เมื่อ Daniel Larsen อยู่ในโรงเรียนมัธยม เขาเริ่มออกแบบปริศนาอักษรไขว้ เขาต้องแบ่งงานอดิเรกเป็นชั้นๆ เหนือความสนใจอื่นๆ ของเขา เช่น หมากรุก การเขียนโปรแกรม เปียโน ไวโอลิน เขามีคุณสมบัติเป็นสองเท่าสำหรับ Scripps National Spelling Bee ใกล้กรุงวอชิงตัน ดี.ซี. หลังจากชนะการแข่งขันระดับภูมิภาค “เขาจดจ่ออยู่กับบางสิ่ง และมันก็แค่ปัง ปัง ปัง จนกว่าเขาจะประสบความสำเร็จ” Ayelet Lindenstrauss แม่ของลาร์เซ่นกล่าว ปริศนาอักษรไขว้ชุดแรกของเขาถูกปฏิเสธโดยหนังสือพิมพ์รายใหญ่ แต่เขายังคงทำอย่างนั้นและในที่สุดก็บุกเข้ามา จนถึงปัจจุบันเขา ถือบันทึก สำหรับน้องคนสุดท้องในการเผยแพร่ปริศนาอักษรไขว้ใน นิวนิวยอร์กไทม์ตอนอายุ 13 “เขาดื้อมาก” ลินเดนสเตราส์กล่าว
ถึงกระนั้น ความหมกมุ่นครั้งล่าสุดของ Larsen ก็รู้สึกแตกต่าง “ยาวนานและเข้มข้นกว่าโปรเจ็กต์อื่นๆ ส่วนใหญ่ของเขา” เธอกล่าว เป็นเวลากว่าหนึ่งปีครึ่งที่ Larsen ไม่สามารถหยุดคิดเกี่ยวกับปัญหาทางคณิตศาสตร์บางอย่างได้
มันมีรากฐานมาจากคำถามที่กว้างขึ้น ซึ่งเป็นคำถามที่นักคณิตศาสตร์ Carl Friedrich Gauss ถือว่าสำคัญที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์: วิธีแยกแยะจำนวนเฉพาะ (ตัวเลขที่หารด้วย 1 กับตัวเองเท่านั้น) จากจำนวนประกอบ เป็นเวลาหลายร้อยปีที่นักคณิตศาสตร์ได้ค้นหาวิธีที่มีประสิทธิภาพในการทำเช่นนั้น ปัญหานี้ยังมีความเกี่ยวข้องในบริบทของการเข้ารหัสสมัยใหม่ เนื่องจากระบบเข้ารหัสลับที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในปัจจุบันบางระบบเกี่ยวข้องกับการคำนวณเลขจำนวนเฉพาะจำนวนมหาศาล
กว่าศตวรรษที่ผ่านมา ในการแสวงหาการทดสอบเบื้องต้นที่รวดเร็วและทรงพลัง นักคณิตศาสตร์สะดุดกับกลุ่มผู้ก่อปัญหา ตัวเลขที่หลอกทดสอบว่าตนเป็นไพรม์ แม้ว่าจะไม่ใช่ก็ตาม ไพรม์เทียมเหล่านี้เรียกว่าตัวเลขคาร์ไมเคิล เข้าใจยากเป็นพิเศษ ตัวอย่างเช่น ในช่วงกลางทศวรรษ 1990 เท่านั้นที่นักคณิตศาสตร์ได้พิสูจน์ว่ามีพวกเขามากมายนับไม่ถ้วน ความสามารถในการพูดเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการกระจายไปตามเส้นจำนวนทำให้เกิดความท้าทายมากยิ่งขึ้น
แล้วเสนก็มาด้วย บทพิสูจน์ใหม่ เกี่ยวกับเรื่องนั้น เรื่องหนึ่งที่ได้รับแรงบันดาลใจจากงานยุคสมัยล่าสุดในด้านทฤษฎีจำนวนที่แตกต่างกัน ตอนนั้นเขาอายุแค่ 17 ปี
จุดประกาย
Larsen เติบโตขึ้นมาในเมือง Bloomington รัฐ Indiana และหลงใหลในวิชาคณิตศาสตร์อยู่เสมอ พ่อแม่ของเขาซึ่งเป็นทั้งนักคณิตศาสตร์ได้แนะนำให้เขาและพี่สาวรู้จักเรื่องนี้เมื่อตอนที่พวกเขายังเด็ก (ตอนนี้เธอกำลังศึกษาปริญญาเอกสาขาคณิตศาสตร์) เมื่อลาร์เซนอายุได้ 3 ขวบ ลินเดนสเตราส์เล่าว่า เขาเริ่มถามคำถามเชิงปรัชญาเกี่ยวกับธรรมชาติของความไม่มีที่สิ้นสุด “ฉันคิดว่า เด็กคนนี้มีความคิดทางคณิตศาสตร์” . กล่าว ลินเดนสเตราส์ศาสตราจารย์แห่งมหาวิทยาลัยอินเดียน่า
เมื่อสองสามปีที่แล้ว ในช่วงเวลาที่เขาหมกมุ่นอยู่กับโครงการการสะกดคำและปริศนาอักษรไขว้ เขาได้พบกับ สารคดี เกี่ยวกับ อี้ถัง จางนักคณิตศาสตร์นิรนามที่ฟื้นจากความไม่ชัดเจนในปี 2013 ภายหลัง พิสูจน์ผลลัพธ์ที่สำคัญ ที่กำหนดขอบเขตบนบนช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะที่ต่อเนื่องกัน มีบางอย่างคลิกใน Larsen เขาหยุดคิดถึงทฤษฎีจำนวนไม่ได้ และปัญหาที่เกี่ยวข้องกันซึ่งจางและนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ยังคงหวังว่าจะแก้ได้ นั่นคือ การคาดเดาจำนวนเฉพาะคู่ ซึ่งระบุว่ามีจำนวนคู่จำนวนเต็มที่ต่างกันเพียง 2 คู่อย่างนับไม่ถ้วน
หลังจากงานของจางซึ่งแสดงให้เห็นว่ามีไพรม์คู่มากมายนับไม่ถ้วนที่มีความแตกต่างกันน้อยกว่า 70 ล้าน คนอื่นกระโดดเข้ามา เพื่อลดขอบเขตนี้ให้ดียิ่งขึ้นไปอีก ภายในไม่กี่เดือน นักคณิตศาสตร์ เจมส์เมย์นาร์ด และ เทอเรนซ์เต๋า ได้พิสูจน์ข้อความที่ชัดเจนยิ่งขึ้นเกี่ยวกับช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะอย่างอิสระ ช่องว่างนั้นได้ลดลงเหลือ 246
Larsen ต้องการทำความเข้าใจคณิตศาสตร์บางส่วนที่เป็นพื้นฐานของงานของ Maynard และ Tao “แต่สำหรับฉันแล้วมันเป็นไปไม่ได้เลย” เขากล่าว เอกสารของพวกเขาซับซ้อนเกินไป เสนพยายามอ่านงานที่เกี่ยวข้อง แต่ก็พบว่าไม่สามารถเข้าถึงได้เช่นกัน เขาดูมันและกระโดดจากผลลัพธ์หนึ่งไปยังอีกผลลัพธ์หนึ่ง จนกระทั่งในที่สุด ในเดือนกุมภาพันธ์ 2021 เขาเจอกระดาษที่เขาพบว่าทั้งสวยงามและเข้าใจได้ หัวข้อ: ตัวเลขคาร์ไมเคิล ตัวเลขประกอบแปลกๆ เหล่านั้น ซึ่งบางครั้งอาจส่งผ่านตัวมันเองว่าเป็นจำนวนเฉพาะ
ทั้งหมดยกเว้น Prime
ในช่วงกลางศตวรรษที่ 17 นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Pierre de Fermat ได้เขียนจดหมายถึงเพื่อนและคนสนิทของเขา Frénicle de Bessy ซึ่งเขาได้กล่าวถึงสิ่งที่ต่อมาเรียกว่า "ทฤษฎีบทเล็กๆ ของเขา" ถ้า N เป็นจำนวนเฉพาะ แล้ว bN - b เป็นตัวคูณของ .เสมอ N, ไม่ว่าอะไรก็ตาม b เป็น. ตัวอย่างเช่น 7 เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น 27 – 2 (ซึ่งเท่ากับ 126) เป็นผลคูณของ 7 ในทำนองเดียวกัน 37 – 3 เป็นจำนวนทวีคูณของ 7 เป็นต้น
นักคณิตศาสตร์เห็นศักยภาพของการทดสอบที่สมบูรณ์แบบว่าจำนวนที่กำหนดเป็นจำนวนเฉพาะหรือประกอบ พวกเขารู้ว่าถ้า N เป็นไพรม์ bN - b เป็นตัวคูณของ .เสมอ N. เกิดอะไรขึ้นถ้าสิ่งที่ตรงกันข้ามเป็นจริงด้วย? นั่นคือถ้า bN - b เป็นทวีคูณของ N สำหรับค่าทั้งหมดของ bต้อง N เป็นนายก?
อนิจจาปรากฎว่าในบางกรณีที่หายากมาก N สามารถตอบสนองเงื่อนไขนี้และยังคงเป็นแบบประกอบได้ จำนวนที่น้อยที่สุดคือ 561: สำหรับจำนวนเต็ม b, b561 - b เป็นผลคูณของ 561 เสมอ แม้ว่า 561 จะไม่ใช่จำนวนเฉพาะ ตัวเลขเช่นนี้ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ Robert Carmichael ซึ่งมักให้เครดิตกับการเผยแพร่ตัวอย่างแรกในปี 1910 (แม้ว่านักคณิตศาสตร์ชาวเช็ก Václav Šimerka ได้ค้นพบตัวอย่างอย่างอิสระในปี 1885)
นักคณิตศาสตร์ต้องการทำความเข้าใจตัวเลขเหล่านี้ให้ดีขึ้น ซึ่งใกล้เคียงกับวัตถุพื้นฐานที่สุดในทฤษฎีจำนวน นั่นคือ จำนวนเฉพาะ ปรากฎว่าในปี 1899 — หนึ่งทศวรรษก่อนผลลัพธ์ของ Carmichael — นักคณิตศาสตร์อีกคน Alwin Korselt ได้ให้คำจำกัดความที่เทียบเท่ากัน เขาไม่รู้ว่ามีตัวเลขใดที่ตรงกับใบเรียกเก็บเงินหรือไม่
ตามเกณฑ์ของ Korselt ตัวเลข N เป็นหมายเลขคาร์ไมเคิลก็ต่อเมื่อตรงตามคุณสมบัติสามประการ อันดับแรก ต้องมีปัจจัยเฉพาะมากกว่าหนึ่งตัว ประการที่สอง ไม่มีปัจจัยเฉพาะใดสามารถทำซ้ำได้ และประการที่สาม สำหรับทุกช่วงไพรม์ p ที่แบ่ง N, p – 1 ยังแบ่ง N – 1. พิจารณาเลข 561 อีกครั้ง ซึ่งเท่ากับ 3 × 11 × 17 ดังนั้นจึงเป็นไปตามคุณสมบัติสองรายการแรกในรายการของ Korselt อย่างชัดเจน หากต้องการแสดงคุณสมบัติสุดท้าย ให้ลบ 1 จากตัวประกอบเฉพาะแต่ละตัวเพื่อให้ได้ 2, 10 และ 16 นอกจากนี้ ลบ 1 จาก 561 ตัวเลขที่น้อยกว่าทั้งสามตัวเป็นตัวหารของ 560 ดังนั้นจำนวน 561 จึงเป็นเลขคาร์ไมเคิล
แม้ว่านักคณิตศาสตร์จะสงสัยว่ามีตัวเลขคาร์ไมเคิลจำนวนมากนับไม่ถ้วน แต่ก็มีจำนวนค่อนข้างน้อยเมื่อเทียบกับจำนวนเฉพาะ ซึ่งทำให้ยากต่อการปักหมุด จากนั้นในปี 1994 เรด อัลฟอร์ด แอนดรูว์ แกรนวิลล์ และ คาร์ล พอเมอแรนซ์ เผยแพร่ความก้าวหน้า กระดาษ ซึ่งในที่สุดพวกเขาก็ได้พิสูจน์ว่ามี pseudoprimes เหล่านี้จำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุด
น่าเสียดายที่เทคนิคที่พวกเขาพัฒนาขึ้นไม่ได้ช่วยให้พวกเขาพูดอะไรเกี่ยวกับตัวเลขของคาร์ไมเคิลเหล่านั้นได้ ปรากฏเป็นกระจุกตามเส้นจำนวน โดยมีช่องว่างขนาดใหญ่ระหว่างนั้นหรือไม่ หรือคุณสามารถหาหมายเลขคาร์ไมเคิลในช่วงเวลาสั้น ๆ ได้เสมอ? “คุณจะคิดว่าถ้าคุณสามารถพิสูจน์ได้ว่ามีพวกมันมากมายนับไม่ถ้วน” Granville กล่าว “แน่นอนว่าคุณควรจะสามารถพิสูจน์ได้ว่าไม่มีช่องว่างขนาดใหญ่ระหว่างพวกเขา ว่าพวกเขาควรจะเว้นระยะห่างค่อนข้างดี”
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เขาและผู้เขียนร่วมของเขาหวังว่าจะพิสูจน์ข้อความที่สะท้อนความคิดนี้ ซึ่งให้จำนวนที่มากพอ X, จะมีหมายเลขคาร์ไมเคิลอยู่ระหว่าง .เสมอ X และ 2X. Jon Grantham นักคณิตศาสตร์จาก Institute for Defense Analyzes ผู้ซึ่งทำงานที่เกี่ยวข้องกันกล่าวว่า "เป็นอีกวิธีหนึ่งในการแสดงว่าพวกเขาแพร่หลายมากเพียงใด
แต่เป็นเวลาหลายทศวรรษแล้วที่ไม่มีใครพิสูจน์ได้ เทคนิคที่พัฒนาโดย Alford, Granville และ Pomerance “ช่วยให้เราสามารถแสดงให้เห็นว่าจะมีหมายเลข Carmichael จำนวนมาก” Pomerance กล่าว “แต่ไม่ได้ทำให้เราสามารถควบคุมได้อย่างเต็มที่ว่าพวกเขาจะอยู่ที่ไหน ”
จากนั้นในเดือนพฤศจิกายน 2021 Granville ได้เปิดอีเมลจาก Larsen เมื่ออายุ 17 ปีและอยู่ในชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย อา กระดาษ ติดอยู่ — และที่ Granville แปลกใจ มันดูเหมือนถูกต้อง “มันไม่ใช่การอ่านที่ง่ายที่สุดเท่าที่เคยมีมา” เขากล่าว “แต่เมื่อฉันอ่านมัน มันค่อนข้างชัดเจนว่าเขาไม่ได้ยุ่งวุ่นวาย เขามีความคิดที่ยอดเยี่ยม”
Pomerance ผู้ซึ่งอ่านงานเวอร์ชั่นต่อมาเห็นด้วย “ข้อพิสูจน์ของเขาค่อนข้างสูง” เขากล่าว “มันจะเป็นกระดาษที่นักคณิตศาสตร์ทุกคนภูมิใจที่ได้เขียน และนี่คือเด็กมัธยมปลายที่เขียนมัน”
กุญแจสำคัญในการพิสูจน์ของลาร์เซ่นคืองานที่ดึงเขามาสู่ตัวเลขของคาร์ไมเคิลตั้งแต่แรก นั่นคือผลลัพธ์ของเมย์นาร์ดและเต๋าในเรื่องช่องว่างที่สำคัญ
ไม่น่าจะเป็นไปได้ — เป็นไปไม่ได้
เมื่อลาร์เซ็นเริ่มแสดงครั้งแรกว่าคุณสามารถค้นหาหมายเลขคาร์ไมเคิลได้ในช่วงเวลาสั้นๆ “ดูเหมือนว่ามันจะเป็นจริงอย่างชัดแจ้ง จะพิสูจน์ได้ยากเพียงใด” เขาพูดว่า. เขาตระหนักได้อย่างรวดเร็วว่ามันอาจเป็นเรื่องยากมากอย่างแน่นอน “นี่เป็นปัญหาที่ทดสอบเทคโนโลยีในยุคของเรา” เขากล่าว
ในเอกสารของพวกเขาในปี 1994 Alford, Granville และ Pomerance ได้แสดงวิธีสร้างหมายเลข Carmichael จำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุด แต่พวกเขาไม่สามารถควบคุมขนาดของจำนวนเฉพาะที่พวกเขาใช้สร้างพวกมันได้ นั่นคือสิ่งที่ลาร์เซนต้องทำเพื่อสร้างตัวเลขคาร์ไมเคิลที่มีขนาดใกล้เคียงกัน ความยากลำบากของปัญหาทำให้ Michael Larsen พ่อของเขากังวล “ฉันไม่ได้คิดว่ามันเป็นไปไม่ได้ แต่ฉันคิดว่ามันไม่น่าเป็นไปได้ที่เขาจะประสบความสำเร็จ” เขากล่าว “ฉันเห็นว่าเขาใช้เวลากับมันมากแค่ไหน … และฉันรู้สึกว่ามันคงจะเสียหายมากสำหรับเขาที่จะทุ่มเทตัวเองให้กับสิ่งนี้มาก ๆ และไม่ได้รับมัน”
ถึงกระนั้น เขารู้ดีกว่าพยายามห้ามปรามลูกชายของเขา “เมื่อแดเนียลทุ่มเทให้กับบางสิ่งที่เขาสนใจจริงๆ เขาก็ยึดติดกับมันทั้งหนาและบาง” เขากล่าว
ลาร์เซ่นจึงกลับมาที่เอกสารของเมย์นาร์ด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เพื่อแสดงให้เห็นว่า ถ้าคุณเรียงลำดับตัวเลขที่เพียงพอ เซตย่อยของตัวเลขเหล่านั้นต้องเป็นจำนวนเฉพาะ Larsen ปรับเปลี่ยนเทคนิคของ Maynard เพื่อรวมเข้ากับวิธีการที่ Alford, Granville และ Pomerance ใช้ สิ่งนี้ทำให้เขามั่นใจได้ว่าจำนวนเฉพาะที่เขาลงเอยด้วยจะมีขนาดแตกต่างกัน — เพียงพอที่จะสร้างตัวเลขคาร์ไมเคิลที่จะตกภายในช่วงเวลาที่เขาต้องการ
“เขาควบคุมสิ่งต่างๆ ได้มากกว่าที่เราเคยมีมา” แกรนวิลล์กล่าว และเขาประสบความสำเร็จด้วยการใช้ผลงานของเมย์นาร์ดอย่างชาญฉลาด “มันไม่ง่ายเลย … ที่จะใช้ความก้าวหน้านี้กับช่องว่างสั้น ๆ ระหว่างจำนวนเฉพาะ” . กล่าว ไกซา มาโตมากินักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัย Turku ในประเทศฟินแลนด์ “มันค่อนข้างดีที่เขาสามารถรวมเข้ากับคำถามเกี่ยวกับตัวเลขคาร์ไมเคิลได้”
อันที่จริง ข้อโต้แย้งของ Larsen ไม่เพียงแต่อนุญาตให้เขาแสดงให้เห็นว่าหมายเลข Carmichael ต้องปรากฏระหว่าง .เสมอ X และ 2X. หลักฐานของเขาใช้ได้ผลในช่วงเวลาที่น้อยกว่ามากเช่นกัน นักคณิตศาสตร์หวังว่าสิ่งนี้จะช่วยเปิดเผยลักษณะอื่น ๆ ของพฤติกรรมของตัวเลขแปลก ๆ เหล่านี้ด้วย “มันเป็นความคิดที่แตกต่าง” . กล่าว โทมัสไรท์นักคณิตศาสตร์ที่ Wofford College ในเซาท์แคโรไลนาซึ่งทำงานเกี่ยวกับ pseudoprimes “มันเปลี่ยนแปลงหลายอย่างเกี่ยวกับวิธีที่เราอาจพิสูจน์สิ่งต่างๆ เกี่ยวกับตัวเลขของคาร์ไมเคิล”
แกรนแธมตกลง “ตอนนี้คุณสามารถทำสิ่งที่ไม่เคยคิดมาก่อนได้” เขากล่าว
Larsen เพิ่งเริ่มต้นปีแรกของเขาที่สถาบันเทคโนโลยีแมสซาชูเซตส์ เขาไม่แน่ใจว่าจะแก้ปัญหาอะไรต่อไป แต่เขากระตือรือร้นที่จะเรียนรู้ว่ามีอะไรเกิดขึ้นบ้าง “ฉันแค่เรียนหลักสูตร … และพยายามเปิดใจ” เขากล่าว
“เขาทำทั้งหมดนี้โดยไม่ได้รับการศึกษาระดับปริญญาตรี” Grantham กล่าว “ฉันสามารถจินตนาการได้ว่าเขาจะทำอะไรในบัณฑิตวิทยาลัย”
