การระบุครอบครัวของรัฐที่มีหลายฝ่ายด้วยการเปลี่ยนแปลงความยุ่งเหยิงในท้องถิ่นที่ไม่สำคัญ

[1] AK เอเกิร์ต, Phys. รายได้ Lett 67, 661 (1991).
https://doi.org/​10.1103/​PhysRevLett.67.661

[2] D. Gottesman, รหัสโคลงและการแก้ไขข้อผิดพลาดควอนตัม, ปริญญาเอก วิทยานิพนธ์, สถาบันเทคโนโลยีแคลิฟอร์เนีย, 1997
https://doi.org/​10.48550/​arXiv.quant-ph/​9705052
arXiv:ปริมาณ-ph/9705052

[3] M. Hillery, V. Buzek และ A. Berthiaume, Phys. รายได้ที่ 59 พ.ศ. 1829 (1999)
https://doi.org/10.1103/​PhysRevA.59.1829

[4] R. Raussendorf และ HJ Briegel, Phys. รายได้เลตต์ 86, 5188 (2001).
https://doi.org/​10.1103/​PhysRevLett.86.5188

[5] V. Giovannetti, S. Lloyd และ L. Maccone, Science 306, 1330 (2004)
https://doi.org/10.1126/​science.1104149

[6] M. Ben-Or และ A. Hassidim, ข้อตกลงไบเซนไทน์ควอนตัมแบบเร็ว ในการดำเนินการของการประชุมวิชาการ ACM ประจำปีครั้งที่สามสิบเจ็ดเรื่องทฤษฎีคอมพิวเตอร์, STOC '05 (สมาคมเครื่องจักรคอมพิวเตอร์, นิวยอร์ก, นิวยอร์ก, สหรัฐอเมริกา, 2005) 481–485.
https://doi.org/10.1145/​1060590.1060662

[7] JI Cirac, D. Pérez-García, N. Schuch และ F. Verstraete, Rev. Mod. ฟิสิกส์ 93, 045003 (2021)
https://doi.org/​10.1103/​RevModPhys.93.045003

[8] R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki และ K. Horodecki, Rev. Mod. ฟิสิกส์ 81, 865 (2009)
https://doi.org/​10.1103/​RevModPhys.81.865

[9] E. Chitambar และ G. Gour, รายได้ Mod. สรีรวิทยา 91, 025001 (2019).
https://doi.org/​10.1103/​RevModPhys.91.025001

[10] ปริญญาโท Nielsen, Phys. รายได้ Lett 83, 436 (1999).
https://doi.org/​10.1103/​PhysRevLett.83.436

[11] W. Dür, G. Vidal และ JI Cirac, Phys. รายได้ ก 62, 062314 (2000).
https://doi.org/10.1103/​PhysRevA.62.062314

[12] F. Verstraete, J. Dehaene, B. De Moor และ H. Verschelde, Phys. ฉบับที่ 65, 052112 (2002)
https://doi.org/10.1103/​PhysRevA.65.052112

[13] สังเกตว่า Ref. 4qubitSLOCC มี 9 ตระกูลของสถานะ 4 คิวบิต แต่บางตระกูลเหล่านี้เป็นคอลเลกชันของคลาส SLOCC ที่ไม่เท่ากันจำนวนอนันต์ (ดูเพิ่มเติม เช่น บทที่ 14 ใน Ref. GourBook)

[14] G. Gour ทรัพยากรของโลกควอนตัม arXiv:2402.05474v1 [ปริมาณ-ph] (2024)
https://doi.org/​10.48550/​arXiv.2402.05474
arXiv: 2402.05474v1

[15] G. Gour และ NR Wallach, New J. Phys. 13 073013 (2011)
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1367-2630/​13/​7/​073013

[16] เอ็ม. เฮเบนสตรีต, เอ็ม. เองล์เบรชท์, ซี. สปี, เจไอ เดอ วิเซนเต้ และบี. เคราส์, นิว เจ. ฟิส 23, 033046 (2021)
https://​doi.org/​10.1088/​1367-2630/​abe60c

[17] C. Spee, JI de Vicente, D. Sauerwein และ B. Kraus, Phys. สาธุคุณเลตต์. 118, 040503 (2017)
https://doi.org/​10.1103/​PhysRevLett.118.040503

[18] JI de Vicente, C. Spee, D. Sauerwein และ B. Kraus, Phys. ฉบับที่ 95, 012323 (2017)
https://doi.org/10.1103/​PhysRevA.95.012323

[19] JI de Vicente, C. Spee และ B. Kraus, Phys. รายได้เลตต์ 111, 110502 (2013).
https://doi.org/​10.1103/​PhysRevLett.111.110502

[20] G. Gour, B. Kraus และ NR Wallach, J. Math ฟิสิกส์ 58, 092204 (2017).
https://doi.org/10.1063/​1.5003015

[21] D. Sauerwein, NR Wallach, G. Gour และ B. Kraus, Phys. รายได้ X 8, 031020 (2018)
https://doi.org/10.1103/​PhysRevX.8.031020

[22] เอส. ทูร์กุต, วาย. กุล และ เอ็นเค พัก, Phys. ฉบับที่ 81, 012317 (2010)
https://doi.org/10.1103/​PhysRevA.81.012317

[23] S. Kıntaş และ S. Turgut, J. Math. ฟิสิกส์ 51, 092202 (2010)
https://doi.org/10.1063/​1.3481573

[24] C. Spee, JI de Vicente และ B. Kraus, J. Math สรีรวิทยา 57, 052201 (2016).
https://doi.org/10.1063/​1.4946895

[25] เอ็ม. เฮเบนสตรีต, ซี. สปี และบี. เคราส์, Phys. ฉบับที่ 93, 012339 (2016)
https://doi.org/10.1103/​PhysRevA.93.012339

[26] M. Englbrecht และ B. Kraus, Phys. ว.101, 062302 (2020).
https://doi.org/10.1103/​PhysRevA.101.062302

[27] D. Sauerwein, A. Molnar, JI Cirac และ B. Kraus, Phys. รายได้ Lett 123, 170504 (2019).
https://doi.org/​10.1103/​PhysRevLett.123.170504

[28] M. Hebenstreit, D. Sauerwein, A. Molnar, JI Cirac และ B. Kraus, Phys. รายได้ A 105, 032424 (2022)
https://doi.org/10.1103/​PhysRevA.105.032424

[29] เอ็ม. เฮเบนสตรีต, ซี. สปี, NKH Li, บี. เคราส์, เจไอ เดอ วิเซนเต้, Phys. รายได้ A 105, 032458 (2022)
https://doi.org/10.1103/​PhysRevA.105.032458

[30] เอช. ยามาซากิ, เอ. โซเอดะ และเอ็ม. มูราโอะ, Phys. ฉบับที่ 96, 032330 (2017)
https://doi.org/10.1103/​PhysRevA.96.032330

[31] C. Spee และ T. Kraft, arXiv:2105.01090 [quant-ph] (2021)
https://doi.org/​10.48550/​arXiv.2105.01090
arXiv: 2105.01090

[32] W. Jian, Z. Quan และ T. Chao-Jing ชุมชน ทฤษฎี. ฟิสิกส์ 48, 637 (2007)
https:/​/​doi.org/​10.1088/​0253-6102/​48/​4/​013

[33] ว. ว. เดอร์, Phys. รายได้ 63, 020303(R) (2001)
https://doi.org/10.1103/​PhysRevA.63.020303

[34] เอ. คาเบลโล, สฟิส สาธุคุณเลตต์. 89, 100402 (2002)
https://doi.org/​10.1103/​PhysRevLett.89.100402

[35] M. Fitzi, N. Gisin และ U. Maurer, Phys. สาธุคุณเลตต์. 87, 217901 (2001)
https://doi.org/​10.1103/​PhysRevLett.87.217901

[36] MT Quintino, Q. Dong, A. Shimbo, A. Soeda และ M. Murao, Phys. รายได้เลตต์ 123, 210502 (2019).
https://doi.org/​10.1103/​PhysRevLett.123.210502

[37] เอส. โยชิดะ, เอ. โซเอดะ และเอ็ม. มูราโอะ, ควอนตัม 7, 957 (2023)
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2023-03-20-957

[38] ฮ.-เค. Lo และ S. Popescu, Phys. ฉบับที่ 63, 022301 (2001)
https://doi.org/10.1103/​PhysRevA.63.022301

[39] โปรดสังเกตว่าตัวอย่างของการแปลงที่ไม่สามารถทำได้โดยการต่อโปรโตคอลแบบรอบเดียวเข้าด้วยกันไม่ได้พิสูจน์สิ่งนี้ เนื่องจากสถานะเอาต์พุตไม่ได้ถูกแยกออกอย่างอ่อนโดยอัตโนมัติ (ต้องเข้าถึงได้เป็นรอบจำกัด) และสถานะอินพุตสามารถแปลงเป็นรอบเดียวเป็นสถานะอื่นได้

[40] J. Eisert และ HJ Briegel, Phys. ที่ ก.64, 022306 (2001).
https://doi.org/10.1103/​PhysRevA.64.022306

[41] เนื่องจากเมทริกซ์ใดๆ $bigotimes_{j=1}^n X^{(j)}ใน bigotimes_{i=1}^n GL(d_i,mathbb{C})$ เท่ากับผลคูณเทนเซอร์ระหว่าง $frac{ X^{(j)}}{det(X^{(j)})^{1/​d_j}}ใน SL(d_j,mathbb{C})$ สำหรับดัชนี $n-1$ ใดๆ $j$ และ $prod_{jneq k}det(X^{(j)})^{1/​d_j} X^{(k)}$ สำหรับดัชนีที่เหลือ $k$

ล็อคเรฟ1″>[42] CH Bennett, DP DiVincenzo, CA Fuchs, T. Mor, E. Rains, PW Shor, JA Smolin และ WK Wootters, Phys. รายได้ A 59, 1070 (1999).
https://doi.org/10.1103/​PhysRevA.59.1070

[43] เอ็มเจ โดนัลด์, เอ็ม. โฮโรเด็คกี และโอ. รูดอล์ฟ, เจ. แมทธิว ฟิสิกส์ 43, 4252 (2002)
https://doi.org/10.1063/​1.1495917

[44] อี. ชิตัมบาร์, Phys. รายได้ Lett 107, 190502 (2011).
https://doi.org/​10.1103/​PhysRevLett.107.190502

[45] E. Chitambar, D. Leung, L. Mančinska, M. Ozols และ A. Winter จาก Commun คณิตศาสตร์. ฟิสิกส์ 328, 303 (2014) และการอ้างอิงในนั้น
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s00220-014-1953-9

[46] เราพูดว่าเมทริกซ์ $X$ เสมือนสับเปลี่ยนกับเมทริกซ์อีกตัวหนึ่ง $A$ ถ้าหากว่า $X^dagger AX= kApropto A$ สำหรับ $kinmathbb{C}$ บางตัว

[47] F. Verstraete, J. Dehaene และ B. De Moor, Phys. รายได้ ก 65, 032308 (2002).
https://doi.org/10.1103/​PhysRevA.65.032308

[48] แม่นยำยิ่งขึ้น สามารถเลือก $P$ เป็น $P=|vranglelangle v|+{1}$ โดยที่ $|vrangle inmathbb{C}^d$ ไม่ใช่เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ $U_iinmathcal{F}$ ใดๆ เวกเตอร์ดังกล่าวมีอยู่อยู่เสมอเนื่องจากไม่มีปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติจำกัดอยู่เหนือ $mathbb{C}$ คือการรวมกันอันจำกัดของสเปซย่อยที่เหมาะสม (ดู เช่น Ref. VecSpaceNOTfiniteUnion)

[49] A. Khare, พีชคณิตเชิงเส้นและการประยุกต์ 431(9), 1681-1686 (2009)
https://doi.org/10.1016/​j.laa.2009.06.001

[50] สามารถดูได้ง่ายๆ ดังนี้ ประการแรก เนื่องจากความสมมาตรของสถานะ จึงเห็นได้ง่ายว่าสถานะใดๆ ในคลาส SLOCC มีค่า LU เทียบเท่ากับ $sqrt{G_1}otimessqrt{D_2}otimes {1}|A_3rangle $ [ดู Eq. (29)] โดยที่ $G_1>0$ และ $D_2=diag(alpha_2,beta_2,1) >0$ ยิ่งไปกว่านั้น การใช้สมมาตร $U^{otimes3}$ ของ $|A_3rangle $ โดยที่ $U=diag(e^{itheta},e^{ivarphi},e^{-i(theta+varphi)})$ ด้วย $theta=-frac{arg(gamma_1)+arg(delta_1)}{3}$, $varphi=frac{2arg(gamma_1)-arg(delta_1)}{3}$, $gamma_1=(G_1)_{12 }$ และ $delta_1=(G_1)_{13}$ นำไปสู่สถานะที่มีรูปแบบเดียวกับข้างต้น แต่ด้วย $G_1$ แทนที่ด้วย $U G_1 U^dagger$ ซึ่งมีรายการ $(1,2)$ และ $(1,3)$ มีขนาดใหญ่กว่าหรือเท่ากับศูนย์ ดังนั้น สถานะจึงมีการกำหนดพารามิเตอร์ (สูงสุด LU) ด้วยพารามิเตอร์ 8 ตัว

[51] JI de Vicente, T. Carle, C. Streitberger และ B. Kraus, Phys. สาธุคุณเลตต์. 108, 060501 (2012)
https://doi.org/​10.1103/​PhysRevLett.108.060501

[52] เอ็ม. เฮเบนสตรีต, บี. เคราส์, แอล. ออสเตอร์มันน์ และเอช. ริตช์, Phys. สาธุคุณเลตต์. 118, 143602 (2017)
https://doi.org/​10.1103/​PhysRevLett.118.143602

[53] โปรดทราบว่าเราแลกเปลี่ยนลำดับของ $alpha_2$ และ $beta_1$ ที่นี่ ซึ่งตรงข้ามกับสัญกรณ์ที่เราใช้ในการสังเกตที่ 11 เพื่อแสดงถึงสถานะใน $M_{A_3}$

[54] เอฟ. เบอร์นาร์ด และ โอ. กูห์เน, เจ. แมทธิว ฟิสิกส์ 65, 012201 (2024)
https://doi.org/10.1063/​5.0159105

[55] อาร์กิวเมนต์ที่เราใช้ที่นี่เพื่อแสดงว่า $Botimes B^{-1}otimes {1}^{otimes n-2}inmathcal{S__{|A_nrangle }$ เป็นอาร์กิวเมนต์เดียวกับที่ใช้ใน Ref. MigdalSymm (Sec. II) เพื่อพิสูจน์ว่าสถานะการเรียงสับเปลี่ยนสมมาตรมีความสมมาตรในรูปแบบ $Botimes B^{-1}otimes {1}^{otimes n-2}$

[56] P. Migdał, J. Rodriguez-Laguna และ M. Lewenstein, Phys. รายได้ ก 88, 012335 (2013).
https://doi.org/10.1103/​PhysRevA.88.012335

[57] ดูหน้า 8 ของการอ้างอิง Zariskiปิดเนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าการปิด Zariski ใน $mathbb{C}^d$ หมายถึงการปิดแบบยุคลิดใน $mathbb{C}^d$

[58] KE Smith, L. Kahanpää, P. Kekäläinen และ W. Traves, คำเชิญเข้าร่วมเรขาคณิตเชิงพีชคณิต, Springer New York, 2000
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-1-4757-4497-2

[59] PM Fitzpatrick, Advanced Calculus (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2), Thomson Brooks/Cole, 2006

[60] เห็นได้ง่ายว่าทฤษฎีบทโบลซาโน-ไวเออร์สตราสใช้กับลำดับที่มีขอบเขตใน $mathbb{C}^d$ โดยการมองว่าเป็นลำดับใน $mathbb{R}^{2d}$

[61] เจ. มิคเคลส์สัน, เจ. นีเดอร์เล, ชุมชน คณิตศาสตร์. ฟิสิกส์ 16, 191–206 (1970)
https://doi.org/​10.1007/​BF01646787

[62] สถานะที่พิจารณานั้นอาจจะเทียบเท่ากับ LU กับสถานะเริ่มต้น

[63] โปรดทราบว่าหากมีเงื่อนไขที่สอดคล้องกันกับ $x_1^{(lambda)}=0$ และ $x_2^{(lambda)}neq0$ ในขณะที่ $theta$ เป็นผลคูณอตรรกยะของ $pi$ ระบบสมการจะเป็นดังนี้ ไม่สอดคล้องกัน

[64] เราได้รับสมการ (20) โดยการคูณแต่ละสมการใน $mathbf{B}vec{alpha'}=vec{varphi'}+vec{theta}$ ด้วยตัวประกอบ $zinmathbb{C}$ ทั้งสองข้าง แล้วยกกำลังทั้งสองข้างของ แต่ละสมการ

=5″>[65] แม้ว่าการดำรงอยู่ของการแยกอย่างอ่อนแอได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับ $(ngeq5)$-qudit คลาส SLOCC ของสถานะที่ไม่สมมาตรเป็นพิเศษ (ไม่ใช่ ES) ซึ่งเป็นสถานะการเรียงสับเปลี่ยนสมมาตรที่มีเพียงความสมมาตรของรูปแบบ $S^{otimes n}$ ในตอนแทรก 4 ของ Ref. SymmPaper ของเรา การพิสูจน์ยังใช้กับคลาส $n$-qudit SLOCC ใดๆ ที่มีสถานะเสถียรเพียง $S^{otimes n}$ ตราบใดที่ $ngeq5$

[66] เจเจ ซากุไร. กลศาสตร์ควอนตัมสมัยใหม่ (ฉบับปรับปรุง) แอดดิสัน เวสลีย์, 1993.

[67] ชุดการก่อกวนสำหรับ $E_p$ และ $|e_prangle $ รับประกันว่าจะมาบรรจบกันเพราะเมทริกซ์ $H_0 + epsilon V(epsilon)$ เป็น Hermitian และเชิงวิเคราะห์ (กล่าวคือ ทุกรายการเมทริกซ์เป็นแบบวิเคราะห์) ในย่านใกล้เคียงของ $epsilon=0$ โดยที่ $epsiloninmathbb{R}$ และโดยทฤษฎีบท Rellich, FriedlandBook ของ Rellich ค่าลักษณะเฉพาะและรายการทั้งหมดของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจะต้องได้รับการวิเคราะห์ในย่าน $epsilon=0$ ด้วย

[68] F. Rellich ทฤษฎีการก่อกวนของปัญหาค่าลักษณะเฉพาะ Gordon & Breach, New York, 1969

[69] S. Friedland, Matrices: Algebra, การวิเคราะห์และการประยุกต์, World Scientific, 2015

[70] เนื่องจากอนุกรมการก่อกวนของค่าลักษณะเฉพาะ $E_p$ มาบรรจบกันใน $epsilon$ เราสามารถเลือก $epsilon$ ให้น้อยพอที่จะทำให้ค่าสัมบูรณ์ของผลรวมของ $mathcal{O}(epsilon^2)$ เทอมนั้นน้อยกว่า $ อย่างเคร่งครัด frac{1}{2}(frac{1}{r}-1)$ สำหรับ $E_0$ และ $frac{1}{2r^{p-1}}(frac{1}{r}-1)$ ซึ่งเป็นระยะห่างครึ่งหนึ่งระหว่างค่าลักษณะเฉพาะที่ไม่ถูกรบกวนของ $p$-th สำหรับ $E_p$ โดยที่ $pin{1,ldots,d-1}$ และ $1

[71] เนื่องจากอนุกรมการก่อกวนของ eigenvector $|e_prangle $ มาบรรจบกันใน $epsilon$ เราสามารถเลือก $epsilon$ ให้น้อยพอที่จะทำให้ค่าสัมบูรณ์ของผลรวมของ $mathcal{O}(epsilon^2)$ เทอมสำหรับ $langle0| e_prangle$ มีขนาดเล็กกว่า 1 อย่างเคร่งครัดสำหรับ $|e_0rangle $ และ $|frac{epsilonsqrt{r}^{p}}{(1-r^p)(1-omega^{-p})}|$ สำหรับทุก ๆ $ |e_prangle $ โดยที่ $pin{1,ldots,d-1}$ ในขณะที่เก็บ ${E_p}$ เชิงอรรถที่ไม่เสื่อม:pert.

[72] ง่ายต่อการดูสิ่งต่อไปนี้: หาก $Sin SL(d,mathbb{C})$ เสมือนเดินทางด้วยเมทริกซ์เส้นทแยงมุมแน่นอนเชิงบวก $dtimes d$ สองตัว $Lambda$ และ $D$ เช่นนั้น $Lambdanotpropto D$, $S $ จะต้องเป็นผลรวมโดยตรงของเมทริกซ์บล็อกที่กระทำกับสเปซลักษณะเฉพาะ (เสื่อมลง) ของ $Lambda^{-1}D$ ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับแต่ละบล็อกใน $S$ ซึ่งช่วงนั้นอยู่ภายในสเปซลักษณะเฉพาะ (เสื่อมลง) ของค่าลักษณะเฉพาะเดียวของ $Lambda$ หรือ $D$ บล็อกนั้นจะเป็นหน่วยเดียว

[73] เมื่อคูณสมการ (1) โดย $|A_3rangle $ (ซึ่งเป็นสถานะเริ่มต้น $|Psi_srangle $ ที่นี่) โดยที่ $g=sqrt{Delta'}otimes sqrt{D'}otimes {1}$ และ $h=sqrt{Delta}otimes sqrt {D}otimes {1}$ คำว่า $g^daggersum_q N_q^dagger N_q g|A_3rangle =0$ เพราะ $N_qinmathcal{N__{gPsi_s}$ ทั้งหมดเป็นไปตามคำจำกัดความของ $N_q g|A_3rangle =0$

[74] อีกทางหนึ่ง เราสามารถเห็นสิ่งนี้ได้ด้วยการแสดงว่า $|A_3rangle $ เป็นสถานะเดียวในบรรดาผู้สมัคร MES ทั้งหมดในข้อสังเกต 11 ที่มีเมทริกซ์ความหนาแน่นลดลงควอทริตเดี่ยวผสมอย่างสมบูรณ์สำหรับการแยกทวิภาคีทั้ง 3 ครั้ง การใช้ทฤษฎีบทของ Nielsen กับการแบ่งพาร์ติชั่นทั้ง 3 แบบพิสูจน์ได้ว่า $|A_3rangle $ ไม่สามารถเข้าถึงได้จาก LOCC

[75] ขั้นตอนการเตรียมการข้างต้นใช้ไม่ได้กับ $|psi(alpha_1,alpha_2,beta_1,beta_2)rangle $ ด้วย $beta_1=beta_2$ เนื่องจากหนึ่งในคอลัมน์ใน $U_2$ และ $U_3$ กลายเป็นศูนย์ทั้งหมดเมื่อ $beta_1=beta_2$ .