บทนำ
การทำซ้ำไม่จำเป็นต้องเป็นเรื่องน่าเบื่อเสมอไป ในทางคณิตศาสตร์ มันเป็นพลังอันทรงพลังที่สามารถสร้างความซับซ้อนที่น่าสับสนได้
แม้จะผ่านการศึกษามาหลายทศวรรษ นักคณิตศาสตร์ก็พบว่าตนเองไม่สามารถตอบคำถามเกี่ยวกับการดำเนินการซ้ำๆ ของกฎง่ายๆ ซึ่งเป็น "ระบบไดนามิก" ขั้นพื้นฐานที่สุด แต่ในการพยายามทำเช่นนั้น พวกเขาได้ค้นพบความเชื่อมโยงที่ลึกซึ้งระหว่างกฎเหล่านั้นกับด้านคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่ดูเหมือนจะห่างไกลออกไป
ตัวอย่างเช่น ชุด Mandelbrot ซึ่ง I เขียนเกี่ยวกับ เมื่อเดือนที่แล้ว เป็นแผนที่แสดงการทำงานของตระกูลต่างๆ — อธิบายโดยสมการ f(x) = x2 + c — ทำตัวตามค่าของ c มีระยะเหนือระนาบเชิงซ้อนที่เรียกว่า (ต่างจากจำนวนจริงซึ่งสามารถวางบนเส้นตรงได้ จำนวนเชิงซ้อนมีสององค์ประกอบซึ่งสามารถเขียนบนเส้นได้ x- และ y-แกนของระนาบสองมิติ)
ไม่ว่าคุณจะซูมเข้าไปที่ชุด Mandelbrot มากแค่ไหน รูปแบบใหม่ๆ ก็เกิดขึ้นได้เสมอโดยไม่มีขีดจำกัด “แม้แต่ตอนนี้ ก็ยังน่าทึ่งมากสำหรับฉันที่โครงสร้างที่ซับซ้อนมากนี้เกิดขึ้นจากกฎง่ายๆ เช่นนี้” กล่าว แมทธิวเบเกอร์ ของสถาบันเทคโนโลยีจอร์เจีย “นี่เป็นหนึ่งในการค้นพบที่น่าประหลาดใจจริงๆ ของศตวรรษที่ 20”
ความซับซ้อนของฉากแมนเดลบรอตเกิดขึ้นส่วนหนึ่งเพราะมันถูกกำหนดไว้ในแง่ของจำนวนที่เป็นตัวมันเอง ก็คือ ซับซ้อน แต่บางทีก็น่าประหลาดใจนั่นไม่ใช่เรื่องราวทั้งหมด แม้ว่าเมื่อไหร่ก็ตาม c เป็นจำนวนจริงตรงไปตรงมา เช่น –3/2 ปรากฏการณ์แปลกๆ ทุกประเภทสามารถเกิดขึ้นได้ ไม่มีใครรู้ว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อคุณใช้สมการซ้ำๆ f(x) = x2 – 3/2 โดยใช้แต่ละเอาต์พุตเป็นอินพุตถัดไปในกระบวนการที่เรียกว่าการวนซ้ำ หากคุณเริ่มทำซ้ำจาก x = 0 ("จุดวิกฤต" ของสมการกำลังสอง) ไม่ชัดเจนว่าจะสร้างลำดับที่ในที่สุดจะมาบรรจบกันสู่วงจรของค่าที่ซ้ำกัน หรือลำดับที่ยังคงเด้งไปมาอย่างไม่สิ้นสุดในรูปแบบที่วุ่นวาย
สำหรับค่าของ c เล็กกว่า –2 หรือใหญ่กว่า 1/4 การวนซ้ำจะขยายอย่างรวดเร็วไปจนถึงระยะอนันต์ แต่ภายในช่วงนั้น มีค่ามากมายอนันต์ c เป็นที่ทราบกันดีว่าก่อให้เกิดพฤติกรรมที่วุ่นวาย และหลายกรณีเช่น –3/2 โดยที่ “เราไม่รู้ว่าจะเกิดอะไรขึ้น แม้ว่ามันจะเป็นรูปธรรมอย่างยิ่งก็ตาม” กล่าว จูลิโอ ติออซโซ่ ของมหาวิทยาลัยโตรอนโต
แต่ในทศวรรษ 1990 นักคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัยสโตนี บรูค มิชา ลูบิชซึ่งมีบทบาทสำคัญในรายงานของฉันเกี่ยวกับฉาก Mandelbrot พิสูจน์แล้วว่า ซึ่งในช่วงระหว่าง –2 ถึง 1/4 ค่าส่วนใหญ่ของ c ทำให้เกิดพฤติกรรม "ไฮเปอร์โบลิก" ที่ดี (นักคณิตศาสตร์ Jacek Graczyk และ Grzegorz Swiatek พิสูจน์อย่างอิสระ ผลลัพธ์ในช่วงเวลาเดียวกัน) ซึ่งหมายความว่า เมื่อวนซ้ำสมการที่เกี่ยวข้องจะมาบรรจบกันเป็นค่าเดียวหรือเข้าสู่วงจรการทำซ้ำของตัวเลข
ทศวรรษต่อมา นักคณิตศาสตร์สามคนแสดงให้เห็นว่าค่าส่วนใหญ่ของ c เป็นการไฮเปอร์โบลิกไม่เพียงแต่สำหรับสมการกำลังสองเท่านั้นแต่สำหรับด้วย ตระกูลพหุนามจำนวนจริงใดๆ (ฟังก์ชันทั่วไปเพิ่มเติมที่รวมตัวแปรที่ยกกำลังเข้าด้วยกัน เช่น x7 + 3x4 + 5x2 +1) และตอนนี้หนึ่งในนั้น เซบาสเตียน ฟาน สไตรเอน จากวิทยาลัยอิมพีเรียลลอนดอน เชื่อว่าเขามีข้อพิสูจน์ถึงคุณสมบัตินี้สำหรับสมการในระดับที่กว้างกว่านั้นเรียกว่าฟังก์ชันการวิเคราะห์จริง ซึ่งรวมถึงฟังก์ชันไซน์ โคไซน์ และเอ็กซ์โปเนนเชียล ฟาน สเตรียนหวังจะประกาศผลในเดือนพฤษภาคม หากยังคงยืนหยัดต่อไปได้หลังจากการทบทวนโดยผู้ทรงคุณวุฒิ จะถือเป็นความก้าวหน้าครั้งสำคัญในการจำแนกลักษณะการทำงานของระบบหนึ่งมิติที่แท้จริง
ทางแยกที่ไม่น่าเป็นไปได้และเบเกิลเอนโทรปี
มีสมการกำลังสองจำนวนจริงจำนวนอนันต์มากมายที่เมื่อวนซ้ำจากศูนย์ เป็นที่รู้กันว่าท้ายที่สุดแล้วจะสร้างวงจรตัวเลขซ้ำกัน แต่ถ้าคุณจำกัด. c ถึงค่าตรรกยะ — ค่าที่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ — ในที่สุดมีเพียงสามค่าเท่านั้นที่สร้างลำดับคาบ: 0, –1 และ –2 “ระบบไดนามิกเหล่านี้มีความพิเศษมาก” กล่าว เคลย์ตัน เพตเช่ ของมหาวิทยาลัยแห่งรัฐออริกอน
In กระดาษ ตีพิมพ์เมื่อปีที่แล้ว Petsche และ ชาติชาย น้อยทับทิม แห่งมหาวิทยาลัยวอเตอร์ลูได้พิสูจน์ให้เห็นว่าสิ่งเหล่านี้มีความพิเศษมากกว่าที่ปรากฏเมื่อมองแวบแรกอีกด้วย นักคณิตศาสตร์พิจารณาตัวเลข “จำนวนจริงทั้งหมด” ซึ่งมีข้อจำกัดมากกว่าจำนวนจริง แต่จำกัดน้อยกว่าจำนวนตรรกยะ
หากคุณแทนค่าตัวเลขลงในพหุนามแล้วได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ จำนวนนั้นจะเป็นคำตอบของหรือรากของพหุนามนั้น เช่น 2 เป็นรากของ f(x) = x2 - 4, f(x) = x3 - 10x2 + 31x – 30 และสมการอื่นๆ อีกมากมายนับไม่ถ้วน พหุนามดังกล่าวสามารถมีรากที่เป็นจำนวนจริงหรือรากที่ซับซ้อนได้ (เช่น รากของ x2 + 1 คือรากที่สองของ –1 เขียนเป็น i, และ –i — จำนวนเชิงซ้อนทั้งคู่)
บทนำ
ตัวเลขจะเป็นจำนวนจริงทั้งหมดหากเป็นไปตามสมการพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มซึ่งมีรากเพียงจำนวนจริงเท่านั้น จำนวนตรรกยะทั้งหมดเป็นจำนวนจริงทั้งหมด แต่ก็มีจำนวนอตรรกยะจำนวนหนึ่งเช่นกัน ตัวอย่างเช่น $latex sqrt{2}$ เป็นจำนวนจริงทั้งหมด เนื่องจากเป็นวิธีแก้ปัญหา f(x) = x2 – 2 ซึ่งมีเพียงรากจริงเท่านั้น ($latex sqrt{2}$ และ “sister” root $latex -sqrt{2}$) แต่รากที่สามของ 2 $latex sqrt[3]{2}$ ไม่ใช่จำนวนจริงทั้งหมด มันเป็นวิธีแก้ปัญหาที่ f(x) = x3 – 2 ซึ่งมีรากพี่น้องอีกสองคนเพิ่มเติม หรือที่เรียกว่าคอนจูเกต Galois ซึ่งมีความซับซ้อน
เพชรและนอยทับติมพิสูจน์ว่าไม่มีจำนวนจริงโดยสิ้นเชิงที่ไม่มีเหตุผลใดที่จะทำให้เกิดวัฏจักรเป็นคาบในที่สุด แต่ 0, –1 และ –2 เป็นจำนวนจริงโดยสิ้นเชิงเพียงตัวเดียวที่ทำสิ่งนี้ได้ พวกมันแสดงถึงจุดตัดที่ไม่น่าเป็นไปได้ระหว่างคุณสมบัติจากโลกสองโลกที่ดูเหมือนจะแตกต่างกัน - ทฤษฎีจำนวน (การศึกษาจำนวนเต็ม) และระบบไดนามิก Petsche และ Noytaptim ใช้ผลลัพธ์ที่สำคัญจากทฤษฎีจำนวนในการพิสูจน์ โดยเน้นถึงความเชื่อมโยงระหว่างทั้งสองสาขา
พวกนักคณิตศาสตร์ ซาเวียร์ บัฟ และ ซาราห์ โคช พบ อีกทางแยกที่ไม่น่าเป็นไปได้. พวกเขาแสดงให้เห็นว่ามีเพียงสี่คุณค่าที่แท้จริงของ c — 1/4, –3/4, –5/4 และ –7/4 — สร้างลำดับของประเภทเฉพาะที่เข้าใจกันดีเรียกว่าวงจรพาราโบลา
คอนจูเกตของ Galois ยังปูทางไปสู่การค้นพบวัตถุลึกลับที่เรียกว่า "เบเกิลเอนโทรปี" ซึ่งเป็นวงแหวนแฟร็กทัลที่เรืองแสงในระนาบที่ซับซ้อน เอนโทรปีเป็นการวัดความสุ่ม ในบริบทนี้ จะวัดว่ายากเพียงใดในการทำนายลำดับตัวเลขที่เกิดจากการวนซ้ำ x2 + c. ใน กระดาษแผ่นสุดท้ายที่เขาเขียน ก่อนที่เขาจะเสียชีวิตในปี 2012 นักทอพอโลยีชื่อดัง William Thurston ได้จัดทำกราฟชุดของค่าเอนโทรปีที่สอดคล้องกับมูลค่าจริงที่แตกต่างกันเกือบพันล้านของ c — ร่วมกับคอนจูเกต Galois ของค่าเอนโทรปีเหล่านั้น ซึ่งอาจซับซ้อนได้ แนวคิดเรื่องเอนโทรปี "เป็นเพียงเส้นจริง แต่อย่างใด คุณยังสามารถมองเห็นเงาของโลกที่ซับซ้อนนี้ได้" Tiozzo กล่าว
“คุณคงเห็นว่าสิ่งนี้กำลังจัดระเบียบตัวเองให้เป็นโครงสร้างแฟร็กทัลลายลูกไม้ที่น่าทึ่งนี้” Koch กล่าว “มันเจ๋งมาก” เบเกิลเอนโทรปีเป็นเพียงรูปแบบหนึ่งที่ซับซ้อนมากซึ่งเกิดจากการวนซ้ำของสมการกำลังสองจริง “เรายังคงเรียนรู้ข้อความมหัศจรรย์เหล่านี้ — อัญมณีเล็กๆ — เกี่ยวกับพหุนามกำลังสองจริง” เธอกล่าวเสริม “คุณสามารถย้อนกลับไปและประหลาดใจกับสิ่งที่คุณคิดว่าคุณรู้ดีมาก”
- เนื้อหาที่ขับเคลื่อนด้วย SEO และการเผยแพร่ประชาสัมพันธ์ รับการขยายวันนี้
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai เพิ่มพลังให้กับตัวเอง เข้าถึงได้ที่นี่.
- เพลโตไอสตรีม. Web3 อัจฉริยะ ขยายความรู้ เข้าถึงได้ที่นี่.
- เพลโตESG. คาร์บอน, คลีนเทค, พลังงาน, สิ่งแวดล้อม แสงอาทิตย์, การจัดการของเสีย. เข้าถึงได้ที่นี่.
- เพลโตสุขภาพ เทคโนโลยีชีวภาพและข่าวกรองการทดลองทางคลินิก เข้าถึงได้ที่นี่.
- ที่มา: https://www.quantamagazine.org/entropy-bagels-and-other-complex-structures-emerge-from-simple-rules-20240227/
- :มี
- :เป็น
- :ไม่
- :ที่ไหน
- ][หน้า
- $ ขึ้น
- 1
- 2008
- 2012
- 20th
- 30
- a
- เกี่ยวกับเรา
- AC
- ที่เพิ่ม
- เพิ่มเติม
- ความก้าวหน้า
- หลังจาก
- ทั้งหมด
- เกือบจะ
- ด้วย
- เสมอ
- an
- วิเคราะห์
- และ
- ประกาศ
- คำตอบ
- ใด
- ปรากฏ
- ใช้
- เป็น
- พื้นที่
- เกิดขึ้น
- รอบ
- AS
- At
- กลับ
- ขั้นพื้นฐาน
- BE
- เพราะ
- ก่อน
- พฤติกรรม
- เชื่อ
- ระหว่าง
- ที่ใหญ่กว่า
- พันล้าน
- ทั้งสอง
- เด้ง
- ที่กว้างขึ้น
- แต่
- by
- ที่เรียกว่า
- CAN
- สามารถ
- กรณี
- ศตวรรษ
- ชั้น
- วิทยาลัย
- รวมกัน
- อย่างสมบูรณ์
- ซับซ้อน
- ความซับซ้อน
- ซับซ้อน
- ส่วนประกอบ
- คอนกรีต
- การเชื่อมต่อ
- การเชื่อมต่อ
- สิ่งแวดล้อม
- อย่างต่อเนื่อง
- ลู่
- เย็น
- ตรงกัน
- วงจร
- รอบ
- ทศวรรษ
- ทศวรรษที่ผ่านมา
- ลึก
- กำหนด
- อธิบาย
- เสียชีวิต
- ต่าง
- ยาก
- การค้นพบ
- ไกล
- do
- ไม่
- Dont
- ขนานนามว่า
- แต่ละ
- ออกมา
- โผล่ออกมา
- ปลาย
- ไม่รู้จบ
- สมการ
- แม้
- ในที่สุด
- ตัวอย่าง
- การปฏิบัติ
- ที่ชี้แจง
- อย่างยิ่ง
- ครอบครัว
- สาขา
- คิด
- หา
- ชื่อจริง
- สำหรับ
- บังคับ
- พบ
- สี่
- ราคาเริ่มต้นที่
- ฟังก์ชั่น
- General
- สร้าง
- สร้าง
- การสร้าง
- จอร์เจีย
- ได้รับ
- เหลือบมอง
- Go
- ที่เกิดขึ้น
- มี
- he
- ไฮไลต์
- ถือ
- หวัง
- สรุป ความน่าเชื่อถือของ Olymp Trade?
- HTTPS
- น่าเบื่อ
- i
- if
- ของจักรพรรดิ
- อิมพีเรียลคอลเลจ
- อิมพีเรียลคอลเลจลอนดอน
- สำคัญ
- in
- ประกอบด้วย
- เหลือเชื่อ
- ความไม่มีที่สิ้นสุด
- อินพุต
- ตัวอย่าง
- สถาบัน
- การตัด
- ทางแยก
- เข้าไป
- ไม่มีเหตุผล
- IT
- วนซ้ำ
- การย้ำ
- ITS
- ตัวเอง
- เพียงแค่
- ทราบ
- ที่รู้จักกัน
- รู้
- Koch
- ชื่อสกุล
- ปีที่แล้ว
- ต่อมา
- การเรียนรู้
- น้อยลง
- กดไลก์
- LIMIT
- Line
- น้อย
- ลอนดอน
- มอง
- นิตยสาร
- สำคัญ
- ส่วนใหญ่
- หลาย
- แผนที่
- เครื่องหมาย
- คณิตศาสตร์
- คณิตศาสตร์
- เรื่อง
- อาจ..
- me
- วิธี
- วัด
- มาตรการ
- เดือน
- ข้อมูลเพิ่มเติม
- มากที่สุด
- มาก
- my
- ลึกลับ
- ถัดไป
- ดี
- ความคิด
- นวนิยาย
- ตอนนี้
- จำนวน
- ตัวเลข
- วัตถุ
- เกิดขึ้น
- of
- on
- ONE
- คน
- เพียง
- or
- ออริกอน
- การจัดระเบียบ
- อื่นๆ
- เอาท์พุต
- เกิน
- กระดาษ
- เป็นรูปโค้ง
- ส่วนหนึ่ง
- ในสิ่งที่สนใจ
- แบบแผน
- รูปแบบ
- ลูกแพร์
- บางที
- เป็นระยะ
- เครื่องบิน
- เพลโต
- เพลโตดาต้าอินเทลลิเจนซ์
- เพลโตดาต้า
- ปลั๊ก
- ที่มีประสิทธิภาพ
- อำนาจ
- คาดการณ์
- พรินซ์ตัน
- กระบวนการ
- ก่อ
- การผลิต
- พิสูจน์
- คุณสมบัติ
- คุณสมบัติ
- พิสูจน์แล้วว่า
- การตีพิมพ์
- กำลังสอง
- ควอนทามากาซีน
- คำถาม
- อย่างรวดเร็ว
- ยก
- สุ่ม
- ช่วง
- ค่อนข้าง
- มีเหตุผล
- จริง
- จริงๆ
- มีชื่อเสียง
- ซ้ำแล้วซ้ำอีก
- ซ้ำแล้วซ้ำเล่า
- รายงาน
- แสดง
- จำกัด
- คับแคบ
- ผล
- ผลสอบ
- ทบทวน
- แหวน
- ราก
- ราก
- กฎระเบียบ
- กล่าวว่า
- เดียวกัน
- กล่าว
- เห็น
- ดูเหมือนว่า
- ลำดับ
- ชุด
- เงา
- เธอ
- แสดงให้เห็นว่า
- ง่าย
- เดียว
- น้องสาว
- มีขนาดเล็กกว่า
- So
- ทางออก
- บาง
- อย่างใด
- พิเศษ
- สี่เหลี่ยม
- เริ่มต้น
- สถานะ
- งบ
- ยังคง
- เรื่องราว
- ซื่อตรง
- แปลก
- โครงสร้าง
- โครงสร้าง
- ศึกษา
- อย่างเช่น
- ยิ่งใหญ่
- ประหลาดใจ
- น่าแปลกใจ
- อย่างแปลกใจ
- ระบบ
- เทคโนโลยี
- เงื่อนไขการใช้บริการ
- กว่า
- ที่
- พื้นที่
- ของพวกเขา
- พวกเขา
- ตัวเอง
- ทฤษฎี
- ที่นั่น
- ล้อยางขัดเหล่านี้ติดตั้งบนแกน XNUMX (มม.) ผลิตภัณฑ์นี้ถูกผลิตในหลายรูปทรง และหลากหลายเบอร์ความแน่นหนาของปริมาณอนุภาคขัดของมัน จะทำให้ท่านได้รับประสิทธิภาพสูงในการขัดและการใช้งานที่ยาวนาน
- พวกเขา
- สิ่ง
- นี้
- เหล่านั้น
- แต่?
- คิดว่า
- สาม
- เวลา
- ไปยัง
- ร่วมกัน
- โตรอน
- โดยสิ้นเชิง
- ไปทาง
- ไตรยางศ์
- พยายาม
- สอง
- ชนิด
- ไม่สามารถ
- เปิด
- มหาวิทยาลัย
- แตกต่าง
- ไม่แน่
- มือสอง
- การใช้
- ความคุ้มค่า
- ความคุ้มค่า
- กว้างใหญ่
- มาก
- ทาง..
- webp
- ดี
- อะไร
- เมื่อ
- ว่า
- ที่
- WHO
- ทั้งหมด
- จะ
- วิลเลียม
- กับ
- ภายใน
- ไม่มี
- โลก
- ของโลก
- เขียน
- ปี
- คุณ
- ลมทะเล
- เป็นศูนย์
- ซูมเข้า