'เอนโทรปีเบเกิล' และโครงสร้างที่ซับซ้อนอื่น ๆ เกิดขึ้นจากกฎง่ายๆ | นิตยสารควอนต้า

การทำซ้ำไม่จำเป็นต้องเป็นเรื่องน่าเบื่อเสมอไป ในทางคณิตศาสตร์ มันเป็นพลังอันทรงพลังที่สามารถสร้างความซับซ้อนที่น่าสับสนได้

แม้จะผ่านการศึกษามาหลายทศวรรษ นักคณิตศาสตร์ก็พบว่าตนเองไม่สามารถตอบคำถามเกี่ยวกับการดำเนินการซ้ำๆ ของกฎง่ายๆ ซึ่งเป็น "ระบบไดนามิก" ขั้นพื้นฐานที่สุด แต่ในการพยายามทำเช่นนั้น พวกเขาได้ค้นพบความเชื่อมโยงที่ลึกซึ้งระหว่างกฎเหล่านั้นกับด้านคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่ดูเหมือนจะห่างไกลออกไป

ตัวอย่างเช่น ชุด Mandelbrot ซึ่ง I เขียนเกี่ยวกับ เมื่อเดือนที่แล้ว เป็นแผนที่แสดงการทำงานของตระกูลต่างๆ — อธิบายโดยสมการ f(x) = x² + c — ทำตัวตามค่าของ c มีระยะเหนือระนาบเชิงซ้อนที่เรียกว่า (ต่างจากจำนวนจริงซึ่งสามารถวางบนเส้นตรงได้ จำนวนเชิงซ้อนมีสององค์ประกอบซึ่งสามารถเขียนบนเส้นได้ x- และ y-แกนของระนาบสองมิติ)

ไม่ว่าคุณจะซูมเข้าไปที่ชุด Mandelbrot มากแค่ไหน รูปแบบใหม่ๆ ก็เกิดขึ้นได้เสมอโดยไม่มีขีดจำกัด “แม้แต่ตอนนี้ ก็ยังน่าทึ่งมากสำหรับฉันที่โครงสร้างที่ซับซ้อนมากนี้เกิดขึ้นจากกฎง่ายๆ เช่นนี้” กล่าว แมทธิวเบเกอร์ ของสถาบันเทคโนโลยีจอร์เจีย “นี่เป็นหนึ่งในการค้นพบที่น่าประหลาดใจจริงๆ ของศตวรรษที่ 20”

ความซับซ้อนของฉากแมนเดลบรอตเกิดขึ้นส่วนหนึ่งเพราะมันถูกกำหนดไว้ในแง่ของจำนวนที่เป็นตัวมันเอง ก็คือ ซับซ้อน แต่บางทีก็น่าประหลาดใจนั่นไม่ใช่เรื่องราวทั้งหมด แม้ว่าเมื่อไหร่ก็ตาม c เป็นจำนวนจริงตรงไปตรงมา เช่น –3/2 ปรากฏการณ์แปลกๆ ทุกประเภทสามารถเกิดขึ้นได้ ไม่มีใครรู้ว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อคุณใช้สมการซ้ำๆ f(x) = x² – 3/2 โดยใช้แต่ละเอาต์พุตเป็นอินพุตถัดไปในกระบวนการที่เรียกว่าการวนซ้ำ หากคุณเริ่มทำซ้ำจาก x = 0 ("จุดวิกฤต" ของสมการกำลังสอง) ไม่ชัดเจนว่าจะสร้างลำดับที่ในที่สุดจะมาบรรจบกันสู่วงจรของค่าที่ซ้ำกัน หรือลำดับที่ยังคงเด้งไปมาอย่างไม่สิ้นสุดในรูปแบบที่วุ่นวาย

สำหรับค่าของ c เล็กกว่า –2 หรือใหญ่กว่า 1/4 การวนซ้ำจะขยายอย่างรวดเร็วไปจนถึงระยะอนันต์ แต่ภายในช่วงนั้น มีค่ามากมายอนันต์ c เป็นที่ทราบกันดีว่าก่อให้เกิดพฤติกรรมที่วุ่นวาย และหลายกรณีเช่น –3/2 โดยที่ “เราไม่รู้ว่าจะเกิดอะไรขึ้น แม้ว่ามันจะเป็นรูปธรรมอย่างยิ่งก็ตาม” กล่าว จูลิโอ ติออซโซ่ ของมหาวิทยาลัยโตรอนโต

แต่ในทศวรรษ 1990 นักคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัยสโตนี บรูค มิชา ลูบิชซึ่งมีบทบาทสำคัญในรายงานของฉันเกี่ยวกับฉาก Mandelbrot พิสูจน์แล้วว่า ซึ่งในช่วงระหว่าง –2 ถึง 1/4 ค่าส่วนใหญ่ของ c ทำให้เกิดพฤติกรรม "ไฮเปอร์โบลิก" ที่ดี (นักคณิตศาสตร์ Jacek Graczyk และ Grzegorz Swiatek พิสูจน์อย่างอิสระ ผลลัพธ์ในช่วงเวลาเดียวกัน) ซึ่งหมายความว่า เมื่อวนซ้ำสมการที่เกี่ยวข้องจะมาบรรจบกันเป็นค่าเดียวหรือเข้าสู่วงจรการทำซ้ำของตัวเลข

ทศวรรษต่อมา นักคณิตศาสตร์สามคนแสดงให้เห็นว่าค่าส่วนใหญ่ของ c เป็นการไฮเปอร์โบลิกไม่เพียงแต่สำหรับสมการกำลังสองเท่านั้นแต่สำหรับด้วย ตระกูลพหุนามจำนวนจริงใดๆ (ฟังก์ชันทั่วไปเพิ่มเติมที่รวมตัวแปรที่ยกกำลังเข้าด้วยกัน เช่น x⁷ + 3x⁴ + 5x² +1) และตอนนี้หนึ่งในนั้น เซบาสเตียน ฟาน สไตรเอน จากวิทยาลัยอิมพีเรียลลอนดอน เชื่อว่าเขามีข้อพิสูจน์ถึงคุณสมบัตินี้สำหรับสมการในระดับที่กว้างกว่านั้นเรียกว่าฟังก์ชันการวิเคราะห์จริง ซึ่งรวมถึงฟังก์ชันไซน์ โคไซน์ และเอ็กซ์โปเนนเชียล ฟาน สเตรียนหวังจะประกาศผลในเดือนพฤษภาคม หากยังคงยืนหยัดต่อไปได้หลังจากการทบทวนโดยผู้ทรงคุณวุฒิ จะถือเป็นความก้าวหน้าครั้งสำคัญในการจำแนกลักษณะการทำงานของระบบหนึ่งมิติที่แท้จริง

ทางแยกที่ไม่น่าเป็นไปได้และเบเกิลเอนโทรปี

มีสมการกำลังสองจำนวนจริงจำนวนอนันต์มากมายที่เมื่อวนซ้ำจากศูนย์ เป็นที่รู้กันว่าท้ายที่สุดแล้วจะสร้างวงจรตัวเลขซ้ำกัน แต่ถ้าคุณจำกัด. c ถึงค่าตรรกยะ — ค่าที่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ — ในที่สุดมีเพียงสามค่าเท่านั้นที่สร้างลำดับคาบ: 0, –1 และ –2 “ระบบไดนามิกเหล่านี้มีความพิเศษมาก” กล่าว เคลย์ตัน เพตเช่ ของมหาวิทยาลัยแห่งรัฐออริกอน

In กระดาษ ตีพิมพ์เมื่อปีที่แล้ว Petsche และ ชาติชาย น้อยทับทิม แห่งมหาวิทยาลัยวอเตอร์ลูได้พิสูจน์ให้เห็นว่าสิ่งเหล่านี้มีความพิเศษมากกว่าที่ปรากฏเมื่อมองแวบแรกอีกด้วย นักคณิตศาสตร์พิจารณาตัวเลข “จำนวนจริงทั้งหมด” ซึ่งมีข้อจำกัดมากกว่าจำนวนจริง แต่จำกัดน้อยกว่าจำนวนตรรกยะ

หากคุณแทนค่าตัวเลขลงในพหุนามแล้วได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ จำนวนนั้นจะเป็นคำตอบของหรือรากของพหุนามนั้น เช่น 2 เป็นรากของ f(x) = x² - 4, f(x) = x³ - 10x² + 31x – 30 และสมการอื่นๆ อีกมากมายนับไม่ถ้วน พหุนามดังกล่าวสามารถมีรากที่เป็นจำนวนจริงหรือรากที่ซับซ้อนได้ (เช่น รากของ x² + 1 คือรากที่สองของ –1 เขียนเป็น i, และ –i — จำนวนเชิงซ้อนทั้งคู่)

ตัวเลขจะเป็นจำนวนจริงทั้งหมดหากเป็นไปตามสมการพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มซึ่งมีรากเพียงจำนวนจริงเท่านั้น จำนวนตรรกยะทั้งหมดเป็นจำนวนจริงทั้งหมด แต่ก็มีจำนวนอตรรกยะจำนวนหนึ่งเช่นกัน ตัวอย่างเช่น $latex sqrt{2}$ เป็นจำนวนจริงทั้งหมด เนื่องจากเป็นวิธีแก้ปัญหา f(x) = x² – 2 ซึ่งมีเพียงรากจริงเท่านั้น ($latex sqrt{2}$ และ “sister” root $latex -sqrt{2}$) แต่รากที่สามของ 2 $latex sqrt[3]{2}$ ไม่ใช่จำนวนจริงทั้งหมด มันเป็นวิธีแก้ปัญหาที่ f(x) = x³ – 2 ซึ่งมีรากพี่น้องอีกสองคนเพิ่มเติม หรือที่เรียกว่าคอนจูเกต Galois ซึ่งมีความซับซ้อน

เพชรและนอยทับติมพิสูจน์ว่าไม่มีจำนวนจริงโดยสิ้นเชิงที่ไม่มีเหตุผลใดที่จะทำให้เกิดวัฏจักรเป็นคาบในที่สุด แต่ 0, –1 และ –2 เป็นจำนวนจริงโดยสิ้นเชิงเพียงตัวเดียวที่ทำสิ่งนี้ได้ พวกมันแสดงถึงจุดตัดที่ไม่น่าเป็นไปได้ระหว่างคุณสมบัติจากโลกสองโลกที่ดูเหมือนจะแตกต่างกัน - ทฤษฎีจำนวน (การศึกษาจำนวนเต็ม) และระบบไดนามิก Petsche และ Noytaptim ใช้ผลลัพธ์ที่สำคัญจากทฤษฎีจำนวนในการพิสูจน์ โดยเน้นถึงความเชื่อมโยงระหว่างทั้งสองสาขา

พวกนักคณิตศาสตร์ ซาเวียร์ บัฟ และ ซาราห์ โคช พบ อีกทางแยกที่ไม่น่าเป็นไปได้. พวกเขาแสดงให้เห็นว่ามีเพียงสี่คุณค่าที่แท้จริงของ c — 1/4, –3/4, –5/4 และ –7/4 — สร้างลำดับของประเภทเฉพาะที่เข้าใจกันดีเรียกว่าวงจรพาราโบลา

คอนจูเกตของ Galois ยังปูทางไปสู่การค้นพบวัตถุลึกลับที่เรียกว่า "เบเกิลเอนโทรปี" ซึ่งเป็นวงแหวนแฟร็กทัลที่เรืองแสงในระนาบที่ซับซ้อน เอนโทรปีเป็นการวัดความสุ่ม ในบริบทนี้ จะวัดว่ายากเพียงใดในการทำนายลำดับตัวเลขที่เกิดจากการวนซ้ำ x² + c. ใน กระดาษแผ่นสุดท้ายที่เขาเขียน ก่อนที่เขาจะเสียชีวิตในปี 2012 นักทอพอโลยีชื่อดัง William Thurston ได้จัดทำกราฟชุดของค่าเอนโทรปีที่สอดคล้องกับมูลค่าจริงที่แตกต่างกันเกือบพันล้านของ c — ร่วมกับคอนจูเกต Galois ของค่าเอนโทรปีเหล่านั้น ซึ่งอาจซับซ้อนได้ แนวคิดเรื่องเอนโทรปี "เป็นเพียงเส้นจริง แต่อย่างใด คุณยังสามารถมองเห็นเงาของโลกที่ซับซ้อนนี้ได้" Tiozzo กล่าว

“คุณคงเห็นว่าสิ่งนี้กำลังจัดระเบียบตัวเองให้เป็นโครงสร้างแฟร็กทัลลายลูกไม้ที่น่าทึ่งนี้” Koch กล่าว “มันเจ๋งมาก” เบเกิลเอนโทรปีเป็นเพียงรูปแบบหนึ่งที่ซับซ้อนมากซึ่งเกิดจากการวนซ้ำของสมการกำลังสองจริง “เรายังคงเรียนรู้ข้อความมหัศจรรย์เหล่านี้ — อัญมณีเล็กๆ — เกี่ยวกับพหุนามกำลังสองจริง” เธอกล่าวเสริม “คุณสามารถย้อนกลับไปและประหลาดใจกับสิ่งที่คุณคิดว่าคุณรู้ดีมาก”