ความลึกลับเชิงตัวเลขจากศตวรรษที่ 19 ได้รับการแก้ไขในที่สุด

ในช่วงต้นทศวรรษ 1950 กลุ่มนักวิจัยจาก Institute for Advanced Study ได้เริ่มดำเนินการโครงการเทคโนโลยีขั้นสูง ที่ คำสั่ง ของ John von Neumann และ Herman Goldstine นักฟิสิกส์ Hedvig Selberg ได้ตั้งโปรแกรมคอมพิวเตอร์หลอดสุญญากาศ 1,700 หลอดของ IAS เพื่อคำนวณผลรวมทางคณิตศาสตร์ที่น่าสงสัยซึ่งมีต้นกำเนิดย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 18

ผลรวมดังกล่าวเกี่ยวข้องกับผลรวมเกาส์กำลังสอง ซึ่งตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชื่อคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ เกาส์จะเลือกจำนวนเฉพาะ pจากนั้นให้รวมตัวเลขในรูปแบบ $latex e^{frac{2iπn^2}{p}}$ นับตั้งแต่ก่อตั้งขึ้น ผลรวมเกาส์กำลังสองได้พิสูจน์แล้วว่ามีค่าสำหรับงานต่างๆ เช่น การนับคำตอบของสมการบางประเภท “กลายเป็นว่าผลรวมของเกาส์นั้นวิเศษมาก พวกเขาแค่ทำสิ่งมหัศจรรย์เพื่อพระเจ้าเท่านั้นที่รู้ว่าเหตุผลใด” กล่าว เจฟฟรีย์ ฮอฟฟ์สไตน์นักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยบราวน์

ในช่วงกลางศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Ernst Eduard Kummer กำลังทดลองกับญาติสนิทของผลรวมเกาส์กำลังสองเหล่านี้ โดยที่ n² ในเลขยกกำลังจะถูกแทนที่ด้วย an n³. Kummer สังเกตเห็นว่าพวกเขามักจะรวบรวมค่าเฉพาะที่ใกล้เคียงในระดับที่น่าประหลาดใจ ซึ่งเป็นข้อสังเกตที่เฉียบแหลมที่จะนำไปสู่การสืบเสาะหาความรู้ในทฤษฎีจำนวนนับศตวรรษ

ถ้าผลรวมของเกาส์ลูกบาศก์ไม่ได้ถูกปรับปรุงใหม่ให้เป็นสูตรที่ง่ายขึ้น ค่าของผลรวมของเกาส์จะสรุปได้ยาก ขาดสูตรดังกล่าว Kummer ตั้งเป้าหมายที่จะคำนวณผลรวมของเกาส์ลูกบาศก์ - และคำนวณและคำนวณ “มันเป็นเรื่องธรรมดามากที่พวกเขาจะทำการคำนวณแบบฮีโร่แบบนี้ด้วยมือในตอนนั้น” กล่าว แมทธิวหนุ่มนักคณิตศาสตร์แห่ง Texas A&M University หลังจากไถผลรวม 45 ตัว ซึ่งตรงกับจำนวนเฉพาะที่ไม่สำคัญ 45 ตัวแรก ในที่สุด Kummer ก็ยอมแพ้

จากการสำรวจผลลัพธ์ของเขา Kummer สังเกตเห็นบางสิ่งที่น่าสนใจ ในทางทฤษฎี ผลรวมอาจเป็นค่าอะไรก็ได้ระหว่าง −1 ถึง 1 (หลังจาก "ทำให้เป็นมาตรฐาน" แล้ว - หารด้วยค่าคงที่ที่เหมาะสม) แต่เมื่อเขาคำนวณ เขาพบว่าพวกมันถูกแจกจ่ายด้วยวิธีที่แปลก ผลลัพธ์ครึ่งหนึ่งอยู่ระหว่าง ½ ถึง 1 และมีเพียงหนึ่งในหกเท่านั้นที่อยู่ระหว่าง −1 ถึง −½ พวกมันดูเหมือนจะกระจุกประมาณ 1

คูมเมอร์แสดงข้อสังเกตของเขาพร้อมกับการคาดเดา: ถ้าคุณสามารถวางแผนผลรวมเกาส์จำนวนไม่จำกัดจำนวนอนันต์ทั้งหมดได้ คุณจะเห็นผลรวมส่วนใหญ่อยู่ระหว่าง ½ ถึง 1; น้อยกว่าระหว่าง −½ และ ½; และยังน้อยกว่าระหว่าง −1 ถึง −½

Selberg, von Neumann และ Goldstine ได้ทำการทดสอบสิ่งนี้กับคอมพิวเตอร์เครื่องแรกของพวกเขา เซลเบิร์กตั้งโปรแกรมให้คำนวณผลรวมเกาส์แบบลูกบาศก์สำหรับจำนวนเฉพาะที่ไม่สำคัญทั้งหมดที่น้อยกว่า 10,000 — ประมาณ 600 ผลรวมทั้งหมด (โกลด์สไทน์และฟอน นอยมันน์จะเขียนบทความนี้ต่อไป การมีส่วนร่วมของเธอจะจบลงด้วยการปฏิเสธในตอนท้าย) พวกเขาค้นพบว่าเมื่อจำนวนเฉพาะมีขนาดใหญ่ขึ้น ผลรวมที่ได้มาตรฐานก็มีแนวโน้มที่จะกระจุกตัวใกล้กับ 1 น้อยลงด้วย ด้วยหลักฐานที่น่าเชื่อถือว่าการคาดเดาของ Kummer นั้นผิด นักคณิตศาสตร์จึงเริ่มพยายามทำความเข้าใจผลรวมของเกาส์แบบลูกบาศก์ด้วยวิธีที่ลึกซึ้งกว่าการคำนวณเพียงอย่างเดียว

กระบวนการนั้นเสร็จสมบูรณ์แล้ว ในปี พ.ศ. 1978 นักคณิตศาสตร์ ซามูเอล แพตเตอร์สัน หาทางออกให้กับความลึกลับทางคณิตศาสตร์ของ Kummer แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ จากนั้นฤดูใบไม้ร่วงที่แล้ว นักคณิตศาสตร์สองคนจากสถาบันเทคโนโลยีแห่งแคลิฟอร์เนียได้พิสูจน์การคาดเดาของแพตเตอร์สัน ในที่สุดก็ปิดความคิดของคูมเมอร์ในปี 1846 ได้

Patterson เริ่มติดปัญหาครั้งแรกเมื่อเป็นนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาที่มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ในปี 1970 การคาดเดาของเขาได้รับแรงบันดาลใจจากสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อตัวเลขถูกสุ่มวางไว้ที่ใดก็ได้ระหว่าง −1 ถึง 1 หากคุณรวมกัน N ของตัวเลขสุ่มเหล่านี้ ขนาดทั่วไปของผลรวมจะเป็น $latexsqrt{N}$ (อาจเป็นบวกหรือลบก็ได้) ในทำนองเดียวกัน ถ้าผลบวกลูกบาศก์เกาส์กระจายเท่าๆ กันตั้งแต่ −1 ถึง 1 คุณก็คาดหวังได้ N ของพวกเขารวมกันได้ประมาณ $latexsqrt{N}$

เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ Patterson จึงรวมเข้าด้วยกัน N ผลรวมของเกาส์ลูกบาศก์โดยไม่สนใจ (ในขณะนี้) ข้อกำหนดในการยึดติดกับจำนวนเฉพาะ เขาพบว่าผลรวมอยู่รอบๆ N^5/6 — ใหญ่กว่า $latexsqrt{N}$ (ซึ่งสามารถเขียนเป็น N^1/2) แต่น้อยกว่า N. ค่านี้บอกเป็นนัยว่าผลรวมมีลักษณะเหมือนตัวเลขสุ่ม แต่ด้วยแรงที่อ่อนแอกดดันให้มีค่าเป็นบวก เรียกว่าอคติ เช่น N ใหญ่ขึ้นเรื่อย ๆ การสุ่มจะเริ่มครอบงำอคติ ดังนั้นถ้าคุณดูที่ผลบวกเกาส์จำนวนอนันต์ทั้งหมดพร้อมกัน พวกมันจะดูกระจายเท่า ๆ กัน

สิ่งนี้ดูเหมือนจะอธิบายทุกอย่าง: การคำนวณของ Kummer แสดงอคติ เช่นเดียวกับการคำนวณของ IAS ที่หักล้างกัน

แต่ Patterson ไม่สามารถคำนวณจำนวนเฉพาะได้เช่นเดียวกัน ดังนั้นในปี 1978 เขาจึงเขียนอย่างเป็นทางการเป็น การคาดเดา: ถ้าคุณบวกผลรวมเกาส์แบบลูกบาศก์สำหรับจำนวนเฉพาะ คุณก็จะได้ค่าเท่ากัน N^5/6 พฤติกรรม

ไม่นานหลังจากพูดคุยเกี่ยวกับงานของเขาเกี่ยวกับปัญหา Kummer แพตเตอร์สันได้รับการติดต่อจากนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาชื่อ Roger Heath-Brown ซึ่งแนะนำเทคนิคต่างๆ จากทฤษฎีจำนวนเฉพาะ ทั้งสองร่วมมือกันและในไม่ช้า การตีพิมพ์ ล่วงหน้าเกี่ยวกับปัญหา แต่พวกเขายังไม่สามารถแสดงได้ว่า Patterson ทำนายไว้ N^5/6 อคตินั้นแม่นยำสำหรับจำนวนเฉพาะ

ในช่วงหลายทศวรรษต่อมา มีความคืบหน้าเล็กน้อย ในที่สุดในช่วงเปลี่ยนสหัสวรรษ Heath-Brown ก็ทำอีก ความก้าวหน้าซึ่งเครื่องมือที่เขาพัฒนาขึ้นเรียกว่าตะแกรงขนาดใหญ่แบบลูกบาศก์มีบทบาทสำคัญ

ในการใช้ตะแกรงขนาดใหญ่แบบลูกบาศก์ ฮีธ-บราวน์ใช้ชุดการคำนวณเพื่อเชื่อมโยงผลรวมของผลรวมลูกบาศก์เกาส์กับผลรวมที่แตกต่างกัน ด้วยเครื่องมือนี้ ฮีธ-บราวน์สามารถแสดงให้เห็นว่าถ้าคุณบวกผลบวกลูกบาศก์เกาส์สำหรับจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า Nผลลัพธ์ไม่สามารถยิ่งใหญ่กว่า N^5/6. แต่เขาคิดว่าเขาสามารถทำได้ดีกว่านี้—ตัวตะแกรงเองก็สามารถปรับปรุงได้ ถ้าทำได้ มันจะลดขอบเขตลงเหลือ N^5/6 ดังนั้นจึงเป็นการพิสูจน์การคาดเดาของ Patterson ในบรรทัดข้อความสั้นๆ เขาร่างสิ่งที่เขาคิดว่าสูตรที่ดีที่สุดสำหรับตะแกรงควรเป็นอย่างไร

แม้ว่าจะมีเครื่องมือใหม่นี้อยู่ในมือ แต่นักคณิตศาสตร์ก็ไม่สามารถก้าวหน้าต่อไปได้ จากนั้นอีกสองทศวรรษต่อมา การพบกันที่โชคดีระหว่างนักศึกษาหลังปริญญาเอกของคาลเทค อเล็กซานเดอร์ ดันน์ และผู้บังคับบัญชาของเขา มักซิม ราดซิวิล เป็นจุดเริ่มต้นของจุดจบ ก่อน Dunn จะเริ่มตำแหน่งในเดือนกันยายน 2020 Radziwiłłเสนอให้พวกเขาทำงานร่วมกันในการคาดเดาของ Patterson แต่ด้วยการระบาดใหญ่ของโควิด-19 การวิจัยและการสอนยังคงดำเนินต่อไปทางไกล ในที่สุด ในเดือนมกราคม 2021 โอกาสหรือโชคชะตาก็เข้ามาแทรกแซงเมื่อนักคณิตศาสตร์สองคนบังเอิญเจอกันในลานจอดรถเมืองพาซาดีนา “เราคุยกันอย่างจริงใจ และเราตกลงกันว่าเราควรเริ่มพบปะและพูดคุยเรื่องคณิตศาสตร์” Dunn เขียนในอีเมล เมื่อถึงเดือนมีนาคม พวกเขาทำงานอย่างขยันขันแข็งเพื่อพิสูจน์การคาดเดาของแพตเตอร์สัน

Dunn กล่าวว่า "การทำงานเป็นเรื่องที่น่าตื่นเต้น แต่มีความเสี่ยงสูงมาก “ฉันจำได้ว่าฉันมาที่ออฟฟิศตอนตี 5 ทุกเช้าติดต่อกันเป็นเวลาสี่หรือห้าเดือน”

Dunn และ Radziwiłł เช่น Heath-Brown ก่อนหน้าพวกเขาพบว่าตะแกรงขนาดใหญ่ลูกบาศก์เป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้ในการพิสูจน์ของพวกเขา แต่ขณะที่พวกเขาใช้สูตรที่ฮีธ-บราวน์เขียนลงในกระดาษปี 2000 ซึ่งเป็นสูตรที่เขาเชื่อว่าเป็นตะแกรงที่ดีที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ซึ่งเป็นการคาดเดาที่ชุมชนทฤษฎีจำนวนเชื่อว่าเป็นความจริง พวกเขาจึงตระหนักว่ามีบางอย่างไม่ถูกต้อง . “เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า 1 = 2 หลังจากทำงานที่ซับซ้อนมาก” Radziwiłł กล่าว

ณ จุดนั้น Radziwiłł แน่ใจว่าความผิดพลาดเป็นของพวกเขา “ฉันค่อนข้างมั่นใจว่าโดยพื้นฐานแล้วเรามีข้อผิดพลาดในการพิสูจน์ของเรา” ดันน์โน้มน้าวใจเขาเป็นอย่างอื่น ไม่สามารถปรับปรุงตะแกรงขนาดใหญ่แบบลูกบาศก์ซึ่งตรงกันข้ามกับที่คาดไว้

ด้วยความถูกต้องของตะแกรงขนาดใหญ่ทรงลูกบาศก์ Dunn และ Radziwiłł จึงปรับวิธีการใหม่ให้เข้ากับการคาดคะเนของ Patterson ครั้งนี้พวกเขาทำสำเร็จ

“ฉันคิดว่านั่นเป็นเหตุผลหลักว่าทำไมไม่มีใครทำเช่นนี้ เพราะการคาดเดา [Heath-Brown] นี้ทำให้ทุกคนเข้าใจผิด” Radziwiłł กล่าว “ฉันคิดว่าถ้าฉันบอกฮีธ-บราวน์ว่าการคาดเดาของเขาผิด เขาก็น่าจะรู้แล้วว่าควรทำอย่างไร”

Dunn และ Radziwiłł โพสต์บทความของพวกเขาเมื่อวันที่ 15 กันยายน 2021 ท้ายที่สุดแล้ว การพิสูจน์ของพวกเขาอาศัยสมมติฐานทั่วไปของ Riemann ซึ่งเป็นการคาดเดาทางคณิตศาสตร์ที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ที่มีชื่อเสียง แต่นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ มองว่านี่เป็นเพียงข้อเสียเปรียบเล็กน้อยเท่านั้น “เราต้องการจะกำจัดสมมติฐาน แต่เรามีความสุขที่ได้ผลลัพธ์ที่มีเงื่อนไขอยู่แล้ว” กล่าว ฮีธ-บราวน์ซึ่งปัจจุบันเป็นศาสตราจารย์เกียรติคุณที่มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด

สำหรับ Heath-Brown ผลงานของ Dunn และ Radziwiłł เป็นมากกว่าข้อพิสูจน์ถึงการคาดเดาของ Patterson ด้วยข้อมูลเชิงลึกที่คาดไม่ถึงเกี่ยวกับตะแกรงขนาดใหญ่แบบลูกบาศก์ เอกสารของพวกเขาจึงจบลงอย่างน่าประหลาดใจในเรื่องราวที่เขาเป็นส่วนหนึ่งมานานหลายทศวรรษ “ผมดีใจที่ไม่ได้เขียนในกระดาษว่า 'ผมแน่ใจว่าใครก็สามารถกำจัดสิ่งนี้ได้'” เขากล่าว โดยอ้างถึงเศษตะแกรงที่ Dunn และ Radziwiłł ค้นพบว่าเป็นสิ่งจำเป็น “ฉันแค่พูดว่า 'คงจะดีถ้ามีคนกำจัดสิ่งนี้ได้ ดูเหมือนว่าคุณน่าจะทำได้' และฉันคิดผิด—ไม่ใช่ครั้งแรก”