บทนำ
อัลกอริทึมแพร่หลายมากขึ้น พวกเขาเพิ่มประสิทธิภาพการเดินทางของเรา ประมวลผลการชำระเงิน และประสานงานการไหลของการรับส่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ต ดูเหมือนว่าสำหรับทุกปัญหาที่สามารถอธิบายได้ในแง่คณิตศาสตร์ที่แม่นยำ จะมีอัลกอริธึมที่สามารถแก้ปัญหาได้ อย่างน้อยก็ในหลักการ
แต่นั่นไม่ใช่กรณีนี้ ปัญหาที่ดูเหมือนง่าย ๆ บางอย่างไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยอัลกอริทึม อลัน ทัวริง นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ผู้บุกเบิก พิสูจน์แล้วว่า การมีอยู่ของปัญหาที่ “ไม่สามารถคำนวณได้” ดังกล่าวเมื่อเกือบหนึ่งศตวรรษที่ผ่านมา ในเอกสารฉบับเดียวกับที่เขากำหนดไว้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของการคำนวณ ที่ก่อให้เกิดวิทยาการคอมพิวเตอร์สมัยใหม่
ทัวริงพิสูจน์ผลลัพธ์ที่แหวกแนวนี้โดยใช้กลยุทธ์ที่ต่อต้านสัญชาตญาณ: เขากำหนดปัญหาที่ปฏิเสธทุกความพยายามในการแก้ไข
“ฉันถามคุณว่าคุณกำลังทำอะไรอยู่ แล้วฉันก็พูดว่า 'ไม่ ฉันจะทำบางอย่างที่แตกต่างออกไป'” กล่าว ราหุล อิลันโกเป็นนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาจากสถาบันเทคโนโลยีแมสซาชูเซตส์ที่กำลังศึกษาสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี
กลยุทธ์ของทัวริงมีพื้นฐานมาจากเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าเส้นทแยงมุมซึ่งมีประวัติอันโดดเด่น ต่อไปนี้เป็นเรื่องราวที่เรียบง่ายของตรรกะเบื้องหลังการพิสูจน์ของเขา
ทฤษฎีสตริง
การทำให้เป็นเส้นทแยงมุมมีต้นกำเนิดมาจากเคล็ดลับอันชาญฉลาดในการแก้ปัญหาทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับสตริงของบิต ซึ่งแต่ละสตริงอาจเป็น 0 หรือ 1 ก็ได้ เมื่อพิจารณารายการสตริงดังกล่าวซึ่งยาวพอๆ กัน คุณสามารถสร้างสตริงใหม่ที่ไม่อยู่ใน รายการ?
กลยุทธ์ที่ตรงไปตรงมาที่สุดคือการพิจารณาแต่ละสตริงที่เป็นไปได้ตามลำดับ สมมติว่าคุณมีห้าสาย แต่ละสายยาวห้าบิต เริ่มต้นด้วยการสแกนรายการ 00000 หากไม่มี คุณสามารถหยุดได้ หากเป็นเช่นนั้น คุณจะไปที่ 00001 และทำซ้ำขั้นตอนนี้ นี่เป็นเรื่องง่ายเพียงพอ แต่จะช้าสำหรับรายการสตริงยาวๆ
การทำให้เป็นแนวทแยงเป็นแนวทางอื่นที่สร้างสตริงที่ขาดหายไปทีละนิด เริ่มต้นด้วยบิตแรกของสตริงแรกในรายการแล้วกลับด้าน — นั่นจะเป็นบิตแรกของสตริงใหม่ของคุณ จากนั้นกลับบิตที่สองของสตริงที่สองแล้วใช้เป็นบิตที่สองของสตริงใหม่ และทำซ้ำจนกระทั่งคุณไปถึงจุดสิ้นสุดของรายการ บิตที่คุณพลิกทำให้มั่นใจได้ว่าสตริงใหม่แตกต่างจากทุกสตริงในรายการต้นฉบับในที่เดียวอย่างน้อย (พวกเขายังสร้างเส้นทแยงมุมผ่านรายการสตริง ทำให้ชื่อเทคนิคนั้น)
การทำให้เป็นเส้นทแยงมุมต้องตรวจสอบเพียงบิตเดียวจากแต่ละสตริงในรายการ ดังนั้นจึงมักจะเร็วกว่าวิธีอื่นๆ มาก แต่พลังที่แท้จริงของมันอยู่ที่ว่ามันจะเล่นกับความไม่มีที่สิ้นสุดได้ดีเพียงใด
“สตริงสามารถไม่มีที่สิ้นสุดได้แล้ว รายการสามารถไม่มีที่สิ้นสุด — มันยังคงใช้งานได้” กล่าว ไรอันวิลเลียมส์นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีที่ MIT
บุคคลแรกที่ควบคุมพลังนี้คือ Georg Cantor ผู้ก่อตั้งสาขาย่อยทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีเซต ในปี พ.ศ. 1873 คันทอร์ใช้เส้นทแยงมุมเพื่อพิสูจน์ว่าค่าอนันต์บางอย่างเป็นเช่นนั้น ใหญ่กว่าคนอื่นๆ. หกทศวรรษต่อมา ทัวริงได้ปรับรูปแบบเส้นทแยงมุมของคันทอร์ให้เข้ากับทฤษฎีการคำนวณ ทำให้เกิดความแตกต่างอย่างชัดเจน
เกมแห่งข้อจำกัด
ทัวริงต้องการพิสูจน์การมีอยู่ของปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ไม่มีอัลกอริทึมใดสามารถแก้ไขได้ นั่นคือปัญหาเกี่ยวกับอินพุตและเอาท์พุตที่กำหนดไว้อย่างดี แต่ไม่มีขั้นตอนที่เข้าใจผิดได้สำหรับการรับจากอินพุตไปยังเอาต์พุต เขาทำให้งานที่คลุมเครือนี้จัดการได้ง่ายขึ้นโดยเน้นไปที่ปัญหาการตัดสินใจโดยเฉพาะ โดยที่อินพุตอาจเป็นสตริงใดๆ ที่เป็น 0 และ 1 และเอาต์พุตเป็น 0 หรือ 1
การพิจารณาว่าตัวเลขเป็นจำนวนเฉพาะ (หารด้วย 1 และตัวมันเองเท่านั้น) หรือไม่เป็นตัวอย่างหนึ่งของปัญหาในการตัดสินใจ เมื่อพิจารณาจากสตริงอินพุตที่แทนตัวเลข ผลลัพธ์ที่ถูกต้องจะเป็น 1 หากตัวเลขนั้นเป็นจำนวนเฉพาะและเป็น 0 หากไม่เป็นจำนวนนั้น อีกตัวอย่างหนึ่งคือการตรวจสอบโปรแกรมคอมพิวเตอร์เพื่อหาข้อผิดพลาดทางไวยากรณ์ (เทียบเท่ากับข้อผิดพลาดทางไวยากรณ์) ที่นั่น สตริงอินพุตเป็นตัวแทนของโค้ดสำหรับโปรแกรมต่างๆ — โปรแกรมทั้งหมดสามารถแสดงด้วยวิธีนี้ได้ เนื่องจากนั่นคือวิธีการจัดเก็บและดำเนินการบนคอมพิวเตอร์ — และเป้าหมายคือเอาต์พุต 1 หากโค้ดมีข้อผิดพลาดทางไวยากรณ์และเป็น 0 หากไม่มี ที
อัลกอริธึมจะแก้ปัญหาได้ก็ต่อเมื่อมันสร้างเอาต์พุตที่ถูกต้องสำหรับทุกๆ อินพุตที่เป็นไปได้ หากล้มเหลวแม้เพียงครั้งเดียว ก็ไม่ใช่อัลกอริธึมวัตถุประสงค์ทั่วไปสำหรับปัญหานั้น โดยปกติ คุณจะต้องระบุปัญหาที่คุณต้องการแก้ไขก่อน จากนั้นจึงพยายามค้นหาอัลกอริทึมที่จะแก้ปัญหานั้น ทัวริงค้นหาปัญหาที่แก้ไม่ได้ โดยหันตรรกะนี้ไปคิด — เขาจินตนาการถึงรายการอัลกอริธึมที่เป็นไปได้ทั้งหมดจำนวนไม่สิ้นสุด และใช้การทำให้เป็นแนวทแยงเพื่อสร้างปัญหาดื้อรั้นที่จะขัดขวางทุกอัลกอริธึมในรายการ
ลองนึกภาพเกมที่ประกอบด้วยคำถาม 20 ข้อ โดยที่แทนที่จะเริ่มต้นด้วยคำถามใดชิ้นหนึ่งในใจ ผู้ตอบกลับประดิษฐ์ข้ออ้างที่จะปฏิเสธคำถามแต่ละข้อ ในตอนท้ายของเกม พวกเขาได้อธิบายวัตถุที่กำหนดโดยคุณสมบัติที่ขาดไปโดยสิ้นเชิง
การพิสูจน์แนวทแยงของทัวริงเป็นเวอร์ชันหนึ่งของเกมนี้ที่มีคำถามวิ่งผ่านรายการอัลกอริธึมที่เป็นไปได้นับไม่ถ้วน โดยถามซ้ำๆ ว่า "อัลกอริทึมนี้สามารถแก้ปัญหาที่เราต้องการพิสูจน์ว่าไม่สามารถคำนวณได้หรือไม่"
“มันเป็น 'คำถามที่ไม่มีที่สิ้นสุด'” วิลเลียมส์กล่าว
เพื่อชนะเกมนี้ ทัวริงจำเป็นต้องสร้างปัญหาโดยที่คำตอบคือไม่สำหรับทุกอัลกอริทึม นั่นหมายถึงการระบุอินพุตเฉพาะที่ทำให้อัลกอริธึมแรกแสดงคำตอบที่ผิด อีกอินพุตหนึ่งที่ทำให้อันที่สองล้มเหลว และอื่นๆ เขาพบอินพุตพิเศษเหล่านั้นโดยใช้กลอุบายที่คล้ายกับที่เคิร์ต โกเดลเคยใช้เมื่อเร็วๆ นี้ พิสูจน์ การยืนยันการอ้างอิงตนเองเช่น "ข้อความนี้พิสูจน์ไม่ได้" สะกดปัญหาสำหรับรากฐานของคณิตศาสตร์
ข้อมูลเชิงลึกที่สำคัญคือ ทุกอัลกอริทึม (หรือโปรแกรม) สามารถแสดงเป็นสตริง 0 และ 1 ได้ นั่นหมายความว่า เช่นเดียวกับในตัวอย่างของโปรแกรมตรวจสอบข้อผิดพลาด อัลกอริธึมสามารถรับโค้ดของอัลกอริธึมอื่นเป็นอินพุตได้ โดยหลักการแล้ว อัลกอริธึมสามารถใช้รหัสของตัวเองเป็นอินพุตได้
ด้วยข้อมูลเชิงลึกนี้ เราสามารถกำหนดปัญหาที่ไม่สามารถคำนวณได้ เช่นเดียวกับปัญหาในการพิสูจน์ของทัวริง: “เมื่อพิจารณาจากสตริงอินพุตที่แสดงถึงโค้ดของอัลกอริทึม เอาต์พุตจะเป็น 1 หากอัลกอริทึมนั้นเอาต์พุตเป็น 0 เมื่อโค้ดของตัวมันเองเป็นอินพุต มิฉะนั้นเอาต์พุต 0” ทุกอัลกอริทึมที่พยายามแก้ไขปัญหานี้จะสร้างเอาต์พุตที่ไม่ถูกต้องในอินพุตอย่างน้อยหนึ่งรายการ กล่าวคือ อินพุตที่สอดคล้องกับโค้ดของมันเอง นั่นหมายความว่าปัญหาวิปริตนี้ไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยอัลกอริทึมใดๆ ทั้งสิ้น
สิ่งที่การปฏิเสธทำไม่ได้
นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ยังไม่ผ่านเส้นทแยงมุม ในปี 1965 Juris Hartmanis และ Richard Stearns ได้ดัดแปลงข้อโต้แย้งของ Turing ให้เป็น พิสูจน์ ไม่ใช่ว่าทุกปัญหาในการคำนวณจะถูกสร้างขึ้นมาเท่ากัน บางปัญหาก็ยากกว่าปัญหาอื่นๆ ผลลัพธ์ดังกล่าวได้เปิดสอนสาขาทฤษฎีความซับซ้อนทางคอมพิวเตอร์ ซึ่งศึกษาความยากของปัญหาทางคอมพิวเตอร์
แต่ทฤษฎีความซับซ้อนยังเผยให้เห็นถึงขีดจำกัดของวิธีการตรงกันข้ามของทัวริงด้วย ในปี 1975 ธีโอดอร์ เบเกอร์, จอห์น กิลล์ และโรเบิร์ต โซโลเวย์ พิสูจน์แล้วว่า คำถามปลายเปิดมากมายในทฤษฎีความซับซ้อนไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยการทำเส้นทแยงมุมเพียงอย่างเดียว ปัญหาหลักคือปัญหา P กับ NP ที่มีชื่อเสียง ซึ่งถามว่าปัญหาทั้งหมดที่มีวิธีแก้ปัญหาที่ตรวจสอบได้ง่ายนั้นสามารถแก้ไขได้ง่ายด้วยอัลกอริธึมอันชาญฉลาดที่เหมาะสมหรือไม่
จุดบอดของ Diagonalization เป็นผลโดยตรงของนามธรรมระดับสูงที่ทำให้มันทรงพลังมาก ข้อพิสูจน์ของทัวริงไม่ได้เกี่ยวข้องกับปัญหาที่ไม่สามารถคำนวณได้ซึ่งอาจเกิดขึ้นในทางปฏิบัติ แต่กลับเป็นการปรุงแต่งปัญหาดังกล่าวขึ้นมาทันที ข้อพิสูจน์เรื่องเส้นทแยงมุมอื่นๆ นั้นแยกจากโลกแห่งความเป็นจริงในทำนองเดียวกัน ดังนั้นจึงไม่สามารถตอบคำถามที่รายละเอียดในโลกแห่งความเป็นจริงมีความสำคัญได้
“พวกเขาจัดการการคำนวณจากระยะไกล” วิลเลียมส์กล่าว “ฉันจินตนาการถึงผู้ชายคนหนึ่งที่กำลังรับมือกับไวรัสและเข้าถึงพวกมันผ่านกล่องเก็บของ”
ความล้มเหลวของการทำเส้นทแยงมุมเป็นข้อบ่งชี้เบื้องต้นว่าการแก้ปัญหา P กับ NP จะเป็นได้ การเดินทางที่ยาวนาน. แต่ถึงแม้จะมีข้อจำกัด การทำให้เส้นทแยงมุมยังคงเป็นหนึ่งในเครื่องมือสำคัญในคลังแสงของนักทฤษฎีความซับซ้อน ในปี 2011 วิลเลียมส์ใช้มันร่วมกับเทคนิคอื่นๆ มากมาย พิสูจน์ แบบจำลองการคำนวณแบบจำกัดบางอย่างไม่สามารถแก้ปัญหาที่ยากเป็นพิเศษได้ ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่ทำให้นักวิจัยหลบเลี่ยงมาเป็นเวลา 25 ปี แม้จะห่างไกลจากการแก้ปัญหา P กับ NP แต่ก็ยังแสดงถึงความก้าวหน้าครั้งสำคัญ
หากคุณต้องการพิสูจน์ว่ามีบางสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ อย่าประมาทพลังของการเพียงแค่ปฏิเสธ
- เนื้อหาที่ขับเคลื่อนด้วย SEO และการเผยแพร่ประชาสัมพันธ์ รับการขยายวันนี้
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai เพิ่มพลังให้กับตัวเอง เข้าถึงได้ที่นี่.
- เพลโตไอสตรีม. Web3 อัจฉริยะ ขยายความรู้ เข้าถึงได้ที่นี่.
- เพลโตESG. ยานยนต์ / EVs, คาร์บอน, คลีนเทค, พลังงาน, สิ่งแวดล้อม แสงอาทิตย์, การจัดการของเสีย. เข้าถึงได้ที่นี่.
- เพลโตสุขภาพ เทคโนโลยีชีวภาพและข่าวกรองการทดลองทางคลินิก เข้าถึงได้ที่นี่.
- ChartPrime. ยกระดับเกมการซื้อขายของคุณด้วย ChartPrime เข้าถึงได้ที่นี่.
- BlockOffsets การปรับปรุงการเป็นเจ้าของออฟเซ็ตด้านสิ่งแวดล้อมให้ทันสมัย เข้าถึงได้ที่นี่.
- ที่มา: https://www.quantamagazine.org/alan-turing-and-the-power-of-negative-thinking-20230905/
- :มี
- :เป็น
- :ไม่
- :ที่ไหน
- ][หน้า
- $ ขึ้น
- 1
- 20
- 2011
- 25
- a
- สิ่งที่เป็นนามธรรม
- ลงชื่อเข้าใช้
- มาแล้ว
- อลัน
- ทัวริงอลัน
- ขั้นตอนวิธี
- อัลกอริทึม
- อัลกอริทึม
- ทั้งหมด
- คนเดียว
- ด้วย
- ในหมู่
- an
- และ
- อื่น
- คำตอบ
- ใด
- เข้าใกล้
- เป็น
- อาร์กิวเมนต์
- เกิดขึ้น
- คลังแสง
- AS
- ถาม
- At
- คนทำขนมปัง
- ตาม
- BE
- กลายเป็น
- หลัง
- บิต
- กล่อง
- สร้าง
- แต่
- by
- ที่เรียกว่า
- เคมบริดจ์
- CAN
- กรณี
- ศตวรรษ
- บาง
- การตรวจสอบ
- หัวหน้า
- รหัส
- ความซับซ้อน
- การคำนวณ
- คอมพิวเตอร์
- วิทยาการคอมพิวเตอร์
- คอมพิวเตอร์
- พิจารณา
- สร้าง
- มี
- ตรงกันข้าม
- ประสานงาน
- แก้ไข
- ตรงกัน
- หัตถกรรม
- ที่สร้างขึ้น
- การซื้อขาย
- ทศวรรษที่ผ่านมา
- การตัดสินใจ
- กำหนด
- กำหนด
- อธิบาย
- แม้จะมี
- รายละเอียด
- ต่าง
- ความยาก
- โดยตรง
- ระยะทาง
- โดดเด่น
- do
- ไม่
- การทำ
- Dont
- แต่ละ
- ก่อน
- อย่างง่ายดาย
- ง่าย
- ทั้ง
- ปลาย
- พอ
- ทำให้มั่นใจ
- อย่างสิ้นเชิง
- เท่ากัน
- พอ ๆ กัน
- เท่ากัน
- ความผิดพลาด
- ข้อผิดพลาด
- แม้
- ทุกๆ
- ตรวจสอบ
- ตัวอย่าง
- โดยเฉพาะ
- ดำเนินการ
- การดำรงอยู่
- พิเศษ
- ล้มเหลว
- ล้มเหลว
- ความล้มเหลว
- มีชื่อเสียง
- ไกล
- หนทางไกล
- เร็วขึ้น
- สนาม
- หา
- ชื่อจริง
- ห้า
- พลิก
- ไหล
- โดยมุ่งเน้น
- สำหรับ
- ฟอร์ม
- พบ
- ฐานราก
- ผู้สร้าง
- ราคาเริ่มต้นที่
- เกม
- จุดประสงค์ทั่วไป
- สร้าง
- ได้รับ
- ได้รับ
- กำหนด
- ให้
- เป้าหมาย
- ไป
- สำเร็จการศึกษา
- แหวกแนว
- คนที่แต่งตัวประหลาด
- มี
- จัดการ
- ยาก
- ยาก
- เทียม
- มี
- he
- หัว
- จุดสูง
- ของเขา
- ประวัติ
- สรุป ความน่าเชื่อถือของ Olymp Trade?
- HTTPS
- i
- ระบุ
- อีอีอี
- if
- ภาพ
- จินตนาการ
- in
- การแสดง
- อนันต์
- ความไม่มีที่สิ้นสุด
- อินพุต
- ปัจจัยการผลิต
- ความเข้าใจ
- แทน
- สถาบัน
- อินเทอร์เน็ต
- ภายใน
- รวมถึง
- IT
- ITS
- ตัวเอง
- จอห์น
- เพียงแค่
- คีย์
- เคิร์ต
- ต่อมา
- เปิดตัว
- น้อยที่สุด
- ชั้น
- ตั้งอยู่
- กดไลก์
- การ จำกัด
- ข้อ จำกัด
- ขีด จำกัด
- Line
- รายการ
- รายการ
- ตรรกะ
- นาน
- ทำ
- นิตยสาร
- สำคัญ
- ทำให้
- จัดการได้
- หลาย
- แมสซาชูเซต
- สถาบันเทคโนโลยีแมสซาชูเซตส์
- คณิตศาสตร์
- คณิตศาสตร์
- เรื่อง
- วิธี
- หมายความว่า
- วิธี
- วิธีการ
- อาจ
- ใจ
- หายไป
- ความผิดพลาด
- เอ็มไอที
- แบบ
- ทันสมัย
- ข้อมูลเพิ่มเติม
- มากที่สุด
- ย้าย
- มาก
- ชื่อ
- คือ
- เกือบทั้งหมด
- จำเป็น
- ความต้องการ
- เชิงลบ
- ไม่เคย
- ใหม่
- ไม่
- ตอนนี้
- จำนวน
- วัตถุ
- of
- มักจะ
- on
- ครั้งเดียว
- ONE
- เพียง
- เปิด
- เพิ่มประสิทธิภาพ
- or
- เป็นต้นฉบับ
- อื่นๆ
- ผลิตภัณฑ์อื่นๆ
- มิฉะนั้น
- ของเรา
- เอาท์พุต
- ของตนเอง
- กระดาษ
- ในสิ่งที่สนใจ
- การชำระเงิน
- คน
- การสำรวจ
- สถานที่
- เพลโต
- เพลโตดาต้าอินเทลลิเจนซ์
- เพลโตดาต้า
- เล่น
- เป็นไปได้
- อำนาจ
- ที่มีประสิทธิภาพ
- การปฏิบัติ
- จำเป็นต้อง
- สำคัญ
- หลัก
- ปัญหา
- ปัญหาที่เกิดขึ้น
- ขั้นตอนการ
- กระบวนการ
- ก่อ
- ผลิต
- โครงการ
- โปรแกรม
- ความคืบหน้า
- พิสูจน์
- พิสูจน์
- พิสูจน์
- พิสูจน์แล้วว่า
- คุณภาพ
- ควอนทามากาซีน
- คำถาม
- คำถาม
- ค่อนข้าง
- จริง
- โลกแห่งความจริง
- เมื่อเร็ว ๆ นี้
- ซากศพ
- ทำซ้ำ
- ซ้ำแล้วซ้ำเล่า
- แสดง
- เป็นตัวแทนของ
- เป็นตัวแทนของ
- นักวิจัย
- ได้รับการแก้ไข
- การตัดสินใจ
- หวงห้าม
- ผล
- เปิดเผย
- ริชาร์ด
- หัวเรือใหญ่
- ขวา
- โรเบิร์ต
- วิ่ง
- กล่าวว่า
- เดียวกัน
- กล่าว
- คำพูด
- การสแกน
- วิทยาศาสตร์
- นักวิทยาศาสตร์
- นักวิทยาศาสตร์
- ค้นหา
- ที่สอง
- ดูเหมือนว่า
- ดูเหมือนว่า
- ชุด
- สยาม
- คล้ายคลึงกัน
- เหมือนกับ
- ง่าย
- ที่เรียบง่าย
- ง่ายดาย
- ตั้งแต่
- หก
- ช้า
- So
- โซลูชัน
- แก้
- แก้ปัญหา
- การแก้
- บาง
- บางสิ่งบางอย่าง
- พิเศษ
- จุด
- เริ่มต้น
- ที่เริ่มต้น
- คำแถลง
- ลำต้น
- ยังคง
- หยุด
- เก็บไว้
- ซื่อตรง
- กลยุทธ์
- เชือก
- นักเรียน
- การศึกษา
- การศึกษา
- อย่างเช่น
- วากยสัมพันธ์
- เอา
- งาน
- เทคนิค
- เทคโนโลยี
- เงื่อนไขการใช้บริการ
- กว่า
- ที่
- พื้นที่
- พวกเขา
- แล้วก็
- ตามทฤษฎี
- ทฤษฎี
- ที่นั่น
- ล้อยางขัดเหล่านี้ติดตั้งบนแกน XNUMX (มม.) ผลิตภัณฑ์นี้ถูกผลิตในหลายรูปทรง และหลากหลายเบอร์ความแน่นหนาของปริมาณอนุภาคขัดของมัน จะทำให้ท่านได้รับประสิทธิภาพสูงในการขัดและการใช้งานที่ยาวนาน
- พวกเขา
- คิด
- นี้
- เหล่านั้น
- ตลอด
- ขัดขวาง
- ไปยัง
- ร่วมกัน
- เครื่องมือ
- การจราจร
- ปัญหา
- จริง
- ลอง
- ทัวริง
- กลับ
- หัน
- แพร่หลาย
- จนกระทั่ง
- ใช้
- มือสอง
- การใช้
- รุ่น
- กับ
- ไวรัส
- ต้องการ
- อยาก
- คือ
- ทาง..
- we
- webp
- ดี
- กำหนดไว้อย่างดี
- อะไร
- เมื่อ
- ว่า
- ที่
- WHO
- จะ
- วิลเลียมส์
- ชนะ
- กับ
- โรงงาน
- โลก
- จะ
- ผิด
- ปี
- ยัง
- คุณ
- ของคุณ
- ลมทะเล