Michel Talagrand ชนะรางวัล Abel จากผลงานการโต้เถียงเรื่องความสุ่ม | นิตยสารควอนต้า

กระบวนการสุ่มเกิดขึ้นรอบตัวเรา วันหนึ่งฝนตกแต่ไม่ใช่วันถัดไป หุ้นและพันธบัตรได้รับและสูญเสียมูลค่า รถติดก็รวมตัวกันและหายไป เนื่องจากปัจจัยเหล่านี้ถูกควบคุมโดยปัจจัยหลายอย่างที่มีปฏิสัมพันธ์ซึ่งกันและกันในรูปแบบที่ซับซ้อน จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะคาดเดาพฤติกรรมที่แน่นอนของระบบดังกล่าวได้ แต่เราคิดถึงสิ่งเหล่านี้ในแง่ของความน่าจะเป็น โดยระบุผลลัพธ์ว่าเป็นไปได้หรือหายาก

วันนี้นักทฤษฎีความน่าจะเป็นชาวฝรั่งเศส มิเชล ทาลาแกรนด์ ได้รับรางวัล Abel Prize ซึ่งเป็นหนึ่งในรางวัลเกียรติยศสูงสุดในสาขาคณิตศาสตร์ จากการพัฒนาความเข้าใจอย่างลึกซึ้งและซับซ้อนเกี่ยวกับกระบวนการดังกล่าว รางวัลนี้มอบให้โดยกษัตริย์แห่งนอร์เวย์ โดยจำลองมาจากรางวัลโนเบลและมาพร้อมกับเงิน 7.5 ล้านโครนนอร์เวย์ (ประมาณ 700,000 ดอลลาร์) เมื่อเขาบอกว่าเขาชนะแล้ว “จิตใจของฉันก็ว่างเปล่า” Talagrand กล่าว “ประเภทของคณิตศาสตร์ที่ฉันทำไม่ทันสมัยเลยเมื่อเริ่มต้น ถือว่าด้อยกว่าคณิตศาสตร์ ความจริงที่ว่าฉันได้รับรางวัลนี้เป็นข้อพิสูจน์ที่ชัดเจนว่านี่ไม่ใช่กรณี”

นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ก็เห็นด้วย งานของ Talagrand “เปลี่ยนวิธีที่ฉันมองโลก” กล่าว อัสซาฟ นาโอร ของมหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน วันนี้มาเพิ่ม เฮลเก้ โฮลเดนประธานคณะกรรมการตัดสินรางวัล Abel กล่าวว่า "การบรรยายและสร้างแบบจำลองเหตุการณ์ในโลกแห่งความเป็นจริงโดยกระบวนการสุ่มกำลังได้รับความนิยมอย่างมาก กล่องเครื่องมือของ Talagrand ปรากฏขึ้นทันที”

Talagrand มองว่าชีวิตของเขาเองเป็นห่วงโซ่ของเหตุการณ์ที่ไม่น่าเป็นไปได้ เขาแทบจะไม่ผ่านชั้นประถมศึกษาในลียง แม้ว่าเขาจะสนใจวิทยาศาสตร์ แต่เขาไม่ชอบเรียน เมื่ออายุได้ 5 ขวบ เขาสูญเสียการมองเห็นในตาขวาหลังจากที่จอประสาทตาหลุดออก เมื่ออายุ 15 ปี เขามีจอประสาทตาหลุด XNUMX ครั้งในตาอีกข้างหนึ่ง ทำให้เขาต้องอยู่ในโรงพยาบาลเป็นเวลาหนึ่งเดือน มีผ้าปิดตา กลัวว่าเขาจะตาบอด พ่อของเขาซึ่งเป็นศาสตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์มาเยี่ยมเขาทุกวัน ทำให้จิตใจของเขายุ่งอยู่กับการสอนคณิตศาสตร์ให้เขา “นี่คือวิธีที่ฉันเรียนรู้พลังของนามธรรม” Talagrand เขียนใน 2019 หลังจากชนะรางวัล Shaw Prize ซึ่งเป็นรางวัลคณิตศาสตร์สำคัญอีกรางวัลหนึ่งที่มาพร้อมเงินรางวัล 1.2 ล้านเหรียญสหรัฐ (Talagrand ใช้เงินจำนวนนี้พร้อมกับชัยชนะของ Abel เพื่อหารางวัลของเขาเอง "โดยตระหนักถึงความสำเร็จของนักวิจัยรุ่นเยาว์ในด้านที่ฉันอุทิศทั้งชีวิต")

เขาขาดเรียนไปครึ่งปีในขณะที่เขาฟื้นตัว แต่เขาได้รับแรงบันดาลใจให้เริ่มมุ่งความสนใจไปที่การเรียน เขาเก่งคณิตศาสตร์ และหลังจากสำเร็จการศึกษาวิทยาลัยในปี 1974 เขาได้รับการว่าจ้างจากศูนย์วิจัยวิทยาศาสตร์แห่งชาติของฝรั่งเศส ซึ่งเป็นสถาบันวิจัยที่ใหญ่ที่สุดของยุโรป ซึ่งเขาทำงานจนเกษียณในปี 2017 ในช่วงเวลานั้น เขาได้รับปริญญาเอก ตกหลุมรักนักสถิติภรรยาในอนาคตของเขาตั้งแต่แรกเห็น (เขาเสนอให้เธอสามวันหลังจากพบเธอ); และค่อยๆ พัฒนาความสนใจในเรื่องความน่าจะเป็น โดยตีพิมพ์บทความหลายร้อยฉบับในหัวข้อนี้

นั่นไม่ได้ถูกกำหนดไว้ล่วงหน้า Talagrand เริ่มต้นอาชีพของเขาโดยศึกษาปริภูมิเรขาคณิตมิติสูง “เป็นเวลา 10 ปีแล้วที่ผมไม่ได้ค้นพบว่าตัวเองเก่งอะไร” เขากล่าว แต่เขาไม่เสียใจกับทางเบี่ยงนี้ ในที่สุดมันก็นำเขาไปสู่ทฤษฎีความน่าจะเป็น โดยที่ “ฉันมีมุมมองอื่น … นั่นทำให้ฉันมีวิธีการมองสิ่งต่าง ๆ ที่แตกต่างออกไป” เขากล่าว มันทำให้เขาสามารถตรวจสอบกระบวนการสุ่มผ่านเลนส์ของเรขาคณิตมิติสูงได้

“เขานำสัญชาตญาณทางเรขาคณิตเข้ามาเพื่อแก้ปัญหาความน่าจะเป็นล้วนๆ” นาออร์กล่าว

กระบวนการสุ่มคือกลุ่มของเหตุการณ์ที่ผลลัพธ์แตกต่างกันไปตามโอกาสในลักษณะที่สามารถจำลองได้ เช่น ลำดับการโยนเหรียญ หรือวิถีการเคลื่อนที่ของอะตอมในก๊าซ หรือปริมาณฝนทั้งหมดในแต่ละวัน นักคณิตศาสตร์ต้องการเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างผลลัพธ์ส่วนบุคคลกับพฤติกรรมรวม คุณต้องพลิกเหรียญกี่ครั้งจึงจะรู้ว่ายุติธรรมหรือไม่? แม่น้ำจะล้นฝั่งหรือ?

Talagrand มุ่งเน้นไปที่กระบวนการที่มีการกระจายผลลัพธ์ตามเส้นโค้งรูประฆังที่เรียกว่าเกาส์เซียน การแจกแจงดังกล่าวเป็นเรื่องปกติในธรรมชาติและมีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่ต้องการหลายประการ เขาต้องการรู้ว่าจะพูดอะไรได้อย่างมั่นใจเกี่ยวกับผลลัพธ์ที่รุนแรงในสถานการณ์เหล่านี้ ดังนั้นเขาจึงพิสูจน์ชุดของความไม่เท่าเทียมกันซึ่งทำให้ขอบเขตบนและล่างแน่นหนาของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ “การได้รับความไม่เท่าเทียมกันที่ดีถือเป็นงานศิลปะชิ้นหนึ่ง” โฮลเดนกล่าว ศิลปะนั้นมีประโยชน์: วิธีการของ Talagrand สามารถประมาณระดับที่เหมาะสมที่สุด เช่น ระดับสูงสุดที่แม่น้ำอาจสูงขึ้นในอีก 10 ปีข้างหน้า หรือขนาดของแผ่นดินไหวที่รุนแรงที่สุด

เมื่อเราต้องจัดการกับข้อมูลมิติที่ซับซ้อนสูง การค้นหาค่าสูงสุดดังกล่าวอาจเป็นเรื่องยาก

สมมติว่าคุณต้องการประเมินความเสี่ยงของน้ำท่วมในแม่น้ำ ซึ่งจะขึ้นอยู่กับปัจจัยต่างๆ เช่น ปริมาณน้ำฝน ลม และอุณหภูมิ คุณสามารถจำลองความสูงของแม่น้ำเป็นกระบวนการสุ่มได้ Talagrand ใช้เวลา 15 ปีในการพัฒนาเทคนิคที่เรียกว่าการผูกมัดทั่วไป ซึ่งทำให้เขาสามารถสร้างพื้นที่เรขาคณิตมิติสูงที่เกี่ยวข้องกับกระบวนการสุ่มดังกล่าวได้ วิธีการของเขา “ให้วิธีการอ่านค่าสูงสุดจากเรขาคณิต” Naor กล่าว

เทคนิคนี้เป็นเทคนิคทั่วไปและนำไปใช้ได้อย่างกว้างขวาง สมมติว่าคุณต้องการวิเคราะห์ชุดข้อมูลขนาดใหญ่และมีมิติสูงซึ่งขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์นับพันตัว หากต้องการสรุปผลที่มีความหมาย คุณต้องการรักษาคุณลักษณะที่สำคัญที่สุดของชุดข้อมูลไว้ในขณะที่กำหนดลักษณะเฉพาะของพารามิเตอร์เพียงไม่กี่ตัว (ตัวอย่างเช่น นี่เป็นวิธีหนึ่งในการวิเคราะห์และเปรียบเทียบโครงสร้างที่ซับซ้อนของโปรตีนต่างๆ) วิธีการล้ำสมัยหลายๆ วิธีช่วยให้เกิดความง่ายขึ้นนี้ได้โดยการใช้การดำเนินการแบบสุ่มที่จับคู่ข้อมูลมิติสูงกับพื้นที่มิติที่ต่ำกว่า . นักคณิตศาสตร์สามารถใช้วิธีเชื่อมโยงทั่วไปของ Talagrand เพื่อกำหนดจำนวนข้อผิดพลาดสูงสุดที่กระบวนการนี้เกิดขึ้น ช่วยให้พวกเขาสามารถระบุโอกาสที่คุณลักษณะสำคัญบางอย่างจะไม่ถูกเก็บรักษาไว้ในชุดข้อมูลแบบง่าย

งานของ Talagrand ไม่ได้จำกัดเพียงการวิเคราะห์ผลลัพธ์ที่ดีที่สุดและแย่ที่สุดที่เป็นไปได้ของกระบวนการสุ่มเท่านั้น เขายังศึกษาสิ่งที่เกิดขึ้นในกรณีเฉลี่ยอีกด้วย

ในหลายกระบวนการ เหตุการณ์สุ่มแต่ละเหตุการณ์โดยรวมแล้วสามารถนำไปสู่ผลลัพธ์ที่มีการกำหนดไว้สูงได้ หากการวัดมีความเป็นอิสระ ผลรวมจะสามารถคาดเดาได้มาก แม้ว่าแต่ละเหตุการณ์จะไม่สามารถคาดเดาได้ก็ตาม เช่น พลิกเหรียญที่ยุติธรรม คุณไม่สามารถพูดอะไรล่วงหน้าเกี่ยวกับสิ่งที่จะเกิดขึ้น พลิกมัน 10 ครั้ง และคุณจะได้หัว 66, 1,000 หรือ 450 หัว — ใกล้เคียงกับค่าที่คาดไว้ของ 550 หัว — ประมาณ 99.7% ของเวลา แต่พลิกเหรียญ 500 ครั้ง และคุณจะได้หัวระหว่าง XNUMX ถึง XNUMX หัว XNUMX% ของเวลา ผลลัพธ์ที่ได้จะกระจุกตัวอยู่ที่ค่าที่คาดหวังไว้ที่ XNUMX มากขึ้น “มันคมชัดเป็นพิเศษเมื่อเทียบกับค่าเฉลี่ย” โฮลเดนกล่าว

“แม้ว่าบางสิ่งจะมีการสุ่มเกิดขึ้นมากมาย ความบังเอิญนั้นก็จะยกเลิกตัวมันเอง” Naor กล่าว “สิ่งที่ดูเหมือนความยุ่งเหยิงอันน่าสยดสยองในตอนแรกได้รับการจัดระเบียบจริงๆ”

ปรากฏการณ์นี้เรียกว่าความเข้มข้นของการวัด เกิดขึ้นในกระบวนการสุ่มที่ซับซ้อนกว่ามากเช่นกัน Talagrand มาพร้อมกับกลุ่มของความไม่เท่าเทียมกันที่ทำให้สามารถวัดปริมาณความเข้มข้นนั้นได้ และพิสูจน์ว่ามันเกิดขึ้นในบริบทที่แตกต่างกันมากมาย เทคนิคของเขาแตกต่างจากงานก่อนหน้านี้ในพื้นที่ เพื่อพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันครั้งแรก เขาเขียนไว้ในเรียงความปี 2019 ว่าเป็น “ประสบการณ์ที่มหัศจรรย์” เขา “มี​ความ​ยินดี​อยู่​เสมอ”

เขาภูมิใจเป็นพิเศษกับความไม่เท่าเทียมกันด้านสมาธิประการหนึ่งที่ตามมาของเขา “มันไม่ง่ายเลยที่จะได้ผลลัพธ์ที่พยายามคิดถึงจักรวาล และในขณะเดียวกันก็มีหลักฐานหน้าเดียวที่อธิบายได้ง่าย” เขากล่าว (เขาจำได้ด้วยความยินดีที่ครั้งหนึ่งเขาเคยใช้บริการรถแท็กซี่ซึ่งเจ้าของจำชื่อเขาได้ โดยได้เรียนรู้ถึงความไม่เท่าเทียมกันในชั้นเรียนความน่าจะเป็นในโรงเรียนธุรกิจ “นั่นไม่ธรรมดาเลย” เขากล่าว)

เช่นเดียวกับวิธีการผูกมัดทั่วไปของเขา ความไม่เท่าเทียมกันของความเข้มข้นของ Talagrand ปรากฏอยู่ในคณิตศาสตร์ทั้งหมด “มันน่าทึ่งมากที่มันไปได้ไกล” Naor กล่าว “ความไม่เท่าเทียมกันของตะลาแกรนด์คือสกรูที่ยึดสิ่งต่าง ๆ ไว้ด้วยกัน”

พิจารณาปัญหาการปรับให้เหมาะสมที่คุณต้องจัดเรียงรายการที่มีขนาดต่างกันลงถังขยะ ซึ่งเป็นรูปแบบการจัดสรรทรัพยากร เมื่อคุณมีสิ่งของมากมาย เป็นเรื่องยากมากที่จะหาจำนวนถังขยะที่น้อยที่สุดที่คุณต้องการ แต่ความไม่เท่าเทียมกันของ Talagrand สามารถบอกคุณได้ว่าคุณต้องการถังขยะจำนวนเท่าใดหากขนาดของรายการเป็นการสุ่ม

วิธีการที่คล้ายกันนี้ใช้ในการพิสูจน์ปรากฏการณ์ความเข้มข้นในเชิงคณิตศาสตร์เชิงผสม ฟิสิกส์ วิทยาการคอมพิวเตอร์ สถิติ และสภาพแวดล้อมอื่นๆ

เมื่อเร็วๆ นี้ Talagrand ใช้ความเข้าใจของเขาเกี่ยวกับกระบวนการสุ่มเพื่อพิสูจน์การคาดเดาที่สำคัญเกี่ยวกับแก้วหมุน ซึ่งเป็นวัสดุแม่เหล็กที่ไม่เป็นระเบียบซึ่งเกิดจากการโต้ตอบแบบสุ่มและมักจะขัดแย้งกัน Talagrand รู้สึกหงุดหงิดที่แม้ว่าแก้วหมุนจะถูกกำหนดไว้อย่างดีทางคณิตศาสตร์ แต่นักฟิสิกส์ก็เข้าใจมันดีกว่านักคณิตศาสตร์ “มันเป็นหนามที่เท้าของเรา” เขากล่าว เขาพิสูจน์ผลลัพธ์เกี่ยวกับพลังงานอิสระที่เรียกว่าแก้วหมุน ซึ่งเป็นรากฐานสำหรับทฤษฎีทางคณิตศาสตร์มากขึ้น

ตลอดอาชีพของเขา งานวิจัยของ Talagrand โดดเด่นด้วย "ความสามารถนี้ในการถอยออกมาและค้นหาหลักการทั่วไปที่สามารถนำมาใช้ซ้ำได้ทุกที่" Naor กล่าว “เขากลับมาทบทวนอีกครั้ง และคิดถึงบางสิ่งบางอย่างจากทุกมุมมอง และในที่สุดเขาก็นำเสนอข้อมูลเชิงลึกที่กลายมาเป็นม้าทำงานที่ทุกคนใช้”

“ฉันชอบที่จะเข้าใจสิ่งง่ายๆ เป็นอย่างดี เพราะสมองของฉันช้ามาก” Talagrand กล่าว “ฉันคิดถึงพวกเขามานานแล้ว” เขากล่าวด้วยความปรารถนาที่จะ "เข้าใจบางสิ่งบางอย่างอย่างลึกซึ้งด้วยวิธีที่บริสุทธิ์ ซึ่งทำให้ทฤษฎีง่ายขึ้นมาก" จากนั้นคนรุ่นต่อไปก็สามารถเริ่มต้นจากที่นั่นและสร้างความก้าวหน้าตามเงื่อนไขของตนเองได้”

ในช่วงทศวรรษที่ผ่านมา เขาบรรลุเป้าหมายนี้ด้วยการเขียนหนังสือเรียน ไม่ใช่แค่เกี่ยวกับกระบวนการสุ่มและแก้วหมุนเท่านั้น แต่ยังเกี่ยวกับส่วนที่เขาไม่ได้ทำเลยด้วย นั่นคือทฤษฎีสนามควอนตัม เขาต้องการเรียนรู้เกี่ยวกับเรื่องนี้ แต่ตระหนักว่าหนังสือเรียนทั้งหมดที่เขาหาได้นั้นเขียนโดยและสำหรับนักฟิสิกส์ ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ ดังนั้นเขาจึงเขียนเรื่องหนึ่งเอง “หลังจากที่คุณไม่สามารถประดิษฐ์สิ่งต่าง ๆ อีกต่อไป คุณก็สามารถอธิบายมันได้” เขากล่าว