ความน่าจะเป็นและทฤษฎีจำนวนชนกัน — ในชั่วพริบตา

ความทะเยอทะยานของพวกเขาสูงเสมอ เมื่อ Will Sawin และ Melanie Matchett Wood เริ่มทำงานร่วมกันครั้งแรกในฤดูร้อนปี 2020 พวกเขาเริ่มคิดใหม่เกี่ยวกับองค์ประกอบสำคัญของการคาดเดาที่ยั่วเย้าที่สุดในทฤษฎีจำนวน กลุ่มวิชาที่พวกเขาให้ความสนใจนั้นมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับคำถามพื้นฐานเกี่ยวกับวิธีการทำงานของเลขคณิตเมื่อตัวเลขขยายเกินกว่าจำนวนเต็ม ศวินที่มหาวิทยาลัยโคลัมเบีย และ ไม้ที่ Harvard ต้องการทำนายเกี่ยวกับโครงสร้างที่กว้างกว่าและน่ากลัวทางคณิตศาสตร์มากกว่ากลุ่มชั้นเรียน

แม้กระทั่งก่อนที่พวกเขาจะเสร็จสิ้นการทำนาย ในเดือนตุลาคมพวกเขาก็พิสูจน์ว่า ผลลัพธ์ใหม่ ที่ช่วยให้นักคณิตศาสตร์ใช้เครื่องมือที่มีประโยชน์มากที่สุดอย่างหนึ่งของทฤษฎีความน่าจะเป็น ไม่เพียงแต่กับกลุ่มชั้นเรียนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงกลุ่มของตัวเลข เครือข่าย และวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่นๆ อีกมากมาย

“นี่เป็นเพียงเอกสารพื้นฐานที่ทุกคนจะหันมาใช้เมื่อพวกเขาเริ่มคิดถึงปัญหาเหล่านี้” กล่าว เดวิด ซูริก-บราวน์นักคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัยเอมอรี “ไม่รู้สึกว่าคุณต้องประดิษฐ์สิ่งต่าง ๆ โดยเริ่มต้นอีกต่อไป”

พระราชบัญญัติกลุ่ม

กลุ่มชั้นเรียนเป็นตัวอย่างของชุดทางคณิตศาสตร์ที่มีโครงสร้างเรียกว่ากลุ่ม กลุ่มประกอบด้วยชุดที่คุ้นเคยมากมาย เช่น จำนวนเต็ม สิ่งที่ทำให้จำนวนเต็มเป็นกลุ่ม แทนที่จะเป็นเพียงชุดของตัวเลข คือคุณสามารถนำองค์ประกอบมาบวกกันแล้วได้จำนวนเต็มอีกจำนวนหนึ่ง โดยทั่วไป เซตคือกลุ่มหากมาพร้อมกับการดำเนินการบางอย่าง เช่น การบวก การรวมองค์ประกอบสององค์ประกอบเข้ากับองค์ประกอบที่สามในลักษณะที่เป็นไปตามข้อกำหนดพื้นฐานบางประการ ตัวอย่างเช่น ควรมีเวอร์ชันของศูนย์ ซึ่งเป็นองค์ประกอบที่ไม่เปลี่ยนแปลงองค์ประกอบอื่นๆ

จำนวนเต็มซึ่งนักคณิตศาสตร์มักเรียกว่า $latex mathbb{Z}$ นั้นมีค่าไม่สิ้นสุด แต่กลุ่มจำนวนมากมีจำนวนองค์ประกอบที่จำกัด ตัวอย่างเช่น หากต้องการสร้างกลุ่มที่มีสี่องค์ประกอบ ให้พิจารณาชุด {0, 1, 2, 3} แทนที่จะทำการบวกปกติ ให้นำผลรวมของสองจำนวนมาหารด้วย 4 แล้วนำเศษที่เหลือ (ตามกฎเหล่านี้ 2 + 2 = 0 และ 2 + 3 = 1) กลุ่มนี้เรียกว่า $latex mathbb{Z}/4mathbb{Z}$

โดยทั่วไป ถ้าคุณต้องการสร้างกลุ่มที่มีองค์ประกอบ $latex n$ คุณสามารถใช้เลขศูนย์ผ่านได้ n – 1 และพิจารณาเศษเมื่อหารด้วย n. กลุ่มผลลัพธ์เรียกว่า $latex mathbb{Z}/nmathbb{Z}$ แม้ว่าจะไม่ใช่กลุ่มเดียวที่มี n องค์ประกอบ

กลุ่มชั้นเรียนปรากฏขึ้นเมื่อนักทฤษฎีจำนวนตรวจสอบโครงสร้างของตัวเลขที่อยู่นอกเหนือจำนวนเต็ม ในการทำเช่นนี้ พวกเขาเพิ่มตัวเลขใหม่ให้กับจำนวนเต็ม เช่น i (รากที่สองของ −1), $latex sqrt{5}$ หรือแม้แต่ $latex sqrt{–5}$

“สิ่งที่เราคุ้นเคยเกี่ยวกับตัวเลขจะไม่เป็นความจริงอีกต่อไปในบริบทนี้ หรืออย่างน้อยก็ไม่จำเป็นต้องเป็นความจริง” กล่าว จอร์แดน เอลเลนเบิร์กนักคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัยวิสคอนซิน แมดิสัน

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การแยกตัวประกอบจะทำงานแตกต่างกันในส่วนต่อขยายของจำนวนเต็ม หากคุณยึดติดกับจำนวนเต็มเพียงอย่างเดียว ตัวเลขสามารถแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะ (ตัวเลขที่หารด้วยตัวมันเองและ 1 เท่านั้น) ด้วยวิธีเดียวเท่านั้น ตัวอย่างเช่น 6 คือ 2 × 3 และไม่สามารถแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะอื่นได้ คุณสมบัตินี้เรียกว่าการแยกตัวประกอบเฉพาะ

แต่ถ้าคุณเพิ่ม $latex sqrt{–5}$ ในระบบตัวเลข คุณจะไม่มีการแยกตัวประกอบเฉพาะอีกต่อไป คุณสามารถแยกตัวประกอบ 6 เป็นจำนวนเฉพาะได้สองวิธี มันยังคงเป็น 2 × 3 แต่ก็ยังเป็น $latex (1 + sqrt{–5})$ × $latex (1 – sqrt{–5})$

กลุ่มคลาสถูกสร้างขึ้นจากส่วนขยายดังกล่าวเป็นจำนวนเต็ม “กลุ่มชั้นเรียนมีความสำคัญอย่างเหลือเชื่อ” วูดกล่าว “และมันก็เป็นเรื่องธรรมดาที่จะสงสัยว่าพวกเขามักจะชอบอะไร”

ขนาดของกลุ่มชั้นเรียนที่เกี่ยวข้องกับส่วนขยายใดๆ ของจำนวนเต็มคือบารอมิเตอร์สำหรับการแบ่งการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกัน แม้ว่านักคณิตศาสตร์ได้พิสูจน์แล้วว่ากลุ่มของชั้นเรียนนั้นมีจำนวนจำกัดเสมอ แต่การหาโครงสร้างและขนาดของมันนั้นซับซ้อน นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมในปี 1984 อองรี โคเฮนและเฮนดริก เลนสตรา กล้าคาดเดาบางอย่าง. การคาดเดาของพวกเขา ซึ่งปัจจุบันเรียกว่า ฮิวริสติกโคเฮน-เลนสตรา เกี่ยวข้องกับกลุ่มชั้นเรียนทั้งหมดที่ปรากฏขึ้นเมื่อคุณเพิ่มรากที่สองใหม่ให้กับจำนวนเต็ม หากรวมกลุ่มชั้นเรียนทั้งหมดเข้าด้วยกัน Cohen และ Lenstra ได้แนะนำคำตอบสำหรับคำถาม เช่น สัดส่วนของกลุ่มเหล่านี้ประกอบด้วยกลุ่ม $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$ หรือไม่ หรือ $latex mathbb{Z}/7mathbb{Z}$? หรือกลุ่มไฟไนต์ประเภทอื่นที่รู้จัก

Cohen และ Lenstra กระตุ้นให้นักทฤษฎีจำนวนพิจารณาไม่ใช่แค่ตัวอย่างเฉพาะของกลุ่มชั้นเรียน แต่รวมถึงสถิติที่รองรับกลุ่มชั้นเรียนโดยรวมด้วย การคาดคะเนของพวกเขาใช้วิสัยทัศน์ของคณิตศาสตร์ในฐานะจักรวาลที่มีรูปแบบที่จะเปิดเผยในทุกระดับ

เกือบ 40 ปีต่อมา ฮิวริสติกแบบโคเฮน-เลนสตราเชื่อกันอย่างกว้างขวางว่าเป็นความจริง แม้ว่าจะยังไม่มีใครพิสูจน์ได้ก็ตาม ไนเจล บอสตัน ศาสตราจารย์กิตติคุณแห่งมหาวิทยาลัยวิสคอนซิน แมดิสัน กล่าวว่า ผลกระทบต่อคณิตศาสตร์นั้นชัดเจน “สิ่งที่ค้นพบคือเว็บที่น่าทึ่งนี้” เขากล่าว “มีโครงสร้างพื้นฐานขนาดใหญ่นี้ในวิธีที่เราคิดว่าโลกประกอบเข้าด้วยกัน”

เกมเดียวในเมือง

ไม่สามารถจัดการกับฮิวริสติกได้โดยตรง นักคณิตศาสตร์จึงคิดปัญหาที่เข้าใจได้ง่ายมากขึ้น ซึ่งพวกเขาหวังว่าจะทำให้สถานการณ์กระจ่างขึ้น จากผลงานดังกล่าว ชุดของปริมาณที่มีประโยชน์ได้ปรากฏขึ้น ซึ่งนักคณิตศาสตร์เริ่มเรียกช่วงเวลา ตามศัพท์ที่ใช้ในทฤษฎีความน่าจะเป็น

ช่วงเวลาอาจช่วยให้คุณคำนวณการแจกแจงเบื้องหลังตัวเลขสุ่มได้ ตัวอย่างเช่น พิจารณาการกระจายตัวของอุณหภูมิสูงรายวันในวันที่ 1 มกราคมในนครนิวยอร์ก โอกาสที่วันที่ 1 มกราคมปีหน้า อุณหภูมิจะอยู่ที่ 10 องศาฟาเรนไฮต์ หรือ 40 องศา หรือ 70 หรือ 120 องศา คุณต้องทำงานทั้งหมด ด้วยข้อมูลในอดีต: ประวัติของวันที่ 1 มกราคมของทุกปีตั้งแต่จุดเริ่มต้นของประวัติที่บันทึกไว้

หากคุณคำนวณค่าเฉลี่ยของอุณหภูมิเหล่านี้ คุณจะได้เรียนรู้เพียงเล็กน้อย แต่ไม่ใช่ทุกอย่าง อุณหภูมิที่สูงเฉลี่ย 40 องศาไม่ได้บอกถึงโอกาสที่อุณหภูมิจะสูงกว่า 50 องศาหรือต่ำกว่า 20 องศา

แต่สิ่งนี้จะเปลี่ยนไปหากคุณได้รับข้อมูลเพิ่มเติม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คุณอาจเรียนรู้ค่าเฉลี่ยของกำลังสองของอุณหภูมิ ซึ่งเป็นปริมาณที่เรียกว่าโมเมนต์ที่สองของการกระจาย (ค่าเฉลี่ยคือช่วงเวลาแรก) หรือคุณอาจเรียนรู้ค่าเฉลี่ยของลูกบาศก์ ซึ่งเรียกว่าช่วงเวลาที่สาม หรือค่าเฉลี่ยของกำลังสี่ — โมเมนต์ที่สี่

ในช่วงปี ค.ศ. 1920 นักคณิตศาสตร์พบว่าหากช่วงเวลาในชุดข้อมูลนี้เติบโตช้าพอสมควร การรู้ช่วงเวลาทั้งหมดจะช่วยให้คุณสรุปได้ว่าการแจกแจงที่เป็นไปได้เพียงครั้งเดียวเท่านั้นที่มีช่วงเวลาเหล่านั้น (แม้ว่าจะไม่จำเป็นต้องให้คุณคำนวณการกระจายนั้นโดยตรง)

“นั่นเป็นเรื่องที่ไม่ง่ายเลย” วู้ดกล่าว “ถ้าคุณนึกถึงการกระจายตัวแบบต่อเนื่อง มันก็มีรูปร่างบางอย่าง มันรู้สึกเหมือนมีอะไรมากกว่าที่จะจับต้องได้ตามลำดับตัวเลข”

นักคณิตศาสตร์ที่สนใจในฮิวริสติกของโคเฮน-เลนสตราค้นพบว่า ช่วงเวลาในทฤษฎีความน่าจะเป็นสามารถใช้เพื่อแจกแจงความน่าจะเป็นได้ ช่วงเวลาที่กำหนดไว้ในลักษณะเฉพาะสำหรับกลุ่มชั้นเรียนสามารถเป็นเลนส์ที่เราสามารถมองเห็นขนาดและโครงสร้างของมันได้ . Jacob Tsimerman นักคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัยโตรอนโตกล่าวว่าเขานึกไม่ออกว่าจะคำนวณการกระจายของขนาดกลุ่มชั้นเรียนโดยตรงได้อย่างไร เขากล่าวว่าการใช้ช่วงเวลานั้น “ง่ายกว่ามาก มันเป็นเกมเดียวในเมือง”

ช่วงเวลามหัศจรรย์นี้

ในขณะที่แต่ละช่วงเวลาในความน่าจะเป็นจะเชื่อมโยงกับจำนวนเต็ม เช่น กำลังสาม กำลังสี่ และอื่นๆ ปริมาณใหม่ที่เสนอโดยนักทฤษฎีตัวเลขแต่ละคนสอดคล้องกับกลุ่ม ช่วงเวลาใหม่เหล่านี้ขึ้นอยู่กับความจริงที่ว่าคุณสามารถลดกลุ่มให้เป็นกลุ่มเล็กลงได้โดยการยุบองค์ประกอบต่างๆ เข้าด้วยกัน

เพื่อคำนวณช่วงเวลาที่เกี่ยวข้องกับกลุ่ม Gนำกลุ่มคลาสทั้งหมดที่เป็นไปได้ — หนึ่งกลุ่มสำหรับแต่ละรากที่สองที่คุณเพิ่มเข้าไปในจำนวนเต็ม สำหรับแต่ละกลุ่มชั้นเรียน ให้นับจำนวนวิธีที่คุณสามารถยุบรวมเข้าด้วยกัน G. จากนั้นหาค่าเฉลี่ยของตัวเลขเหล่านั้น กระบวนการนี้อาจดูซับซ้อน แต่ง่ายกว่ามากในการทำงานกับการกระจายจริงที่อยู่เบื้องหลังการคาดการณ์ของ Cohen และ Lenstra แม้ว่าฮิวริสติกของโคเฮน-เลนสตราจะซับซ้อนในการระบุ แต่ช่วงเวลาของการกระจายที่พวกเขาทำนายคือ 1 ทั้งหมด

“นั่นทำให้คุณคิดว่า ว้าว บางทีช่วงเวลาอาจเป็นวิธีธรรมชาติในการเข้าใกล้มัน” เอลเลนเบิร์กกล่าว “ดูเหมือนว่าจะเชื่อได้ว่าสามารถพิสูจน์ได้ว่าบางสิ่งเท่ากับ 1 มากกว่าที่จะพิสูจน์ว่ามันเท่ากับผลคูณอนันต์บ้าๆ บอๆ”

เมื่อนักคณิตศาสตร์ศึกษาการแจกแจงตามกลุ่ม (กลุ่มชั้นเรียนหรืออื่นๆ) พวกเขาลงเอยด้วยสมการสำหรับแต่ละกลุ่ม Gด้วยความน่าจะเป็นที่แสดงถึงสัดส่วนของกลุ่มชั้นเรียนที่ดูเหมือน $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$ ด้วยสมการมากมายนับไม่ถ้วน และกลุ่มคลาสที่เป็นไปได้มากมายนับไม่ถ้วน การแก้ความน่าจะเป็นจึงเป็นเรื่องยาก ไม่ชัดเจนว่ามันสมเหตุสมผลที่จะทำเช่นนั้น

“เมื่อคุณมีผลรวมเป็นอนันต์ สิ่งต่างๆ อาจผิดพลาดได้” วูดกล่าว

ถึงกระนั้น นักคณิตศาสตร์ก็ยังไม่สามารถหาวิธีอื่นในการศึกษาการแจกแจงได้ ยังคงวนกลับมาที่ปัญหาที่สอง ในงานตีพิมพ์ใน พงศาวดารของคณิตศาสตร์ ในปี 2016 Ellenberg พร้อมด้วย Akshay Venkatesh และ Craig Westerland ช่วงเวลาที่ใช้ เพื่อศึกษาสถิติของกลุ่มชั้นเรียนในสภาพแวดล้อมที่แตกต่างกันเล็กน้อยจากที่ Cohen และ Lenstra เคยพิจารณาไว้ ความคิดนี้เป็น นำกลับมาใช้ หลาย ครั้ง. แต่ทุกครั้งที่นักวิจัยใช้ช่วงเวลานั้น พวกเขาจะพึ่งพาปัญหาเฉพาะของตนเพื่อพิสูจน์ว่าชุดสมการที่ไม่มีที่สิ้นสุดมีทางออก นั่นหมายความว่าเทคนิคของพวกเขาไม่สามารถถ่ายโอนได้ นักคณิตศาสตร์คนต่อไปที่ต้องใช้โมเมนต์จะต้องแก้ปัญหาโมเมนต์อีกครั้ง

ในช่วงเริ่มต้นของการทำงานร่วมกัน Sawin และ Wood ก็วางแผนที่จะไปในเส้นทางนี้เช่นกัน พวกเขาจะใช้เวลาสักครู่เพื่อคาดการณ์ว่าการกระจายกลุ่มชั้นเรียนในเวอร์ชันที่ซับซ้อนมากขึ้นเป็นอย่างไร แต่ประมาณหนึ่งปีในโครงการของพวกเขา พวกเขาหันความสนใจไปที่ปัญหาที่สอง

หลงทาง

เพื่อนร่วมงานอธิบายว่า Sawin และ Wood หลงใหลในงานของพวกเขาเป็นพิเศษ “พวกเขาทั้งคู่ฉลาดมาก แต่มีคนฉลาดมากมาย” Zureick-Brown กล่าว “พวกเขามีทัศนคติที่ดีต่อการทำคณิตศาสตร์”

ในขั้นต้น Sawin และ Wood ต้องการใช้เวลาสักครู่เพื่อขยายการทำนายของ Cohen-Lenstra ไปสู่การตั้งค่าใหม่ แต่ในไม่ช้าพวกเขาก็ไม่พอใจกับการโต้เถียงปัญหาที่สองของพวกเขา “เราจำเป็นต้องเขียนข้อโต้แย้งที่คล้ายกันซ้ำๆ” ซวินเล่า ยิ่งไปกว่านั้น เขากล่าวเสริมว่า ภาษาทางคณิตศาสตร์ที่พวกเขาใช้นั้น “ดูจะไม่เป็นหัวใจของสิ่งที่การโต้เถียงกำลังทำอยู่… ความคิดอยู่ที่นั่น แต่เราไม่พบวิธีที่เหมาะสมในการแสดงออก”

Sawin และ Wood ขุดลึกลงไปในหลักฐานของพวกเขา พยายามค้นหาว่าจริงๆ แล้วอะไรอยู่ภายใต้หลักฐานทั้งหมด พวกเขาลงเอยด้วยข้อพิสูจน์ที่แก้ปัญหาชั่วขณะได้ ไม่ใช่แค่สำหรับแอปพลิเคชันเฉพาะของพวกเขาเท่านั้น แต่สำหรับการแจกแจงกลุ่มใด ๆ — และสำหรับโครงสร้างทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ ทุกประเภท

พวกเขาแบ่งปัญหาออกเป็นขั้นตอนเล็กๆ ที่สามารถจัดการได้ แทนที่จะพยายามแก้ปัญหาการแจกแจงความน่าจะเป็นทั้งหมดในคราวเดียว พวกเขามุ่งความสนใจไปที่ช่วงเวลาเล็กๆ เท่านั้น

ตัวอย่างเช่น ในการแก้ปัญหาช่วงเวลาสำหรับการแจกแจงความน่าจะเป็นในแต่ละกลุ่ม แต่ละช่วงเวลาจะเชื่อมโยงกับกลุ่ม G. ในตอนแรก Sawin และ Wood จะดูระบบสมการที่มีเฉพาะช่วงเวลาสำหรับรายชื่อกลุ่มที่จำกัด. จากนั้นพวกเขาจะค่อยๆ เพิ่มกลุ่มลงในรายการ โดยดูที่ช่วงเวลาต่างๆ มากขึ้นในแต่ละครั้ง โดยการทำให้ปัญหาซับซ้อนขึ้นเรื่อย ๆ พวกเขาทำให้แต่ละขั้นตอนกลายเป็นปัญหาที่แก้ไขได้ ทีละเล็กละน้อย พวกเขาค่อยๆ สร้างแนวทางแก้ไขปัญหาอย่างเต็มรูปแบบ

“รายการคงที่นั้นเหมือนกับแว่นตาที่คุณใส่ และยิ่งมีกลุ่มที่คุณต้องการพิจารณามากเท่าไหร่ แว่นตาของคุณก็จะยิ่งดีขึ้นเท่านั้น” Wood อธิบาย

เมื่อพวกเขาปัดฝุ่นรายละเอียดภายนอกสุดท้ายออกไป พวกเขาก็พบว่าตัวเองมีข้อโต้แย้งที่เส้นเอ็นแผ่ไปถึงคณิตศาสตร์ ผลลัพธ์ของพวกเขาใช้ได้กับกลุ่มชั้นเรียน สำหรับกลุ่มที่เกี่ยวข้องกับรูปทรงเรขาคณิต สำหรับเครือข่ายของจุดและเส้น เช่นเดียวกับชุดอื่นๆ ที่มีความสลับซับซ้อนทางคณิตศาสตร์มากกว่า ในสถานการณ์ทั้งหมดนี้ Sawin และ Wood พบสูตรที่ใช้เวลาชุดของช่วงเวลาและแยกการกระจายที่มีช่วงเวลาเหล่านั้นออกมา (ตราบใดที่ช่วงเวลาไม่เติบโตเร็วเกินไป ท่ามกลางข้อกำหนดอื่นๆ)

“มันเข้ากับสไตล์ของเมลานีมาก” เอลเลนเบิร์กกล่าว “เป็นเช่น 'มาพิสูจน์ทฤษฎีบททั่วไปที่จัดการกรณีต่างๆ มากมายอย่างเท่าเทียมกันและสวยงามกันเถอะ'”

ตอนนี้ Sawin และ Wood กำลังเดินทางกลับไปยังเป้าหมายเดิม ในช่วงต้นเดือนมกราคม พวกเขาแบ่งปัน กระดาษใหม่ ที่แก้ไข การคาดการณ์ของ Cohen-Lenstra ที่ผิดพลาด สร้างขึ้นในช่วงปลายทศวรรษ 1980 โดย Cohen และ Jacques Martinet เพื่อนร่วมงานของเขา นอกเหนือจากนั้น พวกเขายังมีผลลัพธ์เพิ่มเติมอยู่ในคิว โดยมีแผนจะขยายฮิวริสติกไปยังสถานการณ์ใหม่ๆ มากยิ่งขึ้น “ฉันไม่รู้ว่าโครงการนี้จะจบลงหรือไม่” ซวินกล่าว

ปัญหาที่สองที่ Sawin และ Wood แก้ไขได้คือ "หนามที่ด้านหลังศีรษะของคุณสำหรับคำถามต่างๆ มากมาย" Tsimerman กล่าว "ฉันคิดว่านักคณิตศาสตร์จำนวนมากกำลังจะถอนหายใจด้วยความโล่งอก"