บทนำ
ในเช้าเดือนตุลาคมที่ผ่านมา Rob Kirby ยืนอยู่หน้าห้องนักคณิตศาสตร์จำนวนมาก และบอกพวกเขาว่าอย่ารู้สึกผูกพันกับวิธีที่เขาทำในอดีต
ตลอดครึ่งศตวรรษที่ผ่านมา เคอร์บี้85 ปีเป็นบุคคลสำคัญในโทโพโลยีมิติต่ำ ซึ่งเป็นการศึกษารูปร่างที่เปลี่ยนรูปได้ นอกเหนือจากผลงานการวิจัยที่สำคัญแล้ว ในปี พ.ศ. 1978 เขาได้ตีพิมพ์ รุ่นแรก ของสิ่งที่เป็นที่รู้จักในชื่อ "รายชื่อของเคอร์บี" ซึ่งเป็นการรวบรวมปัญหาเปิด 80 ข้อที่ช่วยกำหนดวาระการวิจัยสำหรับสาขานี้ในอีกไม่กี่ทศวรรษข้างหน้า สองทศวรรษต่อมาในปี 1997 เขาได้ตีพิมพ์เรื่องที่สองซึ่งมีอิทธิพลไม่แพ้กัน เวอร์ชันของรายการ.
นักคณิตศาสตร์ไม่กี่สิบคนที่เคอร์บี้กำลังพูดถึงได้ประชุมกันที่ สถาบันคณิตศาสตร์อเมริกัน (AIM) ในพาซาดีน่าเพื่อสร้างรายการเวอร์ชันที่สาม ไม่ใช่ว่าปัญหาทั้งหมดในรายการก่อนหน้านี้ได้รับการแก้ไขแล้ว ส่วนใหญ่ไม่ได้รับการแก้ไข แต่หลายๆ ปัญหาก็หมดยุคไปแล้ว แม้ว่าคณิตศาสตร์จะคงอยู่ชั่วนิรันดร์ แต่มนุษย์ที่ติดตามกระแสนิยมได้ฝึกฝนวิชานี้ และคำถามเก่าๆ จำนวนมากก็ไม่ถือว่าน่าสนใจอีกต่อไป
“เราคิดว่าบางสาขาย่อยมีชื่อเสียง และบางสาขาก็เหมือนกับว่าไม่มีใครสนใจมัน” พูดว่า แม็กกี้ มิลเลอร์ จากมหาวิทยาลัยเท็กซัส ออสติน หนึ่งในบรรณาธิการ 14 คนของรายชื่อ
การประชุมสัมมนาจัดขึ้นโดย แดเนียล รูเบอร์แมน ของมหาวิทยาลัยแบรนไดส์ ซึ่งเป็นนักศึกษาของเคอร์บีในช่วงต้นทศวรรษ 1980 และ อินานช์ ไบเกอร์ ของมหาวิทยาลัยแมสซาชูเซตส์ ซึ่งเป็นเพื่อนหลังปริญญาเอกภายใต้ Ruberman พวกเขาต้องการให้รายการประกอบด้วยปัญหาที่ยากและสำคัญ
“มันควรเป็นปัญหาที่น่าสนใจมากพอที่หากมีแนวทางแก้ไขออกมา ก็อาจมีศักยภาพที่จะเปลี่ยนแปลงสนามนี้ได้” มิลเลอร์กล่าว Baykur กล่าวเพิ่มเติมว่า “บางทีเปอร์เซ็นต์เล็กน้อยจะสามารถแก้ไขได้ในอีกสองถึงสามปีข้างหน้า”
บทนำ
วิธีที่นักคณิตศาสตร์ตัดสินใจว่าอะไรสำคัญได้เปลี่ยนแปลงไปในช่วงครึ่งศตวรรษนับตั้งแต่เคอร์บีตีพิมพ์รายการแรกของเขา แม้ว่าความจริงหรือความเท็จของการคาดเดาส่วนบุคคลจะเป็นเรื่องของความจริงที่เป็นกลาง แต่การจัดอันดับความสำคัญของสิ่งเหล่านั้นนั้นเป็นกระบวนการทางสังคมที่เป็นอัตวิสัย และกระบวนการดังกล่าวดูแตกต่างอย่างมาก ในโลกที่เชื่อมโยงถึงกันทั่วโลกในปัจจุบัน มากกว่าที่เคยเกิดขึ้นในปี 1970 เรื่องราวของรายการใหม่คือเรื่องราวของการเปลี่ยนแปลงเหล่านั้น
จุดเริ่มต้นของรายการ
อาชีพของเคอร์บีเริ่มต้นด้วยรายการปัญหา ในปี 1963 ขณะที่เป็นนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาที่มหาวิทยาลัยชิคาโก เขาได้เข้าร่วมการประชุมในซีแอตเทิล ซึ่งนักคณิตศาสตร์คนนี้ จอห์น มิลเนอร์ นำเสนอรายการปัญหาเปิดที่สำคัญที่สุดเจ็ดประการในโทโพโลยี ปัญหาสุดท้ายคือการคาดเดาวงแหวน ซึ่งระบุว่าช่องว่างระหว่างทรงกลมสองทรงกลมที่กำหนดไว้อย่างเหมาะสมมักจะเป็นรูปวงแหวน ซึ่งเป็นขอบเขตระหว่างวงกลมสองวงที่มีศูนย์กลางร่วมกัน
นี่เป็นเรื่องจริงสำหรับวงกลมและลูกบอลสามมิติปกติ แต่ในมิติที่สูงกว่า ซึ่งเกี่ยวข้องกับทรงกลมห้าหรือหกหรือจำนวนมิติใดๆ ก็ตาม สิ่งที่น่าประหลาดใจก็เกิดขึ้น ในปี 1969 ขณะที่ผู้ช่วยศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย ลอสแองเจลีส เคอร์บีได้พิสูจน์ว่ามันเป็นจริงสำหรับมิติที่ XNUMX ขึ้นไป เมื่อพิจารณาจากข้อจำกัดบางประการ (ทรงกลมจะต้องเรียบในแง่คณิตศาสตร์โดยเฉพาะ)
จากผลดังกล่าว UCLA ได้เลื่อนตำแหน่งให้เขาเป็นศาสตราจารย์เต็มเวลาโดยตรงและเพิ่มเงินเดือนเป็นสองเท่า สองปีต่อมาเขาได้รับรางวัลอันทรงเกียรติ รางวัลออสวัลด์ เวเบลน ในวิชาเรขาคณิต เคอร์บีถือว่าความสำเร็จในช่วงเริ่มต้นอาชีพนี้ส่วนหนึ่งมาจากการมีอยู่ของรายชื่อมิลเนอร์ ซึ่งทำให้เขามีโครงการให้เลือกหลากหลายมากกว่าที่เขาจะได้รับจากผู้คนที่อยู่รอบตัวเขาในบัณฑิตวิทยาลัยทันที
“สำหรับผู้ที่ชอบแก้ไขปัญหาและไม่จำเป็นต้องทำตามที่ที่ปรึกษาบอกให้ทำ รายการปัญหาก็มีค่า” เขากล่าว
เคอร์บีเริ่มรวบรวมรายการปัญหาแรกของเขาในเดือนสิงหาคม พ.ศ. 1976 ที่การประชุมสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกันที่มหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด เขาสร้างรายชื่อในอีกสองปีข้างหน้าผ่านทางโทรศัพท์ จดหมาย และการสนทนาอย่างไม่เป็นทางการกับนักคณิตศาสตร์ในการประชุมที่เขาเข้าร่วม และเขาได้ตีพิมพ์เป็นบทความในวารสารเพิ่มเติมในปี 1978
บทนำ
ดังที่มิลเลอร์กล่าวไว้ “เขาโทรหาทุกคนที่เขารู้จักทางโทรศัพท์”
รายการมีปัญหาประมาณ 80 ปัญหาแบ่งออกเป็นห้าบท สี่บทแรกเกี่ยวกับปมมิติเดียว พื้นผิวสองมิติ และท่อร่วมสามมิติและสี่มิติ (ช่องว่างเช่นพื้นผิวของทรงกลมที่ปรากฏแบนเฉพาะที่ แต่อาจมีโครงสร้างทั่วโลกที่ซับซ้อนกว่า) บทที่ห้าเป็นเรื่องเกี่ยวกับปัญหาเบ็ดเตล็ด แม้ว่าเคอร์บี้จะปรึกษากันอย่างกว้างขวางเพื่อดึงรายชื่อมารวมกัน แต่ผลงานสุดท้ายก็เป็นของเขาอย่างแน่นอน
“ฉันมีความครอบคลุมมากกว่าผูกขาด” เคอร์บีกล่าว แต่เสริมว่า “ฉันค่อนข้างจะเป็นผู้ตัดสินคนสุดท้าย”
รายการที่สอง
ช่วงปลายทศวรรษ 1970 เป็นช่วงเวลาอันเป็นมงคลในการสร้างรายการปัญหาในโทโพโลยี สนามนี้มีขนาดเล็กในช่วงต้นทศวรรษ และในอีก 10 ปีข้างหน้าก็ระเบิด ในปี 1981 ไมเคิล ฟรีดแมน แก้การคาดเดา Poincaré เวอร์ชันสี่มิติใน หลักฐานที่ยิ่งใหญ่ นั่นคงต้องใช้เวลาหลายปีกว่าจะย่อยได้ (การคาดเดาถามว่าวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่มีลักษณะคล้ายทรงกลมจริงๆ แล้วจะต้องเป็นทรงกลมหรือไม่ คำตอบที่ฟรีดแมนพิสูจน์แล้วคือใช่) หนึ่งปีต่อมา วิลเลียม เธอร์สตัน ได้ตีพิมพ์การคาดเดาทางเรขาคณิต ซึ่งจัดประเภทโครงสร้างโทโพโลยีบางส่วนเป็นหมวดหมู่ทางเรขาคณิต การคาดเดาได้นำเครื่องมือจากการวิเคราะห์ (รูปแบบแคลคูลัสขั้นสูง) มาสู่โทโพโลยีอย่างเต็มที่ ปีเดียวกันนั้นเอง ไซมอน โดนัลด์สัน แนะนำเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ (ซึ่งรวมแคลคูลัสและเรขาคณิต) เข้ากับงานของเขาเกี่ยวกับแมนิโฟลด์สี่มิติ
“เป็นการยากที่จะอธิบายว่าความคืบหน้ารวดเร็วเพียงใด มันเป็นหนึ่งในช่วงเวลาที่ยิ่งใหญ่ในวิชาคณิตศาสตร์ โดยมีการปฏิวัติครั้งแล้วครั้งเล่า” Ruberman กล่าว
ผลจากกิจกรรมทั้งหมดนี้ รายชื่อของ Kirby เกือบจะล้าสมัยภายในเวลาไม่กี่ปี แต่การสร้างรายการปัญหาไม่ใช่อาชีพหลักของเคอร์บี จนกระทั่งมีการประชุมที่มหาวิทยาลัยจอร์เจียในฤดูร้อนปี 1993 เขาจึงตัดสินใจยกเครื่องรายชื่อใหม่
เคอร์บีเริ่มรวบรวมปัญหาในการประชุมและทำงานต่อทางอีเมล ซึ่งไม่ได้ใช้กันทั่วไปเมื่อเขารวบรวมรายชื่อแรก ส่งผลให้รายการขยายออกไป รายการสุดท้ายมีปัญหา 415 ข้อและได้รับการตีพิมพ์เป็นหนังสือในปี พ.ศ. 1997 เมื่อรายการที่สามดำเนินไป ความพยายามครั้งที่สองจึงถูกเรียกว่า K2 เช่นเดียวกับในเวอร์ชันที่สองของรายการเคอร์บี และยังเป็นการพยักหน้าไปยังรายการที่สอง -ภูเขาที่สูงที่สุดในโลก รูปแบบที่ขยายช่วยให้รายการเวอร์ชันที่สองเป็นมาตรฐานและเป็นดัชนีชี้วัด การแก้ปัญหาเคอร์บี้ทำให้นักคณิตศาสตร์รุ่นเยาว์สังเกตเห็น
“หากคุณเขียนจดหมายแนะนำถึงใครบางคนและพวกเขาสามารถแก้ไขปัญหาเคอร์บีได้ คุณจะพูดถึงสิ่งนั้นในจดหมายของคุณ” กล่าว จอห์น บอลด์วินซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์จากวิทยาลัยบอสตันที่เข้าร่วมเวิร์คช็อปและกำลังช่วยแก้ไขรายการ
อรุนิมา เรย์ผู้นำกลุ่มที่สถาบันคณิตศาสตร์มักซ์พลังค์ในเมืองบอนน์ ประเทศเยอรมนี ซึ่งเข้าร่วมการประชุมเชิงปฏิบัติการกล่าวว่าสิ่งแรกๆ ที่ที่ปรึกษาระดับปริญญาเอกของเธอทำหลังจากที่เธอสอบผ่านการสอบคัดเลือกในปี 2011 คือการมอบสำเนารายชื่อ K2 ให้เธอ” เพื่อให้เข้าใจถึงปัญหาใหญ่ที่ผู้คนสนใจ”
แน่นอนว่าการตัดสินใจเกี่ยวกับสิ่งสำคัญนั้นขึ้นอยู่กับว่าใครอยู่ในห้องที่ทำการตัดสินใจเหล่านั้น รายชื่อเคอร์บีสะท้อนให้เห็นถึงปรัชญาการสอนที่เติบโตมาจากโลกทัศน์ทางสังคมการเมืองของเคอร์บี เขาบรรยายตัวเองว่าเป็นพวกเสรีนิยมคลาสสิก และกล่าวถึงนักปรัชญาชาวอังกฤษ ในศตวรรษที่ 19 จอห์น สจ๊วต มิลล์ ว่ามีอิทธิพลสำคัญต่อความคิดของเขา
“พวกเสรีนิยมคลาสสิกเชื่อในเสรีภาพ เสรีภาพในการพูด และการให้ความช่วยเหลืออย่างแผ่วเบาจากรัฐบาล นั่นคือมุมมองของฉัน” เขากล่าว “ในลักษณะเล็กๆ น้อยๆ ที่มาพร้อมกับการไม่บอกนักเรียนว่าต้องทำอะไร เป็นการให้อิสระแก่พวกเขาเพียงเล็กน้อย”
เคอร์บี้ใส่ความเชื่อเหล่านี้เข้าไปในวิธีคิดและพูดคุยเกี่ยวกับชุมชนคณิตศาสตร์ ในปี 2021 เขาได้ร่วมลงนามร่วมกับผู้เชี่ยวชาญด้านคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ในแคลิฟอร์เนียอีกกว่า 1,000 คน จดหมายเปิดผนึก วิพากษ์วิจารณ์ข้อเสนอของรัฐที่จะนำหลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับอนุบาลถึงมัธยมศึกษา (K-12) ใหม่มาใช้ซึ่งจะทำให้การพิจารณาความยุติธรรมทางสังคมเป็นศูนย์กลางมากขึ้นในวิธีที่รัฐสอนเรื่องนี้ ข้อเสนอของรัฐแคลิฟอร์เนียได้เกิดขึ้นแล้ว การวิพากษ์วิจารณ์อย่างมากในชุมชนคณิตศาสตร์ เหนือสิ่งอื่นใด การจำกัดความพร้อมของหลักสูตรขั้นสูง และสำหรับการไม่เน้นหลักสูตรเตรียมแคลคูลัสเพื่อสนับสนุน "วิทยาศาสตร์ข้อมูล"
บทนำ
ในอดีตเคอร์บีเคยกังขาเรื่องการมีอยู่ของอคติเชิงโครงสร้างในคณิตศาสตร์ รวมถึงความไม่สมดุลทางเพศในสาขานี้ด้วย ในช่วงทศวรรษ 1970 นักคณิตศาสตร์ประมาณ 10% เป็นผู้หญิง ปัจจุบันเกือบ 30% เป็นไปตามข้อมูลของก รายงาน 2020 โดยสภาวิทยาศาสตร์ระหว่างประเทศ
In บทความที่เขาเขียนในปี 1990และได้เสนอให้ตีพิมพ์ใน ประกาศของสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน แต่ไม่เคยตีพิมพ์ เคอร์บี้ได้ยกกรณีที่ตัวเลขที่น่าหดหู่เหล่านี้ไม่ได้เป็นผลมาจากอคติใดๆ ในสนาม “ในมุมมองของฉัน ผู้หญิงในวิชาคณิตศาสตร์จำนวนน้อยกว่าไม่ได้เกิดจากการเลือกปฏิบัติของผู้ชายหรือความด้อยกว่าของผู้หญิง แต่เป็นเพราะข้อเท็จจริงง่ายๆ ที่ผู้ชายมากกว่าผู้หญิงเลือกที่จะเข้าวิชาคณิตศาสตร์” เคอร์บีเขียน
สำหรับนักคณิตศาสตร์หลายคน ความจริงที่ว่ามีผู้หญิงเพียงไม่กี่คนที่เข้าสู่วงการนี้เป็นเพียงข้อเท็จจริงธรรมดาๆ เท่านั้น “หลักฐานแสดงให้เห็นว่ามีผลตอบรับที่นี่ เนื่องจากมีอาจารย์หญิงเพียงไม่กี่คน นักศึกษาหญิงจึงไม่สามารถมองเห็นเส้นทางอาชีพที่ชัดเจนผ่านทางคณิตศาสตร์ ดังนั้นพวกเขาจึงตัดสินใจไม่เรียนปริญญาเอก” เขียนนักคณิตศาสตร์หญิงคนสำคัญสี่คน ในปี 2022 ใน อาหารเสริมการศึกษาระดับอุดมศึกษาครั้ง ตามที่รายงานของสภาวิทยาศาสตร์ระหว่างประเทศระบุไว้ หลังจากวิเคราะห์ชุดข้อมูลของเอกสารทางคณิตศาสตร์ที่ตีพิมพ์หลายแสนฉบับแล้ว “ปัจจัยเชิงโครงสร้างและระบบต่างๆ จะต้องส่งผลกระทบต่ออาชีพของนักคณิตศาสตร์หญิงในลักษณะที่แตกต่างจากผู้ชาย”
มุมมองของเคอร์บีเป็นที่รู้จักกันดีในชุมชนโทโพโลยีมิติต่ำ ฉันถามเคอร์บีว่าเขาคิดว่านั่นทำให้ผู้หญิงมีส่วนร่วมในสถานที่อย่างเช่นการประชุมล่าสุดที่เขามีบทบาทสำคัญได้ยากขึ้นหรือไม่ เขาบอกว่าเขาไม่รู้ เพราะว่ายกเว้นนักคณิตศาสตร์คนหนึ่ง ไม่มีใครเคยหยิบเรื่องนี้ขึ้นมาร่วมกับเขาเลย
เรย์ ซึ่งทำหน้าที่เป็นเจ้าหน้าที่ความเท่าเทียมทางเพศที่สถาบันมักซ์พลังค์กล่าวว่า "ฉันไม่คิดว่ามันจะส่งผลต่อความรู้สึกของการประชุม ฉันคิดว่ามันเป็นตัวกำหนดวิธีการมองเขาในสาขาคณิตศาสตร์ แต่ฉันคิดว่าโดยทั่วไปแล้ว เราจะแยกคณิตศาสตร์ออกจากนักคณิตศาสตร์”
ความพยายามของชุมชน
เช่นเดียวกับที่เกิดขึ้นหลังจาก K1 โทโพโลยีมิติต่ำก้าวหน้าอย่างรวดเร็วหลังจากการเปิดตัว K2 การพัฒนาที่สำคัญประการหนึ่งคือการจัดทำทฤษฎีไซแบร์ก-วิตเทนอย่างละเอียด ซึ่งใช้แนวคิดจากฟิสิกส์เพื่อแยกแยะความแตกต่างระหว่างท่อร่วมสี่มิติ ในช่วงปลายทศวรรษ 2000 รายชื่อ Kirby ก็พร้อมสำหรับการอัปเดตอีกครั้ง
“ประเด็นก็คือ สนามนี้มีขนาดใหญ่ขึ้นมากนับตั้งแต่ช่วงปี 1990 และมีขนาดใหญ่มาก” เบย์คูร์กล่าว
คราวนี้แรงผลักดันในการสร้างรายการใหม่มาจาก Ruberman และ Baykur พวกเขาเริ่มรวบรวมปัญหาประมาณปี 2013 แต่ระหว่างภาระหน้าที่อื่นๆ กับการแพร่ระบาด จนกระทั่งเดือนตุลาคม 2023 พวกเขาสามารถรวบรวมกลุ่มนักทอพอโลยีเพื่อพบปะด้วยตนเอง พวกเขาต้องการให้รายการเวอร์ชันที่สามเป็นความพยายามของชุมชนมากขึ้น
“รายการเริ่มแรกนั้นยอดเยี่ยมมาก ฉันดีใจมากที่มี แต่รูปแบบใหม่นี้น่ายกย่องที่ทำให้รายการนั้นเปิดกว้างมากขึ้น” Ray กล่าว
ในช่วงปลายปี 2022 Kirby ได้ร่วมงานกับ Baykur และ Ruberman ในฐานะผู้จัดการร่วมของการประชุม พวกเขาเชิญผู้เชี่ยวชาญจากสาขาหลักๆ ของโทโพโลยีมิติต่ำ ซึ่งสอดคล้องกับโครงสร้างห้าบทแบบเดียวกับที่เคอร์บีเคยใช้ในรายชื่อเวอร์ชันก่อนหน้านี้ แต่พยายามหลีกเลี่ยงการเชิญผู้เชี่ยวชาญจำนวนมากจนไม่มีใครมีอะไรที่เหมือนกันกับใครเลย
Baykur และ Ruberman ทำหน้าที่จัดการส่วนใหญ่ ในขณะที่ Kirby มีบทบาทที่มียศฐาบรรดาศักดิ์มากกว่า
“มันเหมือนกับลูกของร็อบ คุณรู้ไหม เหมือนเขาเป็นผู้ควบคุมอารมณ์ แต่ Danny และInançจัดการด้านโลจิสติกส์ทั้งหมด” Miller กล่าว
ในวันจันทร์ที่ 30 ตุลาคม กลุ่มเริ่มทำงานในรายการ K3 (ตามที่มีการเรียกด้วยเหตุผลที่ชัดเจนและยังอ้างอิงถึงพื้นผิว K3 ซึ่งเป็นวัตถุสำคัญในโทโพโลยี)
รายการนี้สะท้อนให้เห็นวิธีการที่โทโพโลยีมิติต่ำเติบโตขึ้นตั้งแต่ K2 ในช่วงต้นทศวรรษ 1990 งานของ Andreas Floer ได้ก่อให้เกิดวิธีการใหม่ในการเรียงลำดับท่อร่วมสามมิติ ในช่วงปลายทศวรรษนั้น วิธีการเหล่านั้นได้แพร่หลายไปทั่วทั้งขอบเขตการศึกษา ซึ่งก็คือ Heegaard Floer homology และภายในขอบเขตนั้น ปัจจุบันมีแนวทางที่แตกต่างกันจำนวนหนึ่งในการแยกแยะความแตกต่างหลากหลาย แนวทางเหล่านี้ควรจะสอดคล้องกัน แต่ก็ไม่ทราบแน่ชัดว่าเป็นเช่นนั้น และ K3 จะมีคำถามที่มีจุดมุ่งหมายเพื่อยุติเรื่องนี้
บทนำ
เคอร์บีตั้งค่ายพักในห้องบรรยายหลักที่นักคณิตศาสตร์มารวมตัวกันทุกเช้า โดยส่วนใหญ่หลีกเลี่ยงการประชุมระดมความคิด ในเช้าวันอังคาร เดฟ กาไบ ของมหาวิทยาลัยพรินซ์ตันบรรยายให้ทั้งกลุ่มทราบถึงความเชื่อมโยงระหว่างการคาดเดาของ Schoenfly และการคาดเดาของ Poincaré ซึ่งเป็นปัญหาเปิดที่สำคัญที่สุดสองปัญหาในโทโพโลยีสี่มิติที่ราบรื่น
การคาดเดาของแมลงวันเชินมีรสชาติคล้ายกับการคาดเดาวงแหวนที่เคอร์บีเคยทำในทศวรรษปี 1960 โดยคาดการณ์ว่าหากทรงกลมสองทรงกลมแตกต่างกันในมิติเดียว (เช่น วงกลมกับพื้นผิวของลูกบอล) และคุณฝังทรงกลมมิติล่าง (วงกลม) เข้าไปในมิติที่สูงกว่า (พื้นผิวของลูกบอล) ทรงกลมอันแรก ตัดลูกหลังให้เท่ากับสองลูกเสมอ สิ่งนี้เป็นจริงอย่างชัดเจนเมื่อคุณสลักวงกลมลงบนพื้นโลก (ราวกับสร้างเส้นศูนย์สูตร) แต่เช่นเดียวกับการคาดเดาวงแหวน มันไม่ชัดเจนน้อยลงในมิติที่สูงกว่า
หลังจากนั้นเคอร์บี้ก็พบกาไบ และทั้งสองก็พูดคุยกันเป็นเวลาหลายชั่วโมงเกี่ยวกับความหมายของการพูดคุยของกาไบ ในช่วงอื่นๆ ระหว่างสัปดาห์ Kirby ใช้เวลาส่งอีเมลหาเครือข่ายที่กว้างขวางของเขาในชุมชนคณิตศาสตร์เพื่อมีส่วนร่วมในรายชื่อนี้
“ในบางแง่ มันค่อนข้างคล้ายกับสิ่งที่เขาทำในรายการก่อนหน้านี้” Ruberman กล่าว “เขาไม่ค่อยเข้าห้องเท่าไหร่ [He'd] กำลังส่งอีเมลถึงผู้คนโดยพูดว่า 'มีคนในเวิร์กช็อปพูดแบบนี้ คุณคิดอย่างไรเกี่ยวกับเรื่องนั้น'”
ห้องสงคราม
ในช่วงสองวันสุดท้ายของการประชุม Baykur และ Ruberman ขอให้ผู้เข้าร่วมประชุมเขียนปัญหาที่พวกเขารวบรวมไว้ มันให้ความรู้สึกเหมือนเป็นห้องสงคราม ในขณะที่นักคณิตศาสตร์รีบเขียนสรุปปัญหาที่พวกเขาได้แก้ไขก่อนจะบินกลับบ้าน
“รู้สึกเหมือนตอนที่คุณอยู่ในวิทยาลัย และคุณต้องทำการบ้านในวันรุ่งขึ้น และทุกคนในชั้นเรียนก็อยู่ในห้อง และตอนนี้ก็ตี 2” มิลเลอร์กล่าว
เอกสารที่ใช้ร่วมกันซึ่งนักคณิตศาสตร์กำลังรวบรวมรายชื่อนั้นเกือบจะว่างเปล่าในเช้าวันพฤหัสบดี แต่ก็มีการเติบโตอย่างรวดเร็วโดยมีนักคณิตศาสตร์หลายสิบคนแก้ไขในคราวเดียว ภายในวันศุกร์ รายการปัญหามีความยาวมากกว่า 250 หน้า ประสบการณ์พายุหมุนนี้แทบจะจำไม่ได้เลยเมื่อเทียบกับความพยายามสองครั้งก่อนหน้าของเคอร์บี
“มันทำให้ฉันรู้สึกแก่ในแง่ที่ว่าย้อนกลับไปตอนที่ฉันทำ K2 ฉันทำแบบนั้นในช่วงสองถึงสามปี ฉันจะนั่งคุยกับใครสักคน แล้วเราจะเขียนปัญหาด้วยกัน” เคอร์บีกล่าว “ด้วย K3 ฉันประสบปัญหาเพียงเล็กน้อยเท่านั้น”
Baykur และ Ruberman หวังว่าจะเผยแพร่รายการปัญหาประมาณ 400 รายการภายในสิ้นปีนี้ หลังจากการแก้ไขและเพิ่มเติมจากนักทอพอโลยีที่ไม่ได้เข้าร่วมการประชุมที่ Pasadena Baykur, Ruberman และบรรณาธิการคนอื่นๆ ยังคงถกเถียงกันอยู่ว่าจะอัปเดตรายการบ่อยแค่ไหน พวกเขาสามารถยืดอายุการเก็บรักษาของ K3 ได้ด้วยการทำให้เวอร์ชันออนไลน์เป็นปัจจุบันอยู่เสมอ แต่พวกเขากลับมองเห็นข้อเสียในการทำเช่นนั้น Baykur กล่าวว่าสองรายการแรกเป็นเอกสารทางประวัติศาสตร์ และให้ข้อมูลที่เป็นประโยชน์อย่างยิ่งในการเห็นว่าพวกเขามองสิ่งต่างๆ อย่างไรในช่วงทศวรรษ 1970 และ 1990 และคิดอย่างไรเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ ฉันอยากได้เอกสารร่วมสมัยที่คล้ายกัน”
- เนื้อหาที่ขับเคลื่อนด้วย SEO และการเผยแพร่ประชาสัมพันธ์ รับการขยายวันนี้
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai เพิ่มพลังให้กับตัวเอง เข้าถึงได้ที่นี่.
- เพลโตไอสตรีม. Web3 อัจฉริยะ ขยายความรู้ เข้าถึงได้ที่นี่.
- เพลโตESG. คาร์บอน, คลีนเทค, พลังงาน, สิ่งแวดล้อม แสงอาทิตย์, การจัดการของเสีย. เข้าถึงได้ที่นี่.
- เพลโตสุขภาพ เทคโนโลยีชีวภาพและข่าวกรองการทดลองทางคลินิก เข้าถึงได้ที่นี่.
- ที่มา: https://www.quantamagazine.org/a-new-agenda-for-low-dimensional-topology-20240222/
- :มี
- :เป็น
- :ไม่
- :ที่ไหน
- ][หน้า
- $ ขึ้น
- 000
- 1
- 10
- 14
- 1981
- 2011
- 2013
- 2021
- 2022
- 2023
- 250
- 30
- 400
- 80
- a
- น
- เกี่ยวกับเรา
- เกี่ยวกับมัน
- AC
- ตาม
- อยากทำกิจกรรม
- ที่เพิ่ม
- นอกจากนี้
- เพิ่มเติม
- ที่อยู่
- นำมาใช้
- สูง
- ได้รับผล
- หลังจาก
- อีกครั้ง
- ระเบียบวาระการประชุม
- จุดมุ่งหมาย
- ทั้งหมด
- เกือบจะ
- ตาม
- ด้วย
- เสมอ
- อเมริกัน
- ในหมู่
- an
- การวิเคราะห์
- วิเคราะห์
- และ
- Angeles
- อื่น
- คำตอบ
- ใด
- อีกต่อไป
- ทุกคน
- สิ่งใด
- ปรากฏ
- วิธีการ
- อย่างเหมาะสม
- เป็น
- AREA
- พื้นที่
- เป็นที่ถกเถียงได้
- รอบ
- บทความ
- AS
- ผู้ช่วย
- At
- ผู้เข้าร่วมประชุม
- แอตทริบิวต์
- สิงหาคม
- ออสติน
- ความพร้อมใช้งาน
- หลีกเลี่ยง
- หลีกเลี่ยง
- ทารก
- กลับ
- ลูกบอล
- BE
- กลายเป็น
- เพราะ
- รับ
- ก่อน
- เริ่ม
- การเริ่มต้น
- ความเชื่อ
- เชื่อ
- เบิร์กลีย์
- ระหว่าง
- อคติ
- อคติ
- ใหญ่
- ที่ใหญ่กว่า
- บิต
- หนังสือ
- บอสตัน
- ขอบเขต
- British
- นำ
- การก่อสร้าง
- สร้าง
- แต่
- by
- แคลิฟอร์เนีย
- ที่เรียกว่า
- โทร
- มา
- ค่าย
- CAN
- ความก้าวหน้า
- อาชีพ
- กรณี
- หมวดหมู่
- ปูนซีเมนต์
- ส่วนกลาง
- เปลี่ยนแปลง
- การเปลี่ยนแปลง
- การเปลี่ยนแปลง
- บท
- บท
- รับผิดชอบ
- ชิคาโก
- Choose
- วงกลม
- วงกลม
- ชั้น
- ชัดเจน
- อย่างเห็นได้ชัด
- การเก็บรวบรวม
- ชุด
- วิทยาลัย
- รวม
- อย่างไร
- น่ายกย่อง
- ร่วมกัน
- ชุมชน
- ชุมชน
- เมื่อเทียบกับ
- รวบรวม
- ซับซ้อน
- รู้สึก
- การประชุม
- การประชุม
- การคาดเดา
- การเชื่อมต่อ
- การพิจารณา
- ถือว่า
- คงเส้นคงวา
- ที่มีอยู่
- ร่วมสมัย
- อย่างต่อเนื่อง
- ผลงาน
- ประชุม
- การสนทนา
- ตรงกัน
- ได้
- สภา
- คอร์ส
- หลักสูตร
- สร้าง
- การสร้าง
- คำวิจารณ์
- ปัจจุบัน
- หลักสูตร
- ตัด
- วัน
- วัน
- โต้วาที
- ทศวรรษ
- ทศวรรษที่ผ่านมา
- ตัดสินใจ
- ตัดสินใจ
- การตัดสินใจ
- กำหนด
- บรรยาย
- อธิบาย
- พัฒนาการ
- DID
- แตกต่าง
- ต่าง
- ย่อยอาหาร
- Dimension
- มิติ
- โดยตรง
- กลุ้มใจ
- เห็นความแตกต่าง
- do
- เอกสาร
- เอกสาร
- การทำ
- ทำ
- Dont
- สองเท่า
- ลง
- โหล
- หลายสิบ
- ข้อเสีย
- สอง
- ในระหว่าง
- แต่ละ
- ก่อน
- ก่อน
- บรรณาธิการ
- การศึกษา
- ผล
- ความพยายาม
- ความพยายาม
- อื่น
- อีเมล
- ฝัง
- ปลาย
- เข้าสู่
- ทั้งหมด
- ความเสมอภาค
- พอ ๆ กัน
- เท่ากัน
- แม้
- เคย
- ทุกคน
- ข้อยกเว้น
- พิเศษ
- การดำรงอยู่
- ขยาย
- ประสบการณ์
- ผู้เชี่ยวชาญ
- ขยายออก
- ขยาย
- กว้างขวาง
- อย่างยิ่ง
- ความจริง
- ปัจจัย
- FAST
- โปรดปราน
- ข้อเสนอแนะ
- รู้สึก
- มนุษย์
- รู้สึก
- หญิง
- สองสาม
- สนาม
- รูป
- สุดท้าย
- ชื่อจริง
- ห้า
- แบน
- รส
- เที่ยวบิน
- ปฏิบัติตาม
- ดังต่อไปนี้
- สำหรับ
- ฟอร์ม
- รูป
- อดีต
- พบ
- สี่
- ฟรี
- คำพูดฟรี
- ฟรีแมน
- มัก
- วันศุกร์
- ราคาเริ่มต้นที่
- ด้านหน้า
- เต็ม
- รวบรวม
- รวมตัวกัน
- ให้
- เพศ
- เท่าเทียมกันทางเพศ
- General
- จอร์เจีย
- ประเทศเยอรมัน
- ได้รับ
- ได้รับ
- ให้
- กำหนด
- ให้
- เหตุการณ์ที่
- ทั่วโลก
- โลก
- ไป
- ไป
- ได้
- รัฐบาล
- สำเร็จการศึกษา
- ยิ่งใหญ่
- มากขึ้น
- เพิ่มขึ้น
- บัญชีกลุ่ม
- เจริญเติบโต
- มี
- ห้องโถง
- มือ
- เกิดขึ้น
- ยาก
- ยาก
- มี
- he
- ช่วย
- การช่วยเหลือ
- เธอ
- โปรดคลิกที่นี่เพื่ออ่านรายละเอียดเพิ่มเติม
- สูงกว่า
- อุดมศึกษา
- พระองค์
- ตัวเขาเอง
- ของเขา
- ทางประวัติศาสตร์
- อดีต
- หน้าแรก
- ความหวัง
- ชั่วโมง
- สรุป ความน่าเชื่อถือของ Olymp Trade?
- HTML
- HTTPS
- ใหญ่
- มนุษย์
- ร้อย
- i
- ความคิด
- if
- ความไม่สมดุล
- ทันที
- ผลกระทบ
- ความสำคัญ
- สำคัญ
- in
- ประกอบด้วย
- รวมทั้ง
- รวมทั้ง
- อิสระ
- เป็นรายบุคคล
- มีอิทธิพล
- มีอิทธิพล
- ไม่เป็นทางการ
- ให้ข้อมูล
- โดยธรรมชาติ
- แรกเริ่ม
- สถาบัน
- เชื่อมต่อถึงกัน
- สนใจ
- น่าสนใจ
- International
- เข้าไป
- แนะนำ
- เชิญ
- ดึงดูดใจ
- ร่วมมือ
- ที่เกี่ยวข้องกับ
- IT
- จอห์น
- เข้าร่วม
- วารสาร
- เพียงแค่
- ความยุติธรรม
- การเก็บรักษา
- ชนิด
- เคอร์บี้
- ทราบ
- ที่รู้จักกัน
- ชื่อสกุล
- ปลาย
- ต่อมา
- ผู้นำ
- บรรยาย
- น้อยลง
- จดหมาย
- เสรีภาพ
- ชีวิต
- เบา
- กดไลก์
- การ จำกัด
- รายการ
- รายการ
- น้อย
- ในท้องถิ่น
- โลจิสติก
- นาน
- ที่ต้องการหา
- LOOKS
- ลอส
- Los Angeles
- ทำ
- นิตยสาร
- หลัก
- สำคัญ
- การทำ
- การจัดการ
- หลาย
- แมสซาชูเซต
- คณิตศาสตร์
- คณิตศาสตร์
- คณิตศาสตร์
- เรื่อง
- แม็กซ์
- me
- พบ
- ที่ประชุม
- ผู้ชาย
- กล่าวถึง
- วิธีการ
- เจ้าของโรงโม่
- เจียมเนื้อเจียมตัว
- วันจันทร์
- ข้อมูลเพิ่มเติม
- ตอนเช้า
- มากที่สุด
- ส่วนใหญ่
- ภูเขา
- มาก
- ต้อง
- my
- เกือบทั้งหมด
- จำเป็นต้อง
- เครือข่าย
- ไม่เคย
- ใหม่
- ถัดไป
- ไม่
- ปกติ
- ตอนนี้
- จำนวน
- ตัวเลข
- วัตถุประสงค์
- วัตถุ
- พันธบัตร
- ชัดเจน
- อาชีพ
- ตุลาคม
- of
- เจ้าหน้าที่
- เก่า
- on
- ครั้งเดียว
- ONE
- ออนไลน์
- เวอร์ชั่นออนไลน์
- เพียง
- ไปยัง
- เปิด
- or
- Organized
- การจัดระเบียบ
- อื่นๆ
- ผลิตภัณฑ์อื่นๆ
- ออก
- เชย
- เกิน
- ยกเครื่อง
- ของตนเอง
- หน้า
- คู่
- การระบาดกระจายทั่ว
- เอกสาร
- ส่วนหนึ่ง
- มีส่วนร่วม
- เข้าร่วม
- ในสิ่งที่สนใจ
- ผ่าน
- อดีต
- เส้นทาง
- รูปแบบไฟล์ PDF
- คน
- เปอร์เซ็นต์
- ระยะเวลา
- งวด
- คน
- ปรัชญา
- โทรศัพท์
- โทรศัพท์
- ฟิสิกส์
- เพลโต
- เพลโตดาต้าอินเทลลิเจนซ์
- เพลโตดาต้า
- จุด
- ที่มีศักยภาพ
- คาดการณ์
- นำเสนอ
- มีเกียรติ
- สวย
- ก่อน
- พรินซ์ตัน
- ก่อน
- ปัญหา
- ปัญหาที่เกิดขึ้น
- กระบวนการ
- ผลิตภัณฑ์
- มืออาชีพ
- ศาสตราจารย์
- ความคืบหน้า
- โครงการ
- โดดเด่น
- การเลื่อนตำแหน่ง
- ข้อเสนอ
- พิสูจน์แล้วว่า
- ให้
- สิ่งพิมพ์
- ประกาศ
- การตีพิมพ์
- ไล่ตาม
- ใส่
- ทำให้
- ที่พรรณา
- ควอนทามากาซีน
- คำถาม
- อย่างรวดเร็ว
- อันดับ
- ค่อนข้าง
- RAY
- พร้อม
- ความจริง
- จริงๆ
- เหตุผล
- ที่ได้รับ
- เมื่อเร็ว ๆ นี้
- แนะนำ
- การอ้างอิง
- สะท้อน
- สะท้อนให้เห็นถึง
- เกี่ยวกับ
- ภูมิภาค
- ปล่อย
- รายงาน
- การวิจัย
- ข้อ จำกัด
- ผล
- การแก้ไข
- การปฏิวัติ
- ขึ้น
- ปล้น
- บทบาท
- ห้อง
- ห้องพัก
- กล่าวว่า
- เงินเดือน
- เดียวกัน
- คำพูด
- โรงเรียน
- วิทยาศาสตร์
- วิทยาศาสตร์
- ดัชนีชี้วัด
- ซีแอตเทิ
- ที่สอง
- เห็น
- ความรู้สึก
- แยก
- ให้บริการอาหาร
- ครั้ง ราคา
- ชุด
- การตั้งค่า
- ชำระ
- ทรงตัว
- เจ็ด
- รูปร่าง
- มีรูป
- รูปร่าง
- ที่ใช้ร่วมกัน
- เธอ
- หิ้ง
- น่า
- คล้ายคลึงกัน
- ง่าย
- ตั้งแต่
- นั่ง
- หก
- เล็ก
- มีขนาดเล็กกว่า
- เรียบ
- So
- สังคม
- ความยุติธรรมทางสังคม
- สังคม
- ทางออก
- การแก้
- บาง
- บางคน
- ช่องว่าง
- ผู้เชี่ยวชาญ
- การพูด
- การใช้จ่าย
- รูปทรงกลม
- Stanford
- มหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด
- เริ่มต้น
- ข้อความที่เริ่ม
- สถานะ
- สหรัฐอเมริกา
- ยังคง
- ยืนอยู่
- เรื่องราว
- โครงสร้าง
- โครงสร้าง
- โครงสร้าง
- นักเรียน
- นักเรียน
- ศึกษา
- สไตล์
- หรือ
- อัตนัย
- ส่ง
- ความสำเร็จ
- ชี้ให้เห็นถึง
- ฤดูร้อน
- เสริม
- แน่ใจ
- พื้นผิว
- น่าแปลกใจ
- เกี่ยวกับระบบ
- เอา
- ใช้เวลา
- คุย
- พูดคุย
- บอก
- บอก
- มีแนวโน้ม
- เท็กซัส
- กว่า
- ที่
- พื้นที่
- รัฐ
- โลก
- ของพวกเขา
- พวกเขา
- ตัวเอง
- ทฤษฎี
- ที่นั่น
- ล้อยางขัดเหล่านี้ติดตั้งบนแกน XNUMX (มม.) ผลิตภัณฑ์นี้ถูกผลิตในหลายรูปทรง และหลากหลายเบอร์ความแน่นหนาของปริมาณอนุภาคขัดของมัน จะทำให้ท่านได้รับประสิทธิภาพสูงในการขัดและการใช้งานที่ยาวนาน
- พวกเขา
- สิ่ง
- สิ่ง
- คิด
- คิด
- คิดว่า
- ที่สาม
- นี้
- เหล่านั้น
- แต่?
- คิดว่า
- พัน
- สาม
- สามมิติ
- ตลอด
- วันพฤหัสบดี
- เวลา
- ไปยัง
- ในวันนี้
- วันนี้
- ร่วมกัน
- บอก
- เอา
- เครื่องมือ
- พยายาม
- จริง
- ความจริง
- อังคาร
- สอง
- ยูซีแอล
- ภายใต้
- ความสัตย์ซื่อ
- มหาวิทยาลัย
- มหาวิทยาลัยแห่งแคลิฟอร์เนีย
- มหาวิทยาลัยชิคาโก
- จนกระทั่ง
- บันทึก
- การปรับปรุง
- ใช้
- มือสอง
- มีคุณค่า
- ความหลากหลาย
- รุ่น
- รุ่น
- กับ
- มาก
- รายละเอียด
- ยอดวิว
- ต้องการ
- อยาก
- สงคราม
- คือ
- ทาง..
- วิธี
- we
- webp
- สัปดาห์
- ดี
- คือ
- อะไร
- ความหมายของ
- เมื่อ
- ที่
- ในขณะที่
- ลมกรด
- WHO
- ทั้งหมด
- อย่างกว้างขวาง
- จะ
- วิลเลียม
- กับ
- ภายใน
- ผู้หญิง
- วอน
- ยอดเยี่ยม
- งาน
- ทำงาน
- การประชุมเชิงปฏิบัติการ
- โลก
- จะ
- เขียน
- การเขียน
- เขียน
- ปี
- ปี
- ใช่
- คุณ
- หนุ่มสาว
- ของคุณ
- ลมทะเล