Einstein tilings – รูปทรง “หมวก” อันน่าทึ่งที่ไม่เคยซ้ำ!

Einstein tilings – รูปทรง “หมวก” อันน่าทึ่งที่ไม่เคยซ้ำ!

ประทับเวลา: 4 เมษายน 2023 12:59 น
by พอล ดั๊กลิน

คณิตศาสตร์เป็นสาขาที่ซับซ้อนและลึกลับซึ่งเป็นรากฐานของวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม โดยเฉพาะอย่างยิ่งรวมถึงสาขาวิชาการเข้ารหัสและความปลอดภัยในโลกไซเบอร์

(ที่นั่น… เราได้เพิ่มการกล่าวถึงความปลอดภัยในโลกไซเบอร์ ดังนั้นจึงเป็นการแสดงให้เห็นถึงเหตุผลในส่วนที่เหลือของบทความนี้)

หัวข้อของคณิตศาสตร์ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางและเข้มข้นตั้งแต่สมัยบาบิโลนโบราณเป็นอย่างน้อย และชื่อของนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงหลายคนได้ป้อนคำศัพท์ประจำวันของเราในวลีต่างๆ เช่น พีทาโกรัส สามเหลี่ยม (ที่มีมุมฉากอยู่ในนั้น) คาร์ทีเซียน เรขาคณิต (ทำงานกับรูปร่างบนพื้นผิวเรียบ) คอมพิวเตอร์ อัลกอริทึม (ลำดับคำสั่งที่ทำงานซ้ำๆ หรือทำซ้ำๆ เพื่อคำนวณผลลัพธ์) และ เพนโรส กระเบื้อง

หากคุณเคยเจอกระเบื้องเพนโรส เซอร์โรเจอร์ เพนโรสเป็นผู้คิดค้นขึ้นในปี 1970 และจัดการกับวิธีการปิดพื้นผิวที่น่าสนใจและไม่ธรรมดาด้วยการผสมผสานรูปทรงต่างๆ

ในกรณีที่คุณสงสัยว่าทำไมคำว่า ขั้นตอนวิธี ไม่มีตัวพิมพ์ใหญ่เหมือนตัวอื่น ๆ นั่นเป็นเพราะไม่ใช่การเรนเดอร์ชื่อดั้งเดิมที่แม่นยำ แต่เป็นคำที่มาจาก มูฮัมหมัด บิน มูซา อัลคอวาริซมีเป็นนักคณิตศาสตร์ นักภูมิศาสตร์ และนักดาราศาสตร์ผู้มีอิทธิพล ซึ่งอาศัยอยู่เมื่อประมาณ 1200 ปีก่อนในพื้นที่ทางตะวันออกของทะเลแคสเปียนและทางใต้ของทะเลอารัล ซึ่งปัจจุบันเป็นพื้นที่ที่แยกระหว่างอุซเบกิสถานและเติร์กเมนิสถาน

การปูกระเบื้องทำให้ขี้ขลาด

พื้นผิวกระเบื้องเป็นเรื่องปกติทั่วไป เช่น ในห้องน้ำ ห้องครัว และทางเดิน

และบนหลังคาแน่นอน แต่เราจะไม่สนใจกระเบื้องมุงหลังคาในบทความนี้ เนื่องจากกระเบื้องเหล่านี้ถูกออกแบบมาให้ซ้อนทับกัน ดังนั้นกระเบื้องจึงกันฝนโดยไม่จำเป็นต้องปิดทับกัน

แม้แต่พื้นที่ปูพรมก็มักจะปูกระเบื้อง โดยเฉพาะในสำนักงาน เพื่อให้ส่วนต่างๆ ของพื้นสามารถปูกระเบื้องใหม่ได้โดยไม่ฉีกขาด และเปลี่ยนพรมที่ใช้น้อยรอบๆ ส่วนที่เสื่อมสภาพ

หากคุณเคยเยี่ยมชม Sophos HQ ในสหราชอาณาจักร ตัวอย่างเช่น คุณจะรู้ว่าที่นี่เป็นพื้นที่เปิดโล่งขนาดใหญ่ที่ปูด้วยพรมสี่เหลี่ยมจัตุรัสในเฉดสีฟ้าอ่อนและเขียวอ่อนหลากหลายเฉด:

การปูกระเบื้องของไอน์สไตน์ – รูปทรง “หมวก” อันน่าทึ่งที่ไม่เคยเกิดขึ้นซ้ำ! PlatoBlockchain ข้อมูลอัจฉริยะ ค้นหาแนวตั้ง AI.

อย่างที่คุณเห็น กระเบื้องสี่เหลี่ยมก่อตัวเป็น a รูปแบบเป็นระยะหมายความว่ารูปแบบซ้ำๆ กันบ่อยๆ

ในตัวอย่างข้างต้น เส้นตารางที่แม่นยำซึ่งใช้ในการจัดวางช่วยให้มั่นใจได้ว่ารูปแบบจะซ้ำกันในทั้งสองมิติหลังจากเลื่อนขึ้น ลง ซ้าย หรือขวาเพียงช่องเดียว

รูปแบบที่ซับซ้อนและดึงดูดสายตามากขึ้น ซึ่งยังคงเป็นการเรียงกระเบื้องเป็นระยะๆ เนื่องจากยังคงทำซ้ำๆ กันอยู่ สามารถทำได้ด้วยการผสมผสานรูปทรงง่ายๆ เช่น ห้าเหลี่ยมห้าเหลี่ยม:

การปูกระเบื้องของไอน์สไตน์ – รูปทรง “หมวก” อันน่าทึ่งที่ไม่เคยเกิดขึ้นซ้ำ! PlatoBlockchain ข้อมูลอัจฉริยะ ค้นหาแนวตั้ง AI.

หรือสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสามเหลี่ยม:

การปูกระเบื้องของไอน์สไตน์ – รูปทรง “หมวก” อันน่าทึ่งที่ไม่เคยเกิดขึ้นซ้ำ! PlatoBlockchain ข้อมูลอัจฉริยะ ค้นหาแนวตั้ง AI.

กระเบื้องเพนโรส

นั่นนำเราไปสู่การปูกระเบื้องของ Penrose

แม้ว่า Sir Roger Penrose อาจมีชื่อเสียงมากที่สุดในฐานะผู้ชนะรางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ในปี 2020 แต่เขายังมีชื่อเสียงจากผลงานในรูปแบบกระเบื้องชั้นพิเศษที่รู้จักกันในนาม กระเบื้องเป็นระยะ.

ซึ่งแตกต่างจากการปูกระเบื้องเป็นระยะซึ่งทำซ้ำทุก ๆ ครั้ง การปูกระเบื้องแบบไม่เว้นระยะจะไม่ทำซ้ำ ไม่ว่าคุณจะเลือกปูกระเบื้องชิ้นต่อไปอย่างระมัดระวังเพียงใด และจะวางที่ไหน...

…แม้ว่าการปูกระเบื้องจะขึ้นอยู่กับรูปร่างจำนวนจำกัด และครอบคลุมพื้นผิวที่ไม่สิ้นสุดโดยไม่มีช่องว่างหรือทับซ้อนกัน

การเรียงตัวเป็นระยะจะคล้ายกับจำนวนตรรกยะ (เศษส่วนที่อิงจากจำนวนเต็มหนึ่งหารด้วยอีกจำนวนหนึ่ง) ซึ่งในที่สุดพวกมันจะทำซ้ำไม่ว่าคุณจะทำอะไรก็ตาม

ตัวอย่างเช่น หากคุณหาร 22 ด้วย 7 คุณจะได้ประมาณ 3.142.. ซึ่งใกล้เคียงกับค่าของ Pi ซึ่งมีค่าประมาณ 3.14159...

แต่จริงๆ แล้ว 22/7 ออกมาเป็น 3.142857142857142857… และรูปแบบ 142857 นั้นก็วนซ้ำไปเรื่อย ๆ เพราะจำนวนคืออัตราส่วน (ดังนั้นคำอธิบาย จำนวนตรรกยะ) ของจำนวนเต็มสองตัว

ในทางตรงกันข้าม ค่าที่แท้จริงของ Pi คือ ไม่มีเหตุผล: ไม่สามารถลดเป็นอัตราส่วนได้ และค่าที่เป็นทศนิยมจะไม่อยู่ในรูปแบบซ้ำ

แล้วลำดับที่ไม่ซ้ำแบบเดียวกันนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่าตัวเลข แต่ขึ้นอยู่กับรูปร่างล่ะ

คุณต้องการรูปร่างที่แตกต่างกันจำนวนไม่สิ้นสุดเพื่อรับประกันรูปแบบที่จะไม่ซ้ำกัน หรือคุณสามารถทำให้งานปูกระเบื้องของคุณ

เพนโรสมีรูปทรงต่างๆ จำนวนมากที่จำเป็นในการรับประกันการปูกระเบื้องที่ไม่ซ้ำให้เหลือเพียงสองชิ้น แต่คำถามก็ยังคงค้างคาอยู่ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา: คุณสามารถหารูปทรงเดียว กระเบื้องแผ่นเดียว ที่สามารถวางซ้ำๆ เพื่อปกปิดพื้นผิวที่ไม่มีที่สิ้นสุดโดยไม่ต้องทำซ้ำได้หรือไม่?

ในสิ่งที่ผ่านไปแล้วในฐานะการเล่นสำนวนทางคณิตศาสตร์จอกศักดิ์สิทธิ์ของกระเบื้องนี้เรียกว่า an Einsteinซึ่งแปลว่า "รูปทรงเดียว" ในภาษาเยอรมัน แต่ยังสะท้อนถึงชื่อ Albert Einstein ของ E=mc2 ชื่อเสียง

ขอแนะนำ… หมวก

นักคณิตศาสตร์สี่คนที่เป็นผู้นำโดยนักค้นหารูปร่างชาวอังกฤษชื่อ David Smith อ้างว่าไอน์สไตน์มีอยู่จริง และได้เปิดเผยรูปสามเหลี่ยมสามเหลี่ยม (นั่นคือรูป 13 เหลี่ยม) ที่พวกเขาขนานนามว่า หมวก.

พวกเขาอ้างว่าพวกเขาได้พิสูจน์แล้วว่าหมวกสร้างผลลัพธ์ที่เป็นที่ต้องการมายาวนานของรูปแบบ aperiodic ทั้งหมดนี้ด้วยตัวมันเอง:

การปูกระเบื้องของไอน์สไตน์ – รูปทรง “หมวก” อันน่าทึ่งที่ไม่เคยเกิดขึ้นซ้ำ! PlatoBlockchain ข้อมูลอัจฉริยะ ค้นหาแนวตั้ง AI.

พูดง่ายๆ ก็คือ ถ้าคุณปูกระเบื้องพื้น ระเบียง หรือทางเดิน หรือแม้แต่สนามฟุตบอลในท้องถิ่นด้วยกระเบื้องหาดใหญ่...

…ในที่สุดคุณจะครอบคลุมพื้นผิวทั้งหมดด้วยลวดลายที่ไม่เคยทำซ้ำ

สำหรับทุกสิ่งที่แสดง “การออกแบบย่อย” ที่หลากหลายและความคล้ายคลึงกันในตัวเองในขณะที่คุณสร้างงานศิลปะบนหมวกของคุณ นี่คือ Pi ของกระเบื้องปูพื้น: ลองตามที่คุณต้องการ คุณจะไม่มีทางได้รูปแบบปกติเป็นระยะ ๆ จาก มัน.

จะทำอย่างไร?

เราจะไม่พยายามแม้แต่จะอธิบายถึง พิสูจน์ ที่นี่ – ด้วยความสัตย์จริง เรายังไม่สามารถแยกย่อยมันได้เอง – ดังนั้นเราจะแนะนำให้คุณเท่านั้น ศึกษามัน ในเวลาของคุณเอง (อาจจะเผื่อวันหยุดยาวไว้สำหรับภารกิจ?

แต่ถ้าคุณต้องการเล่นกับแนวคิดของการเรียงกระเบื้องเป็นระยะ ทำไมไม่ลองอบขนมปังกรอบหรือคุกกี้ด้วยตัวคุณเองถ้าคุณมาจากอเมริกาเหนือ

หากคุณมีเครื่องพิมพ์ 3 มิติ คุณสามารถดาวน์โหลดงานออกแบบเพื่อทำที่ตัดขนมอบรูปหมวกของคุณเองได้!

ประทับเวลา:

เพิ่มเติมจาก ความปลอดภัยเปล่า

สหรัฐอเมริกาผ่านพระราชบัญญัติการเตรียมความพร้อมความปลอดภัยทางไซเบอร์ด้วยคอมพิวเตอร์ควอนตัม – แล้วทำไมจะไม่ล่ะ

คลัสเตอร์ต้นทาง:
โหนดต้นทาง: 1780038
ประทับเวลา: ธันวาคม 29, 2022