บทนำ
แนวคิดเรื่องอินฟินิตี้น่าจะเก่าแก่พอๆ กับตัวเลข โดยย้อนกลับไปเมื่อไหร่ก็ตามที่ผู้คนเริ่มตระหนักว่าสามารถนับต่อไปได้ตลอดไป แต่แม้ว่าเราจะมีสัญลักษณ์แทนอนันต์และสามารถอ้างถึงแนวคิดนี้ในการสนทนาทั่วไปได้ แต่อนันต์ก็ยังคงลึกลับอย่างลึกซึ้ง แม้แต่กับนักคณิตศาสตร์ ในตอนนี้ Steven Strogatz สนทนากับเพื่อนนักคณิตศาสตร์ของเขา จัสตินมัวร์ ของมหาวิทยาลัยคอร์เนลเกี่ยวกับวิธีที่อินฟินิตี้หนึ่งสามารถใหญ่กว่าอีกอินฟินิตี้หนึ่งได้ (และเราจะแน่ใจได้หรือไม่ว่าไม่มีอินฟินิตี้คั่นกลางระหว่างอินฟินิตี้ทั้งสอง) พวกเขายังอภิปรายว่านักฟิสิกส์และนักคณิตศาสตร์ใช้อินฟินิตี้แตกต่างกันอย่างไร และความสำคัญของอินฟินิตี้ต่อรากฐานของคณิตศาสตร์
ฟังต่อ Apple Podcasts, Spotify, Google Podcast, Stitcher, TuneIn หรือแอปพอดแคสต์ที่คุณชื่นชอบ หรือคุณจะ สตรีมจาก ควอนตั้ม.
สำเนา
สตีเว่น สโตรกัซ (00:03): ฉันชื่อ Steve Strogatz และนี่คือ ความสุขของทำไม, พอดคาสต์จาก นิตยสาร Quanta ที่นำคุณไปสู่คำถามที่ยังไม่ได้คำตอบที่ใหญ่ที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ในปัจจุบัน
(00:13) ในตอนนี้ เราจะพูดถึงเรื่องอนันต์ ไม่มีใครรู้จริง ๆ ว่าแนวคิดเรื่องอินฟินิตี้มาจากไหน แต่มันต้องเก่าแก่มาก - เก่าแก่พอ ๆ กับความหวังและความกลัวของผู้คนเกี่ยวกับสิ่งต่าง ๆ ที่อาจเป็นไปได้ตลอดไป บางคนน่ากลัวเหมือนหลุมลึกและบางคนก็สูงส่งเหมือนความรักที่ไม่มีที่สิ้นสุด ในวิชาคณิตศาสตร์ แนวคิดเรื่องอนันต์น่าจะเก่าแก่พอๆ กับตัวเลข เมื่อผู้คนตระหนักว่าพวกเขาสามารถนับต่อไปได้ตลอดไป — 1, 2, 3 และต่อไปเรื่อยๆ แม้ว่าอินฟินิตี้จะเป็นแนวคิดที่เก่าแก่มาก แต่ก็ยังคงลึกลับอย่างลึกซึ้ง ผู้คนเกาหัวเกี่ยวกับความไม่มีที่สิ้นสุดมาเป็นเวลาหลายพันปีแล้ว อย่างน้อยก็ตั้งแต่ Zeno และ Aristotle ในสมัยกรีกโบราณ
(00:57) แต่นักคณิตศาสตร์เข้าใจเรื่องอนันต์ได้อย่างไรในทุกวันนี้ อินฟินิตี้มีขนาดต่างกันหรือไม่? อนันต์มีประโยชน์ต่อนักคณิตศาสตร์หรือไม่? แล้วถ้าเป็นเช่นนั้นล่ะ? และทั้งหมดนี้เกี่ยวข้องกับพื้นฐานของคณิตศาสตร์เองอย่างไร?
(01:14) จัสติน มัวร์ ศาสตราจารย์วิชาคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัยคอร์เนล มาร่วมพูดคุยกับฉันในวันนี้ งานวิจัยที่เขาสนใจ ได้แก่ ทฤษฎีเซต, ตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์และคอมบิเนเตอร์ที่ไม่จำกัด และการประยุกต์ใช้กับสาขาคณิตศาสตร์อื่นๆ เช่น โทโพโลยี, การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน และพีชคณิต ยินดีต้อนรับ จัสติน
จัสตินมัวร์ (01:33): เฮ้ สตีฟ ขอบคุณที่มีฉัน
สโตรกัซ (01:35): ใช่ ฉันตื่นเต้นมากที่จะคุยกับคุณ ฉันควรจะพูดว่า จัสตินเป็นเพื่อนและเพื่อนร่วมงานของฉันในแผนกคณิตศาสตร์ที่คอร์เนล โอเค ถ้าอย่างนั้นเราไปคิดถึงเรื่องอนันต์เหมือนที่นักคณิตศาสตร์คิดกัน ที่จริง บางทีก่อนที่เราจะดำดิ่งสู่ส่วนคณิตศาสตร์ เรามาคุยกันเรื่องโลกแห่งความเป็นจริงกันสักหน่อยดีกว่า เพราะเราจะอยู่ที่นั่นได้ไม่นาน ฉันพูดถูกไหม ที่ครั้งหนึ่งคุณเคยฝึกฝนในโลกแห่งฟิสิกส์
มัวร์ (02:02): ใช่ มันเป็นวิชาเอกฟิสิกส์คู่กับคณิตศาสตร์ ตอนที่ฉันเรียนปริญญาตรี ฉันรู้สึกเหนื่อยหน่ายกับฟิสิกส์ ฉันเริ่มชอบวิชาฟิสิกส์และเริ่มสนใจวิชาคณิตศาสตร์มากขึ้น และจากนั้นฉันก็สนใจคณิตศาสตร์และฟิสิกส์มากขึ้น
สโตรกัซ (02:18): ตกลง แล้วฟิสิกส์ของอินฟินิตี้ล่ะ? มันสมเหตุสมผลไหม? มีสิ่งที่ไม่มีที่สิ้นสุดในโลกแห่งความเป็นจริงที่เรารู้จักหรือไม่?
มัวร์ (02:26): คุณรู้ วิดีโอนี้, พลังของ 10ที่สร้างโดย Charles และ Ray Eames? โดยพื้นฐานแล้วทุกๆ - ฉันคิดว่าทุกๆ 10 วินาที คุณมีพลังน้อยกว่า 10 เท่า ตอนแรกฉันคิดว่ายกกำลัง 10 ใหญ่กว่า คุณซูมออก จากนั้นทุกๆ 10 วินาที คุณจะมีกำลังลดลง 10 เท่า และคุณเปลี่ยนจากมาตราส่วนที่ใหญ่ที่สุดของเอกภพ ลงไปสู่มาตราส่วนที่เล็กที่สุดของอนุภาคย่อยของอะตอม คุณรู้ไหม ฉันอยากจะบอกว่าสิ่งนี้ถูกสร้างขึ้นในปลายยุค 70 หรือต้นยุค 80 และฉันคิดว่าความเข้าใจของเราเกี่ยวกับบางสิ่งได้พัฒนาขึ้นเล็กน้อยตั้งแต่นั้นมา แต่ก็ไม่ได้มากมายนัก แต่ฉันหมายความว่า ประเด็นก็คือ มีประมาณ 40 ยกกำลังของ 10 ที่แยกสเกลความยาวที่เล็กที่สุดออกจากสเกลความยาวที่ใหญ่ที่สุด และบางทีคุณอาจใจกว้างและใส่พลังพิเศษของ 10 ลงไปหลายตัวเพื่อวัดผลที่ดี แต่ก็ยุติธรรมที่จะบอกว่าไม่มีอะไรที่คุณสามารถวัดได้ในฟิสิกส์ที่มากกว่า 10100 หรือ 10200 หรืออะไรทำนองนั้น
(03:22) และบางทีแนวคิดของเราเกี่ยวกับสิ่งต่าง ๆ ที่ต่อเนื่อง — การเคลื่อนไหวที่ต่อเนื่องหรืออะไรก็ตาม — บางทีนี่อาจเป็นแค่ภาพลวงตา บางทีทุกอย่างก็ละเอียดและจำกัดจริงๆ แต่สิ่งที่เป็นความจริงก็คือ แน่นอนว่านักฟิสิกส์ได้ค้นพบสิ่งต่างๆ มากมายเกี่ยวกับโลกที่เราอาศัยอยู่ โดยจินตนาการว่าสิ่งต่างๆ นั้นราบรื่นและต่อเนื่องกัน และความไม่สิ้นสุดนั้นก็สมเหตุสมผล เมื่อคุณเข้าไปในส่วนต่าง ๆ ของฟิสิกส์ซึ่งพวกเขายังไม่ได้ทำให้สิ่งต่าง ๆ เป็นรูปแบบจริง ๆ ปัญหามากมายที่นักคณิตศาสตร์มีกับนักฟิสิกส์ก็คือการจัดการกับอินฟินิตี้ในรูปแบบต่างๆ และการลบอินฟินิตี้ออกจากอินฟินิตี้ และอาจจะไม่รับผิดชอบเท่าที่นักคณิตศาสตร์ต้องการให้เป็น ฉันไม่คิดว่านั่นเป็นข้อโต้แย้งจริงๆ ฉันคิดว่านักฟิสิกส์คงจะ — นักฟิสิกส์ส่วนใหญ่คง — ฉันหมายความว่า โอเค บางทีคุณอาจจะรู้ดีกว่านี้ แต่ผมเชื่อว่านักฟิสิกส์ส่วนใหญ่จะบอกว่านั่นเป็นข้อความที่ค่อนข้างถูกต้อง
สโตรกัซ (04:20): ถ้าอย่างนั้น ในแง่ของเรื่องราวส่วนตัวของคุณ — ฉันสัญญาว่าจะไม่ลงลึกเกินไปจนทำให้คุณอับอายในเรื่องนี้ — แต่อะไรล่ะที่ดึงดูดคุณไปสู่ความไม่มีที่สิ้นสุด? ฟิสิกส์รู้สึกเล็กเกินไปสำหรับคุณหรือไม่? หรือคุณชอบความเข้มงวดของคณิตศาสตร์หรือ…?
มัวร์ (04:33): ฉันหมายความว่า ฉันคิดว่าฉันสนใจคณิตศาสตร์โดยรวม และเริ่มห่างเหินจากฟิสิกส์ก่อนที่จะมาสนใจทฤษฎีเซตโดยเฉพาะ แดกดัน มันเป็นเพราะฉัน - ถ้าคุณเรียนวิชาฟิสิกส์ ในบางจุด คุณจะลงเอยด้วยคณิตศาสตร์ค่อนข้างเร็วและหลวมตัว และคุณตกลงกับสิ่งนั้นหรือไม่ ฉันเป็นคนหนึ่งที่ไม่โอเคกับเรื่องนี้
สโตรกัซ (04:56): ฮะ. และฉันก็เป็นคนหนึ่งที่โอเค และฉันก็ยังทำมันอยู่ คุณรู้ไหม ฉันหมายถึง เรื่องเหล่านั้นไม่ได้ทำให้ฉันกังวลมากนัก แม้ว่าฉันจะเคารพในการดูแลที่ — ความสมบูรณ์ทางปัญญาที่นักคณิตศาสตร์บริสุทธิ์มี คุณรู้ไหม กังวลเกี่ยวกับสิ่งเหล่านี้
(05:11): โอเค สมมติว่าฉันเป็นแค่เด็กวัยรุ่นที่อยากรู้อยากเห็น และไม่รู้ด้วยซ้ำว่าอินฟินิตี้คืออะไร คุณจะบอกว่ามันคืออะไร? ฉันควรคิดว่ามันเป็นตัวเลขที่ใหญ่มากหรือไม่? มันเป็นสัญลักษณ์บางอย่าง? เป็นทรัพย์สินหรือไม่? วิธีคิดที่ดีเกี่ยวกับอินฟินิตี้คืออะไร
มัวร์ (05:26): ใช่ ฉันหมายความว่า มันน่าจะเป็นจุดสิ้นสุดของบรรทัด ใช่ไหม อาจเป็นสัญลักษณ์ที่เป็นทางการ คุณรู้ไหม คุณสามารถคิดแบบนี้ได้ … สัญลักษณ์ที่เป็นทางการในความหมายเดียวกับที่เราแนะนำ -1 ใช่ไหม และฉันจำได้ว่าตอนที่ฉันยังเป็นเด็ก ครูจะไม่เต็มใจพูดให้ชัดเจนว่า การพูดเกี่ยวกับจำนวนลบปลอดภัยหรือไม่ และใช่ ฟังดูงี่เง่าเมื่อมองย้อนกลับไป แต่ในระดับหนึ่ง จริงไหม -1 มีอยู่จริงในโลกแห่งความเป็นจริงหรือไม่? แต่คุณสามารถจัดการมันได้อย่างเป็นทางการและคุณสามารถจัดการกับอินฟินิตี้ได้อย่างเป็นทางการในบางระดับ แต่คุณอาจจะต้องระมัดระวังมากกว่านี้สักหน่อย คุณยังสามารถใช้อินฟินิตี้เป็นวิธีการหาจำนวนของบางสิ่งได้อีกด้วย และนั่นทำให้เปิดประตูได้มากขึ้น เพราะคุณสามารถพูดถึงเซตอนันต์ได้ ซึ่งบางเซตก็ใหญ่กว่าเซตอื่นๆ
สโตรกัซ (06:15): ตกลง เอาล่ะ. คุณได้พูดถึงคำว่า “ชุด” นี้แล้ว และแน่นอนว่าวันนี้เราจะพูดถึงชุดเป็นอย่างมาก ฉันบอกว่าความสนใจของคุณรวมถึงทฤษฎีเซต คุณต้องการที่จะพูดเพิ่มเติมเกี่ยวกับความหมายของชุดหรือไม่?
มัวร์ (06:26): ฉันเดาว่าฉัน… คำตอบคือใช่และไม่ใช่ ดังนั้นฉันจึงคิดว่าเป็นเรื่องปกติที่จะบินผ่านที่นั่งของกางเกงคน ๆ หนึ่งและมองมันเป็นเพียงความคิดที่ไม่ได้กำหนดและใช้มันโดยสัญชาตญาณ แต่มันก็ยังถูกใช้เป็นกลไกในการสร้างรากฐานสำหรับคณิตศาสตร์ เมื่อผู้คนตระหนักว่าเราจำเป็นต้องมีบางอย่าง จงสร้างรากฐานอย่างรอบคอบว่าคณิตศาสตร์คืออะไร
สโตรกัซ (06:49):เอ่อฮะ. นั่นดูน่าสนใจ. เพราะฉันเหมือนเด็กเล็กๆ เราเรียนรู้ที่จะนับนิ้ว หรือพ่อแม่ของเราอาจเริ่มพูดคำต่างๆ จากนั้นพวกเขาอาจชี้ไปที่สิ่งต่างๆ แล้วพูดว่า “1, 2, 3…” และเราเรียนรู้เสียง — เด็กๆ อย่างนั้นตอนที่พวกเขายังเล็กมาก ฉันรู้ใช่ไหม ฉันหมายความว่าถ้าคุณมีลูกเล็ก ๆ ด้วยตัวคุณเองหรือญาติ มีด้านนั้น และฉันคิดว่าคนส่วนใหญ่คงคิดว่าตัวเลขเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์ แต่คุณกำลังบอกว่า และฉันคิดว่านักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่จะเห็นด้วย ว่ามีบางอย่างที่ลึกกว่าตัวเลข ซึ่งก็คือแนวคิดของเซต จริงไหม?
มัวร์ (07:22): ฉันคิดว่าแนวคิดของ "ชุด" เป็นแนวคิดพื้นฐานเพราะมันพื้นฐานและดั้งเดิมมาก และถ้าคุณเป็น ถ้าคุณต้องการมีบางอย่างเพื่อใช้เป็นโครงสร้างสำหรับคณิตศาสตร์ คุณต้องการเริ่มต้นด้วยบางสิ่งที่คุณสมบัติพื้นฐานของมันดูดั้งเดิมมาก แล้วเริ่มจากตรงนั้น แล้วแนวคิดก็คือคุณใช้ชุดเพื่อเข้ารหัสสิ่งต่างๆ เช่น จำนวนนับ และสิ่งต่างๆ เช่น จำนวนตรรกยะ และจำนวนจริง เป็นต้น และจากตรงนั้น โครงสร้างทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่ซับซ้อนกว่านั้น เช่น แมนิโฟลด์ หรือ หรืออะไรก็ตาม
สโตรกัซ (07:57): ฉันจำได้ ในก ถนนงา ตอนที่เคยดูกับลูก มันอยู่ในภาพยนตร์ ฉันคิดว่ามันเป็น มีตัวละครตัวหนึ่งกำลังสั่งปลาให้กับห้องที่เต็มไปด้วยเพนกวินผู้หิวโหย และเขาขอให้เพนกวินร้องเรียก และพวกมันก็พูดว่า “ปลา ปลา ปลา ปลา ปลา ปลา ปลา” จากนั้นบริกรก็เรียกลงมาที่ครัว “ปลา ปลา ปลา ปลา ปลา” แล้วมีคนอื่นพูดว่า “ไม่ คุณเข้าใจผิดแล้ว” และคนอื่นพูดว่า “ทำไมคุณไม่บอกว่าพวกเขาสั่งปลาหกตัว” แต่มันทำให้ประเด็นที่ว่าความคิดเกี่ยวกับตัวเลขแบบนี้เกิดขึ้นหลังจากการรวบรวมวัตถุของปลานี้ จากนั้นตัวละครอีกตัวก็ประหลาดใจและพูดว่า “มันใช้ได้กับหัวเทียนไหม? และซินนามอนโรล?”
มัวร์ (08:42): ฉันหมายถึง ฉันคิดเหมือนกันว่า ถ้าคุณสนใจที่จะพยายามทำความเข้าใจ คุณสามารถพิสูจน์สิ่งนี้ได้ไหม หรือสามารถพิสูจน์ได้ว่า? และคุณกำลังพยายามตั้งกฎว่าคุณจะพิสูจน์สิ่งต่างๆ หรืออะไรก็ตาม คุณต้องการให้หลักการพื้นฐานเรียบง่ายที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ดังนั้น แทนที่จะพยายามเขียนกฎสำหรับวิธีการทำงานของเลขคณิต คุณเริ่มต้นด้วยการเขียนกฎที่ง่ายกว่าสำหรับสิ่งที่ง่ายกว่า แล้วจึงสร้างเลขคณิตจากหน่วยการสร้างพื้นฐานเหล่านี้
สโตรกัซ (09:08): ตกลง ถ้าอย่างนั้น นี่ก็ทำให้ฉันนึกถึง “คณิตศาสตร์ใหม่” เหมือนกัน เมื่อตอนเป็นเด็กในยุค 60 เราเคยเรียนเกี่ยวกับทางแยกและไดอะแกรมเวนน์และยูเนี่ยนใช่ไหม นั่นคือจุดเริ่มต้นของทฤษฎีเซต พวกเขาสอนเราใน - ฉันจำไม่ได้ - มันเป็นชั้นประถมศึกษาปีที่ XNUMX หรือ XNUMX; พ่อแม่ของฉันไม่รู้ว่าทำไม แต่ฉันเดาว่าเป็นนักคณิตศาสตร์แบบคุณ หรือคนอื่นๆ ที่คิดว่าเด็กๆ ควรเรียนเซต ก่อนหรือพร้อมๆ กันกับที่เรียนเลขคณิต
มัวร์ (09:33): ใช่ สิ่งที่ผู้คนส่วนใหญ่ศึกษาในทฤษฎีเซต ฉันหมายความว่า ทุกวันนี้ จริงๆแล้ว วิธีการทำงานของเซตอนันต์ เพราะสัญชาตญาณของเราเกี่ยวกับเซตอนันต์ไม่ดีเท่าสัญชาตญาณของเราเกี่ยวกับเซตจำกัด และฉันคิดว่านั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงมีแรงผลักดันในการวางรากฐาน ส่วนหนึ่งเป็นเพราะเราอยากเขียนลงไปว่า ตกลง อะไรที่เราค่อนข้างแน่ใจว่าควรเป็นคุณสมบัติของเซตอนันต์และเซตโดยทั่วไป แล้วลองพัฒนาสิ่งที่เป็นจริงเกี่ยวกับเซตอนันต์จากตรงนั้น
สโตรกัซ (10:03): โอเค ทำไมเราไม่มีตัวอย่างสักสองสามตัวอย่างล่ะ ช่วยบอกตัวอย่างของสิ่งที่เป็นเซตอนันต์หน่อยได้ไหม?
มัวร์ (10:08): ก็เหมือนกับจำนวนธรรมชาติ อย่างที่คุณพูด เช่น 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 เป็นต้น แต่ก็รวมถึงจำนวนตรรกยะด้วย คุณรู้ไหม เศษส่วน เช่น จำนวนธรรมชาติสองจำนวนที่วางทับกัน หรืออาจเป็นเศษส่วนที่เป็นลบ แต่ก็ยังมีสิ่งต่างๆ เช่น จำนวนจริง โดยที่ — คุณรู้ไหม อะไรก็ตามที่คุณสามารถแสดงเป็นทศนิยมได้ รวมถึงสิ่งต่างๆ เช่น พาย และ e.
สโตรกัซ (10:28): อืม-อืม. ดังนั้นจึงสามารถมีตัวเลขหลังจุดทศนิยมได้หลายหลัก
มัวร์ (10:32): ใช่ ใช่ จำนวนนับไม่ถ้วน พวกเขาไม่จำเป็นต้องทำซ้ำ
สโตรกัซ (10:35): เอ่อ ฮะ แล้วสิ่งต่างๆ เช่น รูปทรงหรือจุดหรือรูปทรงเรขาคณิต ไม่ใช่แค่ตัวเลขล่ะ
มัวร์ (10:41): ใช่ คุณสามารถพูดคุยเกี่ยวกับคอลเลกชันของรูปทรงเรขาคณิตด้วย
สโตรกัซ (10:45): ตกลง นี่เป็นคุณลักษณะที่ดีของเซต: เราสามารถรวมเซตเข้าด้วยกันหรืออย่างน้อยก็มีภาษากลางสำหรับการพูดคุยเกี่ยวกับเลขคณิต เรขาคณิต …
มัวร์ (10:54): ใช่
สโตรกัซ (10:55): ฉันคิดว่าเราสามารถพูดถึงชุดของฟังก์ชันได้ ถ้าเราเรียนวิชาพรีแคลคูลัส เช่นเดียวกับเซตของเซตฟังก์ชันต่อเนื่อง ถ้าเราเรียนวิชาแคลคูลัส
มัวร์ (11:04): แน่นอน ใช่.
สโตรกัซ (11:05): หรืออะไรก็ตาม ใช่แล้ว สิ่งนี้ทำให้เรามีภาษากลางสำหรับส่วนต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์ทั้งหมด
มัวร์ (11:09): ใช่
สโตรกัซ (11:10): และ — แต่มันเป็นแนวคิดที่ค่อนข้างใหม่ในฐานะรากฐานของคณิตศาสตร์ในแง่ของประวัติโดยรวมของคณิตศาสตร์ คุณว่าไหม
มัวร์ (11:16): ใช่ ฉันหมายถึง ฉัน... อืม คณิตศาสตร์สมัยใหม่ อย่างที่เรารู้ มันมีอายุระหว่าง 100 ถึง 150 ปี แต่ฉันมักจะเชื่อมโยงมันรอบ ๆ - ส่วนแรกของศตวรรษที่แล้วคือเมื่อเราเริ่มเห็นส่วนสำคัญ ๆ ของคณิตศาสตร์ทั้งหมดที่เรารู้จักในปัจจุบันเริ่มพัฒนาและกลายเป็นวิชาที่แตกต่างออกไป และนั่นก็เป็นช่วงเวลาเดียวกับที่ [Bertrand] Russell ค้นพบความขัดแย้งของเขา ซึ่งกระตุ้นความต้องการพื้นฐานบางอย่างที่เข้มงวดสำหรับคณิตศาสตร์
สโตรกัซ (11:49): เอ่อฮะ เราควรพูดถึง - ใช่ ดังนั้น Bertrand Russell ที่เรากำลังพูดถึงในขณะนี้ มักเป็นที่รู้จักกันดีในฐานะนักปรัชญาหรือผู้รักความสงบ แต่ถึงกระนั้นเขาก็เป็นนักคณิตศาสตร์และนักตรรกวิทยาที่ค่อนข้างแข็งแกร่ง เป็นผู้ที่สนใจตรรกะซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์
มัวร์: ครับ ครับ
สโตรกัซ (12:04): อย่างที่คุณพูด เขาเป็นหนึ่งในคนที่ช่วยให้ทฤษฎีเซตติ้งพลิกผันได้จริงๆ และแม้กระทั่งต่อหน้าเขา มีสุภาพบุรุษผู้นี้ จอร์จ คันทอร์ซึ่งเราจะพูดถึงกันในเยอรมนีช่วงปลายทศวรรษ 1800
(12:17): ตกลง ดังนั้นในวิชาคณิตศาสตร์ สมมติว่า นักคณิตศาสตร์ใช้ค่าอนันต์อย่างไร คุณพูดถึงว่ามันมีประโยชน์อย่างไร มันถูกใช้ที่ไหน?
มัวร์ (12:27): ใช่ ดังนั้น ในวิชาแคลคูลัส มันเป็นสัญลักษณ์ที่มีประโยชน์สำหรับการคำนวณบางอย่าง พูดคุยเกี่ยวกับการทำงานของฟังก์ชันเมื่ออินพุตมีขนาดใหญ่มาก คุณสามารถพูดถึงขีดจำกัดที่อนันต์ หรืออัตราส่วนของปริมาณเมื่อตัวเลขกลายเป็นศูนย์ หรืออนันต์ หรืออะไรทำนองนั้น นั่นเป็นแนวคิดเรื่องอินฟินิตี้ซึ่งเป็นความหมายแรกที่ผมพูดถึง ซึ่งคุณมองว่าอินฟินิตี้เป็นจุดในอุดมคติที่ปลายเส้น
(12:53) แต่คุณสามารถพูดถึงมันได้ เช่น คุณสามารถพูดถึงการนับจำนวนองค์ประกอบของคอลเลคชันหรือเซ็ตบางชุด และติดตามว่ามันมีองค์ประกอบกี่อย่างหรืออาจจะ ถ้ามันมีหลายองค์ประกอบอย่างไม่มีที่สิ้นสุด พยายามแยกแยะความแตกต่างระหว่างขนาดของอินฟินิตี้ ฉันหมายความว่าทุกคนเข้าใจหรือแสร้งทำเป็นเข้าใจถึงความแตกต่างระหว่างความไม่มีที่สิ้นสุดและการไม่มีที่สิ้นสุด และฉันคิดว่า การค้นพบที่น่าทึ่งของคันทอร์ คือคุณสามารถทำได้ สำหรับเซตที่ไม่มีที่สิ้นสุด คุณสามารถสร้างความแตกต่างเพิ่มเติมได้ คุณสามารถแยกความแตกต่างระหว่างสิ่งที่เรียกว่านับได้และสิ่งที่เรียกว่านับไม่ได้ หรือแม้แต่โดยทั่วไปแล้ว พระคาร์ดินัลที่นับไม่ได้จะสูงกว่าความแตกต่างระหว่างพระคาร์ดินัลที่นับไม่ได้ที่แตกต่างกัน
สโตรกัซ (13:34): โอเค ไปที่นั่นกัน เพราะนี่คือการนำเราเข้าสู่หัวใจของเรื่องของเราจริงๆ ฉันคิดว่าคนทั่วไปที่ได้ยินคำว่า "นับได้" เป็นครั้งแรกอาจคิดว่ามันหมายถึงจำนวนนับได้ เช่น สิ่งที่มี 10 คุณรู้ไหม ถ้ามีหัวเทียน 10 อันบนโต๊ะ ฉันจะนับได้ — 1, 2, 3 ถึง 10 แต่คุณและนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ใช้การนับได้เพื่อหมายถึงสิ่งที่แตกต่างกว่านั้นเล็กน้อย
มัวร์ (13:56): หมายความว่าคุณสามารถกำหนดจำนวนธรรมชาติให้กับแต่ละองค์ประกอบของชุดเพื่อไม่ให้ใช้จำนวนธรรมชาติซ้ำ
สโตรกัซ (13:56): บางสิ่งสามารถนับได้และไม่มีที่สิ้นสุด
มัวร์ (13:57): และไม่มีที่สิ้นสุด เห็นได้ชัดว่าจำนวนธรรมชาตินับได้เพราะพวกมันนับเอง แต่อาจจะชัดเจนน้อยกว่าเล็กน้อยก็คือว่าจำนวนเต็มรวมทั้งลบของจำนวนธรรมชาตินั้นนับได้
สโตรกัซ (14:18): งั้นเรามาคุยกันสักครู่ ดังนั้นถ้าใครไม่เคยคิดมาก่อนก็น่าสนใจ เพราะอย่างที่คุณบอก คุณจะต้องพิจารณาตัวเลขทั้งหมด จำนวนเต็มบวกทั้งหมด จำนวนเต็มลบและศูนย์ทั้งหมด
มัวร์ (14:29): ใช่
สโตรกัซ (14:30 น.): และคุณอาจทำผิดได้ เช่นเดียวกับถ้าคุณเริ่มต้นที่ศูนย์และเริ่มนับไปทางขวา แล้วคุณไป 0, 1, 2, 3 คุณจะไม่มีทางกลับไปที่จำนวนลบ แล้วคุณจะนับจำนวนเต็มไม่สำเร็จ
มัวร์ (14:41): ใช่
สโตรกัซ: แต่คุณควรทำอะไรแทน?
มัวร์: สิ่งที่คุณทำได้คือ คุณนับได้ 0, 1, -1 แล้วก็ 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5 และถ้าคุณแสดงรายการด้วยวิธีนี้ ในที่สุดคุณก็แสดงรายการทุกอย่าง
สโตรกัซ (14:55): สวย ดังนั้นอาร์กิวเมนต์ซิกแซกที่คุณกระโดดไปมาระหว่างค่าบวกและค่าลบเป็นวิธีที่ดี เป็นระเบียบ และเป็นระบบเพื่อแสดงว่าถ้าคุณคิดถึงจำนวนเต็มใดๆ ในที่สุดมันก็จะอยู่ในรายการ
มัวร์: ใช่. ใช่.
สโตรกัซ(15:07): เยี่ยมมาก ตกลง ดังนั้นจำนวนเต็มจึงนับได้ คันทอร์ยังค้นพบสิ่งอื่นๆ อีกหลายอย่างที่สามารถนับได้ — ฉันไม่รู้ว่าเขารู้สึกประหลาดใจหรือไม่ แต่พวกเราหลายคนประหลาดใจเมื่อเรารู้เรื่องนี้ครั้งแรก เช่น อะไรนะ?
มัวร์ (15:21): ใช่ ฉันคิดว่าสองตัวอย่างที่ดีที่น่าประหลาดใจคือ ตัวอย่างแรก เหตุผล ดังนั้นการรวบรวมเศษส่วนทั้งหมดของจำนวนเต็มสองจำนวนจึงนับได้ จริงๆ แล้วค่อนข้างง่ายที่จะเห็นเมื่อคุณลองคิดดู เพราะคุณสามารถแสดงรายการเศษส่วนทั้งหมดที่มีตัวส่วน 1 — หรือตัวเศษและตัวส่วนเป็นค่าสัมบูรณ์ ได้มากสุด 1 จากนั้น มากสุด 2 มากสุด 3 มากสุด 4 และในแต่ละขั้นจะมีเพียงเศษส่วนจำนวนจำกัดที่ตัวเศษและตัวส่วนมีขนาดอย่างน้อยที่สุด n จากนั้นคุณก็สามารถใช้เหตุผลทั้งหมดนั้นจนหมดสิ้น
สโตรกัซ (15:55): เช่น ถ้าผมเลือกเลข n เป็น 3 คุณกำลังบอกว่าผมสามารถมีเลขอย่าง 1/2 หรือ 2/1 หรือ 0/3 เพราะตัวเศษบวกตัวส่วนรวมกัน ถึง 3?
มัวร์ (16:06): ใช่ อีกอันที่น่าแปลกใจอีกอย่างคือ ถ้าคุณใช้จำนวนคำที่คุณสามารถเขียนเป็นตัวอักษรละติน หรือตัวอักษรใดๆ ก็ตามที่คุณต้องการ มีคำจำนวนจำกัดหรือชุดอักขระจำนวนจำกัดที่มาจากตัวอักษรนี้มากที่สุดเท่าที่จะนับได้ ถ้าคุณคิดถึงทุกคำหรือทุกประโยค วรรณกรรมทั้งหมด ถ้าคุณชอบ—
สโตรกัซ: อุ๊ย.
มัวร์ (16:30): — สิ่งใดก็ตามที่ไม่เพียงแต่มีอยู่ในปัจจุบันเท่านั้น แต่อาจมีอยู่ในอนาคต คุณรู้ไหม คุณวางลิงจำนวนนับไม่ถ้วนเหล่านั้นไว้ที่เครื่องพิมพ์ดีด และดูว่าผลลัพธ์ที่พวกมันสามารถสร้างได้ในระยะเวลาจำกัดคืออะไร นั่นเป็นเพียงชุดที่นับได้
สโตรกัซ (16:44): ว้าว หนังสือที่เป็นไปได้ทั้งหมด สมมติว่าเป็นภาษาละติน ในภาษาที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่เรารู้จัก
มัวร์ (16:50): ในทุกภาษาที่เป็นไปได้ ใช่. ฉันหมายความว่า ถ้าคุณชอบ คุณจะมีตัวอักษรที่นับได้ถ้าคุณต้องการ นั่นไม่ได้ทำให้อะไรใหญ่ขึ้น
สโตรกัซ (16:56): นับได้จึงดูเหมือนไม่มีที่สิ้นสุดที่ยิ่งใหญ่มาก และยัง —
มัวร์ (16:59): ใช่ สิ่งที่น่าประหลาดใจอย่างแรกคือชุดที่ดูเหมือนจะใหญ่กว่าจำนวนธรรมชาติจริง ๆ แล้วมีขนาดเท่ากันกับจำนวนธรรมชาติ พวกมันนับได้ แต่ก็มีเรื่องที่น่าประหลาดใจอีกอย่างคือ จำนวนจริง ซึ่งเป็นชุดของจำนวนทศนิยมนั้นนับไม่ได้
สโตรกัซ (17:13): มีจุดที่น่าทึ่งนี้ที่คุณพูดถึงว่าอาจมีชุดที่นับไม่ได้ และฉันเดาว่า บางทีตัวอย่างที่ง่ายที่สุดอาจเป็น: ลองนึกถึงเส้นที่พุ่งออกไปหาอนันต์ในทั้งสองทิศทาง เหมือนเส้นตรงที่ยาวไม่สิ้นสุด สายแท้อย่างที่เราจะเรียกว่า นั่นนับไม่ได้
มัวร์ (17:32): ใช่ หากคุณมอบรายการให้กับฉัน ซึ่งเป็นรายการที่อ้างว่าเป็นองค์ประกอบทั้งหมดในบรรทัดนั้น จะมีกระบวนการที่เรียกว่าอาร์กิวเมนต์แนวทแยง ซึ่งช่วยให้คุณสร้างจุดใหม่ที่อยู่บนบรรทัด แต่ไม่ได้อยู่ในรายการของคุณ นั่นคือการค้นพบที่มีชื่อเสียงของคันทอร์
สโตรกัซ (17:49): นั่นเป็นการค้นพบที่น่าอัศจรรย์จริงๆ ฉันเดาว่าตอนนั้นใช่ไหม ตอนนี้คุณสามารถพูดถึงชุดอนันต์สองชุดแล้วเปรียบเทียบกันได้
มัวร์ (17:58): ใช่ใช่ และความแตกต่างระหว่างจำนวนที่นับได้และนับไม่ได้นั้นมีประโยชน์มากในทางคณิตศาสตร์ โดยพื้นฐานแล้ว เซตที่นับได้ คุณยังสามารถพูดถึงผลรวมที่มีความยาวนับไม่ถ้วนได้ นั่นคือสิ่งที่ได้รับการสอนในตอนท้ายของมาตรฐาน — จบหลักสูตรแคลคูลัสภาคเรียนที่สอง ในขณะที่ผลรวมเหนือชุดที่นับไม่ได้มีความหมายน้อยกว่า หรืออย่างน้อยที่สุด คุณต้องกำหนดมันด้วยวิธีที่ละเอียดอ่อนกว่า ที่กล่าวว่ามีบางอย่างเพิ่มเติมตามแนวของอินทิกรัลหรืออะไรทำนองนั้น
สโตรกัซ (18:30): ตกลง ตอนนี้เรามีความแตกต่างของการนับได้ เช่น จำนวนเต็ม — 1, 2, 3, 4, 5 — และนับไม่ได้ เช่น จุดบนเส้น มีอีกคำถามหนึ่งที่ฉันคิดว่าคงจะดีถ้าเราได้ใช้เวลากับสิ่งนั้นสักพัก เรียกว่าสมมติฐานต่อเนื่อง คุณช่วยบอกเราได้ไหมว่ามันคืออะไร?
มัวร์ (18:50): ใช่ คันทอร์จึงสงสัยว่า: มีสิ มีบางอย่างอยู่ระหว่างนั้นหรือเปล่า? คุณรู้ไหมว่าจำนวนธรรมชาติอยู่ในจำนวนจริง และจำนวนธรรมชาตินับได้ จำนวนจริงนับไม่ได้และมีจำนวนมากกว่าจำนวนธรรมชาติ มีชุดของจำนวนจริงที่มากกว่าจำนวนธรรมชาติแต่เล็กกว่า —
สโตรกัซ (19:10): เล็กกว่าในแง่ของการนับนี้
มัวร์ (19:12): — เล็กกว่าเส้น? มีชุดของจุดบนเส้นนั้น บนเส้นจำนวน ซึ่งมากกว่าจำนวนธรรมชาติ มากกว่าจำนวนตรรกยะ แต่เล็กกว่าทั้งบรรทัดหรือไม่ การยืนยันว่าไม่มีเซตกลางดังกล่าวเรียกว่าสมมติฐานต่อเนื่อง และนั่นคือปัญหาแรกของ Hilbert ไม่ว่าสมมติฐานต่อเนื่องจะเป็นข้อความจริงหรือเท็จ
สโตรกัซ (19:35): อืม ฮิลเบิร์ตเป็นนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ในเรื่องนี้ — อาจจะเป็นคนรุ่นหลังเล็กน้อย แต่ไม่นานหลังจากนั้น และในปีนั้น ฉันคิดว่าประมาณปี 1900 หรือประมาณนั้น เขาประกาศหรือให้รายการสิ่งที่เขาคิดว่าเป็นปัญหาที่ยิ่งใหญ่ที่สุดสำหรับอนาคต ซึ่งนักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 20 จะต้องทำงานต่อไป และฉันคิดว่านี่เป็นคำถามอันดับหนึ่งในรายการของเขา?
มัวร์ (19:58): ใช่ นี่เป็นคำถามอันดับหนึ่ง
สโตรกัซ (20:00): ว้าว ดังนั้นมันจึงเป็นเรื่องใหญ่ที่จะคิดเกี่ยวกับเรื่องนี้ คันทอร์ คุณเรียกมันว่าสมมุติฐาน เขาคิดว่าจะเป็นจริง
มัวร์: ใช่.
สโตรกัซ (20:07): ไม่มีอินฟินิตี้ที่ประกบระหว่างทั้งสองที่เขารู้อยู่แล้ว
มัวร์ (20:11): ใช่ และประเด็นก็คือ มันรอดพ้นจากการทดสอบการมองหาตัวอย่างที่ขัดแย้ง ฉันหมายถึง ถ้าคุณเริ่มดูชุดของจำนวนจริงทั้งหมด ชุดย่อยของบรรทัดที่คุณสามารถเขียนคำอธิบายหรือคุณสามารถสร้างได้ด้วยวิธีการบางอย่าง เขาพยายามสิ่งนี้ และเขาพิสูจน์ ฉันหมายความว่า เขาแสดงให้เห็นว่าไม่มีตัวอย่างที่ขัดแย้งกัน มีแม้กระทั่งทฤษฎีบทในช่วงแรกๆ ที่บอกว่าเซตของแบบนี้หรือประเภทนั้นไม่สามารถเป็นตัวอย่างตรงข้ามได้
สโตรกัซ (20:40): น่าทึ่งมาก ให้ฉันแน่ใจว่าฉันได้รับสิ่งนี้ ฉันไม่เคยได้ยินข้อความนี้: ความจริงที่ว่าบางส่วนของพวกเขาสามารถอธิบายได้ทำให้พวกเขาไม่ดีพอ
มัวร์ (20:49): ตัวอย่างเช่น ชุดที่ปิดมีจุดจำกัดทั้งหมด คันทอร์พิสูจน์แล้วว่านี่ไม่สามารถเป็นตัวอย่างที่โต้แย้งได้ มันนับได้หรือมีขนาดเท่ากับของจริง
สโตรกัซ (21:00 น.): ดังนั้นหากมีตัวอย่างที่โต้แย้งได้ มันจะต้องอธิบายไม่ได้
มัวร์ (21:04): ใช่ มันต้องซับซ้อน
สโตรกัซ (21:06): ว้าว แต่แน่นอน เป็นไปได้ว่ามีอันเดียว ซึ่งเป็นสิ่งที่แปลกประหลาดจริงๆ
มัวร์ (21:12): ใช่ แบบนั้นนำเราไปสู่บางสิ่งที่ย้อนกลับไปสู่คำถามพื้นฐานนี้ คุณรู้ไหม ในช่วงเวลานั้นพวกเขาเริ่มพยายามทำให้สัจพจน์ของคณิตศาสตร์เป็นแบบแผน และในเวลาต่อมา ในช่วงทศวรรษที่ 1930 [Kurt] Gödel ได้พิสูจน์ว่าระบบสัจพจน์ที่เข้าใจได้ประเภทใดก็ตามที่คุณอาจมีซึ่งบรรลุเป้าหมายเล็กน้อยในการกำหนดเลขคณิตให้เป็นรูปแบบเป็นทางการสำหรับจำนวนธรรมชาตินั้นจำเป็นต้องไม่สมบูรณ์ มีข้อความที่คุณไม่สามารถพิสูจน์ได้จากระบบสัจพจน์นี้ และคุณไม่สามารถหักล้างได้จากสัจพจน์ โดยใช้การพิสูจน์แบบจำกัดมาตรฐาน
(21:52) และฉันคิดว่านี่ค่อนข้างน่าตกใจ เพราะมันบอกคุณว่าเป้าหมายของอัลกอริทึมในการพยายามแก้ปัญหาทั้งหมดของคุณในวิชาคณิตศาสตร์และสร้างรากฐานของอัลกอริทึมบางประเภท รากฐานที่สมบูรณ์ของคณิตศาสตร์บางอย่างจึงถึงวาระ หรืออย่างน้อยต้องถูกควบคุมโดยสัญชาตญาณที่สูงกว่าบางอย่าง — ฉันไม่รู้ — ที่มีอยู่ในขณะนั้น
(22:16) และสิ่งที่ Gödel พิสูจน์ - สิ่งหนึ่งที่เขาพิสูจน์ในภายหลังคือหนึ่งในข้อความที่คุณไม่สามารถพิสูจน์หรือหักล้างได้คือข้อความที่ว่าระบบสัจพจน์ของคุณสอดคล้องกันตั้งแต่แรก ที่ไม่นำไปสู่ความขัดแย้งใดๆ ข้อความนั้นสามารถเข้ารหัสเป็นข้อความประเภทหนึ่งเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวน เกี่ยวกับเลขคณิตของจำนวนธรรมชาติ แต่ไม่ใช่ในลักษณะที่เป็นธรรมชาติโดยเฉพาะ ถ้าคุณไปคุยกับนักทฤษฎีจำนวนคนใดคนหนึ่งในภาควิชา พวกเขาจะไม่ถือว่าสิ่งนั้นเป็นปัญหาหรือเป็นประโยคของทฤษฎีจำนวน แม้ว่าในทางเทคนิคแล้วจะเป็นอย่างนั้นก็ตาม และมันก็เป็นเช่นนั้น — คำถามที่เหลืออยู่จากเวลาของ Gödel คือว่าสมมติฐานต่อเนื่องหรือไม่ — หรือมีข้อความทางคณิตศาสตร์ธรรมชาติอื่น ๆ หรือไม่ ซึ่งไม่สามารถตัดสินใจได้โดยอาศัยระบบสัจพจน์ที่เรากำลังทำงานอยู่
สโตรกัซ (23:02): จึงมีแนวคิดเกี่ยวกับสัจพจน์นี้ เราควรพยายามจดจำว่าสิ่งเหล่านั้นมีลักษณะอย่างไร เพราะถ้าเราทำคณิตศาสตร์อย่างระมัดระวัง เราต้องวางคำจำกัดความบางอย่าง แต่รวมถึงบางอย่างที่เราเข้าใจด้วย ฉันไม่รู้ว่าทำไมฉันถึงไม่อยากพูดว่า "เรายอมรับ" แต่เรายอมรับ เป็นหิน
มัวร์ (23:19): ใช่ใช่ ฉันหมายความว่า นี่คือสิ่งที่ชาวกรีกทำ นั่นคือ หนึ่งในความสำเร็จในการทำให้รูปทรงเรขาคณิตเป็นทางการ แทนที่จะพยายามนิยามว่าเรขาคณิตคืออะไร ให้มองว่า: คุณคือ จะเขียนคำศัพท์ที่ไม่ได้นิยามสองสามคำ จากนั้นเขียนกฎหรือสัจพจน์ที่ควบคุมพฤติกรรมของคำศัพท์ที่ไม่ได้นิยามเหล่านี้ สำหรับพวกเขาแล้ว มันเป็นเหมือนจุดและเส้นตรง และเมื่อจุดอยู่บนเส้น นั่นคือแนวคิดที่ไม่ได้กำหนด และเมื่อจุดหนึ่งอยู่ระหว่างอีกสองจุดบนเส้นตรง นั่นคือแนวคิดที่ไม่ได้นิยาม จากนั้นคุณก็เขียนชุดสัจพจน์ที่ควบคุมการทำงานของแนวคิดเหล่านี้ และถ้าคุณทำถูกต้อง ทุกคนก็เห็นพ้องต้องกันว่าคุณสมบัติเหล่านี้เป็นจริงของสิ่งเหล่านี้ สิ่งเหล่านี้ ดังนั้น สัจพจน์เหล่านี้จึงเป็นสิ่งที่ดูเหมือนจริงในตัวเอง
(23:19) ดังนั้นสำหรับเรขาคณิต คุณรู้ไหม มีสมมุติฐานขนานอันโด่งดังนี้ ซึ่ง — คุณไม่สามารถหามันจากอันอื่นได้ และมันก็ค่อนข้างปฏิวัติเมื่อค้นพบว่าคุณสามารถสร้างแบบจำลองของเรขาคณิตที่ตรงตามสัจพจน์ทั้งหมด แต่ไม่ใช่สมมติฐานที่ขนานกัน ดังนั้น สัจพจน์คู่ขนานจึงไม่สามารถพิสูจน์ได้จากสัจพจน์อื่นๆ ดังนั้น ในแง่หนึ่ง สิ่งที่เกอเดลทำคือพัฒนาวิธีการสำหรับสิ่งนั้น แต่ในระดับของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ หรืออย่างน้อยแบบจำลองของระบบสัจพจน์ที่เรามีสำหรับคณิตศาสตร์
สโตรกัซ (24:45): อ่า เป็นวิธีพูดที่น่าสนใจ เช่นเดียวกับที่เรามีเรขาคณิตแบบยุคลิด แล้วเรายังมีรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดแบบใหม่เหล่านี้ ซึ่งไอน์สไตน์ใช้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปอย่างมีชื่อเสียง แต่ก็ใช้ในที่อื่นด้วย และมันก็มีเหตุผลพอๆ กับเรขาคณิตแบบยุคลิด แต่ตอนนี้ แทนที่จะพูดถึงเรขาคณิต คุณกำลังบอกว่ามันเหมือนกับที่เราใช้แบบดั้งเดิม — อืม ฉันไม่แน่ใจว่าคำนั้นคืออะไร อะไรคืออะนาล็อกของเรขาคณิตแบบยุคลิด? มีคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิมหรือไม่?
มัวร์ (25:16): นั่นเป็นคำถามเปิด ฉันหมายความว่า ฉันหมายความว่า ฉันคิดว่ามันเป็นคำถามเชิงปรัชญาส่วนหนึ่ง อาจเป็นคำถามทางสังคมวิทยา เพราะมันเป็นเรื่องของคณิตศาสตร์ใช่ไหม มันกลับมาที่คำถามพื้นฐาน และฉันคิดว่าสัจพจน์ที่เรามี สัจพจน์ ZFC ซึ่งพัฒนาขึ้นเมื่อ 100 ปีที่แล้วเล็กน้อย เป็นสัจพจน์ที่เราเห็นด้วยโดยทั่วไปว่าเป็นจริง หรือเป็นคุณสมบัติที่ "ชุด" ควรมี แต่ ยังไม่สมบูรณ์
สโตรกัซ (25:44): เอาล่ะ เดี๋ยวก่อน เรามาแกะกล่องทั้งหมดกันเถอะ นั่นฟังดูดี ดังนั้น ZFC ทำไมเราไม่เริ่มต้นด้วยสิ่งนั้น นั่นคือชื่อของบางคนและสิ่งของ
มัวร์ (25:51): ใช่ใช่ “ทฤษฎีเซตของเซอร์เมโล-แฟรนเคล” กับสิ่งที่เรียกว่า “สัจพจน์ของทางเลือก” ใช่.
สโตรกัซ (25:55): ตกลง และนั่นคือกฎของเกมที่ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวาง
มัวร์ (25:59): ใช่ มันเป็นรายการสัจพจน์ที่ — มันค่อนข้างยาว แต่ก็ไม่ยาวขนาดนั้น เช่น ถ้าคุณมีสองเซต แสดงว่ามีเซตที่มีทั้งสองเป็นองค์ประกอบ สัจพจน์การจับคู่ ที่คุณสามารถนำชุดของชุดมารวมกันได้ และนั่นคือชุด และอื่น ๆ
สโตรกัซ (26:15): ตกลง จึงมีแนวทางของ ZFC ในการทำทฤษฎีเซต และนั่นคือ คุณบอกว่าเสนอในช่วงเวลาหนึ่งและผู้คนชอบมัน แต่คุณบอกว่ามันยังไม่สมบูรณ์?
มัวร์ (26:26): ใช่ ดังนั้นจึงเป็นสิ่งที่คุณสามารถเขียนได้ อัลกอริทึมคอมพิวเตอร์เพื่อแสดงสัจพจน์ มันเป็นชุดสัจพจน์ที่ไม่สิ้นสุด แต่ด้วยข้อยกเว้นของกลุ่มสัจพจน์สองกลุ่ม มันจำกัด หากคุณไม่ใส่ใจ คุณจะคิดว่ากลุ่มสัจพจน์อื่นๆ แต่ละกลุ่มเหล่านี้เป็นสัจพจน์เดียว แต่จริงๆแล้วมันเป็นสัจพจน์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด คุณสามารถสร้างโปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่จะแยกสัจพจน์ทั้งหมดออกมา เรามักจะเชื่อว่า ZFC มีความสอดคล้องกันเพราะเราไม่พบความขัดแย้งใดๆ หากคุณเชื่อเช่นนั้น จากทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของ Gödel ZFC จะไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่ามันสอดคล้องกัน
(27:03) ดังนั้นจึงมีข้อความ เช่น ความสอดคล้องของ ZFC ที่ ZFC ไม่สามารถพิสูจน์ได้ นั่นเป็นประเด็นที่น่าสนใจ เพราะอีกครั้ง เราเชื่อว่า ZFC นั้นคงเส้นคงวา และนั่นคือหนึ่งในเหตุผลที่ฉันหมายถึง… นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ พวกเขาจะทำงานบนพื้นฐานของความเชื่อที่ว่า CFC นั้นสอดคล้องกัน ขวา? แต่นั่นเป็นสิ่งที่เราถือว่าเป็นข้อความจริง แต่นั่นไม่ใช่สิ่งที่ ZFC เองจะพิสูจน์ได้
สโตรกัซ (27:27): ฉันแค่คิด ระหว่างทางที่นี่ เราพูดถึง Gödel มาตลอด ฉันไม่รู้ว่าเราได้บอกว่าเขาเป็นใคร คุณต้องการที่จะบอกเราสั้น ๆ ?
มัวร์ {27:34} ใช่ เขาเคยเป็น ฉันหมายความว่าเขาเป็นนักตรรกะที่ปฏิวัติวงการ ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์นี้เป็นหนึ่งในความสำเร็จที่สำคัญของเขา และความสำเร็จที่สำคัญอื่น ๆ ของเขาคือการแสดงให้เห็นว่าสมมติฐานต่อเนื่องไม่สามารถหักล้างได้โดยใช้สัจพจน์ของ ZFC
สโตรกัซ (27:49): บางคนคิดว่าเขาเป็นนักตรรกะที่ยิ่งใหญ่ที่สุดนับตั้งแต่อริสโตเติล และไอน์สไตน์ซึ่งเป็นเพื่อนและเพื่อนร่วมงานของเขาที่ Institute for Advanced Study กล่าวว่าเขาชอบที่จะได้สิทธิพิเศษในการเดินไปทำงานด้วย เคิร์ทเกอเดล. ฉันหมายความว่าเขาอยู่ในลีกทางปัญญาเดียวกันกับไอน์สไตน์ หากคุณไม่เคยได้ยินเกี่ยวกับเขา ฉันขอแนะนำให้คุณดูหนังสือเกี่ยวกับเขาที่เรียกว่า การเดินทางสู่ขอบของเหตุผล. หนังสือยอดเยี่ยมเกี่ยวกับชีวิตของโกเดล แต่โอเค เขาก็ใช่ เขาเป็นนักตรรกศาสตร์กลางศตวรรษที่ 20 ต้นศตวรรษที่ 20 และคุณบอกว่าเขาพิสูจน์แล้ว -- เอาล่ะ พูดอีกครั้งเกี่ยวกับสมมติฐานความต่อเนื่อง?
มัวร์ (28:23): ภายในแบบจำลองใดๆ ของทฤษฎีเซต เขาได้สร้างแบบจำลองที่เล็กกว่าของทฤษฎีเซตซึ่งเป็นไปตามสมมติฐานต่อเนื่อง และนั่นแสดงว่าคุณไม่สามารถหักล้างสมมติฐานความต่อเนื่องภายในสัจพจน์ของทฤษฎีเซตได้ จากแบบจำลองหนึ่งของทฤษฎีเซต ถ้าคุณมีแบบจำลองหนึ่ง ฉันสามารถสร้างแบบจำลองใหม่ได้ ซึ่งเป็นไปตามสมมติฐานความต่อเนื่อง
สโตรกัซ (28:43): ฉันเข้าใจแล้ว ดังนั้นอาจมีทฤษฎีเซตหลายเวอร์ชัน เวอร์ชันเล็กๆ ที่ยังพอใช้คำนวณได้ ฉันรับไว้
มัวร์: ใช่.
สโตรกัซ (28:51): แต่ที่ โอเค สมมติฐานต่อเนื่องเป็นจริง เหมือนที่คันทอร์เดา
มัวร์: ใช่.
สโตรกัซ (28:56): แล้ว แต่แล้ว - มี "แต่" ที่ยิ่งใหญ่สำหรับเรื่องนี้
มัวร์ (28:59): ใช่ หลายปีต่อมา [พอล] โคเฮน พัฒนาเทคนิคที่เรียกว่าการบังคับให้เขาขยายแบบจำลองของทฤษฎีเซต และใช้สิ่งนี้ เขาพิสูจน์ว่าคุณไม่สามารถพิสูจน์สมมติฐานความต่อเนื่องได้ ยกเว้นเทคนิคของเขายังสามารถใช้เพื่อพิสูจน์ว่าคุณไม่สามารถหักล้างได้ นี่ ใช่ เทคนิคนี้เรียกว่าการบังคับ จริง ๆ แล้ว มันทรงพลังมาก การบังคับและเทคนิคในการสร้างแบบจำลองขนาดเล็กภายในแบบจำลองของทฤษฎีเซตของคุณ นี่คือเครื่องมือสองอย่างที่เรามีสำหรับสร้างแบบจำลองใหม่ของทฤษฎีเซตจากแบบจำลองของทฤษฎีเซตแบบเก่า
มัวร์ (29:32): ย้อนกลับไปที่การเปรียบเทียบทางเรขาคณิต ฉันหมายถึง แม้แต่แบบจำลองเหล่านี้ของระนาบไฮเพอร์โบลิก ซึ่งเป็นแบบจำลองเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด — แบบจำลองเหล่านี้เริ่มต้นด้วยการนำระนาบแบบยุคลิดหรือเซตย่อยของมันมาสร้างแบบจำลองเรขาคณิต เช่น จุดและเส้นตรงนั้น คะแนนเป็นเพียงคะแนนธรรมดาบนดิสก์นี้ และเส้นตรงนั้นมีวงกลมอยู่ วงกลมบางวงในรูปทรงเรขาคณิตดั้งเดิม ประเด็นที่ผมพยายามจะสื่อก็คือ นี่เป็นสิ่งที่มีประโยชน์อย่างหนึ่งที่คุณทำในวิชาคณิตศาสตร์ บ่อยครั้งที่คุณเริ่มต้นด้วยโครงสร้างบางอย่างที่ตอบสนองระบบสัจพจน์ของคุณ เช่น รูปทรงเรขาคณิตที่ตอบสนองสัจพจน์เรขาคณิตของคุณ และคุณปรับเปลี่ยนมันด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งและสร้างสิ่งใหม่ ซึ่งอาจตอบสนองสัจพจน์ชุดอื่น นั่นคือสิ่งที่ Cohen และ Gödel กำลังทำอยู่ นั่นคือพวกเขากำลังสร้างแบบจำลองของสัจพจน์ของทฤษฎีเซต — และในแง่หนึ่ง แบบจำลองของคณิตศาสตร์ — และจัดการกับมันโดยใช้เทคนิคต่าง ๆ เพื่อสร้างแบบจำลองใหม่ ซึ่งก็พอใจเช่นกันที่ สมมติฐานต่อเนื่องเป็นจริงหรือสมมติฐานต่อเนื่องเป็นเท็จ
สโตรกัซ (30:36): นี่เป็นเรื่องที่น่าทึ่งมากสำหรับฉัน และฉันแน่ใจว่าสำหรับหลาย ๆ คนก็รู้ว่า… เช่นเดียวกับเพลโตมีปรัชญาที่ว่า มีรูปแบบในอุดมคติบางอย่างอยู่ที่นั่นและความจริงที่ — บางทีเราอาจจะทำได้ ไม่เห็นพวกเขาที่นี่บนโลก แต่ในบางอาณาจักรแห่งความสงบ ความจริงของพวกเขามีอยู่จริง
มัวร์: ครับ ครับ
สโตรกัซ (30:57): และคุณจะรู้สึกว่าจำนวนจริงนั้นมีอยู่จริง ไม่ว่ามนุษย์จะคิดเกี่ยวกับมันหรือไม่ก็ตาม และสมมุติฐานต่อเนื่องนั้นเป็นจริงกับจำนวนจริง หรือไม่ก็ตาม แต่คุณกำลังบอกฉัน?
มัวร์ (31:09): อืม ฉันหมายถึง ใช่ มีสำนักคิดที่แตกต่างกันเกี่ยวกับเรื่องนี้ ฉันหมายความว่าคุณทำไม่ได้ — คุณสามารถมองว่ามีสิ่งนี้ที่ฉันคิดว่าอยู่ภายใต้ชื่อ มุมมองลิขสิทธิ์ทั่วไป นั่นคือไม่มีอะไรที่คุณสามารถพูดได้อีกแล้ว มีเพียงโมเดลทั้งหมดของทฤษฎีเซตเท่านั้น และสิ่งที่ดีที่สุดที่เราสามารถทำได้คือพยายามทำความเข้าใจว่าอะไรคือความจริงในแต่ละข้อ และย้ายไปมาระหว่างสิ่งเหล่านั้น และนั่นเป็นมุมมองที่ไม่ค่อยสงบสุขนัก เป็นมุมมองแบบทางการเกี่ยวกับสิ่งต่างๆ คุณยังอาจใช้มุมมองที่อาจมีแบบจำลองบางอย่างของทฤษฎีเซตที่ต้องการ นั่นคือ คุณรู้ไหม ความเป็นจริงที่เราอาศัยอยู่ และโมเดลอื่นๆ เหล่านี้ทั้งหมด พวกมันเป็นโมเดลของสัจพจน์ แต่พวกมันไม่ใช่สิ่งที่เราพยายามอธิบายด้วยสัจพจน์จริงๆ ฉันคิดว่าการเปรียบเทียบกับเรขาคณิตค่อนข้างจะเป็นตัวอย่างใช่ไหม ฉันหมายความว่า คุณสามารถสร้างโมเดลรูปทรงเรขาคณิตต่างๆ ได้มากมาย แต่เรายังคงอยู่ในโลกทางกายภาพที่มีรูปทรงเรขาคณิต และบางทีนั่นอาจเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่เราสนใจมากที่สุด
สโตรกัซ (32:03): ฉันเข้าใจแล้ว ในทำนองเดียวกับที่เราให้สถานะที่ต้องการแก่เรขาคณิตแบบยุคลิดเพราะเป็นสถานะที่เราคุ้นเคย เป็นโดเมนที่มีมานานแล้ว เพราะมันเป็นแบบที่ง่ายที่สุดและชัดเจนที่สุด แต่เรายังคงคิดว่าโดเมนอื่นๆ เหล่านี้ดี และมีโดเมนที่มีประโยชน์และน่าสนใจ
มัวร์ (32:20): แต่บางทีสิ่งที่ควรค่าแก่การชี้ให้เห็นก็คือ แม้แต่ความเข้าใจของเราเกี่ยวกับ — อันดับแรก ฉันไม่แน่ใจว่าเราอยู่ในเรขาคณิตแบบยุคลิด แต่มี มีคำถามเกี่ยวกับเรื่องนั้น แต่แม้แต่ความเข้าใจของเราเกี่ยวกับโลกทางกายภาพก็เพิ่มขึ้นอย่างมากจากการทำความเข้าใจรูปทรงเรขาคณิตอื่นๆ เหล่านี้ทั้งหมด การสำรวจแบบจำลองเรขาคณิตอื่นๆ โดยไม่เสียค่าใช้จ่าย และเช่นเดียวกันกับทฤษฎีเซต ฉันคิดว่าแม้ว่าในอนาคต เราลงความเห็นเป็นเอกฉันท์ว่าอะไรคือสัจพจน์ใหม่สำหรับทฤษฎีเซต การไปถึงจุดหมายนั้นเป็นสิ่งที่ไม่มีทางเป็นไปได้อย่างแน่นอนหากไม่มีการสำรวจทั้งหมดนี้ที่เกิดขึ้นล่วงหน้า
สโตรกัซ (33:00): การพิสูจน์หรือหักล้างสมมติฐานต่อเนื่องหมายความว่าอย่างไร สำหรับแต่ละค่ายเหล่านี้? อะไรเป็นเดิมพัน?
มัวร์ (33:08): ใช่ นั่นแหละ — ตกลง ดังนั้นฉันคิดว่าค่ายที่ใช้มุมมองแบบ "โลกทั้งใบ" แบบนี้จะบอกว่านี่เป็นคำถามที่ไม่มีความหมาย โคเฮนและโกเดลและเทคนิคของพวกเขาในการสร้างแบบจำลองจำนวนมากของทฤษฎีเซตเป็นการสิ้นสุดการอภิปราย และคุณรู้ไหม เรากำลังจะสร้างแบบจำลองใหม่ๆ มากมายของทฤษฎีเซต แต่บางที เราจะไม่มีคำตอบสุดท้ายในการบอกว่าสมมติฐานต่อเนื่องเป็นจริงหรือเท็จ ผู้คนที่เห็นว่าข้อความดังกล่าวมีความจริงหรือความเท็จบางอย่าง คงจะพยายามหาสัจพจน์ใหม่และอาจหาเหตุผลเชิงฮิวริสติกว่าทำไมสัจพจน์นี้จึงควรเป็นจริง — ทั้งฮิวริสติกหรืออาจเป็นเหตุผลเชิงปฏิบัติ เพราะเหตุใดจึงเป็นเรื่องจริง และเมื่อคุณแย้งว่าสัจพจน์นี้ควรได้รับการยอมรับ ว่ามันสรุปสัญชาตญาณบางอย่างที่เรามีเกี่ยวกับคณิตศาสตร์หรือเซต ถ้าสัจพจน์นี้ยังพิสูจน์หรือหักล้างสมมติฐานต่อเนื่องในความหมายที่เป็นทางการของคำนี้ คุณจะมองว่า CH นั้นเป็นจริงหรือเท็จ
สโตรกัซ (34:12): นั่นคือสิ่งที่เราเป็นอยู่ตอนนี้ ว่าตอนนี้มีสองค่ายนี้จริงๆ
มัวร์ (34:16): ใช่ ในระดับหนึ่ง เป็นเวลานานมากแล้วที่สมมติฐานความต่อเนื่องแสดงให้เห็นว่าไม่สามารถตัดสินใจได้บนพื้นฐานของสัจพจน์ ซึ่งฉันคิดว่านักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่คุ้นเคยกับข้อเท็จจริงที่ว่านั่นอาจเป็นสิ่งที่คุณสามารถพูดได้มากที่สุด และฉันคิดว่ามันคงน่าทึ่งมาก ณ จุดนี้ ถ้านักคณิตศาสตร์โดยรวมสามารถหาข้อสรุปเกี่ยวกับฮิวริสติกแบบใหม่ ซึ่งทุกคนเห็นพ้องต้องกันว่าควรเป็นจริง และอาจจะไม่เกิดขึ้น บางที ชุมชนอาจมีมุมมองที่แตกต่างกันมากเกินไป พูดตามตรง ฉันคิดว่ามันค่อนข้างเป็นมุมมองที่เป็นเอกฉันท์ แต่ไม่ใช่มุมมองสากล นั่นคือ ZFC เป็นชุดของสัจพจน์ที่แท้จริงสำหรับคณิตศาสตร์ มีบางคนที่มองว่าสิ่งที่ไม่มีที่สิ้นสุดนั้นไม่มีอยู่จริง และมันไม่สมเหตุสมผลที่จะพูดถึงและเราไม่ควรพูดถึงมัน
สโตรกัซ (35:05): อืม นั่นเป็นประเพณีที่มีมาแต่โบราณ ฉันหมายถึง นั่นคือ - อริสโตเติลกำลังบอกให้เราระวังเรื่องอนันต์ และตลอดประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ คนที่ยิ่งใหญ่พอๆ [คาร์ล ฟรีดริช] Gauss ระมัดระวังมากเกี่ยวกับแนวคิดเรื่องอนันต์ที่สมบูรณ์ ซึ่งเป็นสิ่งที่คันทอร์เปิดเวิร์มกระป๋องนี้ให้เรา แต่ไม่รู้ว่าเป็นหนอน ดูเหมือนว่าจะเป็น - คุณรู้ไหมว่าอะไรคืออันตราย? เป็นการที่เราปล่อยให้จินตนาการของเราโลดแล่นไปค้นพบสิ่งที่น่าสนใจมากมาย
(35:30) แต่ฉันมีคำถาม ในฐานะคนที่ไม่ใช่นักทฤษฎีเซต ฉันไม่อยากถามแบบไม่สุภาพ แต่มันอาจจะฟังดูไม่สุภาพไปหน่อย ซึ่งคุณก็รู้ว่าฉันจะไปไหนใช่ไหม? เช่น สิ่งนี้มีผลกับฉันอย่างไร? คณิตศาสตร์ที่เหลือรู้สึกถึงการสั่นสะเทือนที่เกิดขึ้นภายในทฤษฎีเซตหรือไม่? หรือเราแยกตัวออกจากสิ่งที่คุณกำลังทำอยู่?
มัวร์ (35:49): เป็นคำถามที่ดี ฉันคิดว่านักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ไม่เคยพบข้อความที่พิสูจน์ไม่ได้หรือหักล้างไม่ได้ในระบบสัจพจน์ปกติสำหรับคณิตศาสตร์ใน ZFC และนักทฤษฎีเซตก็ต้องค้นพบคำอธิบายสำหรับสิ่งนั้นในระดับหนึ่ง มีแบบจำลองของทฤษฎีเซตซึ่งใหญ่กว่าแบบจำลองดั้งเดิมของเกอเดล แต่เล็กกว่าเอกภพของเซตทั้งหมด เรียกว่าแบบจำลองฐานทึบ [โรเบิร์ต] โซโลเวย์ ค้นพบในช่วงเวลาการทำงานของโคเฮน และการค้นพบที่น่าทึ่งก็คือโมเดลนี้ ความจริงในนั้นไม่สามารถถูกบังคับได้ ดังนั้น โดยพื้นฐานแล้ว ถ้าคุณสามารถตีความบางอย่างเกี่ยวกับสิ่งที่เป็นจริงในแบบจำลองนั้นหรือเท็จในแบบจำลองนั้น มันเป็นสิ่งที่มีภูมิคุ้มกันอย่างมากต่อปรากฏการณ์ความเป็นอิสระ
(36:35) สิ่งที่จับต้องได้คือแบบจำลองของทฤษฎีเซตนี้ไม่ใช่ — ไม่เป็นไปตามสัจพจน์ของทางเลือก สัจพจน์ของการเลือกคือ - นี่คือเวิร์มอีกกระป๋องหนึ่งที่นี่ แต่เหตุผลประการหนึ่งที่ทำให้สัจพจน์ของตัวเลือกแตกต่างจากสัจพจน์อื่น ๆ คือมันไม่สร้างสรรค์ สัจพจน์อื่นๆ ทั้งหมดบอกคุณว่าเซตบางเซตที่คุณมีคำอธิบายคือเซต นั่นเป็นเพียงวิธีการทำงานของสัจพจน์ แต่สัจพจน์ของตัวเลือกบอกคุณว่าชุดของชุดที่ไม่ว่างเปล่า คุณสามารถเลือกบางอย่างจากชุดแต่ละชุดได้ ดังนั้นตัวเลือกจึงไม่ได้บอกคุณว่าคุณจะเลือกอย่างไร นี่เป็นสัจพจน์ที่ในแง่หนึ่ง ทำให้เราสามารถสร้างสิ่งที่แปลกประหลาดและขัดแย้งได้ทุกประเภท ฉันเดาว่าในสนามเบสบอลเมื่อประมาณ 100 ปีที่แล้ว เช่น เซตที่ไม่สามารถวัดผลได้ อะไรก็ตามที่เป็นอยู่ มีการสลายตัวของทรงกลมที่มีชื่อเสียงนี้ ความขัดแย้งของ Banach-Tarski, ที่ -
สโตรกัซ (37:29): โอ้ มันน่าสนใจ
มัวร์ (37:32): — คุณสามารถตัดทรงกลมออกเป็นหลายๆ ชิ้น แล้วประกอบเข้าด้วยกันใหม่เป็นทรงกลมสองทรงกลมที่มีขนาดเท่ากันกับทรงกลมเดิม และตอนนี้เหตุผลที่ไร้สาระก็คือ คุณควรกำหนดมวลให้กับแต่ละอัน — คุณรู้ไหม ให้กับทรงกลมดั้งเดิม แล้วกำหนดมวลให้กับชิ้นส่วนเหล่านี้ทั้งหมดที่คุณสามารถตัดมันออกได้ และพวกมัน ควรบวกให้เท่ากับมวลเดิม และเมื่อคุณจัดเรียงใหม่ กระบวนการนั้นไม่ควรเปลี่ยนมวล แต่อย่างใด เมื่อคุณประกอบเข้าด้วยกันใหม่ คุณจะมีมวลเป็นสองเท่าของมวลที่คุณเริ่มต้น ทีนี้ ประเด็นในการโต้เถียงกัน - สิ่งที่ผิดพลาดคือการตัดทรงกลมที่สัจพจน์ของตัวเลือกให้คุณทำนั้นแย่มากจนคุณไม่สามารถกำหนดมวลให้กับชิ้นส่วนเหล่านี้ที่คุณมีได้
(38:11) ตอนนี้ พฤติกรรมที่ขัดแย้งกันนั้นทำให้ผู้คนคิดว่าสัจพจน์ของตัวเลือกนั้นอาจมีปัญหาได้ บางทีมันอาจจะนำไปสู่ความขัดแย้งบางอย่างในวิชาคณิตศาสตร์เอง ดังนั้นจึงไม่ควรยอมรับสัจพจน์ของทางเลือก สิ่งหนึ่งที่ Gödel พิสูจน์ไปพร้อม ๆ กับที่เขาพิสูจน์ว่าคุณไม่สามารถหักล้างสมมุติฐานความต่อเนื่องได้ ก็คือการสมมติสัจพจน์ของตัวเลือกนั้นปลอดภัยเช่นกัน นั่นคือ ถ้าสัจพจน์ของ ZFC ที่ไม่มีสัจพจน์ของทางเลือกสอดคล้องกัน ชุดของสัจพจน์ของ ZFC ที่มีสัจพจน์ของทางเลือกก็เช่นกัน มันอาจให้สิ่งแปลกใหม่มากมายแก่คุณ แต่จากมุมมองพื้นฐาน มันไม่ได้สร้างมลพิษให้กับน้ำ
(38:51) ในเวลาต่อมา มีการค้นพบสิ่งนี้เรียกว่าบทแทรกของ Zorn ซึ่งกลายเป็นความจริงที่เทียบเท่ากับสัจพจน์ของตัวเลือก และมันมีประโยชน์มากจริงๆ ในการพัฒนาสาขาต่างๆ ของคณิตศาสตร์ เป็นสิ่งที่ — คุณจะได้เรียนรู้เกี่ยวกับสิ่งนี้หากคุณเป็นนักศึกษาระดับปริญญาตรีขั้นสูง หรือหากคุณเป็นนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาในสาขาคณิตศาสตร์ มันเป็นส่วนหนึ่งของการเรียนรู้ที่จำเป็นสำหรับการศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาในวิชาคณิตศาสตร์ และเนื่องจากยูทิลิตี้สุดโต่งนี้ เป็นสิ่งที่เราเพิ่งยอมรับในทุกวันนี้ ฉันคิดว่านักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ไม่สบายใจที่จะทำงานโดยไม่มีสัจพจน์ของทางเลือก เพียงเพราะในหลายกรณี พวกเขาอาจใช้มันโดยไม่รู้ตัวด้วยซ้ำ
(39:31) ดังนั้น ฉันคิดว่านี่เป็นตัวอย่างของวิธีที่เราจะตั้งสมมุติฐานต่อเนื่อง คือการที่เราได้ค้นพบสัจพจน์บางอย่างในอนาคต ซึ่งมีประโยชน์อย่างมากในการพัฒนาคณิตศาสตร์ต่อไป โดยถือว่าสัจพจน์นี้เป็นจริงในระดับหนึ่ง นั่นคือสิ่งที่เกิดขึ้นกับบทแทรกของ Zorn และด้วยสัจพจน์ที่เลือก มันไม่ใช่สิ่งที่ถูกมองว่าเป็นเรื่องจริงในตอนแรก อันที่จริง ในตอนแรกมันถูกมองด้วยความสงสัย
สโตรกัซ (39:56): แต่ขอฉันดูว่าฉันทำได้ เนื่องจากมันทำได้… ตอนนี้เราได้พูดกันมากเกี่ยวกับสัจพจน์ของตัวเลือก: ความสัมพันธ์กับสมมติฐานความต่อเนื่อง มีวิธีสรุปที่จะบอกว่ามันคืออะไร?
มัวร์ (40:06): คุณรู้ไหมว่า สัจพจน์ของตัวเลือกและสมมติฐานต่อเนื่องมีความสัมพันธ์แบบแปลกๆ เพราะพวกมัน... โอเค สมมติฐานต่อเนื่อง จากมุมมองของนักทฤษฎีเซต มันช่วยให้คุณสร้างสิ่งแปลกใหม่ได้มากมาย . มันช่วยให้คุณสร้างสิ่งก่อสร้างที่ยาวอย่างไม่มีที่สิ้นสุด แม้กระทั่งยาวจนนับไม่ถ้วน โดยที่คุณทำทุกอย่างด้วยวิธีที่มีการควบคุมมาก ด้วยวิธีอัลกอริทึม และสร้างวัตถุแปลก ๆ ที่คุณยังคงควบคุมได้มากตลอดทาง ในกรณีที่ไม่มีสัจพจน์ของทางเลือก สมมติฐานต่อเนื่องอย่างที่ฉันกล่าวไว้แต่เดิมว่าไม่มีชุดของกฎที่เป็นกลาง นั่นคือสิ่งที่ไม่มีข้อผูกมัดเหมือนกับว่าสัจพจน์ของทางเลือกเป็นจริง และเหตุผลก็คือ ตัวอย่างเช่น ในกรณีที่ไม่มีสัจพจน์ของทางเลือก คุณสามารถพูดถึงสมมติฐานต่อเนื่องที่แรงกว่านั้น เช่นเดียวกับเซตย่อยทุกเซตของเส้นจำนวนจริง ซึ่งนับได้ หรือมีสำเนาของเซตคันทอร์อยู่ในนั้น เช่นเดียวกับที่มีต้นไม้ของคะแนน ต้นไม้ไบนารีของจุดที่อยู่ภายในชุดของคุณ และนี่เป็นวิธีที่ชัดเจนมากในการบอกว่ามันมีขนาดเท่ากับจำนวนจริง
สโตรกัซ (41:14): ดังนั้นสำหรับพวกเราที่เหลือในวิชาคณิตศาสตร์ที่อยู่นอกทฤษฎีเซต เราควรจะสูญเสียการนอนหลับไปกับสถานะที่ไม่แน่นอน ณ ช่วงเวลาของสมมติฐานต่อเนื่องหรือไม่? เราบอกว่ามันตัดสินไม่ได้ในแบบจำลองมาตรฐานของทฤษฎีเซต รู้ไหม มันสำคัญไฉน? มีผลกับคณิตศาสตร์ที่เหลือหรือไม่?
มัวร์ (41:35): คำตอบส่วนใหญ่คือไม่ แต่ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด สมมติฐานความต่อเนื่อง เป็นเรื่องจริงใน โมเดลโซโลเวย์ตัวอย่างเช่น: ชุดของจำนวนจริงทุกชุดสามารถนับได้หรือมีชุดของจำนวนจริงปิดอยู่ภายในซึ่งนับไม่ได้และไม่มีจุดแยก แต่มีถ้อยแถลงที่ปรากฏในวิชาคณิตศาสตร์ คำถามที่แสดงขึ้นโดยธรรมชาติ ชนิดของสารอินทรีย์ในสาขาอื่นๆ ซึ่งกลายเป็นว่าคำถามเหล่านี้ขึ้นอยู่กับสมมติฐานต่อเนื่องหรืออย่างอื่น ซึ่งไม่ขึ้นกับสัจพจน์ของ ZFC ตัวอย่างหนึ่งคือสิ่งที่เรียกว่าขีด จำกัด ตรงกลาง ซึ่งเป็นอุปกรณ์ที่มีประโยชน์ในด้านความน่าจะเป็นและบางส่วนของความน่าจะเป็นสำหรับการจำกัดขอบเขตของสิ่งต่าง ๆ และยังคงรักษาว่าสิ่งต่าง ๆ สามารถวัดได้ ขีดจำกัดอยู่ตรงกลางเป็นสิ่งที่คุณสามารถสร้างได้โดยใช้สมมติฐานความต่อเนื่อง แต่ไม่ใช่สิ่งที่คุณสร้างได้ใน ZFC
สโตรกัซ (42:27): สิ่งนี้ทำให้ฉันมีความสุข ฉันต้องบอกว่า ฉันหมายความว่าฉันอยากจะเชื่อว่าคณิตศาสตร์เป็นเว็บขนาดใหญ่ และนั่นก็เหมือนกับคำกล่าวโบราณที่ว่า “No man is an island” จากใครก็ไม่รู้ แต่ยังไงฉันก็ไม่อยากให้ส่วนไหนของคณิตศาสตร์เป็นที่เกาะ ดังนั้นฉันจึงเกลียดที่จะคิดว่าทฤษฎีเซตเป็นบางอย่าง — ฉันหมายถึง ไม่มีใครบอกว่าเป็นเช่นนั้น แต่แม้แต่ส่วนที่มีสมมติฐานต่อเนื่อง ฉันก็ไม่ต้องการให้มันแยกขาดจากทวีปใหญ่ และดูเหมือนว่ามันไม่ใช่
มัวร์ (42:52): ใช่ ถ้าคุณใช้ปริภูมิของฮิลแบร์ต และคุณดูที่ตัวดำเนินการที่มีขอบเขต และตัวดำเนินการที่มีขนาดกะทัดรัด สิ่งเหล่านี้คือพีชคณิตของวัตถุที่ได้รับการศึกษาอย่างดีในวิชาคณิตศาสตร์ คุณสามารถใช้ผลหารของพวกเขา การศึกษาสิ่งที่เรียกว่ากลุ่มออโตมอร์ฟิซึ่มของสิ่งนั้นเป็นสิ่งที่นักคณิตศาสตร์อาจถามถึง และแน่นอน บราวน์ ดักลาส และฟิลล์มอร์ ถามเกี่ยวกับสิ่งนั้นในปี 1970 และเป็นที่รู้กันว่าสมมติฐานต่อเนื่องเป็นจริงหรือเท็จนั้นเกี่ยวข้องกับว่าพีชคณิตนั้นมีความสลับซับซ้อนมากหรือไม่ นั่นคือสิ่งที่เป็นวัตถุมาตรฐานในหลักสูตรการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันที่คุณจะสอนในระดับบัณฑิตศึกษา และนี่คือคุณสมบัติพื้นฐานมากๆ ของวัตถุนี้
(43:34) แต่ประเด็นก็คือ นี่คือสิ่งที่อยู่ตรงหน้า นี่ไม่ใช่ปัญหาในทฤษฎีเซต นักทฤษฎีเซตที่แตกต่างกันมีมุมมองที่แตกต่างกันว่าทำไมเรื่องนี้ถึงมีความสำคัญ แต่สำหรับฉัน นี่คือเหตุผลว่าทำไมหัวข้อนี้ถึงมีความสำคัญ มันมีบทบาทพิเศษในการแจ้งให้คุณทราบเมื่อคุณถามคำถามที่อาจไม่สามารถตัดสินใจได้โดยอาศัยสัจพจน์ เพราะคุณไม่ต้องการศึกษาปัญหาที่คุณตัดสินใจไม่ได้โดยไม่ประสบความสำเร็จเป็นเวลาหลายปีหลายปี และถ้ามีใครบอกคุณได้ว่า “คุณไม่มีทางคิดวิธีแก้ปัญหานั้นได้เลย เพราะคุณพิสูจน์หรือหักล้างปัญหานั้นไม่ได้” จริงไหม? นั่นเป็นสิ่งที่ดีที่จะรู้
สโตรกัซ (44:13): เอาล่ะ สำหรับฉันแล้ว นี่เป็นข้อความที่ยกระดับจิตใจของคุณ จัสติน นั่นคือ จอห์น ดอนน์! นั่นคือชื่อที่ฉันตามหา จอห์น ดอนน์ และขอพูดแบบสมัยใหม่ว่า ไม่มีใครเป็นเกาะ และเช่นเดียวกันกับไม่มีส่วนใดของคณิตศาสตร์ มีอยู่ — แม้กระทั่งสิ่งที่ดูลึกลับที่สุดที่อยู่นอกขอบเขตของทฤษฎีเซตก็ยังเชื่อมโยงเข้ากับส่วนลึกของคณิตศาสตร์ ในความน่าจะเป็น ในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันที่สนับสนุนทฤษฎีควอนตัม นี่เป็นข่าวสำหรับฉัน และฉันแค่อยากจะขอบคุณสำหรับการให้ความกระจ่างแก่เรา นี่มันสนุก ขอบคุณ.
มัวร์ (44:46): ขอบคุณที่มีฉัน
ผู้ประกาศ (44:46): สำรวจความลึกลับทางคณิตศาสตร์เพิ่มเติมใน ควอนตั้ม หนังสือ สมรู้ร่วมคิดจำนวนเฉพาะจัดพิมพ์โดย The MIT Press วางจำหน่ายแล้วที่ Amazon.com, Barnesandnoble.comหรือร้านหนังสือในพื้นที่ของคุณ นอกจากนี้ อย่าลืมบอกเพื่อนของคุณเกี่ยวกับพอดคาสต์นี้และแสดงความคิดเห็นในเชิงบวกหรือติดตามสถานที่ที่คุณฟัง ช่วยให้ผู้คนค้นพบ ความสุขของทำไม.
สโตรกัซ (45: 12): ความสุขของทำไม เป็นพอดคาสต์จาก นิตยสาร Quantaสิ่งพิมพ์อิสระด้านบรรณาธิการที่ได้รับการสนับสนุนจากมูลนิธิไซมอนส์ การตัดสินใจให้ทุนโดยมูลนิธิไซมอนส์ไม่มีอิทธิพลต่อการเลือกหัวข้อ แขกรับเชิญ หรือการตัดสินใจของกองบรรณาธิการอื่นๆ ในพอดแคสต์นี้หรือใน นิตยสาร Quanta. ความสุขของทำไม ผลิตโดย Susan Valot และ Polly Stryker บรรณาธิการของเราคือ John Rennie และ Thomas Lin โดยมี Matt Carlstrom, Annie Melcher และ Zach Savitsky สนับสนุน เพลงประกอบของเราแต่งโดย Richie Johnson, Julian Lin คิดชื่อพอดแคสต์ อาร์ตของตอนนี้คือ Peter Greenwood และโลโก้ของเราคือ Jaki King ขอขอบคุณเป็นพิเศษสำหรับ Burt Odom-Reed ที่ Cornell Broadcast Studios ฉันเป็นเจ้าภาพของคุณ Steve Strogatz หากคุณมีคำถามหรือความคิดเห็นใดๆ สำหรับเรา โปรดส่งอีเมลถึงเราที่ ขอบคุณสำหรับการฟัง.
- เนื้อหาที่ขับเคลื่อนด้วย SEO และการเผยแพร่ประชาสัมพันธ์ รับการขยายวันนี้
- เพลโตบล็อคเชน Web3 Metaverse ข่าวกรอง ขยายความรู้. เข้าถึงได้ที่นี่.
- การสร้างอนาคตโดย Adryenn Ashley เข้าถึงได้ที่นี่.
- ที่มา: https://www.quantamagazine.org/how-can-some-infinities-be-bigger-than-others-20230419/
- :มี
- :เป็น
- ][หน้า
- $ ขึ้น
- 1
- 10
- 100
- 11
- 28
- 39
- 7
- 8
- a
- สามารถ
- เกี่ยวกับเรา
- เกี่ยวกับมัน
- แน่นอน
- AC
- ยอมรับ
- ผลสัมฤทธิ์
- ความสำเร็จ
- จริง
- สูง
- มีผลต่อ
- หลังจาก
- ขั้นตอนวิธี
- อัลกอริทึม
- อัลกอริทึม
- ทั้งหมด
- ช่วยให้
- ตาม
- Alphabet
- แล้ว
- แม้ว่า
- น่าอัศจรรย์
- จำนวน
- การวิเคราะห์
- โบราณ
- และ
- ประกาศ
- อื่น
- คำตอบ
- ใด
- app
- Apple
- การใช้งาน
- เป็น
- เถียง
- อาร์กิวเมนต์
- รอบ
- ที่เดินทางมาถึง
- ศิลปะ
- AS
- ภาคี
- At
- ความสนใจ
- ใช้ได้
- เฉลี่ย
- กลับ
- ไม่ดี
- ฐาน
- ตาม
- ขั้นพื้นฐาน
- เป็นพื้น
- BE
- สวยงาม
- เพราะ
- กลายเป็น
- จะกลายเป็น
- รับ
- ก่อน
- การเริ่มต้น
- กำลัง
- เชื่อ
- เบิร์กลีย์
- เบอร์แทรนด์
- ที่ดีที่สุด
- ดีกว่า
- ระหว่าง
- เกิน
- ใหญ่
- ที่ใหญ่กว่า
- ที่ใหญ่ที่สุด
- บิต
- Blocks
- หนังสือ
- ร้านหนังสือเกาหลี
- สาขา
- สั้น
- นำ
- ออกอากาศ
- สร้าง
- การก่อสร้าง
- ย่าง
- by
- การคำนวณ
- โทรศัพท์
- ที่เรียกว่า
- โทร
- เคมบริดจ์
- ค่าย
- CAN
- ไม่ได้
- ซึ่ง
- ระมัดระวัง
- คาร์ล
- กรณี
- ไม่เป็นทางการ
- จับ
- ศตวรรษ
- บาง
- อย่างแน่นอน
- เปลี่ยนแปลง
- ตัวอักษร
- Charles
- ทางเลือก
- วงกลม
- ชั้น
- ชัดเจน
- ปิด
- เพื่อนร่วมงาน
- ชุด
- คอลเลกชัน
- อย่างไร
- สบาย
- มา
- ความคิดเห็น
- ร่วมกัน
- ชุมชน
- เปรียบเทียบ
- สมบูรณ์
- เสร็จ
- ซับซ้อน
- สงบ
- คอมพิวเตอร์
- แนวคิด
- แนวความคิด
- เอกฉันท์
- พิจารณา
- คงเส้นคงวา
- สร้าง
- การก่อสร้าง
- ที่สร้างสรรค์
- มี
- ทวีป
- ต่อเนื่องกัน
- ต่อเนื่อง
- ควบคุม
- การควบคุม
- แย้ง
- การสนทนา
- ได้
- ตอบโต้
- คอร์ส
- ที่สร้างขึ้น
- อยากรู้อยากเห็น
- ตัด
- ตัด
- วัน
- ตัดสินใจ
- การตัดสินใจ
- ลึก
- ลึก
- องศา
- แผนก
- ขึ้นอยู่กับ
- บรรยาย
- ลักษณะ
- ปลายทาง
- พัฒนา
- พัฒนา
- ที่กำลังพัฒนา
- เครื่อง
- แผนภาพ
- DID
- ต่าง
- ตัวเลข
- มิติ
- การเปิดเผย
- ค้นพบ
- ค้นพบ
- การค้นพบ
- การค้นพบ
- สนทนา
- พูดคุย
- การสนทนา
- แตกต่าง
- เห็นความแตกต่าง
- ไม่
- การทำ
- โดเมน
- Dont
- ถึงวาระ
- ประตู
- สอง
- ลง
- ขับรถ
- แต่ละ
- ก่อน
- โลก
- ที่ง่ายที่สุด
- ขอบ
- บทบรรณาธิการ
- ทั้ง
- ธาตุ
- องค์ประกอบ
- อีเมล
- ไม่มีที่สิ้นสุด
- พอ
- อุดม
- อย่างสิ้นเชิง
- เท่ากัน
- เป็นหลัก
- แม้
- ในที่สุด
- ทุกๆ
- ทุกคน
- ทุกอย่าง
- วิวัฒน์
- เผง
- ตัวอย่าง
- ตัวอย่าง
- ยกเว้น
- ข้อยกเว้น
- ตื่นเต้น
- แสดง
- ที่มีอยู่
- แปลกใหม่
- คำอธิบาย
- การสำรวจ
- สำรวจ
- ด่วน
- พิเศษ
- สุดโต่ง
- ผ้า
- ใบหน้า
- ล้มเหลว
- ธรรม
- อย่างเป็นธรรม
- ความเชื่อ
- ครอบครัว
- มีชื่อเสียง
- ชื่อเสียง
- FAST
- ที่ชื่นชอบ
- ความกลัว
- ลักษณะ
- มนุษย์
- สองสาม
- สาขา
- สุดท้าย
- หา
- ชื่อจริง
- ครั้งแรก
- ปลา
- ปฏิบัติตาม
- สำหรับ
- ตลอดไป
- เป็นทางการ
- เป็นทางการ
- รูปแบบ
- รากฐาน
- ฐานราก
- เศษ
- ฟรี
- เพื่อน
- เพื่อน
- ราคาเริ่มต้นที่
- เต็ม
- สนุก
- ฟังก์ชัน
- การทำงาน
- ฟังก์ชั่น
- การระดมทุน
- ต่อไป
- อนาคต
- เกม
- General
- โดยทั่วไป
- สร้าง
- รุ่น
- ใจกว้าง
- ประเทศเยอรมัน
- ได้รับ
- ได้รับ
- ให้
- กำหนด
- จะช่วยให้
- ให้
- Go
- เป้าหมาย
- ไป
- ไป
- ดี
- เกรด
- สำเร็จการศึกษา
- รับ
- ยิ่งใหญ่
- ใหญ่ที่สุด
- อย่างมาก
- กรีก
- กรีนวูด
- บัญชีกลุ่ม
- เดา
- แขกผู้เข้าพัก
- มือ
- เกิดขึ้น
- ที่เกิดขึ้น
- สิ่งที่เกิดขึ้น
- มีความสุข
- มี
- มี
- he
- หัว
- ได้ยิน
- การได้ยิน
- หัวใจสำคัญ
- ช่วย
- เป็นประโยชน์
- จะช่วยให้
- โปรดคลิกที่นี่เพื่ออ่านรายละเอียดเพิ่มเติม
- สูงกว่า
- การมองย้อนกลับ
- ประวัติ
- หวัง
- เจ้าภาพ
- สรุป ความน่าเชื่อถือของ Olymp Trade?
- HTTPS
- เป็นมนุษย์
- หิว
- i
- ความคิด
- ในอุดมคติ
- ภาพมายา
- จินตนาการ
- ความสำคัญ
- สำคัญ
- in
- ในอื่น ๆ
- ประกอบด้วย
- รวมทั้ง
- ความเป็นอิสระ
- อิสระ
- อนันต์
- ความไม่มีที่สิ้นสุด
- มีอิทธิพล
- อิทธิพล
- ในขั้นต้น
- อินพุต
- ตัวอย่าง
- แทน
- สถาบัน
- สำคัญ
- ความสมบูรณ์
- ทางปัญญา
- สนใจ
- น่าสนใจ
- ผลประโยชน์
- แนะนำ
- แดกดัน
- เกาะ
- เปลี่ยว
- ปัญหา
- IT
- ITS
- ตัวเอง
- จอห์น
- จอห์นสัน
- การร่วม
- จัสติน
- เก็บ
- การเก็บรักษา
- เด็ก
- เด็ก
- ชนิด
- พระมหากษัตริย์
- ทราบ
- รู้ดี
- ที่รู้จักกัน
- ภาษา
- ภาษา
- ใหญ่
- ส่วนใหญ่
- ที่มีขนาดใหญ่
- ใหญ่ที่สุด
- ชื่อสกุล
- ปลาย
- ละติน
- นำ
- พันธมิตร
- เรียนรู้
- ได้เรียนรู้
- การเรียนรู้
- นำ
- บทแทรก
- ความยาว
- การให้
- ชั้น
- ชีวิต
- กดไลก์
- LIMIT
- ขีด จำกัด
- Line
- เส้น
- ที่เชื่อมโยง
- รายการ
- การฟัง
- วรรณคดี
- น้อย
- สด
- ชีวิต
- ในประเทศ
- โลโก้
- นาน
- ดู
- ดูเหมือน
- ที่ต้องการหา
- แพ้
- Lot
- ความรัก
- รัก
- ทำ
- นิตยสาร
- การบำรุงรักษา
- สำคัญ
- ทำ
- ทำให้
- มนุษย์
- การจัดการกับ
- หลาย
- หลายคน
- มวล
- ฝูง
- คณิตศาสตร์
- คณิตศาสตร์
- คณิตศาสตร์
- เรื่อง
- มีความหมาย
- วิธี
- วัด
- กลไก
- กล่าวถึง
- ข่าวสาร
- วิธี
- ปานกลาง
- อาจ
- เอ็มไอที
- แบบ
- โมเดล
- ทันสมัย
- ขณะ
- ข้อมูลเพิ่มเติม
- มากที่สุด
- การเคลื่อนไหว
- ย้าย
- หนัง
- ลิขสิทธิ์
- ดนตรี
- ลึกลับ
- ชื่อ
- ชื่อ
- โดยธรรมชาติ
- จำเป็นต้อง
- จำเป็นต้อง
- เชิงลบ
- ค่า
- ใหม่
- ข่าว
- ความคิด
- จำนวน
- ตัวเลข
- วัตถุ
- วัตถุ
- ชัดเจน
- of
- บ่อยครั้ง
- เก่า
- on
- ONE
- เปิด
- เปิด
- เปิด
- ผู้ประกอบการ
- สามัญ
- อินทรีย์
- Organized
- เป็นต้นฉบับ
- แต่เดิม
- อื่นๆ
- ผลิตภัณฑ์อื่นๆ
- ของเรา
- ด้านนอก
- เกิน
- ทั้งหมด
- ของตนเอง
- การจับคู่
- บุคคลที่ผิดธรรมดา
- Parallel
- พ่อแม่
- ส่วนหนึ่ง
- โดยเฉพาะ
- ส่วน
- พอล
- การจ่ายเงิน
- รูปแบบไฟล์ PDF
- เพนกวิน
- คน
- ของผู้คน
- บางที
- คน
- ส่วนบุคคล
- พีเตอร์
- ปรากฏการณ์
- ปรัชญา
- กายภาพ
- ฟิสิกส์
- ชิ้น
- สถานที่
- สถานที่
- เพลโต
- เพลโตดาต้าอินเทลลิเจนซ์
- เพลโตดาต้า
- กรุณา
- บวก
- พอดคาสต์
- Podcasting
- จุด
- จุดชมวิว
- จุด
- บวก
- เป็นไปได้
- ที่อาจเกิดขึ้น
- อำนาจ
- ที่มีประสิทธิภาพ
- อำนาจ
- ในทางปฏิบัติ
- ที่ต้องการ
- กด
- สวย
- สำคัญ
- ดั้งเดิม
- หลักการ
- อาจ
- ปัญหา
- ปัญหาที่เกิดขึ้น
- กระบวนการ
- ก่อ
- ผลิต
- ศาสตราจารย์
- โครงการ
- คำมั่นสัญญา
- พิสูจน์
- คุณสมบัติ
- คุณสมบัติ
- เสนอ
- การป้องกัน
- พิสูจน์ได้
- พิสูจน์
- พิสูจน์แล้วว่า
- พิสูจน์
- ให้
- สิ่งพิมพ์
- การตีพิมพ์
- ใส่
- ควอนทามากาซีน
- ควอนตัม
- คำถาม
- คำถาม
- ชุมนุม
- ค่อนข้าง
- มีเหตุผล
- RAY
- ต้นน้ำ
- จริง
- โลกแห่งความจริง
- ความจริง
- ตระหนัก
- ดินแดน
- เหตุผล
- เหตุผล
- แนะนำ
- ที่เกี่ยวข้อง
- ความสัมพันธ์
- ความสัมพันธ์
- สัมพัทธ์
- ญาติพี่น้อง
- ซากศพ
- โดดเด่น
- จำ
- ทำซ้ำ
- จำเป็นต้องใช้
- การวิจัย
- เคารพ
- REST
- ทบทวน
- การปฏิวัติ
- เข้มงวด
- โรเบิร์ต
- บทบาท
- กลิ้ง
- ม้วน
- ห้อง
- กฎระเบียบ
- ปลอดภัย
- กล่าวว่า
- เดียวกัน
- ความพึงพอใจ
- พูดว่า
- ขนาด
- โรงเรียน
- วิทยาศาสตร์
- ที่สอง
- วินาที
- ดูเหมือนว่า
- การเลือก
- ความรู้สึก
- แยก
- ชุด
- ชุดอุปกรณ์
- ชำระ
- ทรงตัว
- หลาย
- รูปร่าง
- น่า
- โชว์
- แสดง
- แสดงให้เห็นว่า
- ด้าน
- ลงชื่อ
- ง่าย
- ตั้งแต่
- เดียว
- หก
- ขนาด
- ขนาด
- ความสงสัย
- นอนหลับ
- เล็ก
- มีขนาดเล็กกว่า
- So
- ของแข็ง
- ทางออก
- บาง
- บางคน
- บางสิ่งบางอย่าง
- ค่อนข้าง
- บางแห่ง
- ช่องว่าง
- จุดประกาย
- พิเศษ
- เฉพาะ
- ใช้จ่าย
- Spotify
- ระยะ
- เดิมพัน
- มาตรฐาน
- เริ่มต้น
- ข้อความที่เริ่ม
- ที่เริ่มต้น
- ระบุ
- คำแถลง
- งบ
- Status
- สตีฟ
- ยังคง
- เรื่องราว
- ตรง
- แข็งแรง
- แข็งแกร่ง
- โครงสร้าง
- นักเรียน
- มีการศึกษา
- สตูดิโอ
- ศึกษา
- การศึกษา
- หรือ
- ความสำเร็จ
- อย่างเช่น
- เพียงพอ
- ที่สนับสนุน
- อย่างแน่นอน
- แปลกใจ
- ประหลาดใจ
- น่าแปลกใจ
- ซูซาน
- เครื่องหมาย
- ระบบ
- ตาราง
- เอา
- ใช้เวลา
- การ
- คุย
- การพูดคุย
- ครูผู้สอน
- การเรียนการสอน
- เทคนิค
- ขบเผาะ
- บอก
- เงื่อนไขการใช้บริการ
- ทดสอบ
- ขอบคุณ
- ที่
- พื้นที่
- ก้าวสู่อนาคต
- เส้น
- โลก
- ของพวกเขา
- พวกเขา
- ชุดรูปแบบ
- ตัวเอง
- ที่นั่น
- ดังนั้น
- ล้อยางขัดเหล่านี้ติดตั้งบนแกน XNUMX (มม.) ผลิตภัณฑ์นี้ถูกผลิตในหลายรูปทรง และหลากหลายเบอร์ความแน่นหนาของปริมาณอนุภาคขัดของมัน จะทำให้ท่านได้รับประสิทธิภาพสูงในการขัดและการใช้งานที่ยาวนาน
- สิ่ง
- สิ่ง
- คิด
- ที่สาม
- คิดว่า
- พัน
- ตลอด
- ตลอด
- เวลา
- ไปยัง
- ในวันนี้
- เกินไป
- เครื่องมือ
- หัวข้อ
- โดยสิ้นเชิง
- ลู่
- ประเพณี
- แบบดั้งเดิม
- ผ่านการฝึกอบรม
- การรักษาเยียวยา
- อย่างมาก
- จริง
- ความจริง
- กลับ
- หัน
- สองครั้ง
- ไม่ได้กำหนด
- ภายใต้
- เข้าใจ
- ความเข้าใจ
- เข้าใจ
- สหภาพ
- สหภาพแรงงาน
- เป็นเอกลักษณ์
- สากล
- จักรวาล
- มหาวิทยาลัย
- us
- ใช้
- มือสอง
- มักจะ
- ประโยชน์
- ความคุ้มค่า
- ต่างๆ
- รายละเอียด
- มุมมอง
- รอ
- ที่เดิน
- บกพร่อง
- นาฬิกา
- น้ำดื่ม
- ทาง..
- วิธี
- เว็บ
- webp
- ยินดีต้อนรับ
- ดี
- อะไร
- ความหมายของ
- ว่า
- ที่
- WHO
- ใครก็ได้
- ทั้งหมด
- อย่างกว้างขวาง
- จะ
- เต็มใจ
- กับ
- ภายใน
- ไม่มี
- คำ
- คำ
- งาน
- การทำงาน
- โรงงาน
- โลก
- พยาธิ
- กังวล
- คุ้มค่า
- จะ
- เขียน
- การเขียน
- ผิด
- ปี
- ปี
- คุณ
- ของคุณ
- ด้วยตัวคุณเอง
- ลมทะเล
- เป็นศูนย์
- ซูมเข้า