นักคณิตศาสตร์ขจัดภัยคุกคามระยะยาวต่อการคาดคะเนปม

กว่า 60 ปีที่แล้ว Ralph Fox ได้เสนอปัญหาเกี่ยวกับปมที่หลอกหลอนนักคณิตศาสตร์มาจนถึงทุกวันนี้ คำถามของเขา ตอนนี้มักถูกกำหนดเป็น "การคาดคะเนแบบริบบิ้นชิ้น" ซึ่งระบุว่ากลุ่มปมสองกลุ่มที่ดูเหมือนแตกต่างกันนั้นเหมือนกัน ด้วยคำแนะนำของความเรียบง่ายสง่างามในโลกของเงื่อน มันกลายเป็นหนึ่งในปัญหาที่มีรายละเอียดสูงที่สุดในทฤษฎีเงื่อน "มันหมายความว่าโลกนี้มีโครงสร้างมากกว่าที่คุณคาดไว้เล็กน้อย" กล่าว อรุนิมา เรย์นักคณิตศาสตร์ที่ Max Planck Institute for Mathematics ในเมืองบอนน์

เป็นเวลาหลายทศวรรษที่ปมหนึ่งถูกสงสัยว่าเป็นเส้นทางที่เป็นไปได้ในการยุติการคาดเดา ยังอยู่ในก กระดาษที่โพสต์เมื่อฤดูร้อนที่แล้วนักคณิตศาสตร์ XNUMX คนพบว่าปมนี้ใช้การไม่ได้ แม้ว่าข้อโต้แย้งที่พวกเขานำเสนอจะให้ข้อมูลเชิงลึกใหม่เกี่ยวกับปมในระดับที่กว้างขึ้น แต่งานโดยรวมทำให้นักคณิตศาสตร์ไม่แน่ใจเกี่ยวกับการคาดเดา “ฉันคิดว่ามีข้อโต้แย้งที่ถูกต้องตามกฎหมายว่าจะกลายเป็นจริงหรือไม่” กล่าว คริสเตน เฮนดริกส์นักคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัยรัตเกอร์ส

การคาดคะเนแบบสไลซ์ริบบอนเกี่ยวข้องกับนอตสองประเภท: นอตสไลซ์และนอตริบบิ้น การค้นหาว่านอตใดถูกตัดเป็น “หนึ่งในคำถามพื้นฐานที่ผู้ทดลองของเราต้องพิจารณา” กล่าว อภิเชค มัลลิกหนึ่งในผู้เขียนบทความใหม่

ปมทางคณิตศาสตร์สามารถคิดได้ว่าเป็นวงเชือกธรรมดา นักคณิตศาสตร์เรียกการวนซ้ำง่ายๆ ที่ไม่มีเงื่อนในนั้นว่า "เงื่อน" (แม้ว่านี่จะไม่ใช่เงื่อนตามความหมายทั่วไปของคำ แต่นักคณิตศาสตร์ก็มองว่าเงื่อนเป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของเงื่อน)

นอตยังกำหนดขอบเขตของรูปร่างที่นักคณิตศาสตร์เรียกว่าดิสก์ แม้ว่าจะไม่ได้ดูเหมือนดิสก์เสมอไปตามความหมายทั่วไปของคำนี้ ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด unnot สร้างขอบเขตของวงกลม - "ดิสก์" ที่ดูเหมือนดิสก์จริงๆ แต่การวนซ้ำสร้างขอบเขตไม่เพียง แต่เป็นวงกลมที่วางราบบนโต๊ะเท่านั้น แต่ยังรวมถึงชามซึ่งขยายออกเป็นสามมิติด้วยที่วางกลับหัวบนโต๊ะ ดิสก์ที่นอตกำหนดสามารถขยายเพิ่มเติมจากสามมิติเป็นสี่

หากมีปมในสตริง ดิสก์จะซับซ้อนมากขึ้น ในพื้นที่สามมิติ ดิสก์เหล่านั้นมีภาวะเอกฐาน — จุดที่พวกมันทำงานผิดปกติทางคณิตศาสตร์ นอตสไลซ์คือสิ่งที่เป็นไปได้ในสี่มิติเพื่อค้นหาดิสก์ที่ไม่มีเอกพจน์ดังกล่าว นอตสไลซ์คือ “สิ่งที่ดีที่สุดถัดไป ไปสู่ความไม่รู้” เช่นเดียวกับ Peter Teichner จาก Max Planck Institute ได้วางไว้.

อย่างไรก็ตาม ดิสก์ที่ล้อมรอบด้วยสไลซ์นอตในสามมิติอาจดูน่าเกลียดและใช้งานยาก การคาดคะเนของแถบริบบิ้นบอกว่าพวกเขาไม่จำเป็นต้องเป็น

ปมริบบิ้นเป็นปมที่มีดิสก์คล้ายริบบิ้น ในสามมิติ ริบบิ้นเหล่านี้สามารถทะลุผ่านตัวเองได้ เช่นเดียวกับที่ริบบิ้นธรรมดาสามารถดึงผ่านรอยผ่าตรงกลางได้ ในทางคณิตศาสตร์ การส่งผ่านดังกล่าวเรียกว่า ริบบอน ซิงกูลาริตี ซึ่งแตกต่างจากเอกพจน์ประเภทอื่น ๆ ความเป็นเอกฐานของริบบิ้นสามารถกำจัดได้ง่ายโดยการย้ายเป็นสี่มิติ สิ่งนี้ทำให้ง่ายสำหรับนักคณิตศาสตร์ที่จะแสดงว่าปมริบบิ้นทั้งหมดถูกตัดออก

ในทางกลับกัน - ปมของสไลซ์ทุกอันก็เป็นริบบิ้นเช่นกัน - คือการคาดคะเนของสไลซ์ - ริบบอนซึ่งเป็นคำถามเปิดมานานหลายทศวรรษ (เพื่อให้เรื่องซับซ้อนยิ่งขึ้น เงื่อนสไลซ์มีการจำแนกประเภทที่เกี่ยวข้องกันหลายอย่าง รวมถึง "สไลซ์อย่างราบรื่น" และ "สไลซ์ทอพอโลยี" การคาดเดาใช้เฉพาะกับเงื่อนประเภท "สไลซ์อย่างราบรื่น" ซึ่งนักคณิตศาสตร์มักหมายถึงคำว่า "สไลซ์")

เพื่อหักล้างการคาดเดา เพียงแค่หาปมที่ฝานเรียบแต่ไม่ใช่ริบบิ้น เป็นเวลาหลายทศวรรษที่นักคณิตศาสตร์จับตามองผู้สมัคร: สายเคเบิล (2, 1) ของเงื่อนเลขแปด ทำโดยการร้อยเชือกเส้นที่สองตามเงื่อนเลขแปด แล้วรวมเชือกทั้งสองเข้าด้วยกันเป็นเงื่อนเดียว

ในปี 1980 Akio Kawauchi ได้พิสูจน์ว่าเงื่อนนี้มีทั้งแบบเชือดอย่างมีเหตุผลและเชิงพีชคณิต ซึ่งมีคุณสมบัติคล้ายกับการเชือดอย่างราบรื่น แต่ไม่เหมือนกันเสียทีเดียว ในปี 1994 Katura Miyazaki ได้พิสูจน์ว่านี่ไม่ใช่ริบบิ้น หากผลลัพธ์ของ Kawauchi สามารถเสริมความแข็งแกร่งได้เพียงแค่สัมผัสเพื่อแสดงให้เห็นว่าปมนั้นถูกเฉือนอย่างราบรื่น มันจะหักล้างการคาดเดา

เอกสารฉบับใหม่นี้พิสูจน์ให้เห็นว่าเงื่อนที่เป็นปัญหานั้นไม่ได้ถูกตัดเป็นชิ้น ๆ แต่อย่างใด ปิดประตูนี้อย่างกระแทก

Hendricks ผู้ซึ่งทำงานอย่างใกล้ชิดกับผู้เขียนสองคนของบทความฉบับใหม่กล่าวว่า "การคาดคะเนแบบริบบิ้นยังคงแข็งแกร่ง" “นั่นน่าตื่นเต้นมาก เพราะผู้คนพยายามทำความเข้าใจตัวอย่างนี้มานานแล้ว”

หลักฐานใหม่ขึ้นอยู่กับสิ่งที่เรียกว่าการปกปิดแบบแยกส่วน คุณสามารถนึกภาพฝาครอบสองชั้นที่แตกกิ่งได้โดยนึกถึงทรงกลมกลวง เช่น ลูกบาสเก็ตบอล หากต้องการทำฝาครอบลูกบาสเก็ตบอลแบบแยกกิ่ง ให้ผ่าจากบนลงล่างตามแนวเส้นลองจิจูดเส้นใดเส้นหนึ่ง ตอนนี้ดึงด้านหนึ่งของยางที่คุณตัดแล้วยืดไปตามเส้นศูนย์สูตรจนกระทั่งวัสดุพันรอบ เมื่อคุณแปลงร่างเสร็จแล้ว คุณก็จะได้ลูกบาสเก็ตบอลที่ทำจากวัสดุ XNUMX ชั้นที่ถอดเปลี่ยนได้ ซึ่งเรียกว่า "ฝาครอบสองชั้น" (ในสถานการณ์นี้ ยางยืดและบิดได้ตามต้องการโดยไม่หักหรือยับ)

"กิ่งก้านสาขา" ใน "กิ่งก้านคู่" มาจากลักษณะพิเศษของการเปลี่ยนแปลง เนื่องจากคุณยืดตัวในแนวนอน จึงยังคงมีเพียงชั้นเดียวที่จุดบนสุดและจุดล่างสุดของลูกบอล นั่นคือขั้วเหนือและขั้วใต้ จุดเหล่านี้เรียกว่าจุดสาขา และการมีอยู่ของจุดเหล่านี้ทำให้ฝาครอบสองชั้นกลายเป็นฝาครอบสองชั้นแบบแยกสาขา

เมื่อพูดถึงเงื่อน ฝาครอบแบบแยกกิ่งจะประกอบเข้าด้วยกันในลักษณะที่จุดกิ่งเป็นปม: จุดที่เหมือนกับขั้วเหนือและขั้วใต้ของลูกบาสเก็ตบอล จะถูกปิดเพียงครั้งเดียว

“ในอดีต การดูฝาครอบแบบแยกเป็นสองส่วนเป็นเครื่องมือมาตรฐานของการค้า” กล่าว เจนนิเฟอร์ ฮอมนักคณิตศาสตร์แห่งสถาบันเทคโนโลยีแห่งจอร์เจีย ผู้ซึ่งเคยทำงานร่วมกับผู้เขียนรายงานฉบับใหม่สองคน นี่เป็นเพราะ - เช่นเดียวกับบาสเก็ตบอลที่ล้อมรอบลูกบอลอากาศ - ฝาครอบสองชั้นที่แยกออกจากกันของปมสไลซ์จะล้อมรอบรูปทรงสี่มิติบางอย่าง หากนักคณิตศาสตร์สามารถแสดงได้ว่าปมที่แยกออกเป็น 4 ชั้นไม่ได้ล้อมรอบรูปร่าง XNUMX มิติที่ถูกต้อง พวกเขาก็สามารถตัดความเป็นไปได้ที่ปมจะถูกเฉือนออกได้

แต่สิ่งนี้ใช้ไม่ได้กับสายเคเบิล (2, 1) ของเงื่อนรูปที่แปด: ฝาครอบสองชั้นที่แยกออกมานั้นล้อมรอบรูปทรงสี่มิติประเภทที่ถูกต้อง แสดงให้เห็นว่าสายเคเบิล (2, 1) ของเงื่อนรูปที่แปดนั้นไม่ได้แยกส่วนขึ้นอยู่กับความสมมาตรของรูปร่างที่มักถูกมองข้าม

เมื่อคุณยืดพื้นผิวของลูกบาสเก็ตบอลเพื่อสร้างฝาครอบสองชั้นที่แยกออก คุณสามารถจินตนาการถึงการทำบางสิ่งที่คล้ายกับลูกบอลสามมิติในอากาศ เมื่อคุณดึงยางรอบๆ ลูกบอล ให้ดึงอากาศไปด้วย เช่นเดียวกับที่ชั้นของยาง XNUMX ชั้นสามารถถอดเปลี่ยนได้ จึงมีลูกบอลอากาศสองซีกที่ทั้งสองไปสิ้นสุดในที่เดียวกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความสมมาตรจากด้านนอกของลูกบอลขยายไปถึงด้านใน

ในทำนองเดียวกัน สมมาตรบนฝาครอบสองชั้นที่แตกกิ่งของปมสไลซ์จะเข้าถึงพื้นที่ 4 มิติภายใน นักคณิตศาสตร์มักไม่สนใจความสมมาตรนี้เมื่อพยายามแสดงว่านอตไม่ได้แยกส่วน แต่ในกรณีนี้ มันเป็นสิ่งจำเป็น หากผู้เขียนผลงานชิ้นใหม่แสดงได้ว่าไม่มีความสมมาตรเช่นนี้ พวกเขาก็จะสรุปได้ว่าเงื่อนนั้นไม่ใช่ชิ้นส่วน

“เนื่องจากคำถามไม่ได้หมายถึงความสมมาตร คุณจึงคิดว่า: เอาล่ะ ความสมมาตรเข้ามาในภาพเพื่อพูดอะไรเกี่ยวกับมันได้อย่างไร แต่อย่างใดอย่างน่าอัศจรรย์ ในกรณีนี้ ความสมมาตรเข้ามาอยู่ในภาพและแก้ปัญหาให้คุณได้” มัลลิค ผู้เขียนรายงานฉบับใหม่กล่าว เออร์วิง ได ของมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด, JungHwan Park แห่งสถาบันวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีขั้นสูงของเกาหลี, แมทธิว สตอฟเฟรเกน ของมหาวิทยาลัยมิชิแกนสเตท และ ซุงคยองคัง ของสถาบันวิทยาศาสตร์พื้นฐานในเกาหลีใต้

“เรารู้ว่ามีโครงสร้างนั้นอยู่ที่นั่น แต่เหตุผลส่วนหนึ่งที่ผู้คนไม่ศึกษาก็คือ เราไม่มีทางติดตามโครงสร้างนั้นได้” เรย์กล่าว “คุณต้องมีเครื่องมือที่หรูหราและมีกำลังสูงเพื่อที่จะตรวจจับสิ่งนั้นได้”

ในการโต้แย้ง ทีมงานต้องใช้คณิตศาสตร์เชิงลึกและซับซ้อนที่เกี่ยวข้องกับเงื่อนและพื้นที่รอบๆ ปม อาศัยความสมมาตรที่ละเอียดกว่าแม้กระทั่งการปะติดปะต่อกันแบบแยกแขนง ในสอง เอกสารก่อนหน้า, Dai, Mallick และ Stoffregen ได้คำนวณคุณสมบัติบางอย่างเหล่านี้ เมื่อคังไปเยี่ยมร้าน Stoffregen ที่รัฐมิชิแกนเมื่อฤดูร้อนที่แล้ว ปม (2, 1) ของเงื่อนเลขแปดยังคงอยู่ในใจของเขา นักวิจัยตระหนักได้อย่างรวดเร็วว่าสูตรเหล่านั้นจะช่วยแก้ปัญหาเรื่องความเละของมันได้ “มีสัญชาตญาณซึ่งบอกฉันว่าการคำนวณนี้น่าจะได้ผล” คังกล่าว “และเพียงแค่คำนวณ เราก็ควรจะสามารถแก้ปัญหานี้ได้ในตอนนี้”

ปลายเดือนกรกฎาคม กระดาษของพวกเขาถูกโพสต์ออนไลน์ พิสูจน์ว่าปมไม่ได้ถูกเชือดเฉือน Park กล่าวว่าแนวคิดในเอกสารนี้ควรนำไปใช้กับเงื่อนหลายตัวที่กำลังเป็นปัญหาอยู่ในขณะนี้ “นี่เป็นเพียงจุดเริ่มต้น” เขากล่าว แม้ว่าบทความนี้จะมุ่งเน้นไปที่เงื่อนเฉพาะ แต่ Park กล่าวว่าเครื่องมือที่พวกเขาพัฒนาขึ้นจะใช้ได้กับตระกูลเงื่อนทั่วๆ ไป อย่างไรก็ตาม ความไม่เป็นชิ้นเล็กชิ้นน้อยของปมดั้งเดิมทำให้มั่นใจได้ว่าการคาดคะเนของริบบิ้นชิ้นจะไม่เรียบร้อยในตอนนี้