เรขาคณิตอย่างง่ายที่ทำนายโมเสกโมเลกุล | นิตยสารควอนตั้ม

ในบ่ายวันเสาร์ของฤดูใบไม้ร่วงปี 2021 ซิลวิโอ เดคูเรตินส์ กำลังผ่านไป กระดาษ ด้วยชื่อเรื่องที่สามารถดึงมาจากหนังสือการ์ตูนสำหรับวัยรุ่นที่มีความชอบทางคณิตศาสตร์: “Plato's Cube and the Natural Geometry of Fragmentation”

มันไม่ใช่ชื่อที่แปลกตาที่ดึงดูดสายตาของเขา แต่ภาพในหน้าสาม - รูปแบบทางธรณีวิทยาในทุกระดับตั้งแต่ชั้นหินที่แตกระแหงไปจนถึงแผ่นเปลือกโลก Decurtins นักเคมีแห่งมหาวิทยาลัย Bern ได้รับการเตือนให้นึกถึงเอกสารที่เขาศึกษา "อา! ฉันมีรูปแบบด้วย!” เขาคิดว่า. “มันเป็นเรื่องของขนาด”

รูปแบบของ Decurtins ไม่ได้เกิดขึ้นจากรอยแตกในดิน แต่เกิดจากโมเลกุล: พวกมันเป็นโมเลกุลที่เรียงตัวกันเหมือนกระเบื้องโมเสคเป็นแผ่นที่มีความหนาเพียงหนึ่งโมเลกุล วัสดุ 2 มิติเหล่านี้สามารถมีคุณสมบัติที่แปลกประหลาดและใช้งานได้จริงซึ่งขึ้นอยู่กับวิธีการจัดเรียงโครงสร้างโมเลกุล

ตัวอย่างเช่น เป็นไปได้ที่จะจัดเรียงโมเลกุลเป็นรูปแบบ 2 มิติที่ใช้อิเล็กตรอนเป็นบิตในการคำนวณหรือเพื่อเก็บข้อมูล รูปแบบที่มีช่องว่างสามารถทำหน้าที่เป็นเมมเบรนได้ และรูปแบบที่มีไอออนของโลหะสามารถเป็นตัวเร่งปฏิกิริยาที่ทรงพลังได้

เป็นไปได้ที่จะสร้างอะตอมของวัสดุ 2 มิติเหล่านี้ทีละอะตอม แต่การทำเช่นนั้นมีราคาแพง ยาก และใช้เวลานาน นักวิทยาศาสตร์จำนวนมาก รวมทั้ง Decurtins และเพื่อนร่วมงานของเขา ต้องการออกแบบวัสดุที่ประกอบขึ้นเอง การคาดการณ์ว่าโมเลกุลรวมตัวกันเป็นแผ่น 2 มิติได้อย่างไรนั้นเป็นหนึ่งในความท้าทายที่ยิ่งใหญ่ของวัสดุศาสตร์ กล่าว โยฮันเนส บาร์ธนักฟิสิกส์แห่งมหาวิทยาลัยเทคนิคมิวนิก

นั่นเป็นเพราะธรรมชาติไม่ได้เตรียมพร้อมเป็นพิเศษด้วยปรัชญาการออกแบบโมเลกุลของเธอ การคาดการณ์การประกอบตัวเองเป็นงานสำหรับซูเปอร์คอมพิวเตอร์ และโปรแกรมขนาดใหญ่ที่จำเป็นอาจใช้เวลาหลายวันหรือหลายสัปดาห์ในการทำงาน

ดังนั้น Decurtins จึงติดต่อกับ กาบอร์ โดโมคอสผู้เขียนคนแรกของการศึกษานี้ เป็นนักคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีและเศรษฐศาสตร์แห่งบูดาเปสต์ Decurtins สงสัยว่ารูปทรงเรขาคณิตเดียวกันกับที่อธิบายการแตกหักของดาวเคราะห์จะอธิบายได้อย่างไรว่าโมเลกุลรวมตัวกันได้อย่างไร

ในปีหน้า Domokos และเพื่อนร่วมงานของเขาใช้การคิดเชิงเรขาคณิตเพื่อแกะกฎของการประกอบตัวเองของโมเลกุล — คิดค้นวิธีการใหม่ เพื่อจำกัดโมเสกที่โมเลกุลสามารถก่อตัวขึ้นได้ โดยใช้เพียงรูปทรงเรขาคณิตง่ายๆ ของเทสเซลเลชัน

“ตอนแรก พวกเขาไม่เชื่อว่าคุณจะทำได้” โดโมโคสกล่าว “พวกเขากำลังทำปัญญาประดิษฐ์ ซูเปอร์คอมพิวเตอร์ และดนตรีแจ๊สประเภทนี้ และตอนนี้พวกเขากำลังดูสูตร และนี่ก็ผ่อนคลายมาก”

จากดาวเคราะห์ถึงอะตอม

 หลังจากที่ Decurtins ติดต่อมา Domokos ก็พยายามขายไอเดียให้ คริสตินา เรโกสนักศึกษาปริญญาโทของเขา. Decurtins ได้ส่งภาพจำนวนหนึ่งซึ่งแสดงถึงรูปแบบในระดับอะตอม — การเรียงตัวของโมเลกุลที่ได้รับการออกแบบและสังเคราะห์โดยเพื่อนร่วมงานของเขา ชิ-เซี่ย หลิว - ดูด้วยตาของกล้องจุลทรรศน์อันทรงพลัง Domokos ต้องการดูว่า Regős สามารถใช้รูปทรงเรขาคณิตที่เขาพัฒนาขึ้นในตอนแรกเพื่ออธิบายการแตกหักทางธรณีวิทยาเพื่อระบุลักษณะรูปแบบในภาพของ Decurtins ได้หรือไม่

ในการเริ่มต้น Regős ปฏิบัติต่อวัสดุ 2D เสมือนเป็นเทสเซลเลชันหลายเหลี่ยมแบบธรรมดา ซึ่งเป็นรูปแบบที่เข้ากันได้โดยไม่มีช่องว่างและทำซ้ำได้ไม่รู้จบ จากนั้น ตามแนวทางของ Domokos เธอคำนวณตัวเลขสองตัวสำหรับแต่ละรูปแบบ อย่างแรกคือจำนวนจุดยอดหรือมุมเฉลี่ยต่อรูปหลายเหลี่ยม อย่างที่สองคือจำนวนเฉลี่ยของรูปหลายเหลี่ยมที่อยู่รอบๆ จุดยอดแต่ละจุด

ค่าเฉลี่ยทั้งสองนี้เปรียบเสมือนพิกัด GPS ของรูปแบบ พวกเขาให้ตำแหน่งของมันในแนวนอนของเทสเซลเลชันที่เป็นไปได้ทั้งหมด

ภูมิทัศน์นี้เรียกว่าระนาบสัญลักษณ์ เป็นตาราง 2 มิติอย่างง่ายที่มีจำนวนรูปร่างโดยเฉลี่ยต่อจุดยอดบน x-แกนและจำนวนจุดยอดเฉลี่ยต่อรูปร่างบน y-แกน. เทสเซลเลชันแต่ละรายการควรลงจุดหนึ่งจุดภายในระนาบพอดี ตัวอย่างเช่น รูปแบบรังผึ้งที่สมบูรณ์แบบคือเทสเซลเลชันของรูปหกเหลี่ยม 3 แฉกที่มาบรรจบกันเป็นสามส่วนในแต่ละจุดยอด — จุดที่ (6, XNUMX) ในระนาบสัญลักษณ์

แต่โมเสกธรรมชาติส่วนใหญ่ ตั้งแต่รอยแตกของหินไปจนถึงชั้นโมเลกุลเดี่ยว ไม่ใช่เทสเซลเลชันที่สมบูรณ์แบบ

ตัวอย่างเช่น เซลล์ของรังผึ้งขี้ผึ้งจริงๆ ไม่ใช่รูปหกเหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบทั้งหมด ผึ้งทำผิดพลาด แต่ถึงจะยุ่งแค่ไหน รังผึ้งก็ยังเป็นรังผึ้งอยู่ดี และโดยเฉลี่ยแล้ว มันยังพล็อตไปยังจุดที่ (3, 6) ในระนาบสัญลักษณ์ แทนที่จะเป็นการทำให้เข้าใจง่ายเกินไป วิธีการคำนวณค่าเฉลี่ยของ Domokos นั้นลึกซึ้งมาก นักคณิตศาสตร์กล่าว มาร์จอรี เซเนชาล ของ Smith College ผู้ทบทวนการศึกษาใหม่ ด้วยการละทิ้งความผิดพลาดและปฏิบัติต่อรูปแบบเป็นค่าเฉลี่ย มันเผยให้เห็นความจริงในอุดมคติประเภทหนึ่งซึ่งปกติแล้วจะถูกฝังอยู่ใต้เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นมากมาย

แต่เมื่อ Regős ลองใช้วิธีนี้กับภาพโมเลกุลของ Decurtins เธอก็พบกับปัญหาอย่างรวดเร็ว “ฉันเริ่มวางมันไว้บนระนาบสัญลักษณ์” เธอกล่าว “แล้วฉันก็รู้ว่าฉันทำไม่ได้”

ปัญหาคือขนาด ไม่เหมือนกับรูปแบบทางธรณีวิทยาที่ Domokos เคยร่วมงานมาก่อน โมเสกโมเลกุลเป็นรูปแบบภายในรูปแบบจริงๆ เมื่อมองด้วยกำลังขยายที่แตกต่างกัน พวกมันมีรูปทรงเรขาคณิตที่แตกต่างกัน Regős ไม่สามารถอธิบายโมเสกโมเลกุลด้วยค่าคู่เดียวได้ เนื่องจากรูปแบบต่างๆ วางแผนจุดต่างๆ บนระนาบสัญลักษณ์ โดยขึ้นอยู่กับการขยายของภาพ มันเหมือนกับการซูมเข้าบนกระเบื้องหกเหลี่ยมและพบว่าหน่วยการสร้างพื้นฐานของมันเป็นรูปสามเหลี่ยมจริงๆ

“ดังนั้น Kriszti จึงพูดว่า: โอเค นี่มันยุ่งเหยิง” Domokos กล่าว

จากนั้นเธอก็คิดวิธีทำความสะอาดกระเบื้องโมเสค แทนที่จะบังคับรูปแบบที่ซ้อนกันของวัสดุให้เป็นค่าเฉลี่ยคู่เดียว เธอแบ่งพวกมันออกเป็นสามระดับขององค์กร แต่ละระดับแสดงด้วยจุดของตัวเองบนระนาบสัญลักษณ์

ที่ระดับต่ำสุด อะตอมในแต่ละโมเลกุลจะรวมกันเป็นรูปหลายเหลี่ยม จากนั้นโมเลกุลเหล่านั้นจะเชื่อมต่อกันผ่านพันธะไฮโดรเจน ทำให้เกิดเทสเซลเลชันของรูปหลายเหลี่ยม ในที่สุด ในระดับที่ซูมออกมากที่สุด โมเลกุลแต่ละตัวจะหดตัวเป็นจุดๆ และจุดเหล่านั้นจะเชื่อมต่อกันเพื่อสร้างภาพโมเสค

ในเฟรมเวิร์กใหม่ของRegős แต่ละระดับจะแสดงเป็นจุดและเส้นอย่างง่าย ซึ่งก็คือกราฟ

การใช้ทฤษฎีกราฟเพื่ออธิบายรูปแบบโมเลกุล "มีประสิทธิภาพมาก" กล่าว คาร์ลอส-อันเดรส พัลมานักฟิสิกส์เคมีแห่ง Chinese Academy of Sciences และ Humboldt University of Berlin ตามเนื้อผ้า นักวิทยาศาสตร์จำแนกรูปแบบตามความสมมาตร แต่นั่นไม่ได้สะท้อนความยุ่งเหยิงของความเป็นจริง - วัสดุนาโนที่แท้จริงมักไม่ค่อยเป็นระยะหรือสมมาตรอย่างสมบูรณ์แบบ Palma กล่าว ดังนั้นการลดรูปแบบของโมเลกุลให้เป็นกราฟที่เรียบง่ายและยืดหยุ่นได้ "ช่วยให้เราสามารถสื่อสารกับโลกธรรมชาติได้ดีขึ้นมากในความคิดของฉัน" เขากล่าว

รูปแบบการทำนาย

ตอนนี้ Regős และ Domokos มีวิธีอธิบายโมเสกโมเลกุลของ Decurtins ซึ่งเป็นขั้นตอนสำคัญในการทำนายว่าโมเลกุลจะรวมตัวกันได้อย่างไร

“เราคาดการณ์ได้แย่มากทีเดียว” กล่าว อุลริช อัสเชาเออร์นักฟิสิกส์เชิงคำนวณแห่งมหาวิทยาลัยซาลซ์บูร์กที่ทำงานเกี่ยวกับการประกอบตัวเอง

ตามเนื้อผ้า นักวิทยาศาสตร์ใช้วิธีการต่างๆ มากมายในการทำนายว่าโมเลกุลจะรวมตัวกันได้อย่างไร Aschauer จำลองปฏิกิริยาของโมเลกุลบนพื้นผิว จากนั้นเขาก็ระบุรูปแบบที่ต้องใช้พลังงานน้อยที่สุดในการก่อตัวของรูปแบบ ซึ่งควรจะปรากฏขึ้นมากที่สุด นักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ คัดกรองรูปแบบที่สร้างขึ้นแบบสุ่มจำนวนมาก หรือฝึกอัลกอริทึมการเรียนรู้ของเครื่องเพื่อคาดการณ์การประกอบตัวเอง วิธีการทั้งหมดนี้มีค่าใช้จ่ายสูงในการคำนวณ — Palma จำได้ว่าครั้งหนึ่งเพื่อนร่วมงานคนหนึ่งเคยจำลองโมเลกุลของน้ำเป็นเวลาหลายปี เพียงเพื่อทำนายเพียงครั้งเดียวว่าน้ำรวมตัวกันได้อย่างไร อัลกอริธึมการเรียนรู้ของเครื่องก็มีจุดบอดเช่นกัน พวกเขาเรียนรู้เฉพาะสิ่งที่คุณให้อาหารเท่านั้น Aschauer กล่าว และเป็นไปไม่ได้ที่จะตรวจสอบทุกรูปแบบที่เป็นไปได้ ดังนั้นนักวิทยาศาสตร์มักจะต้องเดาว่ารูปแบบใดที่ควรค่าแก่การพิจารณาตั้งแต่แรก

Aschauer อธิบายว่า “การเดาเริ่มต้นของเราจะเป็นตัวกำหนดสิ่งสุดท้ายที่เราพบ” Aschauer อธิบาย “และมันเป็นปัญหาใหญ่เพราะถ้าฉันไม่มีสัญชาตญาณที่ถูกต้องในการเริ่มต้น ฉันก็จะลงเอยด้วยความผิดพลาด”

แต่รูปทรงเรขาคณิตของเร็กโกสและโดโมคอสนั้นไม่เชื่อเรื่องพระเจ้า มันถือว่าโมเลกุลเป็นจุดและพันธะเป็นเส้น ไม่ต้องการการเดาเริ่มต้น

หลังจากได้พบกับ Aschauer และ Decurtins ด้วยตนเองในสวิตเซอร์แลนด์ ในที่สุดนักคณิตศาสตร์ก็หันไปยุ่งกับธุรกิจที่ยุ่งเหยิงด้วยการพยายามทำนายรูปแบบแทนที่จะอธิบายแบบง่ายๆ

Gömböcsและสะพาน

ระบบของRegősสามารถจำกัดการจัดระเบียบในระดับกลางของรูปแบบ ซึ่งโมเลกุลเป็นรูปหลายเหลี่ยมและพันธะไฮโดรเจนเป็นเส้น แต่เธอไม่สามารถทำงานขึ้นจากกระเบื้องโมเลกุลเพื่อทำนายภาพโมเสคขนาดใหญ่ได้ หากไม่มีสิ่งที่จะเชื่อมโยงทั้งสามระดับทางคณิตศาสตร์ แบบจำลองของเธอก็เหมือนบันไดที่ขาดหายไป

Domokos ตัดสินใจว่ามันคุ้มค่าที่จะเช็คอินด้วย คอสยา โนโวเซลอฟ — นักฟิสิกส์แห่งมหาวิทยาลัยแห่งชาติสิงคโปร์ แบ่งปันรางวัลโนเบล สำหรับการสังเคราะห์กราฟีน ซึ่งอาจจะเป็นวัสดุ 2 มิติที่มีชื่อเสียงที่สุด ทั้งสองพบกันโดยบังเอิญเมื่อต้นปีนั้น หลังจากที่โนโวเซลอฟสั่งการจำนวนมาก เกิมเบคส์รูปทรงเรขาคณิตใหม่ที่โดโมคอสค้นพบจากร้านในบูดาเปสต์

ด้วยข้อมูลของ Novoselov Domokos และ Regős ได้ปรับปรุงแบบจำลองทางเรขาคณิตของพวกเขา ก่อนหน้านั้น พวกเขาใช้การจัดระเบียบเพียงสามระดับ: โมเลกุล รูปแบบขนาดกลาง และรูปแบบขนาดใหญ่ โนโวเซลอฟแนะนำให้เพิ่มระดับที่สี่ ซึ่งเป็นสะพานเชื่อมระหว่างระดับกลางและระดับใหญ่ สมการที่อธิบายสะพานนี้เชื่อมโยงเรขาคณิตของระดับที่เล็กที่สุดและระดับกลางกับระดับที่ใหญ่ที่สุด ซึ่งเป็นโมเสกโมเลกุล

เมื่อวางสะพานแล้ว ทีมงานสามารถนำกระเบื้องโมเลกุลและทำงานขึ้นด้านบนเพื่อจำกัดรูปแบบขนาดใหญ่ที่เป็นไปได้โดยใช้ระบบสมการเชิงพีชคณิต XNUMX สมการและอสมการที่ไม่เท่าเทียมกันซึ่งสามารถใส่ไว้ที่ด้านหลังของซองจดหมายได้ ในข้อความทางคณิตศาสตร์เหล่านี้ ตัวแปรคือพิกัดของรูปแบบบนระนาบสัญลักษณ์ รวมถึงคำศัพท์บางคำที่อธิบายโครงสร้างของโมเลกุล ในภาพรวม ระบบจะเชื่อมโยงองค์กรแต่ละระดับกับระดับอื่นๆ และพิกัดของรูปแบบบนระนาบสัญลักษณ์

พล็อตบนระนาบสัญลักษณ์ การจัดเรียงขนาดใหญ่ที่เป็นไปได้ของโมเลกุลจะตกบนส่วนเล็กๆ ของเส้นโค้งที่กำหนดรูปแบบโมเลกุล 2 มิติที่เติมช่องว่างที่เป็นไปได้ทั้งหมด ตอนนี้นักวิจัยสามารถใช้โมเลกุลเริ่มต้นเพื่อจำกัดชิ้นส่วนนั้นได้

แต่พวกเขายังไม่มั่นใจว่า "ชิ้นส่วน" ของรูปแบบที่เป็นไปได้ของพวกเขานั้นเล็กพอ ถ้ามันกว้างเกินไป มันก็จะไม่ใช่ข้อจำกัดที่มีประโยชน์มากนัก เมื่อ Liu วางแผนโครงสร้างของน้ำแข็งน้ำ 2 มิติบนระนาบเชิงสัญลักษณ์ เธอพบว่าพวกมันตกลงมาอย่างสมบูรณ์ที่ปลายสุดของช่วงที่คาดการณ์ไว้ของวิธีการ ไม่สามารถปรับปรุงขอบเขตได้

“นี่คือภาษาธรรมชาติที่นี่” โดโมคอสกล่าว “นั่นเป็นเรื่องที่น่าประหลาดใจมากสำหรับฉัน”

การเจริญเติบโตและรูปแบบ

ใกล้สิ้นสุดโครงการในเดือนพฤษภาคม 2022 ชาวฮังกาเรียนเดินทางไปสวิตเซอร์แลนด์อีกครั้ง ครั้งนี้ เพื่อนร่วมงานของพวกเขาทำให้พวกเขาประหลาดใจด้วยการเยี่ยมชมกล้องจุลทรรศน์ที่สร้างภาพที่พวกเขาเคยทำงานด้วย และนั่นคือตอนที่ Regős และ Domokos ตระหนักในสิ่งที่พวกเขาทำ: โดยการเชื่อมโยงภาพโมเสคขนาดใหญ่ทางคณิตศาสตร์กับพันธะโมเลกุล ในระดับที่เล็กกว่ามาก พวกเขาได้จับบางสิ่งบางอย่างของการปฏิสัมพันธ์ที่ยุ่งเหยิงที่มองไม่เห็นซึ่งท้ายที่สุดแล้วกำหนดรูปแบบโมเลกุล รูปทรงเรขาคณิตสามารถ “มองเห็น” สิ่งที่เครื่องจักรไม่สามารถทำได้

“มันเหลือเชื่อ” Regős กล่าว “เราลงไปที่ชั้นใต้ดินและเห็นว่าวิทยาศาสตร์ของเราถึงขีดสุดแล้ว”

การใช้กล้องจุลทรรศน์เพื่อทำความเข้าใจรูปแบบการประกอบตัวเอง โนโวเซลอฟกล่าวว่า เหมือนกับการพยายามทำความเข้าใจหญ้าโดยการถ่ายภาพจากด้านบน ภาพเหล่านั้นบอกคุณได้มากมายเกี่ยวกับหญ้า “แต่ไม่ใช่ทุกอย่างอย่างแน่นอน” เขากล่าว พวกเขาเปิดเผยเพียงเล็กน้อยเกี่ยวกับรากของหญ้าหรือการเจริญเติบโตของมัน เฟรมเวิร์กของ Domokos และ Regős ไม่สามารถมองเห็นรากได้อย่างสมบูรณ์ แต่มันนำเสนอวิธีใหม่ทั้งหมดในการร่างพวกมัน โดยการเชื่อมโยงโครงสร้างโมเลกุลของรูปแบบเข้ากับโมเสกในท้ายที่สุด

"พวกเขากำลังสานต่อประเพณีเก่าแก่ที่ยอดเยี่ยมในการศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างการเติบโตและรูปแบบ" Senechal กล่าว "ซึ่งเป็นศูนย์กลางในการทำความเข้าใจทุกสิ่งในโลกรอบตัวเรา"

การประกอบตัวเองของโมเลกุลมักเริ่มต้นด้วยวัสดุชิ้นเล็ก ๆ ที่ขยายเป็นรูปแบบที่ใหญ่ขึ้น อย่างไรก็ตาม กรอบทางคณิตศาสตร์ใหม่ถือว่ารูปแบบไม่สิ้นสุด ไม่ใช่แพตช์ที่จำกัด การปรับงานเพื่ออธิบายว่าแพตช์ที่มีขอบเขตจำกัดเติบโตเป็นรูปแบบที่ใหญ่ขึ้นได้อย่างไรอาจเป็นขั้นตอนหนึ่งในการทำนายที่แท้จริง Palma กล่าว Aschauer กล่าวว่าเขาวางแผนที่จะใช้รูปทรงเรขาคณิตเป็นแนวทางไปสู่ทางตันและมุมที่มีแนวโน้มแต่ยังไม่ได้สำรวจในภูมิทัศน์ของรูปแบบที่เป็นไปได้ และการใช้ภาษาทางคณิตศาสตร์ของระนาบสัญลักษณ์เพื่อฝึกโมเดลแมชชีนเลิร์นนิงก็น่าตื่นเต้น เขากล่าวเสริม

“ฉันรู้สึกทึ่งกับความสวยงามของมันจริงๆ” โนโวเซลอฟกล่าว “ด้วยวิธีการทางคณิตศาสตร์พื้นฐานเพียงเล็กน้อย ซึ่งเป็นแค่เรขาคณิตล้วนๆ แค่กราฟในแบบ 2 มิติ คุณก็สามารถทำนายสิ่งต่างๆ ได้มากมาย”

คณิตศาสตร์เป็นเรื่องง่าย Senechal กล่าว แต่ "เพื่อให้เห็นความเรียบง่าย" เธอกล่าวเสริม "ต้องใช้ความซับซ้อนอย่างมาก"