ลิงก์ของปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ไปยังหลักฐานพิสูจน์คณิตศาสตร์ชั้นมัธยมปลายของนักเรียนมัธยมปลาย นิตยสารควอนต้า

เช่นเดียวกับนักเรียนคณิตศาสตร์หลายๆ คน ฉันมีความฝันถึงความยิ่งใหญ่ทางคณิตศาสตร์ ฉันคิดว่าฉันเคยใกล้ชิดครั้งหนึ่ง ปัญหาพีชคณิตที่ยากลำบากในวิทยาลัยทำให้ฉันต้องทำงานดึกดื่น หลังจากต่อสู้ดิ้นรนมาหลายชั่วโมง ฉันรู้สึกถึงความก้าวหน้าที่กำลังจะเกิดขึ้น ฉันจัดการการแสดงออกอย่างช่ำชอง ฉันแยกตัวประกอบ คูณ และทำให้ง่ายขึ้น จนกระทั่งการค้นพบของฉันก็เผยให้เห็นในที่สุด:

$ลาเท็กซ์ 1 + 1 = 2$

ฉันอดหัวเราะไม่ได้ โลกรู้อยู่แล้วว่า $latex 1 + 1 = 2$ ดังนั้น “ทฤษฎีบทของฮอนเนอร์” จึงไม่ควรเป็นเช่นนั้น และถึงแม้ว่านักคณิตศาสตร์รุ่นเยาว์หลายคนจะประสบกับความผิดหวังจากสิ่งที่ไม่ก้าวหน้ามากนัก แต่ก็น่าทึ่ง เรื่องราวของแดเนียล ลาร์เซน รักษาความฝันให้คงอยู่

ลาร์เซนเป็นนักเรียนมัธยมปลายในปี 2022 เมื่อเขาพิสูจน์ผลลัพธ์เกี่ยวกับตัวเลขบางประเภทที่นักคณิตศาสตร์หลบเลี่ยงมานานหลายทศวรรษ เขาพิสูจน์ว่าตัวเลขคาร์ไมเคิลซึ่งเป็นจำนวนที่ไม่เป็นจำนวนเฉพาะที่น่าสงสัยนั้นสามารถพบได้บ่อยกว่าที่เคยรู้จัก ทำให้เกิดทฤษฎีบทใหม่ที่จะเชื่อมโยงกับงานของเขาตลอดไป แล้วเลขคาร์ไมเคิลคืออะไร? เพื่อตอบคำถามนี้ เราต้องย้อนเวลากลับไป

ปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์มีชื่อเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ เป็นเวลากว่า 300 ปีแล้วที่ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ยืนหยัดในฐานะสัญลักษณ์ขั้นสูงสุดของความยิ่งใหญ่ทางคณิตศาสตร์ที่ไม่อาจบรรลุได้ ในช่วงทศวรรษที่ 1600 แฟร์มัตเขียนบันทึกเกี่ยวกับทฤษฎีบทที่เขาเสนอไว้ในหนังสือที่เขาอ่าน โดยอ้างว่ารู้วิธีพิสูจน์โดยไม่ต้องให้รายละเอียดใดๆ นักคณิตศาสตร์พยายามที่จะแก้ปัญหาด้วยตนเองจนกระทั่งทศวรรษ 1990 เมื่อในที่สุด Andrew Wiles ก็พิสูจน์ได้โดยใช้เทคนิคใหม่ๆ ที่ค้นพบเมื่อหลายร้อยปีหลังจากที่ Fermat เสียชีวิต

แต่เป็น "ทฤษฎีบทเล็กๆ" ที่มีชื่อเสียงน้อยกว่าของแฟร์มาต์ซึ่งเกี่ยวข้องกับตัวเลขคาร์ไมเคิล ต่อไปนี้เป็นวิธีหนึ่งในการระบุ:

เมื่อกำหนดจำนวนเฉพาะ $latex p$ ดังนั้น สำหรับจำนวนเต็ม $latex a$ ใดๆ ปริมาณ $latex a^p – a$ จะหารด้วย $latex p$ ลงตัว

ตัวอย่างเช่น นำจำนวนเฉพาะ $latex p = 11$ และจำนวนเต็ม $latex a = 2$ ทฤษฎีบทเล็กๆ ของแฟร์มาต์บอกว่า $latex 2^{11} – 2 = 2046$ หารด้วย 11 ลงตัวได้: $latex 2046 div 11 = 186$ หรือใช้ $latex p = 7$ และ $latex a = 4$: $latex 4^7 – 4 = 16380 = 7 คูณ 2340$ ดังนั้น $latex 4^7 – 4$ จึงหารด้วย 7 ลงตัวอย่างแน่นอน

ต่างจากทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ตรงที่ใช้เวลาไม่เกิน 300 ปีในการแก้ทฤษฎีบทเล็กๆ ของเขา เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ตีพิมพ์ข้อพิสูจน์ในอีกไม่ถึงหนึ่งศตวรรษต่อมา และเนื่องจากเป็นจำนวนเฉพาะ ผู้คนจึงพบวิธีใช้มัน

วิธีหนึ่งในการใช้ทฤษฎีบทเล็กๆ ของแฟร์มาต์คือการแสดงว่าจำนวนนั้นไม่ใช่จำนวนเฉพาะ สมมติว่าคุณสงสัยว่า 21 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ ถ้า 21 เป็นจำนวนเฉพาะ ตามทฤษฎีบทเล็กๆ ของแฟร์มาต์ สำหรับจำนวนเต็มใดๆ $latex a$, $latex a^{21}$ – $latex a$ จะต้องหารด้วย 21 ลงตัว แต่ถ้าคุณลองใช้ค่าบางค่าของ $ latex a$ คุณเห็นว่าสิ่งนี้ใช้ไม่ได้ ตัวอย่างเช่น $latex 2^{21} – 2 = 2097150$ ซึ่งไม่ใช่ผลคูณของ 21 ดังนั้น เนื่องจากมันไม่เป็นไปตามทฤษฎีบทเล็กๆ ของแฟร์มาต์ 21 จึงไม่สามารถเป็นจำนวนเฉพาะได้

นี่อาจดูเหมือนเป็นวิธีที่งี่เง่าในการตรวจสอบว่าตัวเลขนั้นเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ สุดท้ายแล้ว เรารู้ $latex 21 = 3 คูณ 7$ แต่การตรวจสอบว่าจำนวนจำนวนมากเป็นจำนวนเฉพาะนั้นเป็นงานที่ต้องใช้เวลาและสำคัญในคณิตศาสตร์ยุคใหม่ ดังนั้นนักคณิตศาสตร์จึงมักมองหาทางลัดอยู่เสมอ ด้วยเหตุนี้ นักคณิตศาสตร์จึงสงสัยว่าการสนทนาของทฤษฎีบทเล็กๆ ของแฟร์มาต์อาจเป็นจริงหรือไม่

ทฤษฎีบทกลับกันอย่างไร? คุณอาจจำได้จากชั้นเรียนคณิตศาสตร์ว่าทฤษฎีบทสามารถถือเป็นประโยคเงื่อนไขในรูปแบบ "ถ้า" ได้ P แล้วก็ Q” ทฤษฎีบทบอกว่าถ้า P ส่วนหนึ่ง (สิ่งที่มาก่อนหรือสมมติฐาน) เป็นจริง แล้ว Q ส่วน (ผลที่ตามมาหรือข้อสรุป) จะต้องเป็นจริงด้วย การกลับกันของทฤษฎีบทคือข้อความที่คุณได้รับเมื่อคุณสลับเหตุการณ์ก่อนหน้าและผลที่ตามมา ดังนั้นการสนทนาของ “ถ้า P แล้วก็ Q” คือข้อความ “ถ้า. Q แล้วก็ P".

ลองพิจารณาทฤษฎีบทพีทาโกรัส เรามักจะบอกว่ามันบอกว่า $latex a^2 + b^2 = c^2$ แต่นี่ไม่ถูกต้องนัก ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นประโยคที่มีเงื่อนไขจริงๆ โดยบอกว่าถ้าสามเหลี่ยมมุมฉากมีความยาวด้าน $latex a$, $latex b$ และ $latex c$ โดยที่ $latex c$ เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก แล้ว $latex a ^2 + ข^2 = ค^2$ แล้วสิ่งที่ตรงกันข้ามคืออะไร? มันบอกว่าถ้าด้านของสามเหลี่ยมยาว $latex a$, $latex b$ และ $latex c$ เป็นไปตามสมการ $latex a^2 + b^2 = c^2$ มันจะเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

เป็นเรื่องยากที่จะคิดว่าการสนทนาของทฤษฎีบทเป็นจริงเสมอ และนักเรียนหลายคนก็ติดกับดักนั้น การกลับกันของทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นจริง ซึ่งช่วยให้เราสรุปได้ว่าสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว 9, 40 และ 41 จะต้องเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เนื่องจาก $latex 9^2 + 40^2 = 41^2$ แต่การกลับกันของข้อความที่เป็นจริงไม่จำเป็นต้องเป็นจริง ตัวอย่างเช่น แม้ว่าจะเป็นเรื่องจริงที่ถ้า $latex x$ เป็นจำนวนบวก แล้ว $latex x^2$ ก็เป็นบวก แต่กลับกัน — ถ้า $latex x^2$ เป็น จำนวนบวก ดังนั้น $latex x$ จึงเป็นค่าบวก — ไม่ใช่ เนื่องจาก $latex (-1)^2$ เป็นบวก แต่ตัวมันเองไม่ใช่ −1

เป็นวิธีปฏิบัติทางคณิตศาสตร์ที่ดีในการสำรวจส่วนกลับของข้อความ และนักคณิตศาสตร์ที่กำลังมองหาการทดสอบเบื้องต้นต้องการทราบว่าการสนทนาของทฤษฎีบทเล็กๆ ของแฟร์มาต์เป็นจริงหรือไม่ บทสนทนาบอกว่า เมื่อกำหนดจำนวนเต็ม $latex q$ แล้ว ถ้าจำนวน $latex a^q – a$ หารด้วย $latex q$ สำหรับจำนวนเต็ม $latex a$ ใดๆ แล้ว $latex q$ จะต้องเป็นจำนวนเฉพาะ หากสิ่งนี้เป็นจริง มันจะหลีกเลี่ยงงานฮึดฮัดในการคำนวณบางอย่างในการตรวจสอบว่า $latex q$ หารด้วยตัวเลขใดๆ ที่ไม่ใช่ 1 และตัวมันเองหรือไม่ เช่นเดียวกับที่เกิดขึ้นบ่อยในวิชาคณิตศาสตร์ คำถามข้อเดียวนี้นำไปสู่คำถามใหม่ ซึ่งท้ายที่สุดก็นำไปสู่แนวคิดทางคณิตศาสตร์ใหม่ๆ บางข้อ

เมื่อคุณเริ่มสำรวจบทสนทนาของทฤษฎีบทเล็กๆ ของแฟร์มาต์ คุณจะพบว่าตัวเลขจำนวนมากเป็นจริง ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวนเต็ม $latex a$ ตัวเลข $latex a^2 – a$ หารด้วย 2 ลงตัว คุณดูได้โดยการแยกตัวประกอบ $latex a^2 – a$ เป็น $latex a คูณ (a-1) $. เนื่องจาก a และ $latex a − 1$ เป็นจำนวนเต็มติดต่อกัน หนึ่งในนั้นต้องเป็นจำนวนคู่ ดังนั้นผลคูณของจำนวนนั้นจะต้องหารด้วย 2 ลงตัว

ข้อโต้แย้งที่คล้ายกันแสดงว่า $latex a^3 – a$ หารด้วย 3 ลงตัวเสมอ และ $latex a^5 – a$ หารด้วย 5 ลงตัวเสมอ (ดูแบบฝึกหัดด้านล่างสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม) ดังนั้นการกลับกันของทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์จึงถือเป็น 3 และ 5 การสนทนานี้บอกเราว่าเราคาดหวังอะไรจากจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะที่มีขนาดเล็กเช่นกัน หากเราใช้มันเพื่อตรวจสอบว่า 4 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ เราจะคำนวณ $latex 2^4 – 2$ และสังเกตว่า 14 หารด้วย 4 ไม่ลงตัว

ที่จริงแล้ว คุณสามารถตรวจสอบได้จนถึงเลข 561 แล้วทุกอย่างจะชี้ไปที่บทสนทนาว่าทฤษฎีบทเล็กๆ ของแฟร์มาต์เป็นจริง จำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า 561 หาร $latex a^p – a$ ทุกๆ ตัว aและไม่ใช่ไพรม์ที่น้อยกว่า 561 ไม่ได้ แต่การเปลี่ยนแปลงนั้นอยู่ที่ 561 ด้วยทฤษฎีจำนวนขั้นสูงเล็กน้อย เราสามารถแสดงให้เห็นได้ว่า $latex a^{561} – a$ นั้นหารด้วย 561 ลงตัวเสมอ ดังนั้นหากการสนทนาของทฤษฎีบทเล็กๆ ของแฟร์มาต์เป็นจริง 561 ก็ควรเป็นจำนวนเฉพาะ . แต่มันไม่ใช่: $latex 561 = 3 × 11 × 17$ ดังนั้นการกลับกันของทฤษฎีบทเล็กๆ ของแฟร์มาต์จึงเป็นเท็จ

นักคณิตศาสตร์เรียกตัวเลขเช่น 561 ว่า “ซูโดไพรม์” เนื่องจากเป็นไปตามเงื่อนไขบางประการที่เกี่ยวข้องกับการเป็นจำนวนเฉพาะ (เช่น การหาร $latex a^p – a$ สำหรับทุกคน a) แต่จริงๆ แล้วไม่ใช่จำนวนเฉพาะ พบตัวอย่างแย้งเพิ่มเติมของการสนทนาของทฤษฎีบทเล็กๆ ของแฟร์มาต์ อีกสามตัวอย่างถัดมาคือ 1,105, 1,729 และ 2,465 ตัวเลขเหล่านี้กลายเป็นที่รู้จักในชื่อตัวเลขคาร์ไมเคิล ซึ่งตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน โรเบิร์ต คาร์ไมเคิล หลังจากที่พวกเขาถูกค้นพบ ก็มีคำถามใหม่เกิดขึ้น: มีวิธีอื่นในการระบุหมายเลขคาร์ไมเคิลหรือไม่ พวกเขามีคุณสมบัติพิเศษอื่น ๆ อีกหรือไม่? มีมากมายนับไม่ถ้วนใช่ไหม? ถ้าเป็นเช่นนั้นเกิดขึ้นบ่อยแค่ไหน?

คำถามสุดท้ายนี้เองที่ทำให้ Daniel Larsen สนใจในที่สุด นักคณิตศาสตร์ได้พิสูจน์แล้วว่าจำนวนคาร์ไมเคิลมีมากมายนับไม่ถ้วนจริงๆ แต่เพื่อแสดงสิ่งนี้ พวกเขาต้องสร้างตัวเลขคาร์ไมเคิลซึ่งอยู่ห่างกันมาก สิ่งนี้ทำให้เกิดคำถามว่าตัวเลขคาร์ไมเคิลจำนวนอนันต์เหล่านี้กระจายไปตามเส้นจำนวนได้อย่างไร พวกมันมักจะอยู่ห่างกันโดยธรรมชาติเสมอ หรืออาจเกิดขึ้นบ่อยครั้งและสม่ำเสมอมากกว่าที่หลักฐานเบื้องต้นนี้แสดงไว้

คำถามเกี่ยวกับไพรม์เทียมนั้นชวนให้นึกถึงคำถามที่คล้ายกันและสำคัญเกี่ยวกับไพรม์นั้นเอง เมื่อสองพันปีก่อน ยุคลิดได้พิสูจน์ว่ามีจำนวนเฉพาะจำนวนอนันต์จำนวนมาก แต่ใช้เวลานานกว่ามากในการทำความเข้าใจว่าจำนวนเฉพาะมีการกระจายไปตามเส้นจำนวนอย่างไร ในยุค 1800 สมมุติฐานของเบอร์ทรานด์แสดงให้เห็นว่าสำหรับ $latex n > 3$ ใดๆ จะมีจำนวนเฉพาะอยู่ระหว่าง $latex n$ และ $latex 2n$ เสมอ นี่ทำให้เรารู้ว่าจะคาดหวังจำนวนเฉพาะได้บ่อยแค่ไหนเมื่อเราเดินไปตามเส้นจำนวน

นักคณิตศาสตร์สงสัยว่าสมมุติฐานของเบอร์ทรานด์บางข้อเป็นจริงสำหรับตัวเลขคาร์ไมเคิลหรือไม่ Daniel Larsen ก็สงสัยเช่นกัน และสร้างผลงานของนักคณิตศาสตร์สมัยใหม่ชื่อดังบางคน — ผู้ชนะเลิศการแข่งขัน Fields เจมส์เมย์นาร์ด และเทอเรนซ์ เทา รวมถึงคนอื่นๆ — เขาเปลี่ยนความอยากรู้อยากเห็นของเขา เป็นผลลัพธ์ใหม่เกี่ยวกับวิธีกระจายตัวเลขของคาร์ไมเคิล ในขณะที่นักคณิตศาสตร์รุ่นเยาว์ไม่ควรคาดหวังที่จะประสบความสำเร็จมากเท่ากับการทำการบ้านคืนนี้ แต่การทำงานหนัก ความอุตสาหะ และความสำเร็จของ Daniel Larsen ควรเป็นแรงบันดาลใจให้พวกเขาก้าวไปข้างหน้า แม้ว่าพวกเขาจะ พิสูจน์สิ่งที่เรารู้อยู่แล้วอีกครั้ง.

การออกกำลังกาย

1. ใช้การแยกตัวประกอบเพื่อแสดงว่า ถ้า $latex a$ เป็นจำนวนธรรมชาติ แล้ว $latex a^3 – a$ จะหารด้วย 3 ลงตัวเสมอ

2. ข้อความที่ว่า “ถ้ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า แล้วเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะเท่ากันทุกประการ” เป็นจริง บทสนทนาจริงหรือเปล่า?

3. จงแสดงว่าถ้า $latex a$ เป็นจำนวนธรรมชาติ แล้วจำนวน $latex a^5 – a$ จะหารด้วย 5 ลงตัวเสมอ