ประวัติโดยย่อของการปูกระเบื้องทางคณิตศาสตร์ที่ยุ่งยาก | นิตยสารควอนต้า

ทุกวันเราเห็นตัวอย่างลวดลายซ้ำๆ ความสมมาตรและความสม่ำเสมอนี้อาจดูธรรมดาและแทบจะมองไม่เห็น เช่นเดียวกับงานก่ออิฐบนผนังอาคารหรือลวดลายหกเหลี่ยมในรวงผึ้ง หรือถ้าเราโชคดีพอที่จะพบกับงานกระเบื้องอันหรูหราใน Alhambra ของสเปน หรือภาพวาดที่สร้างสรรค์ของ MC Escher ลวดลายเหล่านี้สามารถสร้างแรงบันดาลใจและทำให้เราประหลาดใจได้

เป็นเวลาหลายศตวรรษแล้วที่นักคณิตศาสตร์เล่นกับรูปทรงที่ซ้ำกันเหล่านี้ โดยแย่งชิงข้อมูลเชิงลึกอันน่าทึ่งและความเป็นไปได้ใหม่ๆ จากรูปทรงเหล่านี้ ความงดงามของคณิตศาสตร์นั้นเทียบได้กับความสวยงามของการออกแบบในตัวมันเอง

การปูกระเบื้องที่ง่ายที่สุดนั้นทำจากรูปหลายเหลี่ยมที่เหมือนกัน โดยมีด้านที่มีความยาวเท่ากันและมีมุมที่มีขนาดเท่ากันเชื่อมระหว่างขอบเต็มถึงขอบเต็ม แต่ถึงแม้จะมีรูปหลายเหลี่ยม "ปกติ" เหล่านี้จำนวนไม่สิ้นสุด - หนึ่งอันสำหรับแต่ละจำนวนด้าน - มีการเรียงต่อปกติเพียงสามอันเท่านั้นที่เกิดจากรูปทรงที่มีสาม, สี่หรือหกด้าน - นั่นคือสามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยมจัตุรัสและหกเหลี่ยม

รูปร่างอื่นๆ ไม่ได้ถูกสร้างขึ้นมาเพื่อมัน รูปห้าเหลี่ยมปกติ (มีห้าด้าน) มีมุมภายใน 108 องศา ซึ่งไม่ได้แบ่งออกเป็น 360 องศาเท่าๆ กัน ดังนั้นความพยายามใดๆ ก็ตามที่จะประกอบรูปห้าเหลี่ยมปกติเป็นกระเบื้องจะทำให้เกิดช่องว่างที่ไม่สามารถเติมได้ เราบอกว่ารูปห้าเหลี่ยมปกติไม่สามารถปูกระเบื้องระนาบได้ และรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีด้านมากกว่า XNUMX ด้านจะมีมุมภายในใหญ่เกินกว่าที่ XNUMX ด้านจะบรรจบกันที่จุดเดียว ดังนั้นจึงทำไม่ได้เช่นกัน

การปูกระเบื้องด้วยรูปหลายเหลี่ยมปกติอีกประการหนึ่งมาจากโยฮันเนส เคปเลอร์ ซึ่งปัจจุบันเป็นที่รู้จักดีที่สุดจากการค้นพบของเขาเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ ในปี 1619 เขาแสดงให้เห็นว่าแม้ว่าคุณจะใช้รูปหลายเหลี่ยมปกติมากกว่าหนึ่งรูป คุณสามารถสร้างรูปแบบการเรียงต่อกันใหม่ได้เพียงแปดรูปแบบเท่านั้น โดยที่การกำหนดค่ารอบๆ จุดยอดแต่ละจุดจะเหมือนกัน (หากเราได้รับอนุญาตให้หลงจากข้อจำกัดนี้ ก็ยังมีความเป็นไปได้อีกมากมาย)

เมื่อเราอนุญาตให้ใช้รูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ปกติ สิ่งต่างๆ จะน่าสนใจยิ่งขึ้น น่าแปลกที่สามเหลี่ยมทุกอันสามารถเรียงกันเป็นระนาบเดียวกันได้ และที่น่าแปลกใจไปกว่านั้นคือทุกรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนก็สามารถทำได้เช่นกัน

ในทางกลับกัน เป็นไปไม่ได้ที่จะเรียงระนาบด้วยรูปหลายเหลี่ยมนูนใดๆ ที่มีมากกว่าหกด้าน ผลรวมของมุมภายในใหญ่เกินไป นั่นจึงเหลือเพียงรูปห้าเหลี่ยมและรูปหกเหลี่ยมเท่านั้นที่เป็นไปได้

ในวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกของเขาในปี 1918 คาร์ล ไรน์ฮาร์ดได้พิสูจน์ว่ามีความเป็นไปได้ที่จะเรียงต่อระนาบด้วยรูปหกเหลี่ยมนูนจำนวนอนันต์ — ซึ่งไม่มีการเยื้อง — ซึ่งเขาจัดกลุ่มออกเป็นสามตระกูล

รูปห้าเหลี่ยมนูนที่เรียงต่อกันเป็นระนาบนั้นยากกว่าในการจำแนกประเภท Reinhardt ค้นพบห้าตระกูลของรูปห้าเหลี่ยมดังกล่าว 50 ปีต่อมา Richard Kershner พบอีกสามคน จากนั้นในปี 1975 Martin Gardner ได้เขียนถึงปัญหาดังกล่าว อเมริกันวิทยาศาสตร์ทำให้ได้รับความสนใจจากนักคณิตศาสตร์ทั้งมืออาชีพและสมัครเล่น มือสมัครเล่นคนหนึ่งซึ่งเป็นโปรแกรมเมอร์คอมพิวเตอร์ชื่อ Richard James III ได้ส่งตัวอย่างครอบครัวที่เก้าให้กับการ์ดเนอร์โดยถามว่า "คุณเห็นด้วยไหมที่ Kershner พลาดครอบครัวนี้ไป" เขามี.

มาร์จอรี ไรซ์ แม่บ้านก็อ่านคอลัมน์ของการ์ดเนอร์เช่นกัน และเริ่มไขปริศนาเกี่ยวกับปัญหาที่โต๊ะในครัวของเธอ เธอแก้ไขมานานกว่าสองปีแล้วจึงค้นพบ อีกสี่ครอบครัว ของการปูกระเบื้องรูปห้าเหลี่ยม

นักวิจัยพบรูปห้าเหลี่ยมปูกระเบื้องลำดับที่ 14 ในปี 1985 และสามทศวรรษต่อมา อีกทีมหนึ่งพบรูปห้าเหลี่ยมลำดับที่ 15 โดยใช้การค้นหาด้วยคอมพิวเตอร์ ไม่มีใครรู้ว่าการค้นพบครั้งนี้เสร็จสิ้นรายชื่อแล้วหรือยัง หรือยังมีอีกหลายครอบครัวที่ยังซ่อนตัวอยู่ คำถามนั้นได้รับคำตอบในปี 2017 เมื่อ Michael Rao พิสูจน์แล้วว่า มีการค้นพบรูปห้าเหลี่ยมปูกระเบื้องนูนทั้งหมด และเมื่อพบรูปหลายเหลี่ยมปูกระเบื้องนูนทั้งหมดด้วย

การปูกระเบื้องทั้งหมดนี้เกิดขึ้นซ้ำ นั่นคือพวกมันมีความสมมาตรเป็นระยะ ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วหมายความว่าถ้าเราลากการเรียงต่อบนกระดาษแผ่นหนึ่งและเลื่อนกระดาษนั้นไปในทิศทางที่กำหนด กระดาษก็จะเรียงกันเป็นแนวเดียวกับการปูกระเบื้องอีกครั้ง

ความสมมาตรแบบอื่นๆ ก็สามารถทำได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น ความสมมาตรของกระจกบ่งบอกว่ารูปแบบของเราจะเรียงกันถ้าเราพลิกกระดาษลอกลายกลับหัวเกี่ยวกับเส้นคงที่ สมมาตรในการหมุนหมายความว่าพวกมันจะเรียงกันถ้าเราหมุนกระดาษ และเราสามารถรวมการกระทำเพื่อให้ได้สมมาตรของการสะท้อนการร่อน ซึ่งเหมือนกับการเลื่อนกระดาษแล้วพลิกกลับด้าน

ในปี 1891 Evgraf Fedorov นักเขียนผลึกศาสตร์ชาวรัสเซียได้พิสูจน์ว่ามีเพียง 17 วิธีเท่านั้นที่จะรวมความสมมาตรเหล่านี้เข้าด้วยกันได้ เนื่องจากข้อจำกัดนี้ใช้กับการตกแต่งเครื่องบินเป็นระยะๆ จึงเรียกกันอย่างกว้างขวางว่า "กลุ่มวอลเปเปอร์" 17 กลุ่ม

เมื่อคุ้นเคยกับการจัดประเภทของรูปแบบสมมาตรนี้แล้ว แทบเป็นไปไม่ได้เลยที่จะเห็นการออกแบบเป็นระยะๆ ไม่ว่าจะซับซ้อนเพียงใด และไม่มองว่ามันเป็นปริศนาที่ต้องถอดรหัส: มันจะทำซ้ำที่ไหนและอย่างไรกันแน่? ความสมมาตรเหล่านั้นอยู่ที่ไหน?

แน่นอนว่าไม่ใช่ทุกการออกแบบการปูกระเบื้องเป็นระยะ เป็นไปได้และมักจะง่ายในการวางกระเบื้องในระนาบ เพื่อที่การออกแบบจะได้ไม่เกิดซ้ำอีก ในตัวอย่างของเราที่มีรูปหกเหลี่ยม สี่เหลี่ยมจัตุรัส และสามเหลี่ยม คุณสามารถทำได้โดยการหมุนรูปหกเหลี่ยมเดี่ยวๆ และรูปหลายเหลี่ยมที่อยู่รอบๆ 30 องศา การปูกระเบื้องที่เกิดขึ้นจะไม่มีความสมมาตรในการแปลอีกต่อไป

ในปีพ.ศ. 1961 นักตรรกวิทยา Hao Wang คาดเดาว่าหากชุดของรูปทรงเรียงกันบนระนาบ รูปร่างนั้นจะต้องสามารถเรียงต่อระนาบได้เป็นระยะๆ เพียงไม่กี่ปีต่อมา นักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาของเขา โรเบิร์ต เบอร์เกอร์ พิสูจน์ว่าเขาคิดผิดโดยการค้นพบแผ่นกระเบื้องขนาดใหญ่กว่า 20,000 แผ่นที่เรียงกันเป็นแผ่นบนเครื่องบิน แต่ไม่มีเป็นระยะๆ ชุดกระเบื้องดังกล่าวเรียกว่าเป็นระยะ

แม้ว่าเบอร์เกอร์และคนอื่นๆ จะสามารถลดขนาดของเซตอะคาเรียมเหล่านี้ลงได้อย่างมาก แต่ในช่วงกลางทศวรรษ 1970 โรเจอร์ เพนโรส ได้รับความสนใจจากทั่วโลกด้วยการค้นพบชุดกระเบื้องอะคาไริกชุดเล็กๆ ของเขาเอง ชุดที่เล็กที่สุดต้องการเพียงสองแผ่น

รูปร่างและรูปแบบเหล่านี้สร้างความประทับใจให้กับนักคณิตศาสตร์ นักวิทยาศาสตร์ และประชาชนทั่วไป แต่พวกเขาตั้งคำถามถัดไปที่ชัดเจน: มีไทล์อะคาเดียนแผ่นเดียวหรือไม่? ภารกิจสูงสุดของทฤษฎีการปูกระเบื้องคือการค้นหากระเบื้อง “ไอน์สไตน์” ซึ่งไม่ได้ตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์ แต่สำหรับวลีภาษาเยอรมันว่า “หินก้อนเดียว”

ในปี 2010 Joshua Socolar และ Joan Taylor เข้าใกล้การค้นพบไอน์สไตน์มาก ปัญหาเกี่ยวกับแนวทางของพวกเขาก็คือ กระเบื้องของพวกเขาต้องถูกตัดการเชื่อมต่อ; นี่จะเหมือนกับการปูกระเบื้องเครื่องบินที่มีรูปร่างเหมือนรัฐฮาวาย ซึ่งเป็นองค์ประกอบเดียวที่ประกอบด้วยภูมิภาคที่แยกจากกัน แทนที่จะมีรูปร่างที่เชื่อมต่อกันเช่นแคลิฟอร์เนีย นักคณิตศาสตร์สงสัยว่าถ้ามีไอน์สไตน์อยู่จริง มันจะต้องเป็นสิ่งที่ซับซ้อนทางเรขาคณิตมาก

ในเดือนมีนาคม 2023 มือสมัครเล่นทำให้โลกตะลึงอีกครั้ง ช่างพิมพ์ที่เกษียณอายุแล้วและนักคณิตศาสตร์เป็นงานอดิเรกชื่อ David Smith ได้ค้นพบไม่ใช่เพียง monotile แบบ aคาบเดียวเท่านั้น แต่ยังค้นพบด้วย ครอบครัวที่ไม่มีที่สิ้นสุด ของไอน์สไตน์ที่เข้าใจยากเหล่านี้ เขาวนเวียนอยู่กับ Craig Kaplan, Chaim Goodman-Strauss และ Joseph Samuel Myers ผู้เชี่ยวชาญด้านวิทยาการคอมพิวเตอร์ คณิตศาสตร์ และทฤษฎีการปูกระเบื้อง และพวกเขาก็ร่วมกันนำเสนอไอน์สไตน์ที่เรียบง่ายทางเรขาคณิตที่เรียกว่ากระเบื้องหมวก (ซึ่งชาวอินเทอร์เน็ตคิดว่าดูเหมือนเสื้อยืด ).

ปฏิกิริยาเป็นไปอย่างรวดเร็วและเป็นไปในทางบวก ผู้ค้นพบพูดในที่ประชุมและพูดคุยทางออนไลน์ ศิลปินคณิตศาสตร์กระโจนเข้าสู่โอกาสที่จะค้นพบวิธีที่สร้างสรรค์ในการผลิตการออกแบบที่คล้ายกับ Escher โดยอิงจากกระเบื้องที่น่าสนใจทางเรขาคณิตใหม่เหล่านี้ แผ่นหมวกยังปรากฏในบทพูดคนเดียวของรายการโทรทัศน์ตอนดึกรายการหนึ่งด้วย

แต่ก็ยังมีช่องว่างสำหรับการปรับปรุง หากต้องการปูกระเบื้องเครื่องบินด้วยหมวก คุณต้องพลิกแผ่นกระเบื้องกลับหัวประมาณหนึ่งในเจ็ด เจ้าของบ้านที่ต้องการปูกระเบื้องห้องน้ำด้วยกระเบื้องหมวกจะต้องซื้อกระเบื้องสองประเภท: กระเบื้องมาตรฐานและภาพสะท้อน สิ่งนี้จำเป็นจริงๆเหรอ?

ก่อนที่ความตื่นเต้นของแผ่นหมวกจะหมดลง ทีมงานได้ประกาศอีกครั้ง สมิธได้พบในตระกูลโมโนไทล์อะคาเรียมที่ไม่มีที่สิ้นสุดนั้น สิ่งหนึ่งที่เขาเรียกว่า "ปีศาจ" ที่สามารถเรียงต่อระนาบได้โดยไม่ต้องมีสำเนาที่สะท้อนกลับ ในที่สุดไอน์สไตน์ตัวจริงก็ปรากฏตัวขึ้น

ขณะนี้เรากำลังอยู่ท่ามกลางการฟื้นคืนชีพในการสำรวจทางคณิตศาสตร์ของการปูกระเบื้องและเทสเซลเลชัน โดยอาศัยการมีส่วนร่วมที่สำคัญจากมือสมัครเล่น เป็นแรงบันดาลใจในการสร้างสรรค์ของศิลปินนักคณิตศาสตร์ และใช้พลังของคอมพิวเตอร์เพื่อผลักดันขอบเขตของความรู้ไปข้างหน้า จากนั้น เราก็ได้รับข้อมูลเชิงลึกใหม่ๆ เกี่ยวกับธรรมชาติของความสมมาตร เรขาคณิต และการออกแบบ

การแก้ไข: ตุลาคม 30, 2023
ฉบับดั้งเดิมของบทความนี้ระบุว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะเรียงระนาบด้วยรูปหลายเหลี่ยมใดๆ ที่มากกว่าหกด้าน สิ่งนี้จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อรูปหลายเหลี่ยมนูนออกมาเท่านั้น

ควอนตั้ม กำลังดำเนินการสำรวจชุดต่างๆ เพื่อให้บริการผู้ชมของเราได้ดียิ่งขึ้น เอาของเรา แบบสำรวจผู้อ่านคณิตศาสตร์ และคุณจะถูกป้อนเพื่อรับรางวัลฟรี ควอนตั้ม merch