อินฟินิตี้ใหญ่แค่ไหน?

ในตอนท้ายของ Marvel blockbuster Avengers: Endgame, โฮโลแกรมที่บันทึกไว้ล่วงหน้าของโทนี่ สตาร์กอำลาลูกสาวตัวน้อยของเขาด้วยการพูดว่า “ฉันรักคุณ 3,000” ช่วงเวลาที่น่าประทับใจสะท้อนถึงฉากก่อนหน้านี้ที่ทั้งสองมีส่วนร่วมในพิธีกรรมก่อนนอนที่ขี้เล่นเพื่อบอกปริมาณความรักที่พวกเขามีให้กัน ตามที่ Robert Downey Jr. นักแสดงที่เล่น Stark บรรทัดนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากการแลกเปลี่ยนที่คล้ายคลึงกันกับลูก ๆ ของเขาเอง

เกมนี้เป็นวิธีที่สนุกในการสำรวจตัวเลขจำนวนมาก:

“ผมรักคุณ 10”

“แต่ฉันรักคุณ 100”

“ก็ ผมรักคุณ 101!”

นี่จึงเป็นที่มาของคำว่า "googolplex" ที่ได้รับความนิยมในบ้านของฉัน แต่เราทุกคนรู้ว่าข้อโต้แย้งนี้นำไปสู่ที่ใด:

“ฉันรักคุณไม่มีที่สิ้นสุด!”

"โอ้ใช่? ฉันรักคุณไม่มีที่สิ้นสุดบวก 1!”

ไม่ว่าจะเป็นในสนามเด็กเล่นหรือก่อนนอน เด็กๆ จะพบกับแนวคิดเรื่องอนันต์เป็นเวลานานก่อนเข้าเรียนวิชาคณิตศาสตร์ และพวกเขาก็เข้าใจได้ถึงความหลงใหลในแนวคิดลึกลับ ซับซ้อน และสำคัญนี้ เด็กเหล่านี้บางคนเติบโตขึ้นมาเป็นนักคณิตศาสตร์ที่หลงใหลในอนันต์ และนักคณิตศาสตร์บางคนกำลังค้นพบสิ่งใหม่และน่าประหลาดใจเกี่ยวกับอนันต์

คุณอาจรู้ว่าตัวเลขบางชุดมีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ แต่คุณรู้หรือไม่ว่าจำนวนอนันต์บางชุดนั้นใหญ่กว่าชุดอื่นๆ และเราไม่แน่ใจว่ามีอินฟินิตี้อื่นคั่นกลางระหว่างสองสิ่งที่เรารู้ดีที่สุดหรือไม่? นักคณิตศาสตร์ไตร่ตรองคำถามที่สองนี้มาอย่างน้อยหนึ่งศตวรรษแล้ว และงานล่าสุดบางชิ้นได้เปลี่ยนวิธีคิดของผู้คนเกี่ยวกับประเด็นนี้

เพื่อจัดการกับคำถามเกี่ยวกับขนาดของเซตอนันต์ เรามาเริ่มกันที่เซตที่นับง่ายกว่ากัน เซตคือชุดของวัตถุหรือองค์ประกอบ และเซตจำกัดเป็นเพียงเซตที่มีอ็อบเจกต์จำนวนมากอย่างไม่จำกัด

การกำหนดขนาดของเซตจำกัดนั้นง่ายมาก เพียงนับจำนวนองค์ประกอบที่มี เนื่องจากเซตมีขอบเขตจำกัด คุณจึงรู้ว่าคุณจะหยุดนับในที่สุด และเมื่อคุณทำเสร็จแล้ว คุณจะรู้ขนาดของเซตของคุณ

กลยุทธ์นี้ใช้ไม่ได้กับชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด นี่คือชุดของจำนวนธรรมชาติ ซึ่งเขียนแทนด้วย ℕ (บางคนอาจโต้แย้งว่าศูนย์ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ แต่การโต้เถียงนั้นไม่ส่งผลต่อการตรวจสอบของเราในเรื่องอนันต์)

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,5,…}$

ชุดนี้ขนาดเท่าไหร่ครับ เนื่องจากไม่มีจำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุด การพยายามนับจำนวนองค์ประกอบจึงไม่ได้ผล ทางออกหนึ่งคือประกาศขนาดของเซตอนันต์นี้เป็น "อนันต์" ซึ่งก็ไม่ผิด แต่เมื่อคุณเริ่มสำรวจเซตอนันต์อื่นๆ คุณก็รู้ว่ามันก็ไม่ถูกต้องเช่นกัน

พิจารณาชุดของจำนวนจริง ซึ่งเป็นตัวเลขทั้งหมดที่แสดงได้ในการขยายทศนิยม เช่น 7, 3.2, −8.015 หรือการขยายไม่สิ้นสุด เช่น $latexsqrt{2} = 1.414213…$ เนื่องจากจำนวนธรรมชาติทุกจำนวนเป็นจำนวนจริงเช่นกัน เซตของจำนวนจริงจึงมีค่าเท่ากับเซตของจำนวนธรรมชาติเป็นอย่างน้อย ดังนั้นจึงต้องเป็นจำนวนอนันต์ด้วย

แต่มีบางอย่างที่ไม่น่าพอใจเกี่ยวกับการประกาศขนาดของชุดจำนวนจริงให้เป็น "อนันต์" แบบเดียวกับที่ใช้อธิบายขนาดของจำนวนธรรมชาติ เพื่อดูว่าเหตุใด ให้เลือกเลขสองตัวใดๆ เช่น 3 และ 7 ระหว่างเลขสองตัวนั้นจะมีจำนวนธรรมชาติมากมายไม่จำกัด: นี่คือเลข 4, 5 และ 6 แต่จะมีจำนวนจริงมากมายไม่รู้จบอยู่ระหว่างเลขเหล่านั้นเสมอ เช่น 3.001, 3.01, π, 4.01023, 5.666… และอื่นๆ

น่าทึ่งพอสมควร ไม่ว่าจำนวนจริงที่แตกต่างกันสองจำนวนจะอยู่ใกล้กันเพียงใด ก็จะมีจำนวนจริงมากมายมหาศาลอยู่ระหว่างนั้นเสมอ โดยตัวของมันเองแล้ว นี่ไม่ได้หมายความว่าเซตของจำนวนจริงและจำนวนธรรมชาติมีขนาดต่างกัน แต่มันบ่งบอกว่ามีบางอย่างที่แตกต่างกันโดยพื้นฐานเกี่ยวกับเซตอนันต์สองเซตนี้ที่รับประกันว่าจะต้องมีการตรวจสอบเพิ่มเติม

Georg Cantor นักคณิตศาสตร์ได้ตรวจสอบสิ่งนี้ในปลายศตวรรษที่ 19 เขาแสดงให้เห็นว่าเซตอนันต์สองเซตนี้มีขนาดต่างกันจริงๆ เพื่อให้เข้าใจและชื่นชมวิธีที่เขาทำอย่างนั้น ก่อนอื่นเราต้องเข้าใจวิธีเปรียบเทียบเซตอนันต์ ความลับเป็นแก่นของวิชาคณิตศาสตร์ทุกหนทุกแห่ง: ฟังก์ชัน

มีหลายวิธีในการคิดเกี่ยวกับฟังก์ชัน เช่น สัญกรณ์ฟังก์ชัน เช่น $latex f(x) = x^2 +1$, กราฟของพาราโบลาในระนาบคาร์ทีเซียน, กฎ เช่น “รับค่าเข้าและเพิ่ม 3 เข้าไป” — แต่ในที่นี้เราจะนึกถึงฟังก์ชันเพื่อจับคู่องค์ประกอบของเซตหนึ่งกับองค์ประกอบของอีกเซตหนึ่ง

ให้หนึ่งในเซตเหล่านั้นเป็น ℕ เซตของจำนวนธรรมชาติ สำหรับอีกชุดที่เราจะเรียกว่า Sเราจะหาจำนวนธรรมชาติที่เป็นเลขคู่ทั้งหมด นี่คือสองชุดของเรา:

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,…}$ $latex S= {0,2,4,6,8,…}$

มีฟังก์ชันง่ายๆ ที่เปลี่ยนองค์ประกอบของ ℕ เป็นองค์ประกอบของ S: $ยาง f(x) = 2x$. ฟังก์ชันนี้จะเพิ่มอินพุตเป็นสองเท่า ดังนั้นหากเราคิดว่าองค์ประกอบของ ℕ เป็นอินพุตของ $latex f(x)$ (เราเรียกชุดของอินพุตของฟังก์ชันว่า "โดเมน") เอาต์พุตจะเป็นองค์ประกอบของ S. ตัวอย่างเช่น $latex f(0)=0$, $latex f(1) = 2$, $latex f(2) = 4$, $latex f(3) = 6$ เป็นต้น

คุณสามารถทำให้เห็นภาพได้โดยการจัดเรียงองค์ประกอบของทั้งสองชุดเคียงข้างกันและใช้ลูกศรเพื่อระบุว่าฟังก์ชัน $latex f$ เปลี่ยนอินพุตจาก ℕ เป็นเอาต์พุตใน S.

สังเกตว่า $latex f(x)$ กำหนดองค์ประกอบใดองค์ประกอบหนึ่งของ S ไปยังแต่ละองค์ประกอบของ ℕ นั่นคือสิ่งที่ฟังก์ชั่นทำ แต่ $latex f(x)$ ทำในลักษณะพิเศษ ขั้นแรก $latex f$ กำหนดให้ทุกอย่างเข้ามา S เพื่อบางสิ่งใน ℕ การใช้คำศัพท์เกี่ยวกับฟังก์ชัน เราบอกว่าทุกองค์ประกอบของ S คือ “ภาพ” ขององค์ประกอบ ℕ ภายใต้ฟังก์ชัน $latex f$ เช่น เลขคู่ 3,472 อยู่ Sและเราสามารถหา x ใน ℕ นั่นคือ $latex f(x) = 3,472$ (คือ 1,736) ในสถานการณ์นี้ เราบอกว่าฟังก์ชัน $latex f(x)$ จับคู่ ℕ เข้ากับ S. วิธีคิดที่แปลกกว่านั้นคือฟังก์ชัน $latex f(x)$ คือ "การคาดเดา" ไม่ว่าคุณจะอธิบายอย่างไร สิ่งที่สำคัญก็คือ เนื่องจากฟังก์ชัน $latex f(x)$ เปลี่ยนอินพุตจาก ℕ เป็นเอาต์พุตใน Sไม่มีอะไรใน S พลาดในกระบวนการ

สิ่งที่พิเศษอย่างที่สองเกี่ยวกับวิธีที่ $latex f(x)$ กำหนดเอาต์พุตให้กับอินพุตคือไม่มีสององค์ประกอบใน ℕ ที่แปลงเป็นองค์ประกอบเดียวกันใน S. หากตัวเลขสองตัวต่างกัน แสดงว่าจำนวนสองเท่านั้นแตกต่างกัน 5 และ 11 เป็นจำนวนธรรมชาติที่แตกต่างกันใน ℕ และเอาต์พุตเป็น S ยังแตกต่างกัน: 10 และ 22 ในกรณีนี้ เราบอกว่า $latex f(x)$ คือ “1-to-1” (เขียนด้วย “1-1”) และเราอธิบาย $latex f(x)$ เป็น “ฉีดยา” ที่สำคัญนี่คือไม่มีอะไรใน S ถูกใช้สองครั้ง: ทุกองค์ประกอบใน S จับคู่กับองค์ประกอบเดียวใน ℕ

คุณลักษณะทั้งสองนี้ของ $latex f(x)$ รวมกันอย่างมีประสิทธิภาพ ฟังก์ชัน $latex f(x)$ สร้างการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบระหว่างองค์ประกอบของ ℕ และองค์ประกอบของ S. ความจริงที่ว่า $latex f(x)$ เป็น "onto" หมายความว่าทุกอย่างใน S มีพันธมิตรใน ℕ และข้อเท็จจริงที่ว่า $latex f(x)$ คือ 1 ต่อ 1 หมายความว่าไม่มีสิ่งใดใน S มีหุ้นส่วนสองคนใน ℕ กล่าวโดยย่อ ฟังก์ชัน $latex f(x)$ จะจับคู่ทุกองค์ประกอบของ ℕ กับองค์ประกอบหนึ่งของ S.

ฟังก์ชันที่เป็นทั้งแบบฉีดและแบบเสริมเรียกว่า bijection และ bijection จะสร้างการติดต่อแบบ 1 ต่อ 1 ระหว่างสองชุด ซึ่งหมายความว่าทุกองค์ประกอบในเซตหนึ่งมีคู่เดียวในเซตอื่น และนี่เป็นวิธีหนึ่งในการแสดงว่าเซตอนันต์สองเซตมีขนาดเท่ากัน

เนื่องจากฟังก์ชัน $latex f(x)$ เป็น bijection นี่แสดงให้เห็นว่าเซตอนันต์สองเซต ℕ และ S มีขนาดเท่ากัน สิ่งนี้อาจดูน่าประหลาดใจ ท้ายที่สุดแล้ว จำนวนธรรมชาติทุกตัวก็เป็นจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น ℕ จึงรวมทุกอย่างไว้ในนั้น S และอื่น ๆ. นั่นไม่ควรทำให้ ℕ ใหญ่กว่า S? ถ้าเราจัดการกับเซตจำกัด คำตอบคือใช่ แต่เซตอนันต์ชุดหนึ่งสามารถบรรจุอีกชุดหนึ่งได้อย่างสมบูรณ์และยังสามารถมีขนาดเท่ากันได้ แบบที่ "อินฟินิตี้บวก 1" ไม่ใช่ปริมาณความรักที่มากไปกว่า "อินฟินิตี้" แบบเดิมๆ นี่เป็นเพียงคุณสมบัติที่น่าประหลาดใจอย่างหนึ่งของเซตอนันต์

สิ่งที่น่าประหลาดใจยิ่งกว่านั้นก็คืออาจมีชุดขนาดต่างๆ กันมากมายนับไม่ถ้วน ก่อนหน้านี้เราได้สำรวจธรรมชาติที่แตกต่างกันของเซตอนันต์ของจำนวนจริงและจำนวนธรรมชาติ และคันทอร์ได้พิสูจน์ว่าเซตอนันต์ทั้งสองนี้มีขนาดต่างกัน เขาทำเช่นนั้นด้วยการโต้เถียงแนวทแยงที่ยอดเยี่ยมและมีชื่อเสียงของเขา

เนื่องจากมีจำนวนจริงมากมายนับไม่ถ้วนระหว่างสองจำนวนจริงที่แตกต่างกัน เรามาโฟกัสกันที่จำนวนจริงจำนวนนับไม่ถ้วนระหว่างศูนย์กับ 1 แต่ละจำนวนเหล่านี้อาจถูกมองว่าเป็นการขยายทศนิยม (อาจเป็นอนันต์) เช่นนี้

ในที่นี้ $latex a_1, a_2, a_3$ และอื่น ๆ เป็นเพียงหลักของตัวเลข แต่เราไม่ต้องการให้ตัวเลขทั้งหมดเป็นศูนย์ เราจึงไม่รวมเลขศูนย์ไว้ในชุดของเรา

ข้อโต้แย้งในแนวทแยงเริ่มต้นด้วยคำถาม: จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามี bijection ระหว่างจำนวนธรรมชาติและจำนวนจริงเหล่านี้ หากมีฟังก์ชันดังกล่าวอยู่ ชุดทั้งสองจะมีขนาดเท่ากัน และคุณสามารถใช้ฟังก์ชันเพื่อจับคู่จำนวนจริงแต่ละจำนวนระหว่างศูนย์ถึง 1 กับจำนวนธรรมชาติได้ คุณสามารถจินตนาการถึงรายการที่ตรงกันตามลำดับเช่นนี้

ความอัจฉริยะของอาร์กิวเมนต์แนวทแยงคือคุณสามารถใช้รายการนี้เพื่อสร้างจำนวนจริงที่ไม่อยู่ในรายการได้ เริ่มสร้างจำนวนจริงทีละหลักด้วยวิธีต่อไปนี้: ทำให้หลักแรกหลังจุดทศนิยมแตกต่างจาก $latex a_1$, ทำให้หลักที่สองแตกต่างจาก $latex b_2$, ทำให้หลักที่สามแตกต่างจาก $latex c_3 $ เป็นต้น

จำนวนจริงนี้ถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์กับเส้นทแยงมุมของรายการ มันอยู่ในรายการ? ไม่สามารถเป็นหมายเลขแรกในรายการได้ เนื่องจากมีตัวเลขหลักที่แตกต่างกัน และไม่สามารถเป็นหมายเลขที่สองในรายการได้ เนื่องจากมีหลักที่สองที่แตกต่างกัน ในความเป็นจริงมันไม่สามารถ nลำดับที่ XNUMX ในรายการนี้ เพราะมันมีความแตกต่างกัน nหลักที่ และนี่เป็นเรื่องจริงสำหรับทุกคน nดังนั้นหมายเลขใหม่นี้ซึ่งอยู่ระหว่างศูนย์ถึง 1 จึงไม่อยู่ในรายการ

แต่จำนวนจริงทั้งหมดระหว่างศูนย์ถึง 1 ควรอยู่ในรายการ! ความขัดแย้งนี้เกิดขึ้นจากสมมติฐานที่ว่ามีการคาดคะเนระหว่างจำนวนธรรมชาติและจำนวนจริงระหว่างศูนย์ถึง 1 ดังนั้นจึงไม่มีการคาดการณ์เช่นนั้น ซึ่งหมายความว่าเซตอนันต์เหล่านี้มีขนาดต่างกัน การทำงานกับฟังก์ชันเพิ่มเติมอีกเล็กน้อย (ดูแบบฝึกหัด) สามารถแสดงว่าเซตของจำนวนจริงทั้งหมดมีขนาดเท่ากับเซตของจำนวนจริงทั้งหมดระหว่างศูนย์ถึง 1 และจำนวนจริงซึ่งประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติจะต้องเป็น a ชุดอนันต์ที่ใหญ่กว่า

คำศัพท์ทางเทคนิคสำหรับขนาดของเซตอนันต์คือ "จำนวนสมาชิก" อาร์กิวเมนต์แนวทแยงแสดงให้เห็นว่าจำนวนนับของจำนวนจริงมากกว่าจำนวนนับของจำนวนธรรมชาติ จำนวนนับของจำนวนธรรมชาติเขียน $latex aleph_0$ ออกเสียงว่า "aleph naught" ในมุมมองมาตรฐานของคณิตศาสตร์ นี่คือคาร์ดินัลอนันต์ที่เล็กที่สุด

คาร์ดินัลที่ไม่สิ้นสุดถัดไปคือ $latex aleph_1$ (“aleph one”) และคำถามที่กล่าวง่ายๆ ได้ทำให้นักคณิตศาสตร์สับสนวุ่นวายมากว่าศตวรรษ: $latex aleph_1$ เป็นจำนวนนับของจำนวนจริงหรือไม่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง มีอนันต์อื่น ๆ อีกไหมระหว่างจำนวนธรรมชาติและจำนวนจริง คันทอร์คิดว่าคำตอบคือไม่ — คำยืนยันที่เป็นที่รู้จักในชื่อ สมมติฐานความต่อเนื่อง - แต่เขาไม่สามารถพิสูจน์ได้ ในช่วงต้นทศวรรษ 1900 คำถามนี้ถือว่าสำคัญมาก เมื่อ David Hilbert รวบรวมรายการปัญหาเปิดที่สำคัญ 23 รายการที่มีชื่อเสียงของเขาในวิชาคณิตศาสตร์ สมมติฐานความต่อเนื่องเป็นข้อแรก

หนึ่งร้อยปีต่อมามีความคืบหน้ามากมาย แต่ความก้าวหน้าดังกล่าวได้นำไปสู่ความลึกลับใหม่ ในปี 1940 นักลอจิกชื่อดัง เคิร์ต โกเดล พิสูจน์แล้ว ภายใต้กฎที่ยอมรับกันทั่วไปของทฤษฎีเซต เป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์ว่าอนันต์อยู่ระหว่างจำนวนธรรมชาติกับจำนวนจริง นั่นอาจดูเหมือนเป็นขั้นตอนใหญ่ในการพิสูจน์ว่าสมมติฐานความต่อเนื่องนั้นเป็นจริง แต่อีกสองทศวรรษต่อมา Paul Cohen นักคณิตศาสตร์ พิสูจน์แล้วว่า มันเป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์ว่าอินฟินิตี้นั้นไม่มีอยู่จริง! ปรากฎว่าสมมติฐานความต่อเนื่องไม่สามารถพิสูจน์ได้ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง

ผลลัพธ์เหล่านี้ร่วมกันสร้าง "ความเป็นอิสระ" ของสมมติฐานต่อเนื่อง ซึ่งหมายความว่ากฎของเซตที่ยอมรับกันทั่วไปนั้นไม่ได้พูดมากพอที่จะบอกเราว่าค่าอนันต์อยู่ระหว่างจำนวนธรรมชาติกับจำนวนจริงหรือไม่ แต่แทนที่จะทำให้นักคณิตศาสตร์ท้อแท้ในการแสวงหาความเข้าใจเรื่องอนันต์ มันได้นำพวกเขาไปสู่ทิศทางใหม่ ขณะนี้นักคณิตศาสตร์กำลังมองหากฎพื้นฐานใหม่สำหรับเซตอนันต์ที่สามารถอธิบายสิ่งที่รู้อยู่แล้วเกี่ยวกับอินฟินิตี้และช่วยเติมช่องว่าง

การพูดว่า “ความรักของฉันที่มีต่อคุณนั้นไม่ขึ้นอยู่กับสัจพจน์” อาจไม่สนุกเท่ากับการพูดว่า “ฉันรักคุณไม่มีที่สิ้นสุดบวก 1” แต่บางทีมันอาจจะช่วยให้นักคณิตศาสตร์ที่รักเรื่องไม่มีที่สิ้นสุดรุ่นต่อไปนอนหลับฝันดี

การออกกำลังกาย

1. ให้ $latex T = {1,3,5,7,…}$ เซตของจำนวนคี่ที่เป็นบวก เป็น T ใหญ่กว่า เล็กกว่า หรือเท่ากับ ℕ เซตของจำนวนธรรมชาติ?

2. ค้นหาความสัมพันธ์แบบ 1 ต่อ 1 ระหว่างเซตของจำนวนธรรมชาติ ℕ และเซตของจำนวนเต็ม $latexmathbb{Z}={…,-3,-2,-1,0,1,2,3, …}$

3. หาฟังก์ชัน $latex f(x)$ ที่เป็น bijection ระหว่างเซตของจำนวนจริงระหว่างศูนย์ถึง 1 กับเซตของจำนวนจริงที่มากกว่าศูนย์

4. จงหาฟังก์ชันที่เป็น bijection ระหว่างเซตของจำนวนจริงระหว่างศูนย์ถึง 1 กับเซตของจำนวนจริงทั้งหมด

คลิกเพื่อตอบ 1:

คลิกเพื่อตอบ 2:

คลิกเพื่อตอบ 3:

คลิกเพื่อตอบ 4: