ในศตวรรษที่ XNUMX ก่อนคริสตศักราช อาร์คิมิดีส ถูกวาง ปริศนาเกี่ยวกับการเลี้ยงปศุสัตว์ที่เขาอ้างว่ามีเพียงคนฉลาดเท่านั้นที่จะไขได้ ในที่สุดปัญหาของเขาก็กลายเป็นสมการที่เกี่ยวข้องกับความแตกต่างระหว่างพจน์กำลังสองสองพจน์ ซึ่งสามารถเขียนเป็น x2 - dy2 = 1. ที่นี่ d เป็นจำนวนเต็ม — จำนวนนับบวกหรือลบ — และอาร์คิมิดีสกำลังมองหาวิธีแก้ปัญหาที่ทั้งสอง x และ y เป็นจำนวนเต็มเช่นกัน
สมการคลาสนี้เรียกว่าสมการเพลล์ ได้สร้างความประทับใจให้นักคณิตศาสตร์มานับพันปีนับแต่นั้นมา
หลายศตวรรษหลังจากอาร์คิมิดีส นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย บราห์มากัปตา และต่อมานักคณิตศาสตร์ ภาสการาที่ 1600 ได้จัดเตรียมอัลกอริธึมเพื่อค้นหาคำตอบของสมการจำนวนเต็มของสมการเหล่านี้ ในช่วงกลางทศวรรษ XNUMX นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ (ซึ่งไม่รู้งานนั้น) ได้ค้นพบอีกครั้งว่าในบางกรณี แม้กระทั่งเมื่อ d ถูกกำหนดเป็นค่าที่ค่อนข้างเล็ก ซึ่งเป็นคำตอบของจำนวนเต็มน้อยที่สุดที่เป็นไปได้สำหรับ x และ y อาจมีขนาดใหญ่ เมื่อเขาส่งชุดปัญหาท้าทายไปยังนักคณิตศาสตร์ที่แข่งขันกัน พวกเขารวมสมการนี้ไว้ด้วย x2 - 61y2 = 1 ซึ่งคำตอบที่เล็กที่สุดมีเก้าหรือ 10 หลัก (สำหรับอาร์คิมิดีส ปริศนาของเขาถามหาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มของสมการเป็นหลัก x2 - 4,729,494y2 = 1 “การพิมพ์โซลูชันที่เล็กที่สุดจะใช้เวลา 50 หน้า” กล่าว ปีเตอร์ คอยแมนส์นักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยมิชิแกน “ในแง่หนึ่ง มันเป็นโทรลล์ขนาดมหึมาของอาร์คิมิดีส”)
แต่คำตอบของสมการ Pell สามารถทำได้มากกว่านั้น ตัวอย่างเช่น สมมติว่าคุณต้องการประมาณ $latex sqrt{2}$ ซึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็ม ปรากฎว่าการแก้สมการ Pell x2 - 2y2 = 1 ช่วยคุณได้: $latex sqrt{2}$ (หรือโดยทั่วไป $latex sqrt{d}$) สามารถประมาณค่าได้ดีโดยเขียนโซลูชันใหม่เป็นเศษส่วนของแบบฟอร์ม x/y.
บางทีอาจจะน่าสนใจกว่านั้น คำตอบเหล่านั้นยังบอกคุณบางอย่างเกี่ยวกับระบบตัวเลขเฉพาะ ซึ่งนักคณิตศาสตร์เรียกเสียงกริ่ง ในระบบตัวเลขดังกล่าว นักคณิตศาสตร์อาจนำ $latex sqrt{2}$ มาต่อกับจำนวนเต็ม วงแหวนมีคุณสมบัติบางอย่าง และนักคณิตศาสตร์ต้องการทำความเข้าใจคุณสมบัติเหล่านั้น ปรากฎว่าสมการ Pell สามารถช่วยให้พวกเขาทำเช่นนั้นได้
ดังนั้น "นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงมาก ๆ หลายคน - นักคณิตศาสตร์เกือบทุกคนในช่วงเวลาหนึ่ง - ได้ศึกษาสมการนี้จริง ๆ เพราะความง่ายของมัน" กล่าว มาร์ค ชูสเตอร์แมนนักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด นักคณิตศาสตร์เหล่านั้นรวมถึงแฟร์มาต์ ออยเลอร์ ลากรองจ์ และดิริชเลต์ (John Pell ไม่มากนัก สมการนี้ตั้งชื่อตามเขาผิด)
ตอนนี้ Koymans และ คาร์โล ปากาโนนักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยคอนคอร์เดียในมอนทรีออลมี พิสูจน์การคาดเดาอายุหลายสิบปี เกี่ยวข้องกับสมการ Pell ซึ่งเป็นสมการที่หาจำนวนว่ารูปแบบหนึ่งของสมการนั้นมีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบ่อยเพียงใด ในการทำเช่นนั้น พวกเขานำเข้าความคิดจากสาขาอื่น — ทฤษฎีกลุ่ม — พร้อมรับความเข้าใจที่ดีขึ้นเกี่ยวกับวัตถุสำคัญแต่ลึกลับของการศึกษาในสาขานั้น “พวกเขาใช้ความคิดที่ลึกซึ้งและสวยงามจริงๆ” . กล่าว แอนดรูว์ แกรนวิลล์นักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยมอนทรีออล “พวกมันจับได้จริงๆ”
เลขคณิตหัก
ในช่วงต้น 1990s ปีเตอร์ สตีเว่นฮาเก้นนักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัย Leiden ในเนเธอร์แลนด์ ได้รับแรงบันดาลใจจากความเชื่อมโยงบางอย่างที่เขาเห็นระหว่างสมการ Pell และทฤษฎีกลุ่ม เพื่อสร้างการคาดเดาว่าสมการเหล่านี้มีการแก้สมการจำนวนเต็มบ่อยเพียงใด แต่ “ฉันไม่ได้คาดหวังว่าจะได้รับการพิสูจน์ในเร็ว ๆ นี้” เขากล่าว – หรือแม้แต่ในช่วงชีวิตของเขา เทคนิคที่มีอยู่ดูไม่แข็งแรงพอที่จะโจมตีปัญหาได้
การคาดเดาของเขาขึ้นอยู่กับลักษณะเฉพาะของวงแหวน ในวงแหวนของตัวเลข ตัวอย่างเช่น $latex sqrt{-5}$ ถูกเพิ่มเข้าไปในจำนวนเต็ม (นักคณิตศาสตร์มักจะทำงานกับตัวเลข "จินตภาพ" เช่น $latex sqrt{-5}$) มีสองวิธีที่แตกต่างกัน แบ่งตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะของมัน ตัวอย่างเช่น หมายเลข 6 สามารถเขียนได้ไม่เพียงแค่ 2 × 3 แต่ยังเขียนเป็น (1 + $latex sqrt{-5}$) × (1 – $latex sqrt{-5}$) ด้วยเหตุนี้ ในวงแหวนนี้ การแยกตัวประกอบเฉพาะเฉพาะ ซึ่งเป็นหลักการสำคัญของเลขคณิต ซึ่งใช้กันทั่วไปในจำนวนเต็มปกติจะแตกออก ขอบเขตที่สิ่งนี้เกิดขึ้นถูกเข้ารหัสในวัตถุที่เกี่ยวข้องกับวงแหวนนั้น เรียกว่ากลุ่มคลาส
วิธีหนึ่งที่นักคณิตศาสตร์พยายามทำความเข้าใจอย่างลึกซึ้งยิ่งขึ้นในระบบตัวเลขที่พวกเขาสนใจ เช่น $latex sqrt{2}$ ที่อยู่ติดกับจำนวนเต็ม คือการคำนวณและศึกษากลุ่มในชั้นเรียน ทว่าแทบจะยากที่จะกำหนดกฎเกณฑ์ทั่วไปว่ากลุ่มชั้นเรียนมีพฤติกรรมอย่างไรในระบบตัวเลขที่แตกต่างกันทั้งหมดเหล่านี้
ในปี 1980 นักคณิตศาสตร์ อองรี โคเฮน และ เฮนดริก เลนสตรา ได้นำเสนอชุดการคาดเดากว้างๆ เกี่ยวกับกฎเกณฑ์เหล่านั้นที่ควรมีลักษณะเป็นอย่างไร “การวิเคราะห์พฤติกรรมของโคเฮน-เลนสตรา” เหล่านี้สามารถบอกคุณได้มากเกี่ยวกับกลุ่มคลาส ซึ่งจะทำให้เปิดเผยคุณสมบัติของระบบตัวเลขที่ซ่อนอยู่
มีปัญหาเพียงอย่างเดียว แม้ว่าการคำนวณจำนวนมากดูเหมือนจะสนับสนุนการวิเคราะห์พฤติกรรมของ Cohen-Lenstra แต่ก็ยังเป็นการคาดเดา ไม่ใช่การพิสูจน์ “เท่าที่ทฤษฎีบทดำเนินไป จนกระทั่งเมื่อไม่นานมานี้เราแทบไม่รู้อะไรเลย” . กล่าว อเล็กซ์ บาร์เทลนักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยกลาสโกว์
น่าแปลกที่พฤติกรรมทั่วไปของกลุ่มชั้นเรียนนั้นสัมพันธ์กับพฤติกรรมของสมการเพลล์อย่างแยกไม่ออก การทำความเข้าใจปัญหาหนึ่งช่วยให้เข้าใจปัญหาอื่นได้ — มากเสียจนการคาดคะเนของ Stevenhagen “ยังเป็นปัญหาการทดสอบสำหรับความคืบหน้าใดๆ ที่เกิดขึ้นในการวิเคราะห์พฤติกรรมของ Cohen-Lenstra” Pagano กล่าว
งานใหม่เกี่ยวข้องกับสมการ Pell เชิงลบ โดยที่ x2 - dy2 ถูกกำหนดให้เท่ากับ -1 แทนที่จะเป็น 1 ซึ่งต่างจากสมการ Pell ดั้งเดิม ซึ่งจะมีคำตอบเป็นจำนวนเต็มเป็นอนันต์เสมอสำหรับค่าใดๆ d, ไม่ใช่ค่าทั้งหมดของ d ในสมการ Pell เชิงลบจะได้สมการที่แก้ได้ เอามา x2 - 3y2 = -1: ไม่ว่าคุณจะมองไปตามเส้นจำนวนเท่าไหร่ คุณจะไม่มีวันพบทางออกแม้ว่า x2 - 3y2 = 1 มีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน
อันที่จริงมีค่ามากมายของ d ซึ่งแก้สมการ Pell เชิงลบไม่ได้: ตามกฎที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าตัวเลขบางตัวมีความสัมพันธ์กันอย่างไร d ไม่สามารถเป็นทวีคูณของ 3, 7, 11, 15 และอื่นๆ
แต่ถึงแม้คุณจะหลีกเลี่ยงค่านิยมเหล่านั้นของ d และพิจารณาเฉพาะสมการ Pell เชิงลบที่เหลืออยู่ ก็ยังไม่สามารถหาคำตอบได้เสมอไป ในชุดค่าที่เป็นไปได้ที่น้อยกว่านั้นของ d, สัดส่วนใดใช้งานได้จริง?
ในปี 1993 สตีเวนฮาเกนเสนอสูตรที่ให้คำตอบที่แม่นยำสำหรับคำถามนั้น ของค่าสำหรับ d ที่อาจใช้ได้ (นั่นคือ ค่าที่ไม่ใช่ทวีคูณของ 3, 7 เป็นต้น) เขาคาดการณ์ว่าประมาณ 58% จะก่อให้เกิดสมการ Pell เชิงลบที่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม
การคาดเดาของ Stevenhagen นั้นได้รับแรงกระตุ้นเป็นพิเศษจากความเชื่อมโยงระหว่างสมการ Pell เชิงลบกับการวิเคราะห์พฤติกรรมของ Cohen-Lenstra ในกลุ่มชั้นเรียน ซึ่งเป็นลิงก์ที่ Koymans และ Pagano ใช้ประโยชน์เมื่อ 30 ปีต่อมา ในที่สุดพวกเขาก็พิสูจน์ว่าเขาถูกต้อง
ปืนใหญ่ที่ดีกว่า
ในปี 2010 Koymans และ Pagano ยังคงเป็นนักศึกษาระดับปริญญาตรี — ยังไม่คุ้นเคยกับการคาดเดาของ Stevenhagen — เมื่อมีรายงานฉบับหนึ่งซึ่งทำให้เกิดความคืบหน้าครั้งแรกในปัญหาในรอบหลายปี
ในงานนั้นซึ่งก็คือ ตีพิมพ์ใน พงศาวดารของคณิตศาสตร์, นักคณิตศาสตร์ เอเตียน ฟูวรี และ เจอร์เก้น คลูเนอร์ส พบว่าสัดส่วนของค่าของ d ที่จะใช้ได้กับสมการ Pell เชิงลบที่อยู่ภายในช่วงที่กำหนด ในการทำเช่นนั้น พวกเขาได้จัดการกับพฤติกรรมขององค์ประกอบบางอย่างของกลุ่มชั้นเรียนที่เกี่ยวข้อง แต่พวกเขาต้องการความเข้าใจในองค์ประกอบอื่นๆ อีกมากมายเพื่อให้สอดคล้องกับค่าประมาณ 58% ของ Stevenhagen ที่แม่นยำยิ่งขึ้น น่าเสียดายที่องค์ประกอบเหล่านั้นยังคงไม่สามารถเข้าใจได้: วิธีการใหม่ยังคงมีความจำเป็นเพื่อให้เข้าใจถึงโครงสร้างของมัน ความคืบหน้าเพิ่มเติมดูเหมือนเป็นไปไม่ได้
จากนั้นในปี 2017 เมื่อ Koymans และ Pagano ทั้งคู่เรียนระดับบัณฑิตศึกษาที่ Leiden University กระดาษปรากฏขึ้น ที่เปลี่ยนแปลงทุกอย่าง “เมื่อฉันเห็นสิ่งนี้ ฉันรู้ทันทีว่ามันเป็นผลลัพธ์ที่น่าประทับใจมาก” Koymans กล่าว “มันก็แบบ โอเค ตอนนี้ฉันมีปืนใหญ่ที่สามารถยิงปัญหานี้ได้และหวังว่าฉันจะก้าวหน้าได้” (ในขณะนั้น Stevenhagen และ Lenstra ยังเป็นอาจารย์ที่ Leiden ซึ่งช่วยจุดประกายให้ Koymans และ Pagano ให้ความสนใจในปัญหานี้)
บทความนี้เป็นผลงานของนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาที่ฮาร์วาร์ด Alexander Smith (ซึ่งตอนนี้เป็นเพื่อนร่วม Clay ที่ Stanford) Koymans และ Pagano ไม่ได้อยู่คนเดียวในการยกย่องงานนี้ว่าเป็นความก้าวหน้า “ความคิดนั้นน่าทึ่งมาก” Granville กล่าว “นักปฏิวัติ”
สมิธพยายามทำความเข้าใจคุณสมบัติของคำตอบของสมการที่เรียกว่าเส้นโค้งวงรี ในการทำเช่นนั้น เขาได้ใช้ส่วนเฉพาะของการวิเคราะห์พฤติกรรมของโคเฮน-เลนสตรา ไม่เพียง แต่เป็นขั้นตอนสำคัญครั้งแรกในการประสานการคาดเดาที่กว้างขึ้นเหล่านั้นให้เป็นความจริงทางคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังเกี่ยวข้องกับกลุ่มชั้นเรียนที่ Koymans และ Pagano จำเป็นต้องเข้าใจในงานของพวกเขาเกี่ยวกับการคาดเดาของ Stevenhagen (งานชิ้นนี้รวมองค์ประกอบที่ฟูวรีและคลูเนอร์สศึกษาในผลลัพธ์เพียงบางส่วน แต่ก็ไปไกลกว่านั้นด้วย)
อย่างไรก็ตาม Koymans และ Pagano ไม่สามารถใช้วิธีการของ Smith ได้ในทันที (ถ้าเป็นไปได้ สมิ ธ เองคงจะทำเช่นนั้น) หลักฐานของสมิ ธ เกี่ยวกับกลุ่มชั้นเรียนที่เกี่ยวข้องกับวงแหวนตัวเลขที่ถูกต้อง (อันที่ $latex sqrt{d}$ ติดกับจำนวนเต็ม) แต่เขาพิจารณาทั้งหมด ค่าจำนวนเต็มของ d. ในทางกลับกัน Koymans และ Pagano กำลังคิดถึงส่วนย่อยเล็ก ๆ ของค่าเหล่านี้ d. เป็นผลให้พวกเขาจำเป็นต้องประเมินพฤติกรรมโดยเฉลี่ยในกลุ่มชั้นเรียนที่มีขนาดเล็กกว่ามาก
กลุ่มชั้นเรียนเหล่านั้นประกอบด้วยกลุ่มชั้นเรียนของสมิท 0% ซึ่งหมายความว่าสมิ ธ สามารถโยนพวกเขาทิ้งไปเมื่อเขาเขียนหลักฐาน พวกเขาไม่ได้มีส่วนทำให้พฤติกรรมเฉลี่ยที่เขากำลังศึกษาอยู่เลย
และเมื่อ Koymans และ Pagano พยายามนำเทคนิคของเขาไปใช้กับกลุ่มชั้นเรียนที่พวกเขาสนใจ วิธีการต่างๆ ก็พังลงในทันที ทั้งคู่จะต้องทำการเปลี่ยนแปลงที่สำคัญเพื่อให้พวกเขาทำงานได้ ยิ่งไปกว่านั้น พวกเขาไม่เพียงแต่กำหนดลักษณะเฉพาะกลุ่มของชั้นเรียน แต่อาจมีความคลาดเคลื่อนระหว่างกลุ่มชั้นเรียนที่แตกต่างกันสองกลุ่ม (การทำเช่นนั้นจะเป็นส่วนสำคัญในการพิสูจน์การคาดเดาของ Stevenhagen) ซึ่งจะต้องใช้เครื่องมือที่แตกต่างกันด้วย
ดังนั้น Koymans และ Pagano จึงเริ่มหวีดกระดาษของ Smith อย่างระมัดระวังมากขึ้นโดยหวังว่าจะระบุได้อย่างแม่นยำว่าสิ่งต่าง ๆ เริ่มหลุดออกจากราง มันเป็นงานที่ยากและอุตสาหะ ไม่ใช่เพียงเพราะเนื้อหานั้นซับซ้อนมาก แต่เนื่องจากสมิ ธ ยังคงปรับแต่งงานพิมพ์ของเขาในขณะนั้น จึงต้องแก้ไขและชี้แจงที่จำเป็น (เขาโพสต์ เวอร์ชั่นใหม่ของกระดาษของเขา ออนไลน์เมื่อเดือนที่แล้ว)
ตลอดทั้งปี Koymans และ Pagano ได้เรียนรู้ข้อพิสูจน์ร่วมกันทีละบรรทัด พวกเขาพบกันทุกวัน อภิปรายหัวข้อที่กำหนดในช่วงรับประทานอาหารกลางวันก่อนที่จะใช้เวลาสองสามชั่วโมงที่กระดานดำ ช่วยเหลือซึ่งกันและกันผ่านแนวคิดที่เกี่ยวข้อง หากหนึ่งในนั้นคืบหน้าด้วยตัวเขาเอง เขาจะส่งข้อความให้อีกคนอัปเดตเขา ชูสเตอร์แมนจำได้ว่าบางครั้งเห็นพวกเขาทำงานกันจนดึก Koymans กล่าวว่าทั้งๆ (หรืออาจเป็นเพราะ) ความท้าทายที่เกิดขึ้น “การได้ทำร่วมกันนั้นสนุกมาก”
ในที่สุดพวกเขาก็ระบุจุดที่พวกเขาต้องลองแนวทางใหม่ ในตอนแรก พวกเขาสามารถปรับปรุงได้เพียงเล็กน้อยเท่านั้น ร่วมกับนักคณิตศาสตร์ สเตฟานี ชาน และ จอร์โจ มิโลวิชพวกเขาคิดหาวิธีจัดการกับองค์ประกอบเพิ่มเติมในกลุ่มชั้นเรียน ซึ่งทำให้พวกเขามีขอบเขตที่ดีกว่าฟูวรีและคลูเนอร์ส แต่โครงสร้างที่สำคัญของกลุ่มชั้นเรียนยังคงหลบเลี่ยงพวกเขา
ปัญหาสำคัญประการหนึ่งที่พวกเขาต้องแก้ไข ซึ่งเป็นสิ่งที่วิธีการของ Smith ใช้ไม่ได้ในบริบทใหม่นี้อีกต่อไป คือทำให้มั่นใจว่าพวกเขากำลังวิเคราะห์พฤติกรรม "โดยเฉลี่ย" อย่างแท้จริงสำหรับกลุ่มชั้นเรียนตามค่านิยมของ d มีขนาดใหญ่ขึ้นและใหญ่ขึ้น เพื่อสร้างระดับการสุ่มที่เหมาะสม Koymans และ Pagano ได้พิสูจน์กฎเกณฑ์ที่ซับซ้อนซึ่งเรียกว่ากฎการตอบแทนซึ่งกันและกัน ในท้ายที่สุด สิ่งนั้นทำให้พวกเขาได้รับการควบคุมที่พวกเขาต้องการเหนือความแตกต่างระหว่างกลุ่มชั้นเรียนทั้งสอง
ความก้าวหน้านั้น ควบคู่ไปกับคนอื่นๆ ทำให้พวกเขาสามารถพิสูจน์การคาดเดาของสตีเวนฮาเกนได้สำเร็จเมื่อต้นปีนี้ “เป็นเรื่องน่าทึ่งที่พวกเขาแก้ปัญหาได้อย่างสมบูรณ์” ชานกล่าว “ก่อนหน้านี้เรามีปัญหาเหล่านี้ทั้งหมด”
สิ่งที่พวกเขาทำ “ทำให้ฉันประหลาดใจ” สมิ ธ กล่าว “Koymans และ Pagano รักษาภาษาเก่าของฉันเอาไว้และใช้มันเพื่อผลักดันให้ก้าวหน้าต่อไปในทิศทางที่ฉันแทบจะไม่เข้าใจอีกต่อไป”
เครื่องมือที่คมชัดที่สุด
นับตั้งแต่ที่เขาเปิดตัวเมื่อ XNUMX ปีที่แล้ว การพิสูจน์ของ Smith เกี่ยวกับส่วนหนึ่งของการวิเคราะห์พฤติกรรมของ Cohen-Lenstra ถูกมองว่าเป็นหนทางที่จะเปิดประตูสู่ปัญหาอื่นๆ มากมาย รวมถึงคำถามเกี่ยวกับเส้นโค้งวงรีและโครงสร้างอื่นๆ ที่น่าสนใจ (ในรายงานของพวกเขา Koymans และ Pagano ได้ระบุการคาดเดาประมาณโหลที่พวกเขาหวังว่าจะใช้วิธีการของพวกเขา หลายคนไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับสมการ Pell เชิงลบหรือแม้แต่กลุ่มชั้นเรียน)
"วัตถุจำนวนมากมีโครงสร้างที่ไม่ต่างจากกลุ่มพีชคณิตประเภทนี้" Granville กล่าว แต่สิ่งกีดขวางบนถนนจำนวนมากที่ Koymans และ Pagano ต้องเผชิญก็มีอยู่ในบริบทอื่นๆ เช่นกัน งานใหม่เกี่ยวกับสมการ Pell เชิงลบช่วยขจัดสิ่งกีดขวางบนถนนเหล่านี้ “อเล็กซานเดอร์สมิ ธ บอกเราถึงวิธีการสร้างเลื่อยและค้อนเหล่านี้ แต่ตอนนี้เราต้องทำให้มันคมที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้และตีอย่างแรงที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้และปรับให้เข้ากับสถานการณ์ที่แตกต่างกันได้มากที่สุด” บาร์เทลกล่าว “สิ่งหนึ่งที่กระดาษนี้ทำคือไปในทิศทางนั้นอย่างมาก”
งานทั้งหมดนี้ได้ปรับปรุงความเข้าใจของนักคณิตศาสตร์เกี่ยวกับกลุ่มชั้นเรียนเพียงด้านเดียว การคาดเดาที่เหลือของ Cohen-Lenstra ยังคงไม่สามารถเข้าถึงได้ อย่างน้อยก็ชั่วขณะหนึ่ง แต่เอกสารของ Koymans และ Pagano “เป็นเครื่องบ่งชี้ว่าเทคนิคที่เรามีในการโจมตีปัญหาใน Cohen-Lenstra นั้นเติบโตขึ้น” Smith กล่าว
Lenstra เองก็มองโลกในแง่ดีเช่นเดียวกัน มันเป็นเรื่อง "น่าตื่นเต้นอย่างยิ่ง" เขาเขียนไว้ในอีเมล “มันเป็นการเปิดบทใหม่ในสาขาทฤษฎีจำนวนที่เก่าแก่พอๆ กับทฤษฎีตัวเลข”
