นักคณิตศาสตร์เรื่องความคิดสร้างสรรค์ ศิลปะ ตรรกะ และภาษา | นิตยสารควอนต้า

Claire Voisin ใช้เวลานานในการตกหลุมรักคณิตศาสตร์

ไม่ได้หมายความว่าเธอเคยไม่ชอบเรื่องนี้ เธอเติบโตมาในฝรั่งเศส ซึ่งเป็นลูกคนที่ 10 จากทั้งหมด 12 คน เธอสนุกกับการใช้เวลาหลายชั่วโมงในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์กับพ่อของเธอซึ่งเป็นวิศวกร เมื่ออายุได้ 12 ปี เธอเริ่มอ่านหนังสือพีชคณิตระดับมัธยมปลายด้วยตัวเอง โดยหลงใหลในคำจำกัดความและข้อพิสูจน์ที่แสดงอยู่ในหน้าต่างๆ “มีโครงสร้างทั้งหมดนี้” เธอกล่าว “พีชคณิตเป็นทฤษฎีเกี่ยวกับโครงสร้างจริงๆ”

แต่เธอไม่ได้มองว่าคณิตศาสตร์เป็นการโทรตลอดชีวิต จนกระทั่งช่วงเรียนมหาวิทยาลัย เธอจึงตระหนักได้ว่าสิ่งนี้ลึกซึ้งและสวยงามเพียงใด และเธอก็สามารถค้นพบสิ่งใหม่ๆ ได้ ก่อนหน้านั้น เธอสนใจความสนใจหลายประการอย่างจริงจังนอกเหนือจากคณิตศาสตร์ เช่น ปรัชญา จิตรกรรม และกวีนิพนธ์ (“ตอนที่ฉันอายุ 20 ฉันคิดว่าฉันเรียนแค่คณิตศาสตร์และวาดภาพเท่านั้น นั่นอาจจะมากเกินไปนิดหน่อย” เธอหัวเราะ) เมื่ออายุ 20 ต้นๆ คณิตศาสตร์ได้เข้ามาแทนที่ทุกสิ่งทุกอย่าง แต่ภาพวาดและบทกวียังคงมีอิทธิพลต่อเธอ เธอมองว่าคณิตศาสตร์เป็นศิลปะ และเป็นช่องทางในการผลักดันและเล่นกับขีดจำกัดของภาษา

หลายทศวรรษต่อมา หลังจากที่เป็นผู้นำในสาขาเรขาคณิตพีชคณิต Voisin ก็มีเวลาอีกครั้งในการวาดภาพและทำประติมากรรมดินเหนียว อย่างไรก็ตาม คณิตศาสตร์ยังคงครองความสนใจส่วนใหญ่ของเธอต่อไป เธอชอบที่จะใช้เวลาสำรวจ "โลกที่แตกต่าง" ที่ซึ่ง "มันเหมือนกับว่าคุณกำลังฝันอยู่"

Voisin เป็นนักวิจัยอาวุโสที่ศูนย์วิจัยวิทยาศาสตร์แห่งชาติฝรั่งเศสในกรุงปารีส ที่นั่น เธอศึกษาพีชคณิตแบบต่างๆ ซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นรูปร่างที่กำหนดโดยชุดสมการพหุนาม วิธีที่วงกลมถูกกำหนดโดยพหุนาม x² + y² = 1. เธอเป็นหนึ่งในผู้เชี่ยวชาญชั้นแนวหน้าของโลกในทฤษฎีฮอดจ์ ซึ่งเป็นชุดเครื่องมือที่นักคณิตศาสตร์ใช้เพื่อศึกษาคุณสมบัติที่สำคัญของพันธุ์พีชคณิต

Voisin ได้รับรางวัลมากมายจากผลงานของเธอ รวมถึง Clay Research Award ในปี 2008, Heinz Hopf Prize ในปี 2015 และ Shaw Prize สาขาคณิตศาสตร์ในปี 2017 ในเดือนมกราคม เธอกลายเป็นผู้หญิงคนแรกที่ได้รับรางวัล Crafoord Prize ในปี คณิตศาสตร์.

ควอนตั้ม พูดคุยกับ Voisin เกี่ยวกับธรรมชาติที่สร้างสรรค์ของคณิตศาสตร์ บทสัมภาษณ์ได้รับการย่อและเรียบเรียงเพื่อความชัดเจน

คุณชอบวิชาคณิตศาสตร์ตั้งแต่เด็กๆ แต่ไม่คิดว่าตัวเองจะเรียนวิชานี้ ทำไมจะไม่ล่ะ?

ความมหัศจรรย์ของการพิสูจน์คืออารมณ์ที่คุณรู้สึกเมื่อคุณเข้าใจมัน เมื่อคุณตระหนักว่ามันแข็งแกร่งแค่ไหน และมันทำให้คุณแข็งแกร่งแค่ไหน ตอนเด็กๆ ฉันเห็นสิ่งนี้แล้ว และฉันก็สนุกกับสมาธิที่คณิตศาสตร์ต้องการ เป็นสิ่งที่เมื่ออายุมากขึ้น ฉันพบว่าเป็นศูนย์กลางของการฝึกคณิตศาสตร์มากขึ้นเรื่อยๆ โลกที่เหลือก็หายไป สมองทั้งหมดของคุณมีไว้เพื่อศึกษาปัญหา มันเป็นประสบการณ์ที่ไม่ธรรมดา เป็นสิ่งที่สำคัญมากสำหรับฉัน การได้ออกจากโลกแห่งสิ่งที่ใช้ได้จริง และไปอยู่ในโลกที่แตกต่าง บางทีนี่อาจเป็นเหตุผลว่าทำไมลูกชายของฉันถึงชอบเล่นวิดีโอเกมมาก

แต่สิ่งที่ทำให้ฉันมาสายคณิตศาสตร์ในบางแง่ก็คือ ฉันไม่สนใจเกมเลย มันไม่ใช่สำหรับฉัน และในโรงเรียนมัธยมปลาย คณิตศาสตร์ก็รู้สึกเหมือนเป็นเกม มันยากสำหรับฉันที่จะจริงจัง ฉันไม่เห็นความลึกของคณิตศาสตร์ในตอนแรก แม้ว่าฉันจะเริ่มค้นพบข้อพิสูจน์และทฤษฎีบทที่น่าสนใจมากหลังจบมัธยมปลาย ฉันก็ไม่เคยคิดเลยว่าฉันจะประดิษฐ์บางสิ่งขึ้นมาเองได้ และฉันก็จะทำให้มันเป็นของฉันได้

ฉันมีความต้องการบางอย่างที่ลึกซึ้งกว่า จริงจังกว่านี้ บางอย่างที่ฉันสามารถทำให้เป็นของฉันได้

ก่อนที่คุณจะพบสิ่งนั้นในวิชาคณิตศาสตร์ คุณหามันมาจากไหน?

ฉันชอบปรัชญาและการยืนกรานต่อแนวคิดเรื่องแนวคิด นอกจากนี้ จนกระทั่งฉันอายุประมาณ 22 ฉันใช้เวลาส่วนใหญ่ในการวาดภาพ โดยเฉพาะชิ้นงานที่เป็นรูปเป็นร่างซึ่งได้รับแรงบันดาลใจจากเรขาคณิต และฉันชอบบทกวีมาก — ผลงานของ Mallarmé, Baudelaire, René Char ฉันอาศัยอยู่ในโลกที่แตกต่างออกไปแล้ว แต่นั่นเป็นเรื่องปกติ ฉันคิดว่าเมื่อคุณอายุน้อยกว่า

แต่คณิตศาสตร์มีความสำคัญมากขึ้นเรื่อยๆ มันต้องใช้สมองของคุณทั้งหมดจริงๆ เมื่อคุณไม่ได้อยู่ที่โต๊ะเพื่อแก้ไขปัญหาเฉพาะเจาะจง จิตใจของคุณยังคงยุ่งอยู่ ดังนั้น ยิ่งฉันทำคณิตศาสตร์มากเท่าไหร่ ฉันก็ยิ่งวาดน้อยลงเท่านั้น ฉันเพิ่งเริ่มวาดภาพอีกครั้ง ตอนนี้ลูกๆ ของฉันออกจากบ้านหมดแล้ว และฉันมีเวลามากขึ้น

อะไรทำให้คุณตัดสินใจทุ่มเทพลังสร้างสรรค์ส่วนใหญ่ให้กับวิชาคณิตศาสตร์ในท้ายที่สุด

คณิตศาสตร์เริ่มน่าสนใจสำหรับฉันมากขึ้นเรื่อยๆ ในฐานะปริญญาโทและปริญญาเอก นักเรียน ฉันค้นพบว่าคณิตศาสตร์แห่งศตวรรษที่ 20 เป็นสิ่งที่ลึกซึ้งและพิเศษมาก มันเป็นโลกแห่งความคิดและแนวความคิด ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต มีการปฏิวัติอันโด่งดังซึ่งนำโดยอเล็กซานเดอร์ โกรเธนดิเอค แม้กระทั่งก่อนที่ Grothendieck ก็มีผลลัพธ์ที่น่าเหลือเชื่อ จึงเป็นสาขาล่าสุดที่มีแนวคิดที่สวยงามแต่ก็ทรงพลังอย่างยิ่ง ทฤษฎีฮอดจ์ซึ่งฉันศึกษาอยู่ก็เป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีนั้น

มันชัดเจนมากขึ้นเรื่อยๆ ว่าชีวิตของฉันอยู่ที่นั่น แน่นอนว่าฉันมีชีวิตครอบครัว — สามีและลูกห้าคน — และมีหน้าที่และกิจกรรมอื่นๆ แต่ฉันตระหนักว่าด้วยคณิตศาสตร์ ฉันสามารถสร้างบางสิ่งบางอย่างได้ ฉันสามารถอุทิศชีวิตให้กับมันได้ เพราะมันสวยงามมาก ตระการตา และน่าสนใจมาก

คุณเคยเขียนมาก่อนแล้วว่าคณิตศาสตร์เป็นความพยายามเชิงสร้างสรรค์อย่างไร

ฉันเป็นนักคณิตศาสตร์มืออาชีพ ดังนั้นวันทำงานของฉันจึงจัดขึ้นอย่างเป็นทางการเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ ฉันนั่งอยู่ที่โต๊ะ ฉันทำงานโดยใช้คอมพิวเตอร์ แต่กิจกรรมทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ของฉันไม่ได้เกิดขึ้นในช่วงเวลานั้น คุณต้องมีแนวคิดใหม่ คำจำกัดความที่ดี ข้อความที่คุณคิดว่าคุณจะสามารถใช้ประโยชน์ได้ เมื่อนั้นงานของคุณก็สามารถเริ่มต้นได้ และนั่นจะไม่เกิดขึ้นเมื่อฉันอยู่ที่โต๊ะ ฉันต้องทำตามใจของฉันเพื่อให้ตัวเองคิด

ดูเหมือนว่าคณิตศาสตร์เป็นเรื่องส่วนตัวสำหรับคุณ คุณค้นพบอะไรเกี่ยวกับตัวเองในกระบวนการนี้หรือไม่?

ในการทำคณิตศาสตร์ ส่วนใหญ่ฉันต้องต่อสู้กับตัวเอง เพราะว่าฉันยุ่งวุ่นวายมาก ฉันไม่มีระเบียบวินัยมากนัก และฉันก็มักจะรู้สึกหดหู่ด้วย ฉันไม่คิดว่ามันจะง่าย แต่สิ่งที่ฉันค้นพบคือในบางครั้ง เช่น ในตอนเช้ากับอาหารเช้า หรือเมื่อฉันเดินไปตามถนนในปารีส หรือทำอะไรบางอย่างที่ไร้เหตุผล เช่น ทำความสะอาด สมองของฉันเริ่มทำงานด้วยตัวเอง ฉันรู้ว่าฉันกำลังคิดเกี่ยวกับคณิตศาสตร์โดยไม่ได้ตั้งใจ มันเหมือนกับว่าคุณกำลังฝัน ฉันอายุ 62 ปี และฉันไม่มีวิธีการที่แท้จริงในการทำคณิตศาสตร์ดีๆ ฉันยังคงรอเวลาที่ฉันได้รับแรงบันดาลใจไม่มากก็น้อย

คุณทำงานกับวัตถุที่เป็นนามธรรมมาก — ด้วยช่องว่างมิติสูง พร้อมโครงสร้างที่เป็นไปตามสมการที่ซับซ้อน คุณคิดอย่างไรเกี่ยวกับโลกนามธรรมเช่นนี้?

จริงๆ แล้วมันไม่ได้ยากขนาดนั้น คำจำกัดความที่เป็นนามธรรมที่สุด เมื่อคุณคุ้นเคยแล้ว ก็จะไม่ใช่นามธรรมอีกต่อไป เปรียบเสมือนภูเขาที่สวยงามที่มองเห็นได้ดีมากเพราะอากาศแจ่มใสและมีแสงที่ทำให้คุณมองเห็นรายละเอียดได้ครบถ้วน สำหรับเรา วัตถุทางคณิตศาสตร์ที่เราศึกษาดูเป็นรูปธรรม เพราะเรารู้จักวัตถุเหล่านั้นดีกว่าสิ่งอื่นใด

แน่นอนว่ามีหลายสิ่งที่ต้องพิสูจน์ และเมื่อคุณเริ่มเรียนรู้บางสิ่งบางอย่าง คุณอาจต้องทนทุกข์ทรมานเพราะสิ่งที่เป็นนามธรรม แต่เมื่อคุณใช้ทฤษฎี — เพราะคุณเข้าใจทฤษฎีบท — คุณจะรู้สึกใกล้ชิดกับวัตถุนั้นมาก แม้ว่าพวกมันจะเป็นนามธรรมก็ตาม ด้วยการเรียนรู้เกี่ยวกับวัตถุ จัดการมัน และนำไปใช้ในการโต้แย้งทางคณิตศาสตร์ ในที่สุดพวกมันก็กลายเป็นเพื่อนของคุณ

และนี่ยังต้องมองจากมุมมองที่ต่างกันด้วยเหรอ?

เดิมทีฉันไม่ได้เรียนเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ฉันทำงานในเชิงวิเคราะห์ที่ซับซ้อนและเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ในเรขาคณิตวิเคราะห์ คุณจะศึกษาคลาสของฟังก์ชันที่ใหญ่กว่ามากและรูปร่างที่กำหนดโดยฟังก์ชันเหล่านั้นในเครื่อง โดยปกติแล้วพวกมันจะไม่มีสมการโดยรวม ไม่เหมือนในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต

ฉันไม่ได้ใส่ใจกับมุมมองพีชคณิตมากเกินไปในตอนแรก แต่ยิ่งฉันอายุมากขึ้นและทำงานในด้านนี้มากขึ้น ฉันก็ยิ่งเห็นความจำเป็นที่จะต้องมีสองภาษาที่แตกต่างกันนี้มากขึ้น

มีทฤษฎีบทอันเหลือเชื่อที่เรียกว่า GAGA ซึ่งเป็นเรื่องตลกเล็กน้อย มันหมายถึง "ชรา" ในภาษาฝรั่งเศส แต่ก็ย่อมาจาก géometrie algébrique และ géométrie analytique. มันบอกว่าคุณสามารถถ่ายทอดจากภาษาหนึ่งไปอีกภาษาหนึ่งได้ คุณสามารถคำนวณในเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ที่ซับซ้อนได้หากทำได้ง่ายกว่า จากนั้นกลับมาที่เรขาคณิตเชิงพีชคณิตอีกครั้ง

ในบางครั้ง เรขาคณิตเชิงพีชคณิตเปิดโอกาสให้คุณศึกษาปัญหาในรูปแบบอื่นที่ให้ผลลัพธ์ที่ไม่ธรรมดา ฉันได้ทำงานเพื่อทำความเข้าใจเรขาคณิตพีชคณิตโดยรวม แทนที่จะมุ่งความสนใจไปที่ด้านเรขาคณิตที่ซับซ้อนเท่านั้น

น่าสนใจที่คุณคิดว่าสิ่งเหล่านี้เป็นภาษาทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกัน

ภาษาเป็นสิ่งจำเป็น ก่อนคณิตศาสตร์ต้องมีภาษา ตรรกะมากมายอยู่ในภาษาอยู่แล้ว เรามีกฎตรรกะทั้งหมดนี้ในคณิตศาสตร์: ปริมาณ การปฏิเสธ วงเล็บเพื่อระบุลำดับที่ถูกต้องของการดำเนินการ แต่สิ่งสำคัญคือต้องตระหนักว่ากฎเหล่านี้ซึ่งมีความสำคัญสำหรับนักคณิตศาสตร์นั้นมีอยู่ในภาษาประจำวันของเราแล้ว

คุณสามารถเปรียบเทียบทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์กับบทกวีได้ มันเขียนด้วยคำพูด มันเป็นผลิตภัณฑ์ของภาษา เรามีวัตถุทางคณิตศาสตร์ของเราเพียงเพราะเราใช้ภาษาเพราะเราใช้คำในชีวิตประจำวันและให้ความหมายที่เฉพาะเจาะจงแก่พวกมัน ดังนั้นคุณจึงสามารถเปรียบเทียบบทกวีและคณิตศาสตร์ได้ โดยที่ทั้งสองพึ่งพาภาษาอย่างสมบูรณ์แต่ยังคงสร้างสิ่งใหม่ๆ

คุณสนใจคณิตศาสตร์เพราะการปฏิวัติเรขาคณิตพีชคณิตของ Grothendieck เขาได้สร้างภาษาใหม่สำหรับการทำคณิตศาสตร์ประเภทนี้ขึ้นมา

ขวา.

มีวิธีใดบ้างที่ภาษาทางคณิตศาสตร์ที่คุณใช้อยู่อาจยังจำเป็นต้องเปลี่ยนแปลงหรือไม่

นักคณิตศาสตร์ปรับปรุงภาษาของตนอยู่เสมอ น่าเสียดาย เพราะมันทำให้เอกสารเก่าๆ อ่านยาก แต่เราแก้ไขคณิตศาสตร์ในอดีตใหม่เพราะเราเข้าใจมันดีขึ้น มันทำให้เรามีวิธีเขียนและพิสูจน์ทฤษฎีบทได้ดีขึ้น นี่เป็นกรณีของ Grothendieck โดยการประยุกต์ใช้ cohomology ของมัดกับเรขาคณิต มันน่าตื่นเต้นจริงๆ

สิ่งสำคัญคือต้องทำความคุ้นเคยกับสิ่งที่คุณเรียน จนถึงจุดที่มันเหมือนกับภาษาแม่ของคุณ เมื่อทฤษฎีเริ่มก่อตัวขึ้น จะต้องใช้เวลาในการหาคำจำกัดความที่ถูกต้อง และทำให้ทุกอย่างง่ายขึ้น หรือบางทีมันอาจจะยังซับซ้อนมาก แต่เราคุ้นเคยกับคำจำกัดความและวัตถุมากขึ้น มันจะเป็นธรรมชาติมากขึ้นที่จะใช้มัน

มันเป็นวิวัฒนาการอย่างต่อเนื่อง เราต้องเขียนใหม่และลดความซับซ้อนอย่างต่อเนื่อง เพื่อตั้งทฤษฎีเกี่ยวกับสิ่งที่สำคัญ และเครื่องมือใดบ้างที่จะทำให้พร้อมใช้งาน

คุณต้องแนะนำคำจำกัดความใหม่ในงานของคุณหรือไม่?

บางครั้ง. ใน งานที่ฉันทำ กับ ยาโนส โคลลาร์มีจุดเปลี่ยนที่ในที่สุดเราก็สามารถค้นพบมุมมองที่ถูกต้องของปัญหาได้ - ผ่านคำจำกัดความที่แน่นอน นี่เป็นปัญหาคลาสสิกมาก และเราทำงานกับเครื่องมือคลาสสิก แต่การพิสูจน์ของเรานั้นอิงตามคำจำกัดความที่เราตั้งไว้จริงๆ

ในอีกกรณีหนึ่ง โอลิวิเย่ร์ เดบาร์เร่, แดเนียล ไฮเบรชท์ส, เอ็มมานูเอเล มาครี และฉันก็พิสูจน์ได้ว่าเป็นคนดี ผลการจำแนกประเภท เกี่ยวกับวัตถุที่เรียกว่าท่อร่วมไฮเปอร์-คาห์เลอร์ และจุดเริ่มต้นของการพิสูจน์นั้นคือการแนะนำค่าคงที่ซึ่งเดิมเราเรียกว่า “a.” [หัวเราะ.]

คุณอาจดูถูกดูแคลนความสำคัญของคำจำกัดความในวิชาคณิตศาสตร์ แต่คุณไม่ควรทำ

คำจำกัดความและภาษาไม่ใช่สิ่งเดียวที่เป็นแนวทางในวิชาคณิตศาสตร์ การคาดเดาก็เช่นกันซึ่งอาจจริงหรือไม่ก็ได้ ตัวอย่างเช่น คุณได้ทำงานมากมายเกี่ยวกับการคาดเดาของฮอดจ์ ซึ่งเป็นปัญหาสหัสวรรษดินเหนียวซึ่งมีวิธีแก้ปัญหามาพร้อมกับ รางวัล 1 ล้านเหรียญ.

สมมติว่าคุณมีความหลากหลายทางพีชคณิตที่คุณต้องการเข้าใจ ดังนั้นคุณจึงไปที่ด้านเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ที่ซับซ้อน และพิจารณาว่าเป็นสิ่งที่เรียกว่าท่อร่วมที่ซับซ้อนแทน คุณสามารถนึกถึงความหลากหลายที่ซับซ้อนในแง่ของรูปร่างโดยรวมหรือโทโพโลยี มีวัตถุที่เรียกว่า homology ซึ่งให้ข้อมูลทอพอโลยีมากมายเกี่ยวกับท่อร่วมหลายเท่า แต่มันไม่ง่ายเลยที่จะกำหนด

ตอนนี้ให้พิจารณาตัวแปรย่อยพีชคณิตภายในความหลากหลายดั้งเดิมของคุณ แต่ละรายการจะมีข้อมูลทอพอโลยีที่ไม่แปรเปลี่ยนและมีข้อมูลทอพอโลยีบางอย่างที่เกี่ยวข้องกัน ส่วนใดของความคล้ายคลึงของท่อร่วมเชิงซ้อนที่สามารถได้รับจากการดูค่าคงที่ของทอพอโลยีเหล่านี้

การคาดเดาของฮอดจ์ให้คำตอบที่เฉพาะเจาะจง และคำตอบนั้นลึกซึ้งมาก

นักคณิตศาสตร์จึงไม่แน่ใจว่าการคาดเดาของฮอดจ์จะกลายเป็นจริงหรือเท็จ?

คุณอยากจะเชื่อเรื่องการคาดเดาของฮอดจ์ เพราะมันเป็นแนวทางในทฤษฎีสำคัญๆ ในเรขาคณิตพีชคณิต

คุณคงอยากเข้าใจคุณสมบัติหลักของความหลากหลายพีชคณิตจริงๆ และถ้าการคาดเดาของฮอดจ์เป็นจริง นั่นจะทำให้คุณควบคุมเรขาคณิตของความหลากหลายได้อย่างเหลือเชื่อ คุณจะได้รับข้อมูลที่สำคัญมากเกี่ยวกับโครงสร้างของพันธุ์ต่างๆ

มีเหตุผลหนักแน่นบางประการที่ต้องเชื่อในเรื่องนี้ กรณีเฉพาะของการคาดเดาของฮอดจ์เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว และมีข้อความเชิงลึกมากมายเกี่ยวกับพีชคณิตที่หลากหลายซึ่งบอกเป็นนัยว่าการคาดเดาของฮอดจ์นั้นเป็นเรื่องจริง

แต่ยังไม่มีความคืบหน้าในการพิสูจน์เลย ฉันยังพิสูจน์ด้วยว่าไม่มีทางที่จะขยายการคาดเดาของฮอดจ์ไปสู่ฉากอื่นที่ดูเป็นธรรมชาติได้ นั่นจึงเป็นเรื่องที่น่าตกใจเล็กน้อย

หลังจากทำงานเป็นนักคณิตศาสตร์มาหลายทศวรรษ ตอนนี้คุณรู้สึกว่าคุณกำลังทำคณิตศาสตร์อย่างลึกซึ้งยิ่งขึ้นหรือไม่?

ตอนนี้ฉันอายุมากขึ้นแล้ว ฉันมีเวลามากขึ้นที่จะทุ่มเทให้กับวิชาคณิตศาสตร์ เพื่อจะได้อยู่กับคณิตศาสตร์จริงๆ ฉันมีความสามารถที่ดีกว่าในการไปที่นี่และที่นั่น ในอดีตอาจเป็นเพราะว่าฉันมีเวลาน้อยลง ฉันจึงมีความคล่องตัวน้อยลง ถึงแม้จะเคลื่อนที่มากเกินไป แค่สัมผัสปัญหาโดยไม่ยึดติดกับปัญหาก็ไม่ดีเช่นกัน ตอนนี้ฉันมีประสบการณ์มากขึ้นและฉันก็สามารถสร้างภาพของตัวเองได้

คุณมีภาพที่ดีขึ้นมากเกี่ยวกับสิ่งที่คุณไม่รู้ เกี่ยวกับปัญหาที่เปิดอยู่ คุณมีมุมมองโดยละเอียดเกี่ยวกับเขตข้อมูลและขอบเขตของคุณ การแก่ตัวลงจะต้องมีข้อดีบางประการ และยังมีอีกมากที่ต้องทำ