นักเรียนสองคนคลี่คลายการคาดเดาทางคณิตศาสตร์ที่เชื่อกันอย่างกว้างขวาง | นิตยสารควอนตั้ม

Summer Haag และ Clyde Kertzer มีความหวังสูงสำหรับโครงการวิจัยภาคฤดูร้อนของพวกเขา การปิดบังสาขาย่อยของคณิตศาสตร์ทั้งหมดไม่ใช่หนึ่งในนั้น

ในเดือนพฤษภาคม Haag กำลังจบการศึกษาปีแรกที่มหาวิทยาลัยโคโลราโด เมืองโบลเดอร์ ซึ่ง Kertzer กำลังศึกษาระดับปริญญาตรีอยู่ ทั้งสองตั้งหน้าตั้งตารอเวลาเลิกเรียน Haag วางแผนที่จะสำรวจเส้นทางเดินป่าและปีนเขาใหม่ๆ Kertzer ชาวโบลเดอร์ต้องการเล่นฟุตบอลและเตรียมใบสมัครเข้าศึกษาต่อ แต่ในฐานะนักคณิตศาสตร์วิจัยที่ต้องการ พวกเขายังได้สมัครโครงการวิจัยภาคฤดูร้อนครึ่งเวลาในกลุ่มนักคณิตศาสตร์คนนั้นด้วย แคทเธอรีน สเตนจ์.

Stange เป็นนักทฤษฎีตัวเลขที่อธิบายตัวเองว่าเป็นนักคณิตศาสตร์ "กบ” — คนที่เจาะลึกเข้าไปในความซับซ้อนของปัญหาหนึ่งก่อนที่จะข้ามไปยังอีกปัญหาหนึ่ง เธอสนใจใน “คำถามที่ดูเหมือนง่ายซึ่งนำไปสู่ความสมบูรณ์ของโครงสร้าง” เธอกล่าว โครงการของเธอมักจะกระตุ้นปัญหาแบบเปิดที่เข้าใจยากของทฤษฎีจำนวนโดยใช้คอมพิวเตอร์เพื่อสร้างชุดข้อมูลขนาดใหญ่

Haag และ Kertzer เริ่มโปรแกรมในวันเกิดปีที่ 23 ของ Haag ด้วยการลงไพรเมอร์หนึ่งสัปดาห์บนบรรจุภัณฑ์วงกลม Apollonian ซึ่งเป็นการศึกษาในสมัยโบราณว่าวงกลมสามารถบีบรวมกันเป็นวงกลมที่ใหญ่ขึ้นได้อย่างไร

ลองจินตนาการถึงการจัดเรียงเหรียญสามเหรียญเพื่อให้เหรียญแต่ละเหรียญแตะกัน คุณสามารถวาดวงกลมล้อมรอบพวกมันที่สัมผัสทั้งสามจากภายนอกได้เสมอ จากนั้นคุณสามารถเริ่มถามคำถาม: ขนาดของวงกลมที่ใหญ่กว่านั้นเกี่ยวข้องกับเหรียญทั้งสามอย่างไร วงกลมขนาดใดที่จะพอดีกับช่องว่างระหว่างเหรียญทั้งสาม? และถ้าคุณเริ่มวาดวงกลมที่เติมช่องว่างที่เล็กลงเรื่อยๆ ระหว่างวงกลม — สร้างรูปแบบเศษส่วนที่เรียกว่าการบรรจุ — ขนาดของวงกลมเหล่านั้นสัมพันธ์กันอย่างไร

แทนที่จะคิดถึงเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมเหล่านี้ นักคณิตศาสตร์ใช้หน่วยวัดที่เรียกว่าความโค้ง — ค่าผกผันของรัศมี ดังนั้น วงกลมที่มีรัศมี 2 มีความโค้ง 1/2 และวงกลมที่มีรัศมี 1/3 มีความโค้ง 3 ยิ่งวงกลมมีขนาดเล็กเท่าใด ความโค้งก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

นักคณิตศาสตร์ยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาการพิสูจน์ว่าหากวงกลมสี่วงแรกมีความโค้งที่เป็นจำนวนเต็ม ความโค้งของวงกลมถัดไปทั้งหมดในกลุ่มนั้นรับประกันว่าจะเป็นจำนวนเต็ม ที่โดดเด่นในตัวเอง แต่นักคณิตศาสตร์ได้พัฒนาปัญหาไปอีกขั้นด้วยการถามคำถามว่าจำนวนเต็มใดปรากฏขึ้นเมื่อวงกลมเล็กลงและเล็กลง และความโค้งจะใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ

ใน 2010, เอเลน่า ฟุคส์ปัจจุบันเป็นนักทฤษฎีตัวเลขที่มหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย เดวิส พิสูจน์แล้วว่า ความโค้งนั้นเป็นไปตามความสัมพันธ์เฉพาะที่บังคับให้พวกเขาอยู่ในที่เก็บข้อมูลตัวเลขบางอย่าง หลังจากนั้นไม่นาน นักคณิตศาสตร์เชื่อว่าไม่เพียงแต่ความโค้งจะตกลงไปในถังหนึ่งหรืออีกถังหนึ่งเท่านั้น แต่ยังต้องใช้จำนวนที่เป็นไปได้ทั้งหมดในแต่ละถังด้วย แนวคิดนี้เป็นที่รู้จักในฐานะการคาดคะเนในระดับท้องถิ่นและระดับโลก

Kertzer กล่าวว่า "งานจำนวนมากอ้างถึงมันราวกับว่ามันเป็นความจริงอยู่แล้ว" “เราคุยกันราวกับว่ามันกำลังจะได้รับการพิสูจน์ในอนาคตอันใกล้นี้”

เจมส์ ริกการ์ดนักคณิตศาสตร์ที่ Boulder ซึ่งทำงานร่วมกับ Stange และนักเรียนได้เขียนโค้ดเพื่อตรวจสอบการจัดเรียงวงกลมที่ต้องการ ดังนั้นเมื่อ Haag และ Kertzer เข้าร่วมกลุ่มในวันที่ 15 พฤษภาคม พวกเขาคิดว่าจะสร้างแผนการเจ๋งๆ ของกฎระดับท้องถิ่นสู่ระดับโลกที่เชื่อถือได้

Stange บินไปฝรั่งเศสเพื่อเข้าร่วมการประชุมเมื่อต้นเดือนมิถุนายน เมื่อเธอกลับมาในวันที่ 12 มิถุนายน ทีมงานได้จับกลุ่มกันในแผนภูมิซึ่งแสดงให้เห็นว่าถังสองสามถังดูเหมือนจะขาดตัวเลขบางอย่างไป

“เราไม่ได้ตรวจสอบปรากฏการณ์นี้” Rickards กล่าว “ฉันไม่ได้พยายามที่จะทดสอบว่ามันเป็นเรื่องจริง ฉันรู้ว่ามันเป็นเรื่องจริง - ฉันแค่คิดว่ามันเป็นเรื่องจริง แล้วจู่ๆ เราก็เจอกับข้อมูลที่บอกว่าไม่ใช่”

ภายในสิ้นสัปดาห์ ทีมงานมั่นใจว่าการคาดเดาเป็นเท็จ ตัวเลขที่พวกเขาคาดว่าจะปรากฏไม่เคยทำได้ พวกเขาทำการพิสูจน์และในวันที่ 6 กรกฎาคมพวกเขา โพสต์งานของพวกเขา ไปที่ไซต์ preprint ทางวิทยาศาสตร์ arxiv.org

Fuchs จำได้ว่าคุยกับ Stange ไม่นานหลังจากที่การพิสูจน์เข้าที่ “คุณเชื่อการคาดคะเนในระดับท้องถิ่นสู่ระดับโลกมากแค่ไหน” สแตนจ์ถาม Fuchs ตอบว่าแน่นอนเธอเชื่อ “จากนั้นเธอก็แสดงข้อมูลทั้งหมดเหล่านี้ให้ฉันดู และฉันก็พูดว่า 'โอ้พระเจ้า น่าทึ่งมาก'” Fuchs กล่าว “ฉันหมายความว่า ฉันเชื่อจริงๆ ว่าการคาดคะเนในระดับท้องถิ่นสู่ระดับโลกนั้นเป็นเรื่องจริง”

“เมื่อคุณเห็นแล้ว คุณจะพูดว่า 'อ๊ะ! แน่นอน!'” กล่าว ปีเตอร์ สารนักนักคณิตศาสตร์ที่สถาบันเพื่อการศึกษาขั้นสูงและมหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน การสังเกตในช่วงต้น ช่วยกระตุ้นการคาดเดาในท้องถิ่นและทั่วโลก

“มันเป็นข้อมูลเชิงลึกที่ยอดเยี่ยม” กล่าวเสริม อเล็กซ์ คอนโตโรวิช ของมหาวิทยาลัยรัตเกอร์ส “เราทุกคนกำลังหลอกตัวเองว่าเราไม่พบมันเมื่อ 20 ปีที่แล้ว เมื่อผู้คนเริ่มเล่นกับสิ่งนี้เป็นครั้งแรก”

ท่ามกลางเศษหินที่หลงเหลือจากผลลัพธ์ ผลงานได้เผยให้เห็นรอยร้าวในรากฐานของการคาดเดาอื่นๆ ในทฤษฎีจำนวน นักคณิตศาสตร์ถูกทิ้งให้สงสัยว่าความเชื่อที่ยึดถือกันอย่างกว้างขวางนั้นจะเป็นอย่างไรต่อไป

ประวัติวงเวียน

บรรจุภัณฑ์วงกลม Apollonian ได้ชื่อมาจากผู้ริเริ่มที่น่าจะเป็น Apollonius of Perga เมื่อประมาณ 2,200 ปีก่อน นักเรขาคณิตชาวกรีกได้เขียนหนังสือเล่มหนึ่งชื่อ แทนเจนซี เกี่ยวกับวิธีสร้างวงกลมที่สัมผัสกับวงกลมอีกสามวง หนังสือสูญหายไปตามกาลเวลา แต่ประมาณ 500 ปีต่อมา นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก Pappus แห่งอเล็กซานเดรียได้รวบรวมบทสรุปที่จะรอดพ้นจากการล่มสลายของอาณาจักรไบแซนไทน์

ใช้คำอธิบายของ Pappus เท่านั้น แทนเจนซีนักคณิตศาสตร์ยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาพยายามย้อนรอยงานเดิม ในปี 1643 René Descartes ได้ค้นพบความสัมพันธ์ที่เรียบง่ายระหว่างความโค้งของวงกลมทั้งสี่วงที่สัมผัสกัน เดส์การตส์ยืนยันว่าผลรวมของส่วนโค้งกำลังสองทั้งหมดเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของส่วนโค้งกำลังสอง ซึ่งหมายความว่า เมื่อมีวงกลมสามวง จะสามารถคำนวณรัศมีของวงกลมสัมผัสวงที่สี่ได้ ตัวอย่างเช่น หากคุณมีวงกลม 11 วงที่มีความโค้งเป็น 14, 15 และ 86 คุณสามารถแทนค่าตัวเลขเหล่านั้นลงในสมการของ Descartes และคำนวณความโค้งของวงกลมที่จะใส่เข้าไปได้: XNUMX

ในปี 1936 นักเคมีรังสีที่ได้รับรางวัลโนเบล เฟรเดอริค ซอดดี้ สังเกตเห็นบางอย่างแปลก ๆ ในขณะที่เขาสร้างบรรจุภัณฑ์ที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ของเดส์การตส์ เมื่อวงกลมมีขนาดเล็กลงและความโค้งใหญ่ขึ้น เขาคาดว่าจะได้ตัวเลขที่น่ากลัวโดยมีรากที่สองหรือทศนิยมไม่สิ้นสุด ความโค้งทั้งหมดเป็นจำนวนเต็มแทน นี่เป็นผลลัพธ์ที่ค่อนข้างตรงไปตรงมาของสมการของ Descartes แต่ไม่มีใครสังเกตเห็นมาหลายร้อยปีแล้ว มันเป็นแรงบันดาลใจให้ Soddy เผยแพร่บทกวี ในวารสารวิทยาศาสตร์ ธรรมชาติซึ่งเริ่ม:

สำหรับคู่ของริมฝีปากที่จะจูบบางที
ไม่เกี่ยวข้องกับตรีโกณมิติ
ไม่เป็นเช่นนั้นเมื่อวงกลมสี่วงจูบกัน
แต่ละคนอีกสามคน

เป็นไปได้และหลีกเลี่ยงไม่ได้

เมื่อทราบแล้วว่ามีการบรรจุที่เต็มไปด้วยจำนวนเต็ม นักคณิตศาสตร์จึงพยายามค้นหารูปแบบในจำนวนเต็มเหล่านั้น

ในปี 2010 Fuchs และ แคทเธอรีน แซนเดน ออกเดินทางเพื่อสร้างบน กระดาษจาก 2003. ทั้งคู่สังเกตว่าถ้าคุณแบ่งความโค้งแต่ละส่วนในกลุ่มที่กำหนดด้วย 24 จะเกิดกฎขึ้น บางบรรจุภัณฑ์มีความโค้งเท่านั้นโดยมีเศษเหลือเป็น 0, 1, 4, 9, 12 หรือ 16 เป็นต้น อื่น ๆ จะเหลือเพียงเศษของ 3, 6, 7, 10, 15, 18, 19 หรือ 22 มีหกกลุ่มที่เป็นไปได้ที่แตกต่างกัน

เมื่อนักคณิตศาสตร์ตรวจสอบบรรจุภัณฑ์ประเภทต่างๆ พวกเขาเริ่มสังเกตเห็นว่าสำหรับวงกลมขนาดเล็กพอ — วงกลมที่มีความโค้งมาก — ดูเหมือนว่าตัวเลขที่เป็นไปได้ทั้งหมดในแต่ละหมวดหมู่จะปรากฏสำหรับบรรจุภัณฑ์ประเภทนั้น ความคิดนี้ถูกเรียกว่าการคาดคะเนในระดับท้องถิ่นและระดับโลก Fuchs กล่าวว่าการพิสูจน์ว่ามันกลายเป็น "หนึ่งในความฝันของนักคณิตศาสตร์ตัวน้อยเหล่านี้" “เช่น บางทีในอีกไม่กี่ปีข้างหน้า ฉันจะสามารถแก้ปัญหานี้ได้”

ในปี 2012 Kontorovich และ Jean Bourgain (ใคร เสียชีวิตใน 2018) พิสูจน์แล้วว่า แทบทุกหมายเลข เกิดขึ้นจากการคาดคะเน แต่ “แทบทั้งหมด” ไม่ได้หมายความว่า “ทั้งหมด” ตัวอย่างเช่น กำลังสองสมบูรณ์หายากพอที่ในทางคณิตศาสตร์ จำนวนเต็ม “แทบทั้งหมด” จะไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ แม้ว่า 25 และ 49 จะเป็น XNUMX และ XNUMX ก็ตาม นักคณิตศาสตร์คิดว่าตัวอย่างที่หายากยังคงเป็นไปได้หลังจากกระดาษของ Kontorovich และ Bourgain ไม่มีอยู่จริง ส่วนใหญ่เป็นเพราะการบรรจุวงกลมที่ได้รับการศึกษาดีที่สุดสองหรือสามชิ้นดูเหมือนจะเป็นไปตามการคาดเดาระดับโลกในระดับท้องถิ่นได้เป็นอย่างดี Kontorovich กล่าว

หมุนแป้นหมุนนั้น

เมื่อ Haag และ Kertzer เริ่มต้นฤดูร้อนนี้ในโบลเดอร์ Rickards เขียนไอเดียบนกระดานดำในห้องทำงานของ Stange “เรามีรายชื่อทั้งหมด” Rickards กล่าว พวกเขามีสี่หรือห้าจุดเริ่มต้นที่จะทดลองด้วย “สิ่งที่คุณสามารถเล่นด้วยและดูว่าเกิดอะไรขึ้น”

แนวคิดหนึ่งคือการคำนวณการบรรจุวงกลมที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่มีความโค้ง A และ B โดยพลการสองแบบ Rickards เขียนโปรแกรมที่แสดงผลประเภทของบัญชีแยกประเภทที่รายงานว่าจำนวนเต็มใดแสดงต่อปาร์ตี้เมื่อ A เป็นเจ้าภาพ

จากโปรแกรมนี้ Haag ได้สร้างสคริปต์ Python ที่วางแผนการจำลองจำนวนมากในคราวเดียว มันเหมือนกับสูตรคูณ: Haag เลือกว่าจะรวมแถวและคอลัมน์ใดตามจำนวนที่เหลือเมื่อหารด้วย 24 คู่ของตัวเลขที่ปรากฏในชุด Apollonian รวมกันจะมีพิกเซลสีขาว พวกที่ไม่มีพิกเซลสีดำ

Haag ไถผ่านหลายสิบแปลง — แปลงหนึ่งสำหรับแต่ละคู่ที่เหลืออยู่ในแต่ละกลุ่มจากหกกลุ่ม

พวกมันดูตรงตามที่คาดไว้: ผนังสีขาว แต้มด้วยจุดสีดำสำหรับจำนวนเต็มขนาดเล็ก “เราคาดว่าจุดสีดำจะค่อยๆ จางหายไป” Stange กล่าว Rickards เสริมว่า "ฉันคิดว่าบางทีมันอาจจะเป็นไปได้ที่จะพิสูจน์ว่าพวกเขาหายไป" เขาคาดเดาว่าการดูแผนภูมิที่สังเคราะห์การบรรจุจำนวนมากเข้าด้วยกัน ทีมงานจะสามารถพิสูจน์ผลลัพธ์ที่ไม่สามารถทำได้เมื่อพวกเขาดูที่การบรรจุใด ๆ เพียงอย่างเดียว

ในขณะที่ Stange ไม่อยู่ Haag ก็วางแผนที่เหลือทุกคู่ - ประมาณ 120 ไม่น่าแปลกใจที่นั่น แล้วเธอก็ไปกันใหญ่

Haag กำลังวางแผนว่าจำนวนเต็ม 1,000 โต้ตอบกันอย่างไร (กราฟมีขนาดใหญ่กว่าที่คิด เนื่องจากเกี่ยวข้องกับคู่ที่เป็นไปได้ 1 ล้านคู่) จากนั้นเธอก็หมุนหน้าปัดขึ้นเป็น 10,000 คูณ 10,000 ในกราฟหนึ่ง แถวและคอลัมน์ปกติที่มีจุดสีดำไม่ยอมละลาย มันดูไม่มีอะไรเหมือนกับการคาดคะเนในท้องถิ่น-ทั่วโลก

ทีมพบกันในวันจันทร์หลังจาก Stange กลับมา Haag นำเสนอกราฟของเธอ และทุกคนก็มุ่งความสนใจไปที่กราฟที่มีจุดแปลกๆ “มันเป็นเพียงรูปแบบที่ต่อเนื่องกัน” Haag กล่าว “และนั่นคือตอนที่เคทพูดว่า 'จะเกิดอะไรขึ้นถ้าการคาดเดาในท้องถิ่น-ทั่วโลกไม่เป็นความจริง'”

“นี่ดูเหมือนรูปแบบ มันต้องดำเนินต่อไป ดังนั้นการคาดคะเนในระดับท้องถิ่นกับระดับโลกจะต้องเป็นเท็จ” Stange เล่าถึงความคิด “เจมส์ไม่เชื่อมากกว่า”

“ความคิดแรกของฉันคือต้องมีจุดบกพร่องในโค้ดของฉัน” Rickards กล่าว “ฉันหมายความว่านั่นเป็นสิ่งเดียวที่สมเหตุสมผลที่ฉันคิดได้”

ภายในครึ่งวัน Rickards ก็กลับมา รูปแบบตัดคู่ทั้งหมดที่หมายเลขแรกอยู่ในรูปแบบ 8 × (3n ± 1)² และอันที่สองคือ 24 คูณกำลังสองใดๆ ซึ่งหมายความว่า 24 และ 8 จะไม่ปรากฏในบรรจุภัณฑ์เดียวกัน ตัวเลขที่คุณคาดว่าจะเกิดขึ้นไม่

“ฉันรู้สึกเวียนหัว ไม่บ่อยนักที่จะมีบางอย่างทำให้คุณประหลาดใจ” Stange กล่าว “แต่นั่นคือความมหัศจรรย์ของการเล่นกับข้อมูล”

พื้นที่ กระดาษกรกฎาคม สรุปหลักฐานที่เข้มงวดว่ารูปแบบที่พวกเขาสังเกตเห็นนั้นดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนดซึ่งหักล้างการคาดเดา การพิสูจน์ขึ้นอยู่กับหลักการเก่าแก่หลายศตวรรษที่เรียกว่ากำลังสองซึ่งกันและกันซึ่งเกี่ยวข้องกับกำลังสองของจำนวนเฉพาะสองตัว ทีมงานของ Stange ค้นพบว่าการใช้การแลกเปลี่ยนซึ่งกันและกันกับการบรรจุหีบห่อเป็นวงกลมอย่างไร มันอธิบายว่าเหตุใดความโค้งบางอย่างจึงไม่สามารถสัมผัสกันได้ กฎนี้เรียกว่าสิ่งกีดขวาง แพร่กระจายไปทั่วบรรจุภัณฑ์ทั้งหมด “มันเป็นเพียงสิ่งใหม่ทั้งหมด” กล่าว เจฟฟรีย์ ลากาเรียสนักคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัยมิชิแกนซึ่งเป็นผู้เขียนร่วมในเอกสารการบรรจุวงกลมในปี 2003 “พวกเขาพบว่ามันฉลาดมาก” Sarnak กล่าว “หากตัวเลขเหล่านี้ปรากฏขึ้น แสดงว่าละเมิดความสัมพันธ์ซึ่งกันและกัน”

ผลกระทบ

การคาดเดาอื่น ๆ ในทฤษฎีจำนวนอาจมีข้อสงสัย เช่นเดียวกับการคาดคะเนในระดับท้องถิ่น-ระดับโลก การคาดเดาเหล่านี้ยากที่จะพิสูจน์ แต่ได้แสดงให้เห็นแล้วว่ามีแทบทุกกรณี และโดยทั่วไปจะสันนิษฐานว่าเป็นเรื่องจริง

ตัวอย่างเช่น Fuchs ศึกษา Markov triple ซึ่งเป็นชุดของตัวเลขที่ตรงตามสมการ x² + y² + z² = 3XYZ. เธอและคนอื่นๆ ได้แสดงให้เห็นว่าโซลูชันบางประเภทเชื่อมต่อกับจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 10³⁹². ทุกคนเชื่อว่ารูปแบบควรดำเนินต่อไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด แต่ด้วยผลลัพธ์ใหม่ Fuchs ได้ปล่อยให้ตัวเองรู้สึกสงสัยเล็กน้อย “บางทีฉันอาจขาดอะไรไป” เธอกล่าว “บางทีทุกคนอาจขาดอะไรบางอย่างไป”

“ตอนนี้เรามีตัวอย่างเดียวที่เป็นเท็จ คำถามก็คือ ตัวอย่างอื่นๆ เหล่านี้ก็เป็นเท็จด้วยหรือไม่” ริคคาร์ดส์กล่าวว่า

นอกจากนี้ยังมีการคาดเดาของ Zaremba กล่าวว่าเศษส่วนที่มีตัวส่วนใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนต่อเนื่องที่ใช้เฉพาะตัวเลขระหว่าง 1 ถึง 5 ในปี 2014 Kontorovich และ Bourgain แสดงให้เห็นว่าการคาดเดาของ Zaremba ครอบคลุมตัวเลขเกือบทั้งหมด แต่ความประหลาดใจเกี่ยวกับการบรรจุเป็นวงกลมได้บั่นทอนความมั่นใจในการคาดเดาของ Zaremba

หากปัญหาการบรรจุเป็นลางสังหรณ์ของสิ่งต่างๆ ในอนาคต ข้อมูลเชิงคำนวณอาจเป็นเครื่องมือในการเลิกทำ

Fuchs กล่าวว่า "ฉันพบว่ามันน่าสนใจเสมอเมื่อคณิตศาสตร์ใหม่เกิดขึ้นจากการดูข้อมูลเพียงอย่างเดียว “หากไม่มีสิ่งนี้ ก็ยากที่จะจินตนาการว่า [พวกเขา] จะสะดุดกับสิ่งนี้”

Stange เสริมว่าสิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้นหากไม่มีโครงการฤดูร้อนที่มีเดิมพันต่ำ “ความบังเอิญและทัศนคติของการสำรวจที่ขี้เล่นต่างก็มีบทบาทอย่างมากในการค้นพบ” เธอกล่าว

“มันเป็นเรื่องบังเอิญจริงๆ” ฮากกล่าว “ถ้าฉันไม่โตพอ เราก็คงไม่สังเกตเห็นมัน” งานนี้เป็นลางดีสำหรับอนาคตของทฤษฎีจำนวน “คุณสามารถเข้าใจคณิตศาสตร์ผ่านสัญชาตญาณผ่านการพิสูจน์” Stange กล่าว “และคุณเชื่ออย่างนั้นมากเพราะคุณใช้เวลาคิดเรื่องนี้มาก แต่คุณไม่สามารถโต้แย้งกับข้อมูลได้”

หมายเหตุบรรณาธิการ: Alex Kontorovich เป็นสมาชิกของ นิตยสาร Quantaคณะกรรมการที่ปรึกษาทางวิทยาศาสตร์ของ เขาเคยให้สัมภาษณ์เกี่ยวกับเรื่องนี้แต่ไม่ได้มีส่วนร่วมในการผลิตแต่อย่างใด