คณิตศาสตร์ลึกลับของโต๊ะบิลเลียด | นิตยสารควอนต้า

ในภาพยนตร์ของดิสนีย์ปี 1959 โดนัลด์ในดินแดน Mathmagic, โดนัลด์ ดั๊ก โดยได้รับแรงบันดาลใจจากคำอธิบายเรขาคณิตของบิลเลียดของผู้บรรยาย ตีลูกคิวอย่างกระตือรือร้นโดยส่งมันแฉลบไปรอบโต๊ะก่อนที่จะโดนลูกบอลที่ตั้งใจไว้ในที่สุด โดนัลด์ถามว่า “คุณชอบวิชาคณิตศาสตร์ได้ยังไง”

เนื่องจากโต๊ะบิลเลียดทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีกำแพงสี่ด้านมาบรรจบกันเป็นมุมฉาก วิถีการเล่นบิลเลียดเช่นโดนัลด์จึงสามารถคาดเดาได้และเข้าใจได้ดี แม้ว่าในทางปฏิบัติจะทำได้ยากก็ตาม อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์วิจัยยังคงไม่สามารถตอบคำถามพื้นฐานเกี่ยวกับวิถีที่เป็นไปได้ของลูกบิลเลียดบนโต๊ะที่มีรูปร่างเป็นรูปหลายเหลี่ยมอื่นๆ (รูปร่างที่มีด้านแบน) แม้แต่รูปสามเหลี่ยมซึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุดก็ยังมีความลึกลับอยู่

เป็นไปได้ไหมที่จะตีลูกบอลเพื่อให้มันกลับไปยังจุดเริ่มต้นที่เคลื่อนที่ไปในทิศทางเดียวกัน ทำให้เกิดสิ่งที่เรียกว่าวงโคจรคาบ? ไม่มีใครรู้. สำหรับรูปทรงอื่นๆ ที่ซับซ้อนกว่า ไม่ทราบว่าสามารถตีลูกบอลจากจุดใดจุดหนึ่งบนโต๊ะไปยังจุดอื่นๆ บนโต๊ะได้หรือไม่

แม้ว่าคำถามเหล่านี้ดูเหมือนจะเข้ากันได้ดีกับขอบเขตของเรขาคณิตตามที่สอนกันในโรงเรียนมัธยมปลาย แต่ความพยายามที่จะแก้ปัญหาเหล่านี้ทำให้นักคณิตศาสตร์ชั้นแนวหน้าของโลกบางคนต้องนำแนวคิดจากสาขาที่แตกต่างกัน รวมถึงระบบไดนามิก โทโพโลยี และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ เช่นเดียวกับปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่อื่นๆ การทำงานกับปัญหาเหล่านี้ได้ก่อให้เกิดคณิตศาสตร์ใหม่ๆ และได้ป้อนกลับเข้าสู่ความรู้ขั้นสูงในสาขาอื่นๆ เหล่านั้น แม้จะมีความพยายามทั้งหมดนี้และความเข้าใจที่ลึกซึ้งของคอมพิวเตอร์ยุคใหม่ได้นำมาปฏิบัติ แต่ปัญหาที่ดูเหมือนตรงไปตรงมาเหล่านี้กลับต่อต้านการแก้ปัญหาอย่างดื้อรั้น

นี่คือสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ได้เรียนรู้เกี่ยวกับบิลเลียดนับตั้งแต่การยิงลูกที่พันกันอย่างยิ่งใหญ่ของโดนัลด์ ดั๊ก

โดยทั่วไปแล้วพวกเขาจะสันนิษฐานว่าลูกบิลเลียดของพวกเขาเป็นจุดเล็กไร้ขอบเขต ไร้มิติ และกระเด้งออกจากผนังด้วยความสมมาตรที่สมบูรณ์แบบ โดยออกไปในมุมเดียวกับที่มันมาถึง ดังที่แสดงด้านล่าง

โดยไม่มีการเสียดสี ลูกบอลจะเคลื่อนที่ไปเรื่อยๆ เว้นแต่จะถึงมุม ซึ่งจะหยุดลูกบอลเหมือนกระเป๋า เหตุผลที่บิลเลียดเป็นเรื่องยากมากที่จะวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ก็เพราะว่าการตีสองนัดที่เกือบจะเหมือนกันทั้งสองช็อตลงที่ด้านใดด้านหนึ่งของมุมนั้นอาจมีวิถีที่เบี่ยงเบนไปอย่างมาก

วิธีสำคัญในการวิเคราะห์บิลเลียดหลายเหลี่ยมไม่ใช่การคิดว่าลูกบอลกระเด้งออกจากขอบโต๊ะ แต่แทนที่จะจินตนาการว่าทุกครั้งที่ลูกบอลชนกำแพง ลูกบอลจะเคลื่อนที่เข้าไปในโต๊ะตัวใหม่ที่พลิกคว่ำ ขอบทำให้เกิดภาพสะท้อน กระบวนการนี้ (ดูด้านล่าง) เรียกว่าการคลี่เส้นทางบิลเลียด ช่วยให้ลูกบอลดำเนินต่อไปในวิถีเส้นตรง ด้วยการพับโต๊ะที่จินตนาการไว้กลับเข้าหาเพื่อนบ้าน คุณสามารถนำวิถีที่แท้จริงของลูกบอลกลับมาได้ เคล็ดลับทางคณิตศาสตร์นี้ทำให้สามารถพิสูจน์สิ่งต่างๆ เกี่ยวกับวิถีที่อาจมองเห็นได้ยาก

ตัวอย่างเช่น สามารถใช้เพื่อแสดงว่าเหตุใดตารางสี่เหลี่ยมธรรมดาจึงมีวิถีคาบเป็นอนันต์ผ่านทุกจุด ข้อโต้แย้งที่คล้ายกันใช้ได้กับสี่เหลี่ยมผืนผ้าใดๆ แต่เพื่อความเป็นรูปธรรม ลองจินตนาการถึงตารางที่มีความกว้างเป็นสองเท่าของความยาว

สมมติว่าคุณต้องการหาวงโคจรคาบที่ตัดผ่านตาราง n ครั้งในทิศทางยาวและ m ครั้งในทิศทางสั้น เนื่องจากภาพสะท้อนในกระจกแต่ละรูปของสี่เหลี่ยมนั้นสอดคล้องกับลูกบอลที่กระดอนออกจากกำแพง เพื่อให้ลูกบอลกลับไปยังจุดเริ่มต้นที่เคลื่อนที่ไปในทิศทางเดียวกัน วิถีของมันจะต้องข้ามโต๊ะเป็นจำนวนเลขคู่ในทั้งสองทิศทาง ดังนั้น m และ n จะต้องเท่ากัน วางตารางสี่เหลี่ยมที่เหมือนกัน โดยแต่ละอันถือเป็นภาพสะท้อนของเพื่อนบ้าน วาดส่วนของเส้นตรงจากจุดบนโต๊ะต้นฉบับไปยังจุดที่เหมือนกันบนสำเนา n โต๊ะห่างออกไปและ m โต๊ะห่างออกไปในทิศทางสั้นๆ ปรับจุดเดิมเล็กน้อยหากเส้นทางผ่านมุม นี่คือตัวอย่างที่ n = 2 และ m = 6. เมื่อพับกลับขึ้น เส้นทางจะสร้างวิถีโคจรเป็นคาบ ดังที่แสดงในสี่เหลี่ยมสีเขียว

อสมการสามเหลี่ยม

บิลเลียดในรูปสามเหลี่ยมซึ่งไม่มีรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่สวยงามจะมีความซับซ้อนมากกว่า ดังที่คุณอาจจำได้จากเรขาคณิตของโรงเรียนมัธยมปลาย มีสามเหลี่ยมหลายประเภท ได้แก่ สามเหลี่ยมเฉียบพลัน ซึ่งมุมภายในทั้งสามมุมน้อยกว่า 90 องศา; สามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมีมุม 90 องศา และสามเหลี่ยมป้านซึ่งมีมุมหนึ่งมุมมากกว่า 90 องศา

โต๊ะบิลเลียดที่มีรูปร่างเหมือนสามเหลี่ยมแหลมและสามเหลี่ยมมุมฉากจะมีวิถีเป็นคาบ แต่ไม่มีใครรู้ว่าสามเหลี่ยมป้านจะเหมือนกันหรือไม่

หากต้องการค้นหาวิถีโคจรเป็นคาบในรูปสามเหลี่ยมเฉียบพลัน ให้ลากเส้นตั้งฉากจากจุดยอดแต่ละจุดไปยังด้านตรงข้าม ดังที่เห็นทางซ้ายด้านล่าง รวมจุดที่มุมขวาเกิดเป็นรูปสามเหลี่ยมดังที่เห็นทางด้านขวา

สามเหลี่ยมที่จารึกไว้นี้เป็นวิถีบิลเลียดคาบที่เรียกว่าวงโคจรแฟญญาโน ซึ่งตั้งชื่อตามจิโอวานนี แฟญญาโน ซึ่งในปี พ.ศ. 1775 แสดงให้เห็นว่าสามเหลี่ยมนี้มีเส้นรอบวงเล็กที่สุดในบรรดาสามเหลี่ยมที่จารึกไว้ทั้งหมด

ในช่วงต้นทศวรรษ 1990 Fred Holt จากมหาวิทยาลัย Washington และ เกรกอรี กัลเปริน และผู้ร่วมงานของเขาที่ Moscow State University อิสระ แสดงให้เห็นว่า ว่าสามเหลี่ยมมุมฉากทุกอันมีวงโคจรเป็นคาบ วิธีง่ายๆ วิธีหนึ่งในการแสดงสิ่งนี้คือการสะท้อนสามเหลี่ยมรอบขาข้างหนึ่งแล้วสะท้อนอีกข้างหนึ่ง ดังที่แสดงด้านล่าง

เริ่มต้นด้วยวิถีโคจรที่อยู่ในมุมฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก (ด้านยาวของสามเหลี่ยม) ด้านตรงข้ามมุมฉากและการสะท้อนที่สองนั้นขนานกัน ดังนั้นส่วนของเส้นตั้งฉากที่เชื่อมเข้าด้วยกันนั้นสอดคล้องกับวิถีที่จะเด้งไปมาตลอดไป: ลูกบอลเคลื่อนออกจากด้านตรงข้ามมุมฉากที่มุมฉาก, กระเด้งออกจากขาทั้งสองข้าง, กลับสู่ด้านตรงข้ามมุมฉากทางด้านขวา มุมแล้วย้อนเส้นทางของมัน

แต่สามเหลี่ยมป้านยังคงเป็นปริศนา ในรายงานปี 1992 กัลเปรินและผู้ร่วมงานของเขาได้คิดค้นวิธีต่างๆ มากมายในการสะท้อนสามเหลี่ยมป้านในลักษณะที่ให้คุณสร้างวงโคจรเป็นคาบได้ แต่วิธีการดังกล่าวใช้ได้เฉพาะบางกรณีพิเศษเท่านั้น ต่อมาในปี 2008 ริชาร์ด ชวาร์ตซ์ ที่มหาวิทยาลัยบราวน์ได้แสดงรูปสามเหลี่ยมป้านทั้งหมดด้วย มุม 100 องศาหรือน้อยกว่า มีวิถีเป็นระยะ วิธีการของเขาเกี่ยวข้องกับการแยกปัญหาออกเป็นหลายกรณี และยืนยันแต่ละกรณีโดยใช้คณิตศาสตร์แบบดั้งเดิมและความช่วยเหลือทางคอมพิวเตอร์ ในปี 2018 Jacob Garber, Boyan Marinov เคนเน็ธ มัวร์ และ George Tokarsky จากมหาวิทยาลัยอัลเบอร์ตา ขยายเกณฑ์นี้ สูงถึง 112.3 องศา (โทการ์สกี้ และมารินอฟ) ใช้เวลากว่าทศวรรษ ไล่ตามเป้าหมายนี้)

การเลี้ยวโทโพโลยี

อีกวิธีหนึ่งได้ถูกนำมาใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่าถ้ามุมทั้งหมดมีเหตุผล กล่าวคือ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ สามเหลี่ยมป้านที่มีมุมใหญ่กว่านั้นจะต้องมีวิถีโคจรเป็นคาบ แทนที่จะคัดลอกรูปหลายเหลี่ยมบนระนาบเรียบ วิธีการนี้จะแมปสำเนาของรูปหลายเหลี่ยมบนพื้นผิวโทโพโลยี โดยโดนัทที่มีรูหนึ่งรูหรือมากกว่านั้น

หากคุณสะท้อนสี่เหลี่ยมผืนผ้าบนด้านสั้น แล้วสะท้อนสี่เหลี่ยมทั้งสองข้างบนด้านที่ยาวที่สุด โดยสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้าดั้งเดิมสี่แบบ จากนั้นติดด้านบนและด้านล่างเข้าด้วยกัน และด้านซ้ายและขวาเข้าด้วยกัน คุณจะได้ทำโดนัท หรือพรู ดังภาพด้านล่าง วิถีบิลเลียดบนโต๊ะสอดคล้องกับวิถีบนพรูและในทางกลับกัน

ในบทความสำคัญปี 1986 ฮาวเวิร์ด มาเซอร์ ใช้เทคนิคนี้เพื่อแสดงว่าตารางรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมดที่มีมุมตรรกยะมีวงโคจรเป็นคาบ วิธีการของเขาไม่เพียงได้ผลกับสามเหลี่ยมป้านเท่านั้น แต่ยังใช้กับรูปร่างที่ซับซ้อนกว่ามาก เช่น โต๊ะ 100 ด้านที่ไม่ปกติ หรือรูปหลายเหลี่ยมที่มีผนังซิกแซ็กทำให้เกิดซอกและซอกมุม มีวงโคจรเป็นคาบ ตราบใดที่มุมต่างๆ มีเหตุผล

ค่อนข้างน่าทึ่ง การมีอยู่ของวงโคจรคาบเดียวในรูปหลายเหลี่ยมแสดงถึงการมีอยู่ของวงโคจรมากมายอย่างไม่สิ้นสุด การเปลี่ยนวิถีเพียงเล็กน้อยก็จะทำให้เกิดตระกูลวิถีคาบที่เกี่ยวข้องกัน

ปัญหาเรื่องแสงสว่าง

รูปร่างที่มีซอกมุมทำให้เกิดคำถามที่เกี่ยวข้องกัน แทนที่จะถามเกี่ยวกับวิถีที่กลับไปยังจุดเริ่มต้น ปัญหานี้ถามว่าวิถีสามารถเยี่ยมชมทุกจุดบนโต๊ะที่กำหนดได้หรือไม่ สิ่งนี้เรียกว่าปัญหาการส่องสว่างเพราะเราสามารถคิดได้โดยการจินตนาการถึงลำแสงเลเซอร์ที่สะท้อนจากผนังกระจกที่ล้อมรอบโต๊ะบิลเลียด เราถามว่าเมื่อให้จุดสองจุดบนโต๊ะใดโต๊ะหนึ่ง คุณสามารถฉายแสงเลเซอร์ (ซึ่งเหมาะเป็นลำแสงที่บางไร้ขอบเขต) จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งได้ตลอดเวลาหรือไม่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าเราวางหลอดไฟซึ่งส่องสว่างไปทุกทิศทุกทางพร้อมกัน ณ จุดใดจุดหนึ่งบนโต๊ะ มันจะสว่างไปทั้งห้องหรือไม่?

มีการวิจัยหลักสองสายเกี่ยวกับปัญหานี้: การค้นหารูปร่างที่ไม่สามารถส่องสว่างได้ และการพิสูจน์ว่ารูปร่างประเภทใหญ่สามารถเป็นได้ ในขณะที่การค้นหารูปทรงลูกแปลกที่ไม่สามารถส่องสว่างได้สามารถทำได้โดยใช้คณิตศาสตร์ง่ายๆ อย่างชาญฉลาด แต่การพิสูจน์ว่ารูปทรงจำนวนมากสามารถส่องสว่างได้นั้นทำได้โดยการใช้กลไกทางคณิตศาสตร์ที่มีน้ำหนักมากเท่านั้น

ใน 1958, โรเจอร์เพนโรสซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ที่คว้าชัยชนะมาได้สำเร็จ 2020 รางวัลโนเบลในสาขาฟิสิกส์พบตารางโค้งซึ่งจุดใดจุดหนึ่งในพื้นที่หนึ่งไม่สามารถส่องสว่างจุดใดในพื้นที่อื่นได้ เป็นเวลาหลายทศวรรษแล้วที่ไม่มีใครสามารถคิดรูปหลายเหลี่ยมที่มีคุณสมบัติเหมือนกันได้ แต่ในปี 1995 Tokarsky ใช้ข้อเท็จจริงง่ายๆ เกี่ยวกับสามเหลี่ยมเพื่อสร้างรูปหลายเหลี่ยม 26 ด้านแบบบล็อกซึ่งมีจุดสองจุดที่เข้าไม่ถึงร่วมกัน ดังที่แสดงด้านล่าง นั่นคือลำแสงเลเซอร์ที่ยิงจากจุดหนึ่งไม่ว่าจะมีทิศทางใดก็ตาม จะไม่สามารถชนอีกจุดหนึ่งได้

แนวคิดหลักที่ Tokarsky ใช้ในการสร้างโต๊ะพิเศษของเขาคือ หากลำแสงเลเซอร์เริ่มต้นที่มุมแหลมมุมใดมุมหนึ่งในรูปสามเหลี่ยม 45°-45°-90° ก็ไม่สามารถกลับไปที่มุมนั้นได้

โต๊ะหยักของเขาทำจากสามเหลี่ยมดังกล่าว 29 ชิ้น จัดเรียงเพื่อใช้ข้อเท็จจริงข้อนี้อย่างชาญฉลาด ในปี 2019 อามิท โวเลคกี้จากนั้นเป็นนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาที่มหาวิทยาลัยเทลอาวีฟ ได้ใช้เทคนิคเดียวกันนี้กับ ผลิตรูปร่าง มี 22 ด้าน (แสดงด้านล่าง) ซึ่งเขาพิสูจน์แล้วว่าเป็นจำนวนด้านที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้สำหรับรูปร่างที่มีจุดภายในสองจุดที่ไม่ส่องสว่างซึ่งกันและกัน

การพิสูจน์ผลลัพธ์ในทิศทางอื่นนั้นยากกว่ามาก ในปี 2014 Maryam Mirzakhani นักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด กลายเป็นผู้หญิงคนแรกที่ คว้าเหรียญรางวัลฟิลด์สซึ่งเป็นรางวัลอันทรงเกียรติที่สุดของคณิตศาสตร์ สำหรับงานของเธอเกี่ยวกับปริภูมิโมดูลัสของพื้นผิวรีมันน์ ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของโดนัทที่มาซูร์เคยแสดงให้เห็นว่าตารางรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมดที่มีมุมตรรกยะมีวงโคจรเป็นคาบ ในปี 2016 ซามูเอล เลลิแยฟร์ ของมหาวิทยาลัยปารีส-ซาเคลย์ เธียร์รี่ มอนเตล ของศูนย์วิจัยวิทยาศาสตร์แห่งชาติฝรั่งเศสและ บารัค ไวส์ ของมหาวิทยาลัยเทลอาวีฟใช้ผลลัพธ์ของ Mirzakhani จำนวนหนึ่ง เพื่อที่จะแสดง จุดใดๆ ในรูปหลายเหลี่ยมตรรกยะจะส่องสว่างทุกจุด ยกเว้นจำนวนที่มีจำกัด อาจมีจุดมืดแยกจากกัน (เช่นในตัวอย่างของ Tokarsky และ Wolecki) แต่ไม่มีบริเวณมืดเหมือนในตัวอย่าง Penrose ซึ่งมีผนังโค้งแทนที่จะเป็นเส้นตรง ใน บทความของ Wolecki ปี 2019เขาเสริมความแข็งแกร่งให้กับผลลัพธ์นี้ด้วยการพิสูจน์ว่ามีจุดที่ไม่สามารถส่องสว่างได้เพียงไม่กี่คู่เท่านั้น

ที่น่าเศร้าใจ มีร์ซาคานีเสียชีวิต ในปี 2017 ในวัย 40 ปี หลังจากต่อสู้กับโรคมะเร็ง งานของเธอดูเหมือนห่างไกลจากการเล่นกลช็อตในห้องโถงริมสระน้ำ แต่การวิเคราะห์วิถีบิลเลียดแสดงให้เห็นว่าแม้แต่คณิตศาสตร์ที่เป็นนามธรรมที่สุดก็สามารถเชื่อมต่อกับโลกที่เราอาศัยอยู่ได้อย่างไร