีต่อมา Javier Cilleruelo นักคณิตศาสตร์ชาวสเปน รับผลลัพธ์เหล่านี้ ก้าวไปอีกขั้นด้วยการพิสูจน์ว่ามันเป็นไปได้ที่จะสร้างชุดไซดอนที่เป็นพื้นฐานเชิงซีมโทติคของคำสั่ง 3 + e, หมายความว่าจำนวนเต็มที่มากพอสมควร N สามารถเขียนเป็นผลรวมของสมาชิกสี่ตัวของเซต Sidon โดยหนึ่งในนั้นเล็กกว่า N^e สำหรับผลบวกเล็กน้อยโดยพลการ e.

การค้นพบเหล่านี้ได้มาจากการแปรผันของวิธีการเชิงความน่าจะเป็นที่บุกเบิกโดย Erdős ซึ่งเกี่ยวข้องกับการสร้างชุดของจำนวนเต็มแบบสุ่มและปรับแต่งเล็กน้อยเพื่อสร้างชุดที่ตรงตามคุณสมบัติทั้งสอง

ปีลาตตระหนักว่าวิธีเชิงความน่าจะเป็นถูกผลักดันไปไกลที่สุดเท่าที่จะทำได้ “คุณสามารถรับพื้นฐานของลำดับที่ 4 ได้โดยใช้วิธีการเชิงความน่าจะเป็น แต่คุณไม่สามารถหาพื้นฐานของลำดับที่ 3 ได้” เขากล่าว “มันแค่ล้มเหลว”

ดังนั้นปีลาตจึงใช้วิธีอื่น โดยเปลี่ยนไปใช้ขั้นตอนที่ใช้ลอการิทึมของจำนวนเฉพาะเป็นองค์ประกอบพื้นฐานของชุดไซดอน พัฒนาโดยนักทฤษฎีจำนวนชาวฮังการี อิมเร รุซซ่า และ ชิเลรูเอโลวิธีนี้ให้ผลลัพธ์ที่ใหญ่กว่าและหนาแน่นกว่าวิธีที่ไซดอนกำหนด ซึ่งปิลาตต์จำเป็นต้องสร้างพื้นฐานของลำดับต่ำที่เป็นไปตามคุณสมบัติของไซดอนด้วย แต่วิธีการนี้ต้องการสิ่งอำนวยความสะดวกที่มีหมายเลขเฉพาะซึ่งแม้แต่ผู้เชี่ยวชาญระดับแนวหน้าของโลกยังขาดอยู่ “คุณจะต้องมีความเข้าใจเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะที่นอกเหนือไปจากสิ่งที่เรามี” Pilatte กล่าว “อย่างนั้นก็ไม่ดี”

การค้นหาวิธีแก้ปัญหาทำให้ Pilatte ไปในทิศทางที่คาดไม่ถึง ออกห่างจากทฤษฎีจำนวนบวกและเข้าสู่โลกของเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างรูปทรงเรขาคณิต เช่น เส้นโค้งและพื้นผิว และสมการที่นิยามสิ่งเหล่านี้ Pilatte ใช้แนวคิดของ Cilleruelo เริ่มด้วยการแทนที่ตัวเลขด้วยพหุนาม ซึ่งทำให้ปัญหาง่ายขึ้นในทันที

พหุนามเป็นนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตที่ประกอบด้วยผลรวมของพจน์ ซึ่งแต่ละพจน์เป็นผลคูณของสัมประสิทธิ์คงที่และตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปยกกำลังเลขจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ค่าลบ คำศัพท์สามารถรวมกันได้โดยใช้การบวก การลบ และการคูณ ตัวอย่างเช่น 3x² + 22x + 35 เป็นพหุนามที่มีสามพจน์ การแยกตัวประกอบของพหุนามหมายถึงการแยกมันออกเป็นผลคูณของพหุนามอื่นๆ ที่ง่ายกว่า ในตัวอย่างนี้ 3x² + 22x + 35 = (x + 5)(3x + 7). พหุนามที่ลดค่าไม่ได้ — ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ — คืออะนาล็อกของจำนวนเฉพาะ

การสลับจำนวนเต็มสำหรับตัวแปรและค่าสัมประสิทธิ์อาจฟังดูแปลก แต่พวกมันมีอะไรที่เหมือนกันมากกว่าที่คุณคิด “ปรากฎว่าพหุนามมีพฤติกรรมคล้ายกันมากกับจำนวนเต็ม” เพื่อนร่วมงานจากอ็อกซ์ฟอร์ดของ Pilatte กล่าว โทมัส บลูม. “ฉันบวก ลบ คูณ หารได้” และในบางแง่มุม นักคณิตศาสตร์เข้าใจพหุนามได้ดีกว่าตัวเลขเสียอีก Maynard กล่าวว่า "สิ่งเหล่านี้ทั้งหมดที่เรารู้จักในโลกของพหุนามนั้นฟังดูเหมือนนิยายวิทยาศาสตร์

การใช้ ผลล่าสุด โดยนักคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัยโคลัมเบีย วิล สวิน ในเรื่องการแจกแจงของพหุนามที่ลดค่าไม่ได้ในความก้าวหน้าทางเลขคณิต Pilatte สามารถสร้างชุดที่มีปริมาณการสุ่มที่เหมาะสมและมีความหนาแน่นของตัวเลขที่เหมาะสมเพื่อตอบสนองข้อจำกัดของ Erdős

“ฉันมีความสุขมาก” ปีลาตกล่าว “ฉันเข้าร่วมกลุ่มคนที่นี่ที่แก้ปัญหาแอร์โดสได้ และมันก็สนุกดี”

แต่สิ่งที่ทำให้เขาพึงพอใจที่สุดคือวิธีที่เขามาถึงวิธีแก้ปัญหาอย่างน่าประหลาดใจ “มันเจ๋งมากที่เทคนิคเชิงลึกเหล่านี้จากเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิตยังสามารถใช้กับคำถามที่เรียบง่ายและเป็นรูปธรรมเกี่ยวกับเซตของตัวเลขได้” เขากล่าว

ปัญหาของแอร์ดิชมีความสามารถพิเศษที่แปลกประหลาดสำหรับการขุดพบความเชื่อมโยงระหว่างสาขาคณิตศาสตร์ที่คาดคะเนว่าไม่เกี่ยวข้องกัน และการค้นพบที่นักคณิตศาสตร์ทำในขณะที่พยายามตอบคำถามเหล่านี้มักจะมีความหมายมากกว่าคำตอบเอง “พวกเขาหลอกลวงว่าพวกเขาอยู่ลึกแค่ไหน และวิธีแก้ปัญหาของ Cédric ก็เป็นตัวอย่างที่ดีของเรื่องนี้” บลูมกล่าว “ฉันแน่ใจว่า Erdős จะต้องตื่นเต้นอย่างแน่นอน”

การแก้ไข: มิถุนายน 5, 2023
บทความนี้เดิมให้ตัวอย่างของชุด Sidon ที่ไม่ใช่ชุด Sidon ตัวอย่างนั้นได้ถูกลบออกไปแล้ว