ไอแซก นิวตันไม่เป็นที่รู้จักในเรื่องความเอื้อเฟื้อเผื่อแผ่ และการดูถูกคู่แข่งถือเป็นตำนาน แต่ในจดหมายฉบับหนึ่งถึงคู่แข่งของเขา Gottfried Leibniz ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ Epistola หลังนิวตันออกมาด้วยความคิดถึงและเกือบจะเป็นมิตร ในนั้นเขาเล่าเรื่องราวตั้งแต่สมัยเป็นนักเรียนเมื่อเขาเพิ่งเริ่มเรียนคณิตศาสตร์ เขาเล่าถึงวิธีที่เขาค้นพบครั้งสำคัญโดยการนำพื้นที่ใต้เส้นโค้งมาเทียบเคียงกับผลรวมที่ไม่มีที่สิ้นสุดด้วยกระบวนการคาดเดาและตรวจสอบ เหตุผลของเขาในจดหมายนั้นมีเสน่ห์และเข้าถึงได้มาก มันทำให้ฉันนึกถึงเกมทายรูปแบบที่เด็กๆ ชอบเล่น
ทุกอย่างเริ่มต้นขึ้นเมื่อนิวตันในวัยเยาว์อ่านหนังสือของจอห์น วอลลิส เลขคณิตอินฟินิทอรัม, ผลงานสำคัญของคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 17 วอลลิสได้รวมวิธีการใหม่และวิธีอุปนัยในการกำหนดค่าของ pi และนิวตันต้องการประดิษฐ์สิ่งที่คล้ายกัน เขาเริ่มต้นด้วยโจทย์ในการหาพื้นที่ของ “ส่วนวงกลม” ที่มีความกว้างปรับได้ $น้ำยาง x$. นี่คือพื้นที่ใต้วงกลมหน่วย ซึ่งกำหนดโดย $latex y=sqrt{1-x^2}$ ซึ่งอยู่เหนือส่วนของแกนนอนตั้งแต่ 0 ถึง $น้ำยาง x$. ที่นี่ $น้ำยาง x$ อาจเป็นตัวเลขใดก็ได้ตั้งแต่ 0 ถึง 1 และ 1 คือรัศมีของวงกลม พื้นที่ของวงกลมหนึ่งหน่วยคือ pi อย่างที่นิวตันทราบดี ดังนั้นเมื่อ $น้ำยาง x=1$, พื้นที่ใต้เส้นโค้งคือหนึ่งในสี่ของวงกลมหนึ่งหน่วย, $latexfrac{π}{4}$ แต่สำหรับค่าอื่นๆ ของ $น้ำยาง x$ไม่มีอะไรเป็นที่รู้จัก
ถ้านิวตันสามารถหาวิธีกำหนดพื้นที่ใต้เส้นโค้งสำหรับทุกค่าที่เป็นไปได้ของ $น้ำยาง x$, มันอาจทำให้เขามีวิธีการประมาณ pi อย่างไม่เคยปรากฏมาก่อน เดิมทีเป็นแผนการใหญ่ของเขา แต่ระหว่างทางเขาพบสิ่งที่ดีกว่า: วิธีการแทนที่เส้นโค้งที่ซับซ้อนด้วยผลรวมที่ไม่สิ้นสุดของหน่วยการสร้างที่เรียบง่ายกว่าซึ่งสร้างจากพลังของ $น้ำยาง x$.
ขั้นตอนแรกของนิวตันคือการให้เหตุผลโดยการเปรียบเทียบ แทนที่จะเล็งไปที่พื้นที่ของส่วนวงกลมโดยตรง เขาตรวจสอบพื้นที่ของส่วนที่คล้ายคลึงกันซึ่งล้อมรอบด้วยเส้นโค้งต่อไปนี้:
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}$,
$latex y_1=(1-x^2)^frac{1}{2}$,
$latex y_2=(1-x^2)^frac{2}{2}$,
$latex y_3=(1-x^2)^frac{3}{2}$,
$latex y_4=(1-x^2)^frac{4}{2}$,
$latex y_5=(1-x^2)^frac{5}{2}$,
$latex y_6=(1-x^2)^frac{6}{2}$.
นิวตันรู้ว่าพื้นที่ใต้เส้นโค้งในรายการที่ยกกำลังเป็นจำนวนเต็ม (เช่น $latex frac{0}{2}=0$ และ $latex frac{2}{2} = 1$) จะคำนวณได้ง่าย เพราะมันลดความซับซ้อนทางพีชคณิต ตัวอย่างเช่น,
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}=(1-x^2)^0=1$.
ในทำนองเดียวกัน
แต่ไม่มีการทำให้เข้าใจง่ายสำหรับสมการของวงกลม — $latex y_1 = sqrt {1-x^2}=(1-x^2)^frac{1}{2}$— หรือเส้นโค้งอื่นๆ ที่กำลังครึ่ง ในเวลานั้น ไม่มีใครรู้ว่าจะหาพื้นที่ใต้พวกมันได้อย่างไร
โชคดีที่พื้นที่ใต้เส้นโค้งที่ยกกำลังเลขจำนวนเต็มนั้นตรงไปตรงมา ใช้เส้นโค้ง $latex y_4=1-2x^2+x^4$ กฎที่เป็นที่รู้จักกันดีในขณะนั้นสำหรับฟังก์ชันดังกล่าวทำให้นิวตัน (และคนอื่นๆ) สามารถค้นหาพื้นที่ได้อย่างรวดเร็ว: สำหรับเลขยกกำลังใดๆ $latex nge 0$ พื้นที่ใต้เส้นโค้ง $latex y=x^n$ ส่วน ช่วงเวลาจาก $ลาเท็กซ์ 0$ ไปยัง $น้ำยาง x$ กำหนดโดย $latex frac{x^{n+1}}{n+1}$ (วอลลิสเดากฎนี้ด้วยวิธีอุปนัยของเขา และปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ก็พิสูจน์โดยสรุป) ด้วยกฎนี้ นิวตันรู้ว่าพื้นที่ใต้เส้นโค้ง $latex y_4$ คือ $latex x-frac{2x^3}{3 } + frac{x^5}{5}$
กฎเดียวกันทำให้เขาสามารถหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งอื่นๆ ที่ยกกำลังจำนวนเต็มในรายการด้านบนได้ ลองเขียน $latex A_n$ สำหรับพื้นที่ใต้เส้นโค้ง $latex y_n = (1-x^2)^frac{n}{2}$ โดยที่ $latex n= 0, 1, 2, …$ การใช้กฎจะให้ผลตอบแทน
$ยาง A_0=x$
$ลาเท็กซ์ A_1 = hspace{.295em}?$
$ลาเท็กซ์ A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$ลาเท็กซ์ A_3 = hspace{.295em}?$
$ลาเท็กซ์ A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$ลาเท็กซ์ A_5 =hspace{.295em}? $
$ลาเท็กซ์ A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$
และอื่น ๆ ความคิดที่แยบยลของนิวตันคือการเติมช่องว่างโดยหวังว่าจะเดา $latexA_1$ (ชุดข้อมูลสำหรับพื้นที่ที่ไม่รู้จักของส่วนวงกลม) ตามสิ่งที่เขาเห็นในชุดอื่นๆ สิ่งหนึ่งที่ชัดเจนทันที: แต่ละ $latexA_n$ เริ่มต้นง่ายๆ ด้วย $latex x$ ที่แนะนำให้แก้ไขสูตรดังนี้:
$ยาง A_0=x$
$ลาเท็กซ์ A_1 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$ลาเท็กซ์ A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$ลาเท็กซ์ A_3 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$ลาเท็กซ์ A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$
จากนั้น เพื่อแทนที่เครื่องหมายคำถามชุดถัดไป นิวตันดูเงื่อนไข $latex x^3$ ด้วยใบอนุญาตเล็กน้อย เราจะเห็นว่าแม้แต่ $latexA_0$ ก็มีหนึ่งในเงื่อนไขลูกบาศก์เหล่านี้ เนื่องจากเราสามารถเขียนใหม่เป็น $latex A_0 = x-frac{0}{3}x^3$ ดังที่นิวตันอธิบายกับไลบ์นิซ เขาสังเกตว่า “เทอมที่สอง $latex frac{0}{3}x^3, frac{1}{3}x^3, frac{2}{3}x^3, frac{ 3}{3}x^3$ ฯลฯ อยู่ในขั้นตอนเลขคณิต” (เขาหมายถึง 0, 1, 2, 3 ในตัวเศษ) เมื่อสงสัยว่าความก้าวหน้าทางเลขคณิตนี้อาจขยายไปสู่ช่องว่างด้วย นิวตันเดาว่าลำดับของตัวเศษทั้งหมด ทั้งที่ทราบและไม่ทราบ ควรเป็นตัวเลขที่คั่นด้วย $latex frac{1}{2} (0, frac{1}{2 }, 1, frac{3}{2}, 2, frac{5}{2}, 3 …)$ “และด้วยเหตุนี้จึงเป็นคำศัพท์สองคำแรกของชุด” ที่เขาสนใจ — $latex A_1$ ที่ยังไม่ทราบ , $latex A_3$ และ $latex A_5$ — “ควรเป็น $latex x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3), x-frac{1}{3} (frac {3}{2}x^3), x-frac{1}{3}(frac{5}{2}x^3)$ เป็นต้น”
ดังนั้น ในขั้นตอนนี้ รูปแบบที่แนะนำต่อนิวตันว่า $latex A_1$ ควรเริ่มต้นด้วย
$latex A_1 = x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3) + …$
นี่เป็นการเริ่มต้นที่ดี แต่เขาต้องการมากกว่านี้ ขณะที่เขาค้นหารูปแบบอื่นๆ นิวตันสังเกตเห็นว่าตัวส่วนในสมการประกอบด้วยเลขคี่เสมอในลำดับที่เพิ่มขึ้น ตัวอย่างเช่น ดูที่ $latex A_6$ ซึ่งมี 1, 3, 5 และ 7 เป็นตัวส่วน รูปแบบเดียวกันนั้นใช้ได้กับ $latex A_4$ และ $latex A_2$ ง่ายพอ เห็นได้ชัดว่ารูปแบบนั้นยังคงอยู่ในตัวส่วนของสมการทั้งหมด
สิ่งที่เหลืออยู่คือการหารูปแบบในตัวเศษ นิวตันตรวจสอบ $latex A_2$, $latex A_4$ และ $latex A_6$ อีกครั้ง และพบบางอย่าง ใน $latex A_2 = x-frac{1}{3}x^3$ เขาเห็น 1 คูณ $latex x$ และอีก 1 ในเทอม $latexfrac {1}{3}x^3$ (เขาไม่สนใจ สัญญาณลบในขณะนี้) ใน $latex A_4 = x-frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$ เขาเห็นตัวเศษเป็น 1, 2, 1 และใน $latex A_6=x-frac{ 3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 -frac{1}{7}x^7$ เขาเห็นตัวเศษ 1, 3, 3, 1 ตัวเลขเหล่านี้ทุกคนน่าจะคุ้นเคย ใครเคยศึกษาเรื่องสามเหลี่ยมของปาสคาล การจัดเรียงตัวเลขแบบสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นโดยการนำตัวเลขด้านบนมาบวกกัน โดยเริ่มจาก 1 ที่ด้านบน
แทนที่จะเรียกใช้ภาษาปาสคาล นิวตันเรียกตัวเศษเหล่านี้ว่า "กำลังของเลข 11" ตัวอย่างเช่น 112 = 121 ซึ่งเป็นแถวที่สองในรูปสามเหลี่ยม และ 113 = 1331 ซึ่งเป็นตัวที่สาม ปัจจุบันตัวเลขเหล่านี้เรียกอีกอย่างว่าสัมประสิทธิ์ทวินาม พวกมันเกิดขึ้นเมื่อคุณขยายพลังของทวินาม เช่น ($latex a +b$) เช่น $latex (a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b+3ab^2 +1b^3$ ด้วยรูปแบบนี้ ตอนนี้นิวตันมีวิธีง่ายๆ ในการเขียน $latex A_2, A_4, A_6$ และเลขคู่อื่นๆ ทั้งหมด Aเอส
ต่อไป ในการประมาณผลลัพธ์ของเขาเป็นเลขครึ่งกำลังและตัวห้อยเลขคี่ (และในที่สุดก็ไปถึงชุดที่เขาต้องการ $latex A_1$) นิวตันจำเป็นต้องขยายสามเหลี่ยมของปาสคาลไปสู่ระบอบใหม่ที่ยอดเยี่ยม: อยู่กึ่งกลางระหว่างแถว ในการประมาณค่า เขาได้สูตรทั่วไปสำหรับค่าสัมประสิทธิ์ทวินามในแถวใดๆ ของสามเหลี่ยมของปาสคาล — แถว $latex m$ — จากนั้นเสียบ $latex m= frac{1}{2}$ อย่างกล้าหาญ และมันได้ผลอย่างน่าอัศจรรย์ นั่นทำให้เขาได้ตัวเศษในซีรีส์ที่เขากำลังหาวงกลมหน่วย $latexA_1$
ในคำพูดของนิวตัน นี่คือบทสรุปของเขาต่อไลบ์นิซเกี่ยวกับรูปแบบที่เขาสังเกตเห็นโดยอุปนัยจนถึงขั้นตอนนี้ในการโต้เถียง:
ฉันเริ่มสะท้อนว่าตัวส่วน 1, 3, 5, 7 และอื่น ๆ มีความก้าวหน้าทางเลขคณิต ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขของตัวเศษเท่านั้นที่ยังต้องการการตรวจสอบ แต่ในพื้นที่ที่กำหนดสลับกัน สิ่งเหล่านี้คือเลขพลังของเลข 11 … นั่นคือ '1' ตัวแรก; จากนั้น '1, 1'; ประการที่สาม '1, 2, 1'; ที่สี่ '1, 3, 3, 1'; ประการที่ห้า '1, 4, 6, 4, 1' เป็นต้น ดังนั้นฉันจึงเริ่มสอบถามว่าตัวเลขที่เหลือในอนุกรมสามารถหามาจากสองตัวเลขแรกได้อย่างไร และพบว่าในการใส่ $latex m$ สำหรับวินาทีที่สอง ส่วนที่เหลือจะเกิดจากการคูณพจน์ของอนุกรมนี้อย่างต่อเนื่อง
$latex frac{m-0}{1} คูณ frac{m-1}{2} คูณ frac {m-2}{3} คูณ frac{m-3}{4} คูณ frac {m-4}{5 }$ ฯลฯ
… ดังนั้นฉันจึงใช้กฎนี้ในการแทรกอนุกรมระหว่างอนุกรม และเนื่องจากสำหรับวงกลม เทอมที่สองคือ $latex frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3)$ ฉันจึงใส่ $latex m=frac{1}{2}$ และข้อกำหนดที่เกิดขึ้นคือ
$latex frac {1}{2} คูณ frac{1}{2}-1}{2}$ หรือ $latex -frac{1}{8}$,
$latex -frac{1}{8} คูณ frac{1}{2}-2}{3}$ หรือ $latex + frac{1}{16}$,
$latex frac{1}{16} คูณ frac{1}{2}-3}{4}$ หรือ $latex – frac {5}{128}$,จนถึงอินฟินิตี้ ฉันมาเข้าใจว่าพื้นที่ของส่วนวงกลมที่ฉันต้องการคือ
$latex x-frac{frac{1}{2}x^3}{3}-frac{frac{1}{8}x^5}{5}-frac{frac{1}{16}x^7}{7}-frac{frac{5}{128}x^9}{9}$ etc.
สุดท้าย เมื่อเสียบ $latex x=1$ นิวตันจะได้ผลรวมที่ไม่สิ้นสุดสำหรับ $latexfrac{π}{4}$ เป็นการค้นพบที่สำคัญ แต่ปรากฎว่ามีวิธีที่ดีกว่าในการประมาณค่าพายโดยใช้ผลรวมที่ไม่มีที่สิ้นสุด เนื่องจากนิวตันเองก็ค้นพบในไม่ช้าหลังจากการจู่โจมครั้งแรกนี้ในผลรวมที่ไม่มีที่สิ้นสุดประเภทนี้ ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าอนุกรมกำลัง ในที่สุดเขาก็คำนวณ 15 หลักแรกของพาย
กลับมาที่ปัญหาของส่วนวงกลม นิวตันตระหนักว่าสมการของวงกลมเอง (ไม่ใช่แค่พื้นที่ข้างใต้) ก็สามารถแสดงด้วยอนุกรมกำลังได้เช่นกัน สิ่งที่เขาต้องทำคือละเว้นตัวส่วนและลดกำลังของ $latex x$ ลง 1 ในอนุกรมกำลังที่แสดงด้านบน ดังนั้นเขาจึงเดาได้ว่า
เพื่อทดสอบว่าผลลัพธ์นี้สมเหตุสมผลหรือไม่ นิวตันคูณด้วยตัวมันเอง: “มันกลายเป็น $latex 1-x^2$ เทอมที่เหลือหายไปโดยความต่อเนื่องของอนุกรมไปจนถึงอนันต์”
ย้อนกลับไปเล็กน้อยจากรายละเอียด เราจะเห็นบทเรียนมากมายที่นี่เกี่ยวกับการแก้ปัญหา หากปัญหาหนักเกินไป ให้เปลี่ยน หากดูเหมือนว่าเฉพาะเจาะจงเกินไป ให้สรุปเป็นภาพรวม นิวตันทำทั้งสองอย่างและได้ผลลัพธ์ที่สำคัญและทรงพลังกว่าสิ่งที่เขาแสวงหาในตอนแรก
นิวตันไม่ได้ยึดติดกับหนึ่งในสี่ของวงกลมอย่างดื้อรั้น เขาดูที่รูปร่างทั่วไปกว่ามาก ส่วนวงกลมใดๆ ที่มีความกว้าง $latex x$ แทนที่จะยึดติดกับ $latex x=1$ เขาปล่อยให้ $latex x$ ทำงานอย่างอิสระจาก 0 ถึง 1 นั่นเผยให้เห็นลักษณะทวินามของค่าสัมประสิทธิ์ในอนุกรมของเขา ซึ่งเป็นลักษณะที่ไม่คาดคิดของตัวเลขในสามเหลี่ยมของ Pascal และลักษณะทั่วไปของพวกมัน — ซึ่ง ให้นิวตันเห็นรูปแบบที่วอลลิสและคนอื่นๆ พลาดไป การได้เห็นรูปแบบเหล่านั้นทำให้นิวตันได้ข้อมูลเชิงลึกที่เขาต้องการในการพัฒนาทฤษฎีอนุกรมกำลังอย่างกว้างขวางและทั่วถึงมากขึ้น
ในงานช่วงหลังของเขา ชุดพลังของนิวตันทำให้เขามีมีด Swiss Army สำหรับแคลคูลัส เขาสามารถทำปริพันธ์ หารากของสมการพีชคณิต และคำนวณค่าของไซน์ โคไซน์ และลอการิทึมโดยใช้สิ่งเหล่านี้ ดังที่เขากล่าวไว้ว่า “ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา การวิเคราะห์เข้าถึงได้ ฉันเกือบจะพูดได้กับทุกปัญหา”
คติธรรม: การเปลี่ยนปัญหาไม่ใช่การโกง มันสร้างสรรค์ และอาจเป็นกุญแจสู่สิ่งที่ยิ่งใหญ่กว่า
