'A-Team' ของคณิตศาสตร์พิสูจน์ความเชื่อมโยงที่สำคัญระหว่างการบวกและเซต | นิตยสารควอนต้า

ในชุดตัวเลขที่สุ่มเลือก การบวกอาจเพิ่มได้

เมื่อนำทุกคู่จากชุดดังกล่าวมารวมกัน แล้วคุณจะพบรายการใหม่ที่มีแนวโน้มว่าจะมีตัวเลขมากกว่าที่คุณเริ่มไว้มาก เริ่มต้นด้วยตัวเลขสุ่ม 10 ตัว และรายการใหม่นี้ (เรียกว่าผลรวม) จะมีองค์ประกอบประมาณ 50 ตัว เริ่มต้นด้วย 100 และผลรวมน่าจะอยู่ที่ประมาณ 5,000 สุ่มตัวเลขเริ่มต้น 1,000 ตัว ผลรวมจะยาวได้ 500,000 ตัว

แต่หากเซตเริ่มต้นของคุณมีโครงสร้าง ผลรวมอาจมีตัวเลขน้อยกว่านี้ พิจารณาชุดเลข 10 อีกชุด คือ เลขคู่ทั้งหมดตั้งแต่ 2 ถึง 20 เพราะคู่ที่ต่างกันจะบวกกันเป็นเลขเดียวกัน - 10 + 12 เท่ากับ 8 + 14 และ 6 + 16 - ผลรวมมีเพียง 19 หลัก ไม่ใช่ 50. ความแตกต่างนี้จะลึกซึ้งมากขึ้นเรื่อยๆ เมื่อฉากมีขนาดใหญ่ขึ้น รายการแบบมีโครงสร้างจำนวน 1,000 หมายเลขอาจมีผลรวมที่มีเพียง 2,000 หมายเลขเท่านั้น

ในทศวรรษ 1960 นักคณิตศาสตร์ชื่อ เกรกอรี ไฟรแมน เริ่มตรวจสอบเซตที่มีผลรวมจำนวนน้อยในความพยายามที่จะตรวจสอบความเชื่อมโยงระหว่างการบวกและโครงสร้างเซต ซึ่งเป็นความเชื่อมโยงที่สำคัญที่กำหนดขอบเขตทางคณิตศาสตร์ของการบวกเชิงบวก ไฟรแมนมีความก้าวหน้าที่น่าประทับใจ โดยพิสูจน์ว่าเซตที่มีผลรวมขนาดเล็กจะต้องบรรจุอยู่ในเซตที่ใหญ่กว่าซึ่งมีองค์ประกอบต่างๆ อยู่ในระยะห่างในรูปแบบที่สม่ำเสมอมาก แต่แล้วสนามก็หยุดนิ่ง “ข้อพิสูจน์ดั้งเดิมของไฟรแมนนั้นเข้าใจยากเป็นพิเศษ จนถึงจุดที่ไม่มีใครแน่ใจจริงๆ ว่ามันถูกต้อง ดังนั้นมันจึงไม่มีผลกระทบอย่างที่อาจมีจริงๆ” กล่าว ทิโมธี โกเวอร์สเป็นนักคณิตศาสตร์ที่ Collège de France และมหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ และผู้ชนะเลิศสาขา Fields "แต่แล้ว อิมเร รุซซ่า ลุกลามไปที่เกิดเหตุ”

ในชุดของ สอง เอกสาร ในคริสต์ทศวรรษ 1990 Ruzsa ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทของ Freiman อีกครั้งด้วยข้อโต้แย้งใหม่ที่สง่างาม ไม่กี่ปีต่อมา, คาทาลิน มาร์ตันนักคณิตศาสตร์ผู้มีอิทธิพลชาวฮังการีซึ่งเสียชีวิตในปี 2019 ได้ปรับเปลี่ยนคำถามว่าผลรวมเล็กๆ น้อยๆ มีความหมายอย่างไรเกี่ยวกับโครงสร้างของเซตดั้งเดิม เธอเปลี่ยนประเภทขององค์ประกอบที่ปรากฏในเซตและประเภทของโครงสร้างที่นักคณิตศาสตร์ควรมองหา โดยคิดว่าจะช่วยให้นักคณิตศาสตร์สามารถดึงข้อมูลได้มากขึ้น การคาดเดาของมาร์ตันมีความเชื่อมโยงกับระบบการพิสูจน์ ทฤษฎีการเข้ารหัส และวิทยาการเข้ารหัสลับ และครองตำแหน่งอันสูงส่งในด้านบวกเชิงผสม

การคาดเดาของเธอ “รู้สึกเหมือนเป็นหนึ่งในสิ่งพื้นฐานที่สุดที่เราไม่เข้าใจ” กล่าว เบน กรีนเป็นนักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด มัน “เป็นการสนับสนุนหลายสิ่งที่ฉันสนใจ”

กรีนผนึกกำลังกับโกเวอร์ส เฟรดดี้ มารยาท แห่งมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย ซานดิเอโก และ เทอเรนซ์เต๋าผู้ชนะเลิศ Fields จากมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย ลอสแองเจลีส เพื่อสร้างสิ่งที่นักคณิตศาสตร์และบล็อกเกอร์ชาวอิสราเอล กิล คาไล เรียกว่า “ทีม” ของนักคณิตศาสตร์ พวกเขาพิสูจน์เวอร์ชันของการคาดเดาในกระดาษ แชร์เมื่อวันที่ 9 พฤศจิกายน.

เน็ตแคทซ์นักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยไรซ์ซึ่งไม่ได้เกี่ยวข้องกับงานชิ้นนี้ อธิบายว่าข้อพิสูจน์นี้ "ตรงไปตรงมาอย่างสวยงาม" และ "ไม่มากก็น้อยโดยปราศจากความเข้าใจผิดเลย"

เทาจึงเริ่มต้นความพยายามในการจัดทำหลักฐานอย่างเป็นทางการ ยันซึ่งเป็นภาษาโปรแกรมที่ช่วยให้นักคณิตศาสตร์ตรวจสอบทฤษฎีบทได้ ในเวลาเพียงไม่กี่สัปดาห์ ความพยายามนั้นก็สำเร็จ เช้าวันอังคารที่ 5 ธันวาคม เต๋าประกาศ. ลีนได้พิสูจน์การคาดเดาโดยไม่ต้อง "ขออภัย" ซึ่งเป็นข้อความมาตรฐานที่ปรากฏขึ้นเมื่อคอมพิวเตอร์ไม่สามารถยืนยันขั้นตอนบางอย่างได้ นี่คือการใช้งานดังกล่าวอย่างมีรายละเอียดสูงสุด เครื่องมือตรวจสอบตั้งแต่ปี 2021และเป็นจุดเปลี่ยนของวิธีที่นักคณิตศาสตร์เขียนการพิสูจน์ในรูปแบบที่คอมพิวเตอร์สามารถเข้าใจได้ หากเครื่องมือเหล่านี้กลายเป็นเรื่องง่ายเพียงพอสำหรับนักคณิตศาสตร์ที่จะใช้ เครื่องมือเหล่านั้นอาจสามารถทดแทนกระบวนการตรวจสอบโดยผู้ทรงคุณวุฒิซึ่งมักจะใช้เวลานานและเป็นภาระได้ Gowers กล่าว

ส่วนผสมของการพิสูจน์เคี่ยวมานานหลายทศวรรษ Gowers เริ่มก้าวแรกในช่วงต้นทศวรรษ 2000 แต่ต้องใช้เวลาถึง 20 ปีในการพิสูจน์สิ่งที่กะไลเรียกว่า "จอกศักดิ์สิทธิ์" ของทุ่งนา

ในกลุ่ม

เพื่อให้เข้าใจการคาดเดาของมาร์ตัน ควรทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของกลุ่ม ซึ่งเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยเซตและการดำเนินการ ลองนึกถึงจำนวนเต็ม — ชุดตัวเลขที่ไม่มีที่สิ้นสุด — และการดำเนินการบวก ทุกครั้งที่คุณบวกจำนวนเต็มสองตัวเข้าด้วยกัน คุณจะได้จำนวนเต็มอีกจำนวนหนึ่ง นอกจากนี้ ยังปฏิบัติตามกฎอื่นๆ สองสามข้อของการดำเนินการกลุ่ม เช่น การเชื่อมโยง ซึ่งช่วยให้คุณเปลี่ยนลำดับการดำเนินการได้: 3 + (5 + 2) = (3 + 5) + 2

ภายในกลุ่ม บางครั้งคุณจะพบชุดเล็กๆ ที่ตรงตามคุณสมบัติของกลุ่มทั้งหมดได้ ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณบวกเลขคู่สองตัว คุณจะได้เลขคู่อีกตัวหนึ่ง จำนวนคู่เป็นกลุ่มของตัวมันเอง ทำให้พวกมันเป็นกลุ่มย่อยของจำนวนเต็ม ในทางตรงกันข้าม เลขคี่ไม่ใช่กลุ่มย่อย หากคุณบวกเลขคี่สองตัวเข้าด้วยกัน คุณจะได้เลขคู่ — ไม่ใช่ในชุดเดิม แต่คุณสามารถหาเลขคี่ทั้งหมดได้โดยการบวก 1 เข้ากับเลขคู่ทุกตัว กลุ่มย่อยที่ถูกเลื่อนเช่นนี้เรียกว่า coset ไม่มีคุณสมบัติทั้งหมดของกลุ่มย่อย แต่ยังคงรักษาโครงสร้างของกลุ่มย่อยไว้หลายประการ ตัวอย่างเช่น เช่นเดียวกับเลขคู่ เลขคี่ล้วนเว้นระยะเท่ากัน

มาร์ตันคิดว่าถ้าคุณมีชุดที่เราจะเรียก A ประกอบด้วยองค์ประกอบกลุ่มซึ่งผลรวมไม่ได้ใหญ่กว่ามากนัก A ก็มีกลุ่มย่อยอยู่บ้าง — เรียกมันว่า G - ด้วยคุณสมบัติพิเศษ กะ G สองสามครั้งเพื่อสร้างชุดคอสตูม และชุดคอสตูมเหล่านั้นเมื่อนำมารวมกันจะมีชุดดั้งเดิมอยู่ A. ยิ่งไปกว่านั้น เธอคิดว่าจำนวนโคเซ็ตไม่ได้เติบโตเร็วกว่าขนาดของผลรวมมากนัก เธอเชื่อว่ามันควรจะสัมพันธ์กันด้วยตัวประกอบพหุนาม ซึ่งตรงข้ามกับการเติบโตแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลที่เร็วกว่ามาก

นี่อาจฟังดูเหมือนเป็นความอยากรู้อยากเห็นทางเทคนิคสูง แต่เพราะมันเกี่ยวข้องกับการทดสอบง่ายๆ จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อคุณเพิ่มองค์ประกอบเพียงสองรายการในชุด? — สำหรับโครงสร้างโดยรวมของกลุ่มย่อย เป็นสิ่งสำคัญมากสำหรับนักคณิตศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ แนวคิดทั่วไปเดียวกันนี้จะปรากฏขึ้นเมื่อนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์พยายามเข้ารหัสข้อความ เพื่อให้คุณสามารถถอดรหัสข้อความได้เพียงเล็กน้อยในแต่ละครั้ง นอกจากนี้ยังปรากฏในหลักฐานที่ตรวจสอบได้ซึ่งน่าจะเป็นรูปแบบการพิสูจน์ที่นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์สามารถตรวจสอบได้โดยการตรวจสอบข้อมูลเพียงไม่กี่ชิ้นเท่านั้น ในแต่ละกรณีเหล่านี้ คุณจะทำงานกับจุดเพียงไม่กี่จุดในโครงสร้าง — ถอดรหัสเพียงไม่กี่บิตจากข้อความยาวๆ หรือตรวจสอบส่วนเล็กๆ ของการพิสูจน์ที่ซับซ้อน — และสรุปบางสิ่งเกี่ยวกับโครงสร้างที่ใหญ่กว่าและสูงกว่า

“คุณสามารถแกล้งทำเป็นว่าทุกอย่างเป็นกลุ่มย่อยขนาดใหญ่ของกลุ่มก็ได้” กล่าว ทอมแซนเดอร์อดีตนักเรียนของ Gowers ซึ่งปัจจุบันเป็นเพื่อนร่วมงานของ Green's ที่ Oxford หรือคุณอาจ “ได้ทุกสิ่งที่คุณต้องการจากการมีอยู่ของความบังเอิญที่เพิ่มเติมเข้ามามากมาย มุมมองทั้งสองนี้มีประโยชน์”

รุซซา ตีพิมพ์การคาดเดาของมาร์ตันในปี 1999โดยให้เครดิตเธอเต็มจำนวน “เธอคาดเดาได้โดยอิสระจากฉันและไฟรแมน และอาจจะอยู่ตรงหน้าเราด้วย” เขากล่าว “เพราะฉะนั้นเมื่อฉันคุยกับเธอ ฉันจึงตัดสินใจเรียกมันว่าการคาดเดาของเธอ” อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์ในปัจจุบันเรียกสิ่งนี้ว่าการคาดเดาพหุนาม Freiman-Ruzsa หรือ PFR

ศูนย์และคน

กลุ่มก็เหมือนกับวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่มีรูปแบบที่แตกต่างกันมากมาย มาร์ตันคิดว่าการคาดเดาของเธอเป็นจริงสำหรับทุกกลุ่ม สิ่งนี้ยังไม่ได้แสดง รายงานฉบับใหม่นี้พิสูจน์ให้เห็นถึงกลุ่มบางประเภท ซึ่งใช้เป็นรายการองค์ประกอบที่เป็นเลขฐานสอง เช่น (0, 1, 1, 1, 0) เนื่องจากคอมพิวเตอร์ทำงานในรูปแบบไบนารี กลุ่มนี้จึงมีความสำคัญอย่างยิ่งในวิทยาการคอมพิวเตอร์ แต่ยังมีประโยชน์ในการบวกเชิงผสมอีกด้วย “มันเหมือนกับฉากของเล่นที่คุณสามารถเล่นและลองทำสิ่งต่างๆ ได้” แซนเดอร์สกล่าว “พีชคณิตดีกว่ามาก” กว่าการทำงานกับจำนวนเต็ม เขากล่าวเสริม

รายการมีความยาวคงที่ และแต่ละบิตสามารถเป็น 0 หรือ 1 ได้ คุณรวมเข้าด้วยกันโดยเพิ่มแต่ละรายการลงในรายการอื่นในรายการอื่น โดยมีกฎว่า 1 + 1 = 0 ดังนั้น (0, 1, 1, 1 , 0) + (1, 1, 1, 1, 1) = (1, 0, 0, 0, 1) PFR คือความพยายามที่จะค้นหาว่าชุดจะมีหน้าตาเป็นอย่างไร หากชุดนั้นไม่ได้ค่อนข้างเป็นกลุ่มย่อยแต่มีคุณสมบัติคล้ายกลุ่มบางอย่าง

เพื่อให้ PFR แม่นยำ ลองจินตนาการว่าคุณมีชุดของรายการไบนารีที่เรียกว่า A. ตอนนี้นำองค์ประกอบทุกคู่มาจาก A และเพิ่มเข้าไป ผลรวมที่ได้จะประกอบขึ้นเป็นผลรวมของ Aที่เรียกว่า A + A. ถ้าองค์ประกอบของ A จะถูกเลือกแบบสุ่ม ดังนั้น ผลรวมส่วนใหญ่จะต่างกันออกไป ถ้ามี k องค์ประกอบใน Aนั่นหมายความว่าจะมีอยู่รอบๆ k²/2 องค์ประกอบในผลรวม เมื่อไร k มีขนาดใหญ่ — พูด 1,000 — k²/2 ใหญ่กว่ามาก k. แต่ถ้า A เป็นกลุ่มย่อยทุกองค์ประกอบของ A + A ที่อยู่ใน A, หมายความว่า A + A มีขนาดเดียวกับ A ตัวเอง

PFR พิจารณาชุดที่ไม่สุ่ม แต่ก็ไม่ใช่กลุ่มย่อยเช่นกัน ในชุดเหล่านี้ จำนวนองค์ประกอบใน A + A ค่อนข้างเล็ก — พูด 10kหรือ 100k. “มันมีประโยชน์มากเมื่อแนวคิดเกี่ยวกับโครงสร้างของคุณมีมากกว่าแค่โครงสร้างพีชคณิตที่แน่นอน” กล่าว ชาชาร์ โลเวตต์นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์จากมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย ซานดิเอโก

นักคณิตศาสตร์เซตทั้งหมดที่รู้ว่าปฏิบัติตามคุณสมบัตินี้ "ค่อนข้างใกล้เคียงกับกลุ่มย่อยจริง ๆ " เทากล่าว “นั่นคือสัญชาตญาณที่ไม่มีกลุ่มปลอมอื่น ๆ วางอยู่รอบ ๆ” Freiman ได้พิสูจน์เวอร์ชันของข้อความนี้ในงานต้นฉบับของเขา ในปี 1999 Ruzsa ได้ขยายทฤษฎีบทของไฟรมานจากจำนวนเต็มไปสู่การกำหนดรายการไบนารี่ เขาพิสูจน์แล้ว ซึ่งเมื่อจำนวนธาตุเข้าแล้ว A + A เป็นผลคูณคงที่ของขนาด A, A มีอยู่ในกลุ่มย่อย

แต่ทฤษฎีบทของรุซซากำหนดให้กลุ่มย่อยต้องมีขนาดใหญ่มาก ความเข้าใจของมาร์ตันคือการตั้งสมมติฐานว่า แทนที่จะถูกรวมอยู่ในกลุ่มย่อยขนาดยักษ์กลุ่มเดียว A อาจอยู่ในจำนวนโคเซตของกลุ่มย่อยจำนวนพหุนามที่ไม่ใหญ่กว่าชุดเดิม A.

'ฉันรู้ความคิดที่แท้จริงเมื่อฉันเห็นความคิดที่แท้จริง'

ในช่วงเปลี่ยนผ่านของสหัสวรรษ Gowers ได้ค้นพบข้อพิสูจน์ของ Ruzsa เกี่ยวกับทฤษฎีบทของ Freiman ในขณะที่ศึกษาปัญหาอื่นเกี่ยวกับชุดที่ประกอบด้วยสตริงที่มีระยะห่างเท่ากัน “ฉันต้องการอะไรแบบนี้ เพื่อให้ได้ข้อมูลเชิงโครงสร้างจากข้อมูลที่หลวมกว่ามากเกี่ยวกับฉากบางฉาก” โกเวอร์สกล่าว “ฉันโชคดีมากที่ไม่นานก่อนหน้านั้น Ruzsa ได้สร้างข้อพิสูจน์ที่งดงามอย่างยิ่งนี้ขึ้นมา”

โกเวอร์สเริ่มหาข้อพิสูจน์ที่เป็นไปได้ของการคาดเดาแบบพหุนาม ความคิดของเขาคือการเริ่มต้นด้วยฉากหนึ่ง A ซึ่งผลรวมค่อนข้างน้อยแล้วค่อย ๆ ปรุงแต่ง A เป็นกลุ่มย่อย หากเขาสามารถพิสูจน์ได้ว่ากลุ่มย่อยที่ได้นั้นคล้ายคลึงกับชุดดั้งเดิม Aเขาสามารถสรุปได้อย่างง่ายดายว่าการคาดเดานั้นเป็นจริง โกเวอร์สแบ่งปันความคิดของเขากับเพื่อนร่วมงาน แต่ไม่มีใครสามารถปั้นมันให้เป็นข้อพิสูจน์ที่สมบูรณ์ได้ แม้ว่ากลยุทธ์ของ Gowers จะประสบความสำเร็จในบางกรณี แต่ในบางกรณีก็มีการยักย้าย A ห่างจากข้อสรุปที่ต้องการของการคาดเดาพหุนาม Freiman-Ruzsa

ในที่สุดสนามก็เดินหน้าต่อไป ในปี 2012 แซนเดอร์ส เกือบจะพิสูจน์ PFR แล้ว. แต่จำนวนกลุ่มย่อยที่ถูกเลื่อนที่เขาต้องการนั้นสูงกว่าระดับพหุนาม แม้ว่าจะเพียงเล็กน้อยก็ตาม “เมื่อเขาทำอย่างนั้น มันหมายความว่ามันกลายเป็นเรื่องเร่งด่วนน้อยลง แต่ก็ยังเป็นปัญหาที่ดีจริงๆ ซึ่งฉันชื่นชอบมาก” โกเวอร์สกล่าว

แต่ความคิดของ Gowers ยังคงอยู่ในความทรงจำและฮาร์ดไดรฟ์ของเพื่อนร่วมงาน “มีความคิดที่แท้จริงอยู่ที่นั่น” กรีนซึ่งเป็นลูกศิษย์ของโกเวอร์สกล่าว “ฉันรู้ความคิดที่แท้จริงเมื่อฉันเห็นความคิดที่แท้จริง” ฤดูร้อนนี้ ในที่สุด Green, Manners และ Tao ก็ปลดปล่อยความคิดของ Gowers ออกจากไฟชำระ

Green, Tao และ Manners ใช้เวลาร่วมกันถึง 37 หน้าก่อนที่พวกเขาจะคิดย้อนกลับไปสู่แนวคิดอายุ 20 ปีของ Gowers ในวันที่ 23 มิถุนายน... กระดาษพวกเขาประสบความสำเร็จในการใช้แนวคิดจากทฤษฎีความน่าจะเป็นที่เรียกว่าตัวแปรสุ่มเพื่อตรวจสอบโครงสร้างของเซตที่มีผลรวมขนาดเล็ก การเปลี่ยนครั้งนี้ทำให้กลุ่มสามารถปรับเปลี่ยนฉากของตนได้อย่างมีชั้นเชิงมากขึ้น “การจัดการกับตัวแปรสุ่มนั้นเข้มงวดน้อยกว่าการจัดการกับเซตมาก” แมนเนอร์สกล่าว ด้วยตัวแปรสุ่ม “ฉันสามารถปรับแต่งความน่าจะเป็นอย่างหนึ่งได้ในปริมาณเล็กน้อย และนั่นอาจทำให้ฉันได้ตัวแปรสุ่มที่ดีกว่า”

การใช้มุมมองความน่าจะเป็นนี้ Green, Manners และ Tao สามารถย้ายจากการทำงานกับจำนวนองค์ประกอบในชุดเป็นการวัดข้อมูลที่มีอยู่ในตัวแปรสุ่ม ซึ่งเป็นปริมาณที่เรียกว่าเอนโทรปี เอนโทรปีไม่ใช่สิ่งใหม่สำหรับการบวกแบบผสมผสาน จริงๆแล้วเต๋า ได้พยายามแล้ว เพื่อเผยแพร่แนวคิดนี้ในช่วงปลายทศวรรษ 2000 แต่ยังไม่มีใครลองใช้มันกับการคาดเดาพหุนามไฟรมาน-รุซซา กรีน มารยาท และเทาค้นพบว่ามันทรงพลัง แต่พวกเขายังคงไม่สามารถพิสูจน์การคาดเดาได้

ขณะที่กลุ่มเคี้ยวกับผลลัพธ์ใหม่ พวกเขาก็ตระหนักว่าในที่สุดพวกเขาก็สร้างสภาพแวดล้อมที่ความคิดที่อยู่เฉยๆ ของ Gowers สามารถเจริญรุ่งเรืองได้ หากพวกเขาวัดขนาดของเซตโดยใช้เอนโทรปี แทนที่จะวัดจำนวนองค์ประกอบ รายละเอียดทางเทคนิคอาจทำงานได้ดีกว่ามาก “เมื่อถึงจุดหนึ่ง เราก็ตระหนักว่าแนวคิดเก่าๆ เหล่านี้จาก Tim เมื่อ 20 ปีที่แล้วมีแนวโน้มที่จะได้ผลมากกว่าแนวคิดที่เราพยายามอยู่” Tao กล่าว “ดังนั้นเราจึงนำทิมกลับเข้ามาในโปรเจ็กต์นี้ แล้วชิ้นส่วนทั้งหมดก็เข้ากันได้ดีอย่างน่าประหลาดใจ”

ยังมีรายละเอียดอีกมากที่ต้องพิจารณาก่อนที่จะมีการพิสูจน์ร่วมกัน “มันเป็นเรื่องโง่มากที่เราทั้งสี่คนยุ่งกับเรื่องอื่นอย่างไม่น่าเชื่อ” แมนเนอร์สกล่าว “คุณต้องการเผยแพร่ผลลัพธ์ที่ยอดเยี่ยมนี้และบอกให้โลกรู้ แต่จริงๆ แล้วคุณยังต้องเขียนสอบกลางภาคด้วย” ในที่สุดกลุ่มก็ผ่านพ้นไปได้ และในวันที่ 9 พฤศจิกายน พวกเขาก็โพสต์รายงานของพวกเขา พวกเขาพิสูจน์ว่าถ้า A + A ไม่ใหญ่ไปกว่า k คูณขนาดของ Aแล้ว A สามารถครอบคลุมได้ไม่เกินประมาณ k¹² การเปลี่ยนแปลงของกลุ่มย่อยที่มีขนาดไม่ใหญ่ไปกว่า A. นี่เป็นการเปลี่ยนแปลงจำนวนมหาศาลที่อาจเกิดขึ้น แต่มันเป็นพหุนาม ดังนั้นมันจึงไม่โตเร็วแบบเอกซ์โปเนนเชียล k จะใหญ่ขึ้นอย่างที่ควรจะเป็น k อยู่ในเลขชี้กำลัง

ไม่กี่วันต่อมาเต๋า เริ่ม จัดทำหลักฐานอย่างเป็นทางการ เขาดำเนินโครงการการทำให้เป็นทางการโดยร่วมมือกันโดยใช้แพ็คเกจควบคุมเวอร์ชัน GitHub เพื่อประสานงานการมีส่วนร่วม อาสาสมัคร 25 คนทั่วโลก. พวกเขาใช้เครื่องมือที่เรียกว่า พิมพ์เขียว พัฒนาโดย แพทริค มาสซอตซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัย Paris-Saclay เพื่อจัดความพยายามในการแปลจากสิ่งที่เต๋า ที่เรียกว่า “ภาษาอังกฤษเชิงคณิตศาสตร์” เป็นรหัสคอมพิวเตอร์ พิมพ์เขียวสามารถสร้างสิ่งอื่นใดได้ แผนภูมิ บรรยายถึงขั้นตอนเชิงตรรกะต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับการพิสูจน์ เมื่อฟองอากาศทั้งหมดถูกปกคลุมไปด้วยสิ่งที่เทาเรียกว่า "สีเขียวที่สวยงาม" ทีมงานก็เสร็จสิ้น พวกเขาค้นพบการพิมพ์ผิดเล็กๆ น้อยๆ บางประการในรายงานทางออนไลน์ ข่าวสารTao ตั้งข้อสังเกตว่า “ส่วนที่น่าสนใจทางคณิตศาสตร์ที่สุดของโครงการนั้นค่อนข้างตรงไปตรงมาในการจัดรูปแบบ แต่ขั้นตอนทางเทคนิคที่ 'ชัดเจน' นั้นใช้เวลานานที่สุด”

มาร์ตันเสียชีวิตเพียงไม่กี่ปีก่อนที่การคาดเดาอันโด่งดังของเธอจะได้รับการพิสูจน์ แต่ข้อพิสูจน์ก็สะท้อนเธอ งานของชีวิต เรื่องทฤษฎีเอนโทรปีและสารสนเทศ “ทุกอย่างทำงานได้ดีขึ้นมากเมื่อคุณทำในกรอบงานเอนโทรปีนี้ มากกว่าในกรอบงานที่ฉันพยายามจะทำ” Gowers กล่าว “สำหรับฉัน มันยังดูมีมนต์ขลังอยู่บ้าง”

ควอนตั้ม กำลังดำเนินการสำรวจชุดต่างๆ เพื่อให้บริการผู้ชมของเราได้ดียิ่งขึ้น เอาของเรา แบบสำรวจผู้อ่านคณิตศาสตร์ และคุณจะถูกป้อนเพื่อรับรางวัลฟรี ควอนตั้ม merch