พฤติกรรมที่น่าอัศจรรย์ของลำดับการเรียกซ้ำ | นิตยสารควอนต้า

ในทางคณิตศาสตร์ กฎง่ายๆ สามารถปลดล็อกจักรวาลที่ซับซ้อนและสวยงามได้ ใช้ลำดับฟีโบนัชชีที่มีชื่อเสียงซึ่งมีการกำหนดดังนี้: เริ่มต้นด้วย 1 และ 1 และแต่ละหมายเลขที่ตามมาคือผลรวมของสองตัวก่อนหน้า ตัวเลขสองสามตัวแรกคือ:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 …

เรียบง่าย ใช่แล้ว แต่สูตรที่ไม่อวดดีนี้ก่อให้เกิดรูปแบบที่มีความสำคัญอันกว้างขวาง ซึ่งดูเหมือนจะถักทอเข้ากับโครงสร้างของโลกธรรมชาติ สังเกตได้จากวงหอยโข่ง กระดูกที่นิ้ว และการเรียงตัวของใบไม้บนกิ่งก้านของต้นไม้ ความสามารถในการเข้าถึงทางคณิตศาสตร์ครอบคลุมไปถึงเรขาคณิต พีชคณิต และความน่าจะเป็น และอื่นๆ อีกมากมาย แปดศตวรรษนับตั้งแต่มีการใช้ลำดับนี้กับตะวันตก นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียศึกษาลำดับนี้มานานก่อนฟีโบนัชชี ตัวเลขยังคงดึงดูดความสนใจของนักวิจัย ซึ่งเป็นข้อพิสูจน์ว่าความลึกทางคณิตศาสตร์สามารถรองรับได้แม้กระทั่งลำดับตัวเลขพื้นฐานที่สุดมากเพียงใด

ในลำดับฟีโบนัชชี ทุกพจน์จะต่อยอดจากลำดับที่อยู่ก่อนหน้า ลำดับการเรียกซ้ำดังกล่าวสามารถแสดงพฤติกรรมได้หลากหลาย บางอย่างขัดกับสัญชาตญาณอย่างน่าอัศจรรย์ ตัวอย่างเช่น ตระกูลลำดับที่น่าสงสัยซึ่งนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันได้อธิบายไว้ครั้งแรกในช่วงทศวรรษปี 1980 ไมเคิล โซมอส.

เช่นเดียวกับลำดับ Fibonacci ลำดับ Somos เริ่มต้นด้วยชุดของลำดับ โซมอส-k ลำดับเริ่มต้นด้วย k ของพวกเขา. แต่ละเทอมใหม่ของ Somos-k ลำดับถูกกำหนดโดยการจับคู่พจน์ก่อนหน้า คูณแต่ละคู่เข้าด้วยกัน บวกคู่แล้วหารด้วยพจน์ k ตำแหน่งกลับในลำดับ

ลำดับไม่น่าสนใจมากถ้า k เท่ากับ 1, 2 หรือ 3 — เป็นเพียงชุดของจำนวนที่ซ้ำกัน แต่สำหรับ k = 4, 5, 6 หรือ 7 ลำดับมีคุณสมบัติแปลก ๆ แม้ว่าจะมีการหารหลายส่วน แต่เศษส่วนก็ไม่ปรากฏ

“ปกติแล้วเราไม่มีปรากฏการณ์เช่นนี้” โซมอสกล่าว “มันเป็นการเกิดขึ้นซ้ำที่เรียบง่ายอย่างหลอกลวง คล้ายกับฟีโบนัชชี แต่เบื้องหลังความเรียบง่ายนั้นยังมีอะไรอีกมาก”

นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ยังคงค้นพบความเชื่อมโยงที่น่าตกใจระหว่างลำดับโซมอสกับสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ดูเหมือนจะไม่เกี่ยวข้องกัน บทความฉบับหนึ่งที่โพสต์ในเดือนกรกฎาคมใช้ข้อมูลเหล่านี้ สร้างโซลูชั่น ไปจนถึงระบบสมการเชิงอนุพันธ์ที่ใช้จำลองทุกอย่างตั้งแต่ปฏิสัมพันธ์ระหว่างนักล่ากับเหยื่อ ไปจนถึงคลื่นที่เคลื่อนที่ในพลาสมาพลังงานสูง นอกจากนี้ยังใช้ในการศึกษาโครงสร้างของวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า พีชคณิตคลัสเตอร์ และเชื่อมต่อกับ เส้นโค้งรูปไข่ ซึ่งเป็นกุญแจสำคัญในการถอดรหัสทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์

เจนิซ มาลูฟนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาจากมหาวิทยาลัยอิลลินอยส์ ตีพิมพ์หลักฐานชิ้นแรกว่าลำดับ Somos-4 และ Somos-5 เป็นส่วนสำคัญ (หมายถึงพจน์ทั้งหมดเป็นจำนวนเต็ม) ในปี 1992 หลักฐานอื่นๆ ของผลลัพธ์เดียวกันโดยนักคณิตศาสตร์หลายคนปรากฏขึ้นในเวลาเดียวกัน พร้อมด้วยข้อพิสูจน์ว่าลำดับโซมอส-6 และโซมอส-7 เป็นส่วนรวม

คุณสมบัติอันแปลกประหลาดของลำดับโซมอสนี้ทำให้นักคณิตศาสตร์ประหลาดใจ “ลำดับของ Somos ทำให้ฉันทึ่งทันทีที่ฉันได้เรียนรู้เกี่ยวกับพวกมัน” กล่าว เจมส์โปรปศาสตราจารย์วิชาคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยแมสซาชูเซตส์ โลเวลล์ “ความจริงที่ว่า Somos-4 ถึง Somos-7 ให้จำนวนเต็มเสมอ ไม่ว่าคุณจะไปไกลแค่ไหนก็ตาม ดูเหมือนปาฏิหาริย์เมื่อคุณมองสิ่งต่าง ๆ จากมุมมองที่ไร้เดียงสา ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีมุมมองที่แตกต่างออกไป”

พรอปป์พบมุมมองใหม่ๆ ในช่วงต้นทศวรรษ 2000 เมื่อเขาและเพื่อนร่วมงานค้นพบว่าตัวเลขในลำดับโซมอส-4 กำลังนับอะไรบางอย่างจริงๆ คำศัพท์ในลำดับสอดคล้องกับโครงสร้างที่พบในกราฟบางกราฟ สำหรับกราฟบางกราฟ คุณสามารถจับคู่จุดยอด (จุด) กับขอบ (เส้น) เพื่อให้จุดยอดทุกจุดเชื่อมต่อกับจุดยอดอื่นเพียงจุดเดียว ไม่มีจุดยอดที่ไม่ได้จับคู่ และไม่มีจุดยอดที่เชื่อมต่อกับขอบมากกว่าหนึ่งจุด คำศัพท์ในลำดับ Somos-4 จะนับจำนวนการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบที่แตกต่างกันสำหรับลำดับกราฟเฉพาะ

การค้นพบนี้ไม่เพียงแต่นำเสนอมุมมองใหม่เกี่ยวกับลำดับ Somos เท่านั้น แต่ยังแนะนำวิธีใหม่ๆ ในการคิดและวิเคราะห์การแปลงกราฟอีกด้วย Propp และนักเรียนของเขาเฉลิมฉลองโดยมีผลการแข่งขัน เสื้อยืดคอกลม.

“สำหรับฉัน เสน่ห์ของคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่คือการที่คุณไปถึงจุดหมายเดียวกันด้วยเส้นทางที่ต่างกัน และดูเหมือนว่ามีบางสิ่งที่น่าอัศจรรย์หรือลึกซึ้งเกิดขึ้น” พรอปป์กล่าว “ข้อดีของลำดับเหล่านี้คือมีมุมมองต่างๆ มากมายที่อธิบายว่าทำไมคุณถึงได้จำนวนเต็ม มีความลึกที่ซ่อนอยู่อยู่ที่นั่น”

เรื่องราวเปลี่ยนไปสำหรับลำดับ Somos ที่มีหมายเลขสูงกว่า เทอม 18 แรกของ Somos-8 เป็นจำนวนเต็ม แต่เทอมที่ 19 นั้นเป็นเศษส่วน ลำดับ Somos ทุกลำดับหลังจากนั้นจะมีค่าเศษส่วนด้วย

ลำดับอีกประเภทหนึ่งที่พัฒนาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ฟริตซ์ โกเบลในปี 1970 เป็นจุดแตกต่างที่น่าสนใจกับลำดับโซมอส ที่ nเทอมที่ 1 ของลำดับโกเบลถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของกำลังสองของเทอมก่อนหน้าทั้งหมด บวก XNUMX หารด้วย n. เช่นเดียวกับลำดับโซมอส ลำดับโกเบลเกี่ยวข้องกับการหาร ดังนั้นเราอาจคาดหวังว่าพจน์จะไม่คงจำนวนเต็มไว้ แต่สักพักหนึ่ง — เมื่อซีเควนซ์ขยายใหญ่ขึ้น — ดูเหมือนว่าจะเป็นเช่นนั้น

เทอมที่ 10 ในลำดับโกเบลมีค่าประมาณ 1.5 ล้าน เทอมที่ 11 มี 267 พันล้าน เทอมที่ 43 ใหญ่เกินกว่าจะคำนวณได้ โดยมีตัวเลขประมาณ 178 พันล้านหลัก แต่ในปี 1975 นักคณิตศาสตร์ชาวดัตช์ เฮนดริก เลนสตรา แสดงให้เห็นว่าเทอมที่ 42 นี้ไม่ใช่จำนวนเต็ม ไม่เหมือนกับเทอม 43 แรก

ลำดับโกเบลสามารถสรุปได้โดยการแทนที่กำลังสองในผลรวมด้วยลูกบาศก์ กำลังสี่ หรือแม้แต่เลขชี้กำลังที่สูงกว่า (ภายใต้ข้อตกลงนี้ ลำดับดั้งเดิมของเขาเรียกว่าลำดับ 2-Göbel) ลำดับเหล่านี้ยังแสดงแนวโน้มที่น่าประหลาดใจในการเริ่มต้นด้วยพจน์จำนวนเต็มขยายออกไป ในปี 1988 เฮนรี อิบสเตดท์ แสดงให้เห็นว่า พจน์ 89 พจน์แรกของลำดับ 3-โกเบล (ซึ่งใช้ลูกบาศก์แทนกำลังสอง) เป็นจำนวนเต็ม แต่พจน์ที่ 90 ไม่ใช่ การวิจัยต่อมาเกี่ยวกับลำดับ Göbel อื่นๆ พบว่าใช้เวลานานกว่านั้นอีก ตัวอย่างเช่น ลำดับ 31-โกเบล เริ่มต้นด้วยเทอมจำนวนเต็มจำนวนมหาศาล 1,077 ตัว

ในเดือนกรกฎาคม นักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยคิวชู รินโนะสุเกะ มัตสึฮิระ โทชิกิ มัตสึซากะ และโคคิ ซึชิดะ แบ่งปันกระดาษ แสดงให้เห็นว่าสำหรับก k-ลำดับGöbelไม่ว่าจะเลือกอะไรก็ตาม kเทอม 19 แรกของลำดับจะเป็นจำนวนเต็มเสมอ พวกเขาได้รับแรงบันดาลใจให้พิจารณาคำถามจากการ์ตูนญี่ปุ่นเรื่องหนึ่งชื่อ เซอิซึทันซึ่งแปลว่า “เรื่องของจำนวนเต็ม” ก เฟรมในหนังสือการ์ตูน ขอให้ผู้อ่านหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ N_kจุดที่ก kลำดับ -Göbel สิ้นสุดการสร้างเงื่อนไขจำนวนเต็ม นักคณิตศาสตร์ทั้งสามคนเริ่มตอบคำถาม “การคงอยู่ของจำนวนเต็มอย่างไม่คาดคิดเป็นระยะเวลานานนั้นขัดแย้งกับสัญชาตญาณของเรา” มัตสึซากะกล่าว “เมื่อปรากฏการณ์เกิดขึ้นตรงกันข้ามกับสัญชาตญาณ ฉันเชื่อว่ามีความสวยงามอยู่เสมอ”

พวกเขาพบรูปแบบของพฤติกรรมซ้ำๆ เช่น k เพิ่มขึ้น ด้วยการมุ่งเน้นไปที่กรณีที่เกิดซ้ำในจำนวนจำกัด พวกเขาทำให้การคำนวณเป็นไปได้และสามารถดำเนินการพิสูจน์ได้

ดูลำดับอย่างใกล้ชิด N_k เผยความประหลาดใจอีกอย่าง: N_k เป็นจำนวนเฉพาะบ่อยกว่าที่คุณคาดหวังหากเป็นการสุ่มล้วนๆ "กับ kลำดับโกเบลไม่เพียงแต่น่าทึ่งเท่านั้นที่เป็นจำนวนเต็ม” กล่าว ริชาร์ดกรีน, นักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยโคโลราโด “สิ่งที่น่าทึ่งคือจำนวนเฉพาะปรากฏขึ้นบ่อยมาก นั่นทำให้ดูเหมือนมีบางสิ่งที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นเกิดขึ้น”

แม้ว่าเอกสารฉบับใหม่จะนำเสนอข้อพิสูจน์ว่า N_k มีค่าอย่างน้อย 19 เสมอ ไม่ทราบว่ามีจำกัดเสมอหรือมี a อยู่หรือไม่ k ซึ่งลำดับจะมีจำนวนเต็มไม่จำกัด “N_k มีพฤติกรรมลึกลับ … มีความปรารถนาพื้นฐานที่จะเข้าใจรูปแบบพื้นฐานของมัน” มัตสึซากะกล่าว “มันอาจคล้ายกับความสุขที่ฉันรู้สึกตอนเด็กๆ เมื่อไขปริศนาที่ครูมอบให้ แม้กระทั่งตอนนี้ ความรู้สึกเหล่านั้นจากครั้งนั้นยังคงอยู่ในตัวฉัน”

ควอนตั้ม กำลังดำเนินการสำรวจชุดต่างๆ เพื่อให้บริการผู้ชมของเราได้ดียิ่งขึ้น เอาของเรา แบบสำรวจผู้อ่านคณิตศาสตร์ และคุณจะถูกป้อนเพื่อรับรางวัลฟรี ควอนตั้ม merch