Elliptic Curves ให้ความลับในระบบตัวเลขใหม่ | นิตยสารควอนตั้ม

ความก้าวหน้าที่ซับซ้อนมากมายในวิชาคณิตศาสตร์เพื่อการวิจัยถูกกระตุ้นโดยความปรารถนาที่จะเข้าใจคำถามที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับตัวเลข จำนวนเฉพาะกระจายเป็นจำนวนเต็มอย่างไร มีลูกบาศก์ที่สมบูรณ์แบบหรือไม่ (เช่น 8 = 2³ หรือ 27 = 3³) ที่สามารถเขียนเป็นผลบวกของลูกบาศก์อีกสองลูกได้? โดยทั่วไป นักคณิตศาสตร์อาจต้องการแก้สมการ แต่มักจะเป็นไปไม่ได้ที่จะทำเช่นนั้นด้วยการปรับแต่งสมการเอง แต่นักคณิตศาสตร์กลับหาวิธีเชื่อมต่อคำตอบกับโครงสร้างนามธรรมสุดโต่งซึ่งมีความซับซ้อนในการเข้ารหัสความลับ

ในช่วงหลายทศวรรษที่ผ่านมา การวิจัยทางคณิตศาสตร์ที่น่าตื่นเต้นที่สุดสายหนึ่งได้ดำเนินการตามแบบฟอร์มนี้ มันเกี่ยวข้องกับการทำความเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างสมการพหุนามบางประเภทที่เรียกว่า เส้นโค้งวงรี และวัตถุลึกลับที่เรียกว่ารูปแบบโมดูลาร์ ซึ่งเริ่มมีชื่อเสียงในวงการคณิตศาสตร์ในปี 1994 เมื่อ Andrew Wiles ใช้สมการเหล่านี้เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ซึ่งเป็นหนึ่งในผลลัพธ์ที่โด่งดังที่สุดของศตวรรษที่ 20 คณิตศาสตร์.

เมื่อเดือนมกราคมที่ผ่านมานี้ อานา คาไรอานี ของ Imperial College London และ University of Bonn และ เจมส์ นิวตัน แห่งมหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ดได้เปิดสายงานวิจัยใหม่ในด้านนี้ เมื่อพวกเขาพิสูจน์ ความสัมพันธ์ที่ Wiles สร้างขึ้นระหว่างเส้นโค้งวงรีและรูปแบบโมดูลาร์ยังมีไว้สำหรับวัตถุทางคณิตศาสตร์บางอย่างที่เรียกว่าฟิลด์กำลังสองจินตภาพ

Wiles พิสูจน์ว่าเส้นโค้งวงรีบางประเภทเป็นโมดูลาร์ — หมายความว่ามีรูปแบบโมดูลาร์เฉพาะที่สอดคล้องกับแต่ละเส้นโค้ง — เมื่อตัวแปรสองตัวและค่าสัมประสิทธิ์สองตัวที่เกี่ยวข้องในการกำหนดเส้นโค้งเป็นจำนวนตรรกยะทั้งหมด ค่าที่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ หลังจากทำงานของเขา นักคณิตศาสตร์พยายามสร้างโมดูลาร์ในบริบทที่หลากหลายขึ้น ในปี 2001 นักคณิตศาสตร์สี่คนพิสูจน์ว่าเส้นโค้งวงรีทั้งหมดเป็นแบบโมดูลาร์เหนือจำนวนตรรกยะ (ในขณะที่ Wiles พิสูจน์สิ่งนี้ได้เฉพาะกับเส้นโค้งบางส่วนเท่านั้น) ในปี 2013 นักคณิตศาสตร์สามคนได้แก่ ซาเมียร์ สิกเสก แห่งมหาวิทยาลัย Warwick พิสูจน์ว่าเส้นโค้งวงรีเป็นแบบโมดูลาร์เช่นกัน บนสนามกำลังสองจริง  (หมายความว่าตัวแปรและค่าสัมประสิทธิ์นำมาจากระบบตัวเลขที่เรียกว่าสนามกำลังสองจริง)

เมื่อความก้าวหน้าเพิ่มขึ้น เป้าหมายหนึ่งยังคงไปไม่ถึง: การพิสูจน์ว่าเส้นโค้งวงรีเป็นแบบโมดูลาร์เหนือสนามกำลังสองในจินตภาพ

เขตข้อมูลกำลังสองเป็นก้าวสำคัญทางคณิตศาสตร์ระหว่างจำนวนตรรกยะและจำนวนจริง ซึ่งรวมทุกจำนวนทศนิยมที่เป็นไปได้ แม้กระทั่งรูปแบบที่ไม่สิ้นสุดทางด้านขวาของจุดทศนิยมที่ไม่เคยเกิดซ้ำ (ซึ่งรวมถึงจำนวนอตรรกยะทั้งหมด เช่น $latex sqrt{2}$ หรือ $latex pi $)

ฟิลด์กำลังสองเลือกจำนวนเต็ม เช่น 5 และรวมตัวเลขทั้งหมดในรูปแบบ $latex a + bsqrt{5}$ โดยที่ a และ b เป็นจำนวนตรรกยะทั้งคู่ ถ้าจำนวนเต็มที่ต้องการเป็นค่าบวก ช่องกำลังสองที่เป็นผลลัพธ์จะเป็นส่วนย่อยของจำนวนจริง จึงเรียกว่าช่องกำลังสองจริง

แล้วเส้นโค้งวงรีที่กำหนดเหนือฟิลด์กำลังสองจินตภาพ — เส้นโค้งที่เกิดขึ้นจากการหารากที่สองของจำนวนลบล่ะ

นั่นคือปัญหาที่ Caraiani และ Newton จัดการ

หลายร้อยปีก่อน นักคณิตศาสตร์นิยามรากที่สองของจำนวนลบด้วยวิธีที่ตรงไปตรงมา พวกเขาตั้งชื่อ iถึงรากที่สองของ −1 แล้วรากที่สองของจำนวนลบอื่นๆ ก็แค่ i คูณรากที่สองของจำนวนบวกที่ตรงกัน ดังนั้น $latex sqrt{-5}=isqrt{5}$ จำนวนจินตภาพมีบทบาทสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์ เพราะสำหรับหลายๆ ปัญหา พวกมันง่ายกว่าจำนวนจริง

แต่การพิสูจน์ว่าเส้นโค้งวงรีเป็นแบบโมดูลาร์เหนือฟิลด์กำลังสองในจินตภาพนั้นยังไปไม่ถึง เพราะเทคนิคในการพิสูจน์ความเป็นโมดูลาร์เหนือสนามกำลังสองที่แท้จริงไม่ได้ผล

Caraiani และ Newton บรรลุความเป็นโมดูลาร์ — สำหรับเส้นโค้งวงรีทั้งหมดประมาณครึ่งหนึ่งของฟิลด์กำลังสองจินตภาพทั้งหมด — โดยหาวิธีปรับกระบวนการเพื่อพิสูจน์ความเป็นโมดูลาร์ที่บุกเบิกโดย Wiles และคนอื่นๆ ให้เป็นเส้นโค้งวงรีเหนือฟิลด์กำลังสองจินตภาพ

“นั่นคือที่มาของผลงานที่สวยงามของ Caraiani และ Newton พวกเขาปรับปรุงขั้นตอนที่สองของ Wiles” กล่าว จันทรเสกขร แคราย แห่งมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย ลอสแอนเจลิส

งานนี้เป็นความสำเร็จทางเทคนิคในตัวของมันเอง และเป็นการเปิดประตูสู่ความก้าวหน้าในคำถามที่สำคัญที่สุดบางข้อในวิชาคณิตศาสตร์ในการตั้งค่าจินตภาพ

แม่สื่อ แม่สื่อ

นักคณิตศาสตร์ให้ความสนใจเกี่ยวกับคำตอบของสมการพหุนาม ซึ่งเป็นการรวมกันของตัวแปรที่ยกกำลังคงที่ อย่างน้อยก็ตั้งแต่ชาวกรีกโบราณ สมการมีหลากหลายรูปแบบไม่รู้จบ โดยการปรับปริมาณของตัวแปร ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเหล่านั้น และกำลังที่เพิ่มขึ้น $latex 3x^5+x^4−9x^3−4x^2+x−7=0$ เป็นเพียงตัวอย่างหนึ่งเท่านั้น

เส้นโค้งวงรีเป็นสมการพหุนามที่อยู่ในระดับความแข็งที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการสืบค้นทางคณิตศาสตร์ มีความเป็นระเบียบเรียบร้อย (และนำมาสอนกันอย่างกว้างขวาง) สูตรสำหรับการหาคำตอบของพหุนามกำลังสองในตัวแปรเดียว ซึ่งมีค่ากำลังสูงสุดคือ 2 แต่ไม่มีสูตรดังกล่าวสำหรับการแก้ปัญหาของพหุนามกำลังสองที่มีกำลังสูงสุดคือ 5 หรือสูงกว่า การเพิ่มตัวแปรโดยทั่วไปจะทำให้สิ่งต่าง ๆ ซับซ้อนขึ้นเช่นกัน แต่เส้นโค้งวงรีซึ่งมีตัวแปรสองตัวและมีกำลังสูงสุดคือ 3 เช่น $latex (y^2=x^3+1)$ มีความท้าทายมากพอที่จะสร้างแรงบันดาลใจในการประดิษฐ์โดยไม่ต้องยากเกินไปจนรู้สึกสิ้นหวัง

คำถามพื้นฐานข้อหนึ่งเกี่ยวกับเส้นโค้งวงรีคือมีคู่จำนวนตรรกยะจำนวนจำกัดหรือจำนวนอนันต์ที่แก้ปัญหาได้หรือไม่ เส้นโค้งวงรีบางเส้นโค้งมีคำตอบที่เป็นตรรกยะจำนวนจำกัด บางเส้นโค้งมีจำนวนอนันต์ และบางเส้นโค้งไม่มีเลย

“พวกมันมีพฤติกรรมกลางๆ ตลกๆ แบบนี้” Caraiani กล่าว

หากคุณได้รับเส้นโค้งวงรีแบบสุ่ม ก็จะไม่ชัดเจนว่าอยู่ในหมวดหมู่ใดในทันที แต่เป็นไปได้ที่จะถอดรหัสโดยจับคู่กับวัตถุที่ตรงกันซึ่งเรียกว่ารูปแบบโมดูลาร์ ซึ่งคุณสมบัติจะเปิดเผยคำตอบ

จับฉันในรูปแบบโมดูลาร์

รูปแบบโมดูลาร์เป็นฟังก์ชันที่ศึกษาในการวิเคราะห์ ซึ่งเป็นรูปแบบขั้นสูงของแคลคูลัส พวกเขาคือ สมมาตรมาก และมักจะสามารถแปลได้ — เลื่อนไปทางซ้ายหรือขวา — โดยไม่เสียรูปลักษณ์ ด้วยวิธีนี้ พวกมันมีคุณลักษณะที่เหมือนกันกับฟังก์ชันที่มีความสมมาตรสูงอื่นๆ เช่น ฟังก์ชันไซน์ แม้ว่าพวกมันจะตรงไปตรงมาน้อยกว่าในการเขียนหรือแสดงภาพ

ทุกรูปแบบโมดูลาร์มาพร้อมกับค่าสัมประสิทธิ์ คุณสามารถจดไว้ได้ โดยสร้างเป็นชุดตัวเลข ตัวเลขเหล่านี้มีคุณสมบัติที่ดีมาก และดูห่างไกลจากการสุ่ม สิ่งเหล่านี้ทำให้นักคณิตศาสตร์พิศวงตั้งแต่ต้นศตวรรษที่ 20 เมื่ออัจฉริยะทางคณิตศาสตร์ Srinivasan Ramanujan เริ่มรับรู้ว่ารูปแบบในค่าสัมประสิทธิ์ของรูปแบบโมดูลาร์นั้นอธิบายได้ด้วยข้อเท็จจริงที่ว่ารูปแบบโมดูลาร์แต่ละรูปแบบติดอยู่กับวัตถุประเภทที่สองที่เรียกว่าการแทนกาลัวส์ . งานต่อมายืนยันการเชื่อมโยง

เส้นโค้งวงรียังมีการแทนของ Galois และหลังจากงานของ Ramanujan ดูเหมือนว่าเป็นไปได้ที่การแทนของ Galois สามารถสอดแทรกระหว่างเส้นโค้งวงรีและรูปแบบโมดูลาร์ได้: เริ่มจากอันหนึ่ง ระบุการแทนของ Galois แล้วหาอันอื่น

“คุณคงคิดว่า: เส้นโค้งวงรี วัตถุจากเรขาคณิตมีตัวแทน Galois และรูปแบบโมดูลาร์มีตัวแทน Galois — มีการจับคู่หรือไม่” สิคเสกกล่าว.

ในช่วงปลายทศวรรษ 1950 Yutaka Taniyama และ Goro Shimura เสนอว่าจะมีการจับคู่แบบ 1 ต่อ 1 ที่สมบูรณ์แบบระหว่างรูปแบบโมดูลาร์และเส้นโค้งวงรี ทศวรรษต่อมา Robert Langlands ต่อยอดแนวคิดนี้ในการสร้างผลงานของเขา โปรแกรม Langlands ที่กว้างขวางซึ่งได้กลายเป็นโครงการวิจัยทางคณิตศาสตร์ที่กว้างขวางและเป็นผลสืบเนื่องมากที่สุดโครงการหนึ่ง

หากการโต้ตอบแบบ 1 ต่อ 1 เป็นจริง จะช่วยให้นักคณิตศาสตร์มีชุดเครื่องมือที่ทรงพลังสำหรับการทำความเข้าใจคำตอบของเส้นโค้งวงรี ตัวอย่างเช่น มีค่าตัวเลขประเภทหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับรูปแบบโมดูลาร์แต่ละรูปแบบ หนึ่งในปัญหาเปิดที่สำคัญที่สุดของคณิตศาสตร์ (พิสูจน์ได้ว่ามาพร้อมกับ รางวัลล้านดอลลาร์) — การคาดคะเนของ Birch และ Swinnerton-Dyer — เสนอว่าถ้าค่านั้นเป็นศูนย์ เส้นโค้งวงรีที่เกี่ยวข้องกับรูปแบบโมดูลาร์นั้นจะมีคำตอบที่เป็นตรรกยะจำนวนมากอย่างไม่จำกัด และถ้าไม่ใช่ศูนย์ เส้นโค้งวงรีจะมีคำตอบที่เป็นตรรกยะมากมายอย่างไม่จำกัด

แต่ก่อนที่จะจัดการอะไรแบบนั้นได้ นักคณิตศาสตร์จำเป็นต้องรู้ว่าการติดต่อนั้นมีอยู่: ส่งเส้นโค้งวงรีมาให้ฉัน และฉันสามารถส่งรูปแบบโมดูลาร์ที่ตรงกันให้คุณได้ การพิสูจน์ว่านี่คือสิ่งที่นักคณิตศาสตร์หลายคน ตั้งแต่ Wiles ถึง Caraiani และ Newton ได้ทำมาตลอดในช่วงสองสามทศวรรษที่ผ่านมา

ดูผ่านหนังสือของคุณ

ก่อนการทำงานของ Wiles นักคณิตศาสตร์ประสบความสำเร็จในการพิสูจน์ทิศทางเดียวของการโต้ตอบ: ในบางกรณี พวกเขาอาจเริ่มต้นด้วยรูปแบบโมดูลาร์และหาเส้นโค้งวงรีที่ตรงกัน แต่การไปในทิศทางอื่น — ซึ่งเป็นสิ่งที่นักคณิตศาสตร์หมายถึงเมื่อพวกเขาพูดถึงเส้นโค้งวงรีที่เป็นโมดูลาร์ — นั้นยากกว่า และ Wiles ก็เป็นคนแรกที่ทำได้สำเร็จ

“ก่อนหน้านี้ผู้คนรู้วิธีเปลี่ยนจากรูปแบบโมดูลาร์ไปเป็นรูปไข่ภายใต้สถานการณ์บางอย่าง แต่ทิศทางย้อนกลับจากรูปไข่ไปเป็นโมดูลาร์เป็นสิ่งที่ Wiles มีแรงบันดาลใจ” Khare กล่าว

Wiles พิสูจน์ความเป็นโมดูลาร์สำหรับเส้นโค้งวงรีบางประเภทด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่เป็นจำนวนตรรกยะ นั่นก็เพียงพอแล้วที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ด้วยวิธีที่ขัดแย้งกัน (Wiles พิสูจน์ให้เห็นว่าหากทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์เป็นเท็จ มันจะบอกเป็นนัยถึงการมีอยู่ของเส้นโค้งวงรีที่งานก่อนหน้านี้สร้างขึ้นว่าไม่มีอยู่จริง ดังนั้น ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์จะต้องเป็นจริง)

เมื่อนักคณิตศาสตร์ขยายงานของ Wiles เกี่ยวกับเส้นโค้งวงรี พวกเขาทำตามวิธีเดียวกับที่เขาใช้ในการพิสูจน์ผลลัพธ์เริ่มต้น

หลังจากประสบความสำเร็จในการสรุปผลลัพธ์ให้เป็นจำนวนตรรกยะและสนามกำลังสองที่เป็นเหตุเป็นผล ส่วนขยายถัดไปที่ชัดเจนก็คือสนามกำลังสองจินตภาพ

“มีเพียงสองสิ่งที่สามารถเกิดขึ้นได้: สนามนั้นเป็นของจริงหรือในจินตนาการ” Caraiani กล่าว “คดีจริงถูกเข้าใจแล้ว ดังนั้นเป็นเรื่องปกติที่จะไปหาคดีในจินตนาการ”

สนามกำลังสองจินตภาพมีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์พื้นฐานเหมือนกันกับจำนวนตรรกยะและจำนวนจริง แต่วิธีของไวล์สไม่สามารถปลูกถ่ายที่นั่นได้ง่ายนัก มีสาเหตุหลายประการ แต่โดยเฉพาะอย่างยิ่ง รูปแบบโมดูลาร์เหนือสนามกำลังสองจินตภาพมีความสมมาตรน้อยกว่ามากเมื่อเทียบกับเหตุผลและจำนวนจริง การขาดความสมมาตรโดยสัมพัทธ์นี้ทำให้ยากต่อการกำหนดการแสดงแบบ Galois ซึ่งเป็นกุญแจสำคัญในการสร้างการจับคู่ด้วยเส้นโค้งรูปวงรี

เป็นเวลาหลายปีหลังจากการพิสูจน์ของแฟร์มาต์ของ Wiles “กรณีของสนามกำลังสองในจินตภาพยังคงเกินกว่าที่จะเป็นไปได้” Khare กล่าว แต่ในช่วงทศวรรษที่ผ่านมา ความก้าวหน้าหลายอย่างได้เตรียมแนวทางสำหรับการทำงานของ Caraiani และ Newton

นำแหวนมาให้ฉัน (หรือดีกว่านั้นคือฟิลด์)

ขั้นตอนแรกในวิธีการของ Wiles คือการสร้างการจับคู่โดยประมาณระหว่างเส้นโค้งวงรีและรูปแบบโมดูลาร์ ทั้งสองเชื่อมต่อกันผ่านตัวแทนของ Galois ซึ่งเข้ารหัสเป็นชุดของตัวเลขที่มาจากทั้งสองด้านของการจับคู่ไม่ซ้ำกัน

ท้ายที่สุดแล้ว คุณต้องการแสดงให้เห็นว่าตัวเลขที่กำหนดตัวแทนของ Galois นั้นตรงกันทุกประการ แต่ในขั้นตอนแรกนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะแสดงว่าตัวเลขเหล่านี้แตกต่างกันโดยมีส่วนต่างของข้อผิดพลาดที่สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น คุณสามารถพิสูจน์ได้ว่าชุดของตัวเลขตรงกัน หากคุณสามารถเพิ่มหรือลบผลคูณของ 3 เพื่อให้ได้จำนวนที่ตรงกันจากแต่ละหมายเลข ในแง่นี้ (4, 7, 2) ตรงกับ (1, 4, 5) หรือกับ (7, 10, 8) แต่ไม่ตรงกับ (2, 8, 3) คุณสามารถพูดได้ว่าตรงกันหากต่างกันด้วยผลคูณของ 5, 11 หรือจำนวนเฉพาะใดๆ (สำหรับเหตุผลทางเทคนิคแต่สำคัญ ระยะขอบของข้อผิดพลาดจะต้องเป็นจำนวนเฉพาะเสมอ) 2019 กระดาษ by แพทริคอัลเลน, แคร์ และ แจ็คทอร์น ให้นิ้วเท้าประเภทนี้ในปัญหา

“พวกเขาได้พิสูจน์ทฤษฎีบทซึ่งทำให้คุณมีจุดเริ่มต้น” นิวตันกล่าว

ในช่วงเวลาเดียวกับที่รายงานประจำปี 2019 กำลังดำเนินอยู่ กลุ่มนักคณิตศาสตร์ 10 คนกำลังทำงานเพื่อให้ขั้นตอนเพิ่มเติมของวิธีการของ Wiles ใช้ได้กับฟิลด์กำลังสองในจินตภาพ ความร่วมมือเริ่มต้นขึ้นในช่วงหนึ่งสัปดาห์ที่สถาบันเพื่อการศึกษาขั้นสูง โดยมีอัลเลนและธอร์น ผู้ร่วมเขียนรายงานประจำปี 2019 รวมถึงคาไรอานีและนิวตัน

เป้าหมายแรกของกลุ่มคือการสร้างว่าการเป็นตัวแทนของ Galois ที่มาจากรูปแบบโมดูลาร์นั้นมีความสอดคล้องภายในบางอย่าง คุณสมบัตินี้ซึ่งเป็นข้อกำหนดเบื้องต้นสำหรับการจับคู่กับการแทน Galois ที่มาจากเส้นโค้งวงรีเรียกว่า ความเข้ากันได้ในท้องถิ่นทั่วโลก.

การทำงานร่วมกัน 10 คน สามารถทำสิ่งนี้ได้ ในกรณีพิเศษบางอย่าง แต่ไม่ใช่ส่วนใหญ่ เมื่อความร่วมมือยุติลง Caraiani และ Newton ตัดสินใจทำงานร่วมกันต่อไปเพื่อดูว่าพวกเขาจะทำได้มากกว่านี้หรือไม่

“เราอยู่ที่ลอนดอนพร้อมๆ กัน และเราสนุกกับการพูดคุยกันเกี่ยวกับสิ่งต่างๆ ที่เกิดขึ้นในโครงการที่มีผู้เขียน 10 คน” Caraiani กล่าว “เรารู้ว่าอะไรคือจุดยึด อะไรคืออุปสรรคในการก้าวต่อไป”

คืนแล้วคืนเล่าในความมืด 

ไม่นานหลังจากที่พวกเขาเริ่มทำงานด้วยตัวเอง Caraiani และ Newton ได้ค้นพบกลยุทธ์ที่นอกเหนือไปจากงานที่พวกเขาเริ่มด้วยกลุ่มใหญ่ ดูเหมือนจะไม่ผิดอย่างเห็นได้ชัด แต่พวกเขาก็ไม่รู้ว่ามันจะได้ผลจริงหรือไม่

“เราเริ่มต้นด้วยความคิดในแง่ดีว่าทุกอย่างจะดีขึ้น พิสูจน์ได้ว่าบางอย่างแข็งแกร่งกว่าเอกสารที่มีผู้เขียน 10 คนนี้เล็กน้อย และในที่สุดเราก็ทำสำเร็จ” นิวตันกล่าว

Caraiani และ Newton ทำงานกับแนวคิดนี้เป็นเวลาสองปี และภายในสิ้นปี 2021 การมองโลกในแง่ดีของพวกเขาก็ได้รับผล พวกเขาได้ปรับปรุงผลงานที่เข้ากันได้ในระดับท้องถิ่นและระดับโลกโดยทีมผู้เขียน 10 คน พวกเขาอธิบายว่าในส่วนทางเทคนิคขนาดยาวซึ่งประกอบด้วยครึ่งแรกของเอกสารฉบับสุดท้ายซึ่งมีความยาวมากกว่า 100 หน้าเป็นอย่างไร

“เรารู้ว่าเมื่อเรามีชิ้นส่วนทางเทคนิคนี้แล้ว ระบบโมดูลาร์ก็จะเข้ามามีบทบาท” Caraiani กล่าว

ขั้นตอนแรกของวิธีการของ Wiles คือการสร้างชนิดของโมดูลาร์โดยประมาณ ขั้นตอนที่สองคือผลลัพธ์ความเข้ากันได้ในท้องถิ่นและทั่วโลก ขั้นตอนที่สามคือการใช้ความรู้ของพวกเขาว่าอย่างน้อยมีเส้นโค้งจำนวนเล็กน้อยที่เป็นโมดูลาร์และใช้ประโยชน์จากมันเพื่อพิสูจน์ว่าเส้นโค้งจำนวนมากเป็นแบบโมดูลาร์ การเคลื่อนไหวนี้เป็นไปได้เนื่องจากสิ่งที่เรียกว่าทฤษฎีบทการยกแบบโมดูลาร์

"มันช่วยให้คุณสามารถกระจายโมดูลาร์ไปรอบๆ ได้" นิวตันกล่าว “ถ้าคุณรู้ความเป็นโมดูลาร์ของบางสิ่ง การยก [ของ] สิ่งต่างๆ นี้จะช่วยให้คุณรักษาความเป็นโมดูลของสิ่งอื่นๆ ได้มากมาย คุณเผยแพร่คุณสมบัติโมดูลาร์นี้ในทางที่ดี”

การแข่งขันที่ไม่มีใครเทียบได้

การใช้ทฤษฎีบทการยกช่วยให้ Caraiani และ Newton สามารถพิสูจน์ความเป็นโมดูลาร์ของเส้นโค้งวงรีจำนวนนับไม่ถ้วนได้ แต่ก็ยังมีบางกรณีที่เข้ามุมไม่ได้ สิ่งเหล่านี้คือตระกูลเส้นโค้งวงรีจำนวนหนึ่งซึ่งมีคุณสมบัติเฉพาะตัวที่ทำให้พวกเขาไม่สามารถเข้าถึงทฤษฎีบทการยกได้

แต่เนื่องจากมีไม่กี่คน Caraiani และ Newton จึงสามารถโจมตีพวกเขาด้วยมือได้ — คำนวณตัวแทน Galois ของพวกเขาทีละคนเพื่อพยายามสร้างการแข่งขัน

Caraiani กล่าวว่า "ที่นั่นเราสนุกกับการคำนวณจำนวนมากและหลายจุดบนเส้นโค้ง

ความพยายามสำเร็จถึงจุดหนึ่ง ในที่สุด Caraiani และ Newton ก็สามารถพิสูจน์ได้ว่าเส้นโค้งวงรีทั้งหมดเป็นแบบโมดูลาร์มากกว่าครึ่งหนึ่งของฟิลด์กำลังสองจินตภาพ รวมถึงฟิลด์เหล่านั้นที่เกิดจากการรวมจำนวนตรรกยะกับรากที่สองของ −1, −2, −3 หรือ −5 สำหรับฟิลด์กำลังสองในจินตภาพอื่นๆ พวกเขาสามารถพิสูจน์ความเป็นโมดูลสำหรับเส้นโค้งวงรีจำนวนมาก แต่ไม่ใช่ทั้งหมด (ความเป็นโมดูลาร์ของการถือครองยังคงเป็นคำถามเปิด)

ผลลัพธ์ของพวกเขาเป็นพื้นฐานสำหรับการตรวจสอบคำถามพื้นฐานบางอย่างเกี่ยวกับเส้นโค้งวงรีเหนือสนามกำลังสองในจินตภาพที่นักคณิตศาสตร์ไล่ตามเหตุผลและจำนวนจริง ซึ่งรวมถึงทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ในเวอร์ชันจินตภาพ แม้ว่าจะต้องมีการวางรากฐานเพิ่มเติมก่อนที่จะเข้าถึงได้ และเวอร์ชันจินตภาพของ Birch และ Swinnerton-Dyer Conjecture

แต่ถ้านักคณิตศาสตร์ก้าวหน้าในที่ใดที่หนึ่ง Caraiani จะไม่เป็นส่วนหนึ่งของมัน — อย่างน้อยก็ไม่ใช่ในตอนนี้ หลังจากทำงานหลายปีเกี่ยวกับโมดูลาร์ของเส้นโค้งวงรี เธอก็พร้อมที่จะลองอย่างอื่นแล้ว

“ถ้าฉันได้รับผลลัพธ์ในทิศทางเดียว ฉันก็ไม่ชอบที่จะทำงานในทิศทางนั้นต่อไปเท่านั้น” เธอกล่าว “ตอนนี้ฉันเปลี่ยนความสนใจไปเป็นสิ่งที่มีกลิ่นอายเรขาคณิตมากขึ้น”

การแก้ไข: กรกฎาคม 6, 2023
เดิมทีบทความนี้กล่าวไว้ว่าไม่มีสูตรทั่วไปสำหรับการแก้สมการพหุนามที่มีเลขชี้กำลังสูงสุดเป็น 4 หรือสูงกว่า ตัวเลขที่ถูกต้องคือ 5 บทความได้รับการแก้ไขแล้ว