บทนำ
เมื่อกว่า 2,000 ปีที่แล้ว เอราทอสเธเนส นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกได้คิดค้นวิธีการหาจำนวนเฉพาะที่ยังคงสะท้อนผ่านคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน แนวคิดของเขาคือการระบุจำนวนเฉพาะทั้งหมดจนถึงจุดที่กำหนดโดยค่อยๆ "กรอง" จำนวนที่ไม่เป็นจำนวนเฉพาะออก ตะแกรงของเขาเริ่มต้นด้วยการขีดฆ่าตัวคูณของ 2 ทั้งหมด (ยกเว้น 2 ตัวมันเอง) จากนั้นจึงขีดฆ่าตัวคูณของ 3 (ยกเว้น 3 ตัวมันเอง) หมายเลขถัดไป 4 ได้ถูกขีดฆ่าไว้แล้ว ขั้นตอนต่อไปคือขีดฆ่าจำนวนทวีคูณของ 5 และต่อๆ ไป ตัวเลขเดียวเท่านั้นที่จะรอดได้คือจำนวนเฉพาะ ซึ่งเป็นตัวเลขที่มีตัวหารเพียง 1 และตัวพวกเขาเอง
Eratosthenes มุ่งเน้นไปที่ไพรม์ทั้งชุด แต่คุณสามารถใช้รูปแบบต่างๆ บนตะแกรงของเขาเพื่อค้นหาจำนวนเฉพาะที่มีคุณสมบัติพิเศษทุกประเภท ต้องการหา “จำนวนเฉพาะคู่” ที่ห่างกันเพียง 2 ตัว เช่น 11 และ 13 หรือ 599 และ 601 ใช่ไหม มีตะแกรงสำหรับสิ่งนั้น ต้องการหาจำนวนเฉพาะที่ใหญ่กว่ากำลังสองสมบูรณ์ 1 เท่า เช่น 17 หรือ 257 ใช่ไหม มีตะแกรงสำหรับสิ่งนั้นด้วย
ตะแกรงสมัยใหม่ได้จุดชนวนให้เกิดความก้าวหน้าครั้งใหญ่ที่สุดในทฤษฎีจำนวนเกี่ยวกับปัญหาต่างๆ ตั้งแต่ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ไปจนถึงการคาดเดาจำนวนเฉพาะจำนวนเฉพาะคู่ที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ ซึ่งกล่าวว่าจำนวนเฉพาะจำนวนคู่มีจำนวนนับไม่ถ้วน Paul Erdős นักคณิตศาสตร์ชาวฮังการีเขียนเมื่อปี 1965 ว่าวิธีการกรองด้วยตะแกรงเป็น "บางทีอาจเป็นเครื่องมือพื้นฐานที่ทรงพลังที่สุดในทฤษฎีจำนวน"
แต่พลังนี้ถูกจำกัดโดยความเข้าใจที่จำกัดของนักคณิตศาสตร์เกี่ยวกับการกระจายจำนวนเฉพาะตามเส้นจำนวน เป็นเรื่องง่ายที่จะร่อนตะแกรงจนถึงจำนวนเล็กๆ เช่น 100 แต่นักคณิตศาสตร์ต้องการเข้าใจพฤติกรรมของตะแกรงเมื่อตัวเลขมีขนาดใหญ่ พวกเขาหวังว่าจะแสดงรายการตัวเลขทั้งหมดที่เหลืออยู่ในตะแกรงจนถึงจุดหยุดที่ใหญ่มากได้ พวกเขาจึงพยายามประมาณจำนวนตัวเลขที่อยู่ในรายการแทน
บทนำ
สำหรับตะแกรงเอราทอสเทนีส การประมาณนี้ขึ้นอยู่กับความถี่ที่จำนวนเต็มหารด้วย 2 หรือ 3 หรือ 5 ลงตัว และอื่นๆ ซึ่งเป็นข้อมูลที่ค่อนข้างง่ายในการหา แต่สำหรับตะแกรงที่ซับซ้อนกว่า เช่น ตะแกรงสำหรับไพรม์คู่ ข้อมูลสำคัญมักจะเกี่ยวข้องกับเศษที่เหลือซึ่งไพรม์ทิ้งไว้เมื่อหารด้วยตัวเลขที่ต่างกัน เช่น จำนวนเฉพาะจะเหลือเศษ 1 หารด้วย 3 บ่อยแค่ไหน? หรือเศษของ 8 เมื่อหารด้วย 15?
เมื่อคุณเคลื่อนออกไปตามเส้นจำนวน เศษที่เหลือเหล่านี้จะตกลงเป็นรูปแบบที่คาดการณ์ได้ทางสถิติ ในปี 1896 Charles-Jean de la Vallée Poussin นักคณิตศาสตร์ชาวเบลเยียมได้พิสูจน์ว่าส่วนที่เหลือจะค่อยๆ เท่ากัน ตัวอย่างเช่น หากคุณใส่จำนวนเฉพาะลงในถังหนึ่งในสองถัง ขึ้นอยู่กับว่าเศษของพวกมันคือ 1 หรือ 2 เมื่อหารด้วย 3 จะได้ ในที่สุดถังสองใบก็จะมีจำนวนเฉพาะเท่ากันโดยประมาณ แต่เพื่อดึงศักยภาพสูงสุดจากวิธีการตะแกรง นักคณิตศาสตร์จำเป็นต้องรู้ไม่เพียงแต่ว่าถังจะเท่ากันในที่สุด แต่ต้องรู้เร็วแค่ไหนที่จะทำเช่นนั้น
นั่นได้พิสูจน์แล้วว่ามีความท้าทาย หลังจากความก้าวหน้าในทศวรรษ 1960 และอีกครั้งในทศวรรษ 1980 การพัฒนาใหม่ๆ ส่วนใหญ่ค่อยๆ หายไป มีข้อยกเว้นที่น่าสังเกตเกิดขึ้นในปี 2013 เมื่อ Yitang Zhang เผยแพร่ a หลักฐานสถานที่สำคัญ มีคู่จำนวนเฉพาะจำนวนอนันต์อยู่ใกล้กันมากกว่าขอบเขตจำกัดบางคู่ แต่งานหลักที่พัฒนาขึ้นในช่วงทศวรรษที่ 80 กลับไม่มีความก้าวหน้าใดๆ มานานกว่าสามทศวรรษแล้ว
ตอนนี้ผู้ทดลองกำลังเพลิดเพลินกับยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา ซึ่งจุดประกายโดย ชุด of สาม เอกสาร เขียนโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอ็อกซ์ฟอร์ด เจมส์เมย์นาร์ด ในปี 2020 (สองปีก่อนหน้านั้น) มอบเหรียญรางวัลฟิลด์สเกียรติคุณสูงสุดทางคณิตศาสตร์) เมย์นาร์ดวิเคราะห์ตัวเลขที่เรียกว่า "ระดับการกระจาย" ซึ่งจับได้ว่าเศษที่เหลือหลักมีการกระจายเท่าๆ กันลงในถังได้เร็วเพียงใด (บางครั้งอ้างอิงถึงตะแกรงประเภทใดประเภทหนึ่ง) สำหรับตะแกรงที่ใช้กันทั่วไปจำนวนมาก เขาแสดงให้เห็นว่าระดับการกระจายตัวอยู่ที่อย่างน้อย 0.6 ซึ่งสูงกว่าสถิติก่อนหน้านี้ที่ 0.57 จากช่วงปี 1980
งานของ Maynard และการศึกษาที่ตามมาได้กระตุ้นให้เกิด “การฟื้นคืนชีวิตใหม่ให้กับทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์” กล่าว จอห์น ฟรีดแลนเดอร์ ของมหาวิทยาลัยโตรอนโต ซึ่งมีบทบาทสำคัญในการพัฒนาในช่วงทศวรรษ 1980 “มันเป็นการฟื้นฟูที่แท้จริง”
บทนำ
ในช่วงไม่กี่เดือนที่ผ่านมา นักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาของเมย์นาร์ดสามคน มี เขียน เอกสาร ขยายผลทั้งของ Maynard และ Zhang; หนึ่งในเอกสารเหล่านี้โดย จาเร็ด ดูเกอร์ ลิชท์แมน (ปัจจุบันเป็นนักศึกษาหลังปริญญาเอกที่มหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด) ผลักดันระดับการกระจายของ Maynard ขึ้นไปที่ประมาณ 0.617 จากนั้น Lichtman ใช้การเพิ่มขึ้นนั้นในการคำนวณขอบเขตบนที่ปรับปรุงแล้วของจำนวนไพรม์คู่จนถึงจุดหยุดที่กำหนด และจำนวน "การแทนค่าของ Goldbach" ซึ่งใช้แทนจำนวนคู่ที่เป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองตัว
“คนรุ่นใหม่เหล่านี้กำลังติดตาม [on] ว่าอะไรคือประเด็นร้อนในตอนนี้” กล่าว แอนดรูว์ แกรนวิลล์ ของมหาวิทยาลัยมอนทรีออล
การเพิ่มขึ้นจาก 0.6 เป็น 0.617 อาจดูเหมือนเป็นเรื่องเล็กๆ น้อยๆ สำหรับผู้ที่อยู่นอกทฤษฎีตัวเลข แต่ตามทฤษฎีตะแกรง Granville กล่าวว่า "บางครั้งชัยชนะเล็กๆ น้อยๆ เหล่านั้นอาจส่งผลร้ายแรงตามมา"
รวมถึงและไม่รวม
เพื่อประมาณจำนวนตะแกรงที่เอาตะแกรงออกจนถึงจุดหยุด Nนักคณิตศาสตร์ใช้วิธีการที่อิงจากสิ่งที่เรียกว่าการรวม/การแยกออก หากต้องการดูว่าสิ่งนี้ทำงานอย่างไร ลองพิจารณาตะแกรงเอราทอสเธเนส ตะแกรงนี้เริ่มต้นด้วยการนำจำนวนทวีคูณของ 2 ออกทั้งหมด นั่นคือประมาณครึ่งหนึ่งของตัวเลขทั้งหมด N. ถัดไปตะแกรงจะลบผลคูณของ 3 ทั้งหมด — ประมาณ 1/3 ของจำนวนทั้งหมดจนถึง N. คุณอาจคิดว่าจนถึงตอนนี้คุณได้ลบตัวเลขทั้งหมดออกไปประมาณ 1/2 + 1/3 ของทั้งหมดแล้ว N.
แต่นี่เป็นการนับเกิน เนื่องจากคุณได้นับจำนวนซ้ำที่เป็นทวีคูณของทั้ง 2 และ 3 (ทวีคูณของ 6) เหล่านี้คือประมาณ 1/6 ของจำนวนทั้งหมดจนถึง Nดังนั้นเพื่อแก้ไขการนับสองครั้ง คุณต้องลบ 1/6 ทำให้ผลรวมสะสมของสิ่งที่คุณจะลบออกเป็น 1/2 + 1/3 − 1/6
ถัดไป คุณสามารถไปยังจำนวนทวีคูณของ 5 ซึ่งจะบวก 1/5 เข้ากับการนับ แต่คุณต้องลบ 1/10 และ 1/15 เพื่อแก้ไขสำหรับการนับเกินจำนวนที่หารด้วย 2 และ 5 ลงตัว หรือทั้ง 3 และ 5. ถึงอย่างนั้น คุณยังดำเนินการไม่เสร็จ คุณแก้ไขตัวเลขที่หารด้วย 2, 3 และ 5 ลงตัวสองครั้งโดยไม่ได้ตั้งใจ ดังนั้นเพื่อแก้ไขคุณต้องบวก 1/30 เข้ากับการนับของคุณ โดยนำผลรวมทั้งหมดมารวมกัน เป็น 1/2 + 1/3 − 1/6 + 1/5 − 1/10 − 1/15 + 1/30
เมื่อกระบวนการนี้ดำเนินต่อไป ผลรวมจะมีเทอมมากขึ้นเรื่อยๆ โดยเกี่ยวข้องกับเศษส่วนที่มีตัวส่วนมากขึ้นเรื่อยๆ เพื่อป้องกันไม่ให้ข้อผิดพลาดเล็กๆ น้อยๆ ในการประมาณ เช่น “ประมาณ 1/2” และ “ประมาณ 1/3” สะสมมากเกินไป นักทฤษฎีจำนวนมักจะหยุดกระบวนการบวกและลบก่อนที่จะผ่านตะแกรงทั้งหมด และพอใจกับตัวเองด้วย ขอบเขตบนและล่างแทนคำตอบที่แน่นอน
ตามทฤษฎีแล้ว กระบวนการที่คล้ายกันควรจะใช้ได้กับเซตของจำนวนเฉพาะที่เพ้อฝันกว่า เช่น จำนวนเฉพาะคู่ แต่เมื่อพูดถึงจำนวนเฉพาะจำนวนคู่ การรวม/แยกจะไม่ทำงาน เว้นแต่คุณจะรู้ว่าเศษที่เหลือจำนวนเท่าๆ กันถูกกระจายไปยังถังอย่างไร
บทนำ
หากต้องการดูสิ่งนี้ ลองคิดว่าตะแกรงไพรม์คู่ทำงานอย่างไร คุณสามารถเริ่มต้นด้วยการใช้ตะแกรงเอราทอสเทนีสเพื่อค้นหาจำนวนเฉพาะทั้งหมดจนถึงจำนวนเฉพาะ N. จากนั้น ทำการกรองรอบที่สองเพื่อกำจัดไพรม์ทุกตัวที่ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของคู่ไพรม์คู่ออก วิธีหนึ่งที่ทำได้คือการกรองจำนวนเฉพาะออกหากจำนวนที่อยู่สองจุดทางด้านซ้ายไม่ใช่จำนวนเฉพาะ (หรือคุณอาจมองไปทางขวาสองจุดก็ได้ เพราะตะแกรงทั้งสองจะใช้ได้) ใช้ตะแกรงด้านซ้าย คุณจะคงจำนวนเฉพาะเช่น 13 ไว้ เนื่องจาก 11 ก็เป็นจำนวนเฉพาะเช่นกัน แต่จะขีดฆ่าจำนวนเฉพาะเช่น 23 เนื่องจาก 21 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ
คุณนึกถึงตะแกรงนี้ได้ว่าเป็นการขยับเซตของจำนวนเฉพาะจำนวนสองจุดไปทางซ้ายบนเส้นจำนวนก่อน จากนั้นจึงขีดฆ่าตัวเลขในชุดที่เลื่อนซึ่งไม่ใช่จำนวนเฉพาะ (เช่น 21) ในชุดที่เลื่อน คุณจะต้องขีดฆ่าผลคูณของ 3 จากนั้นคูณด้วย 5 และต่อๆ ไป (คุณไม่ต้องกังวลเรื่องการคูณ 2 เนื่องจากตัวเลขในชุดที่เลื่อนนั้นเป็นเลขคี่ทั้งหมด ยกเว้นตัวแรก)
ถัดไปคือการรวม/ไม่รวม เพื่อประมาณจำนวนตัวเลขที่คุณขีดฆ่าออก ในตะแกรงเอราทอสเทนีส การขีดฆ่าจำนวนทวีคูณของ 3 จะลบประมาณ 1/3 ของจำนวนทั้งหมดออกไป แต่ในชุดจำนวนเฉพาะที่ถูกเลื่อนที่เล็กกว่า เป็นการยากที่จะคาดเดาได้ว่าจะมีจำนวนเท่าใดที่จะตกเมื่อเราขีดฆ่าจำนวนเท่าของ 3
หมายเลขใดก็ได้ k ในชุดเลื่อนจะน้อยกว่าจำนวนเฉพาะบางตัว 2 แล้วถ้า k เป็นผลคูณของ 3 แล้วก็จำนวนเฉพาะที่ตรงกัน k + 2 จะมีเศษเป็น 2 เมื่อหารด้วย 3 จำนวนเฉพาะจะมีเศษเป็น 1 หรือ 2 เมื่อหารด้วย 3 (ยกเว้น 3 ตัวมันเอง) ดังนั้นคุณอาจเดาได้ว่าครึ่งหนึ่งของจำนวนเฉพาะจนถึง N มีจำนวนเศษเป็น 1 ครึ่ง และมีเศษเป็น 2 นั่นหมายความว่าในขั้นตอนนี้ของตะแกรง คุณจะขีดฆ่าตัวเลขในชุดที่เลื่อนออกไปประมาณครึ่งหนึ่ง (แทนที่จะเป็น 1/3 เหมือนในตะแกรงเอราทอสเธนีส) คุณก็ต้องเขียน 1/2 เทอมในผลรวมที่รวม/แยกออก
ต้องขอบคุณ de la Vallée Poussin ที่ทำให้เรารู้ว่าในที่สุดครึ่งหนึ่งของจำนวนเฉพาะทั้งหมดจะเหลือเศษ 1 และครึ่งหนึ่งจะมีเศษเป็น 2 เมื่อคุณหารด้วย 3 แต่ในการรวม/แยกออก ยังไม่เพียงพอที่จะรู้ว่าถังส่วนที่เหลือจะสมดุลกัน ออกไปในที่สุด — คุณต้องรู้ว่าพวกมันสมดุลกัน N. มิฉะนั้น คุณจะไม่สามารถมั่นใจใน "1/2" ในผลรวมที่รวม/ยกเว้นได้ บางทีนักคณิตศาสตร์อาจกังวลมานานกว่าศตวรรษแล้วว่าการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะมีนิสัยแปลก ๆ ที่บ่อนทำลายจำนวนการนับที่จำเป็นสำหรับผลรวม/แยกของเรา
“ถ้าคุณไม่มีทฤษฎีการกระจายตัว คุณจะไม่เข้าใจว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อคุณกรองเสร็จแล้ว” กล่าว เทอเรนซ์เต๋า แห่งมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย ลอสแอนเจลิส
Waypoint พื้นฐาน
คำทำนายหนึ่งเกี่ยวกับความเร็วที่ถังเริ่มที่จะเท่ากันนั้นมีให้สำหรับนักทฤษฎีจำนวนในรูปแบบของปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขที่โด่งดังที่สุดในทฤษฎีจำนวน - สมมติฐานทั่วไปของรีมันน์ สมมติฐานนี้ ถ้าเป็นจริง ก็บอกเป็นนัยว่าถ้าเราดูจำนวนเฉพาะทั้งหมดจนถึงจำนวนที่มาก Nจากนั้นเศษที่เหลือจะกระจายเท่าๆ กันลงในถังสำหรับตัวหารใดๆ ที่สูงถึงประมาณรากที่สองของ N. ตัวอย่างเช่น หากคุณกำลังดูจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า 1 ล้านล้าน คุณคาดว่าพวกมันจะกระจายเท่าๆ กันไปยังถังส่วนที่เหลือเมื่อคุณหารมันด้วย 120 หรือ 7,352 หรือ 945,328 — ตัวหารใดๆ ที่น้อยกว่าประมาณ 1 ล้าน ( รากที่สองของ 1 ล้านล้าน) นักคณิตศาสตร์กล่าวว่าสมมติฐานรีมันน์แบบทั่วไปทำนายว่าระดับการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะคืออย่างน้อย 1/2 เนื่องจากเป็นอีกวิธีหนึ่งในการเขียนรากที่สองของ N เป็นเหมือน N1/2.
บทนำ
หากสมมติฐานนี้ถูกต้อง นั่นก็หมายความว่าเมื่อคุณกรองได้มากถึง 1 ล้านล้าน คุณสามารถตัดตัวคูณของ 2 ตามด้วย 3 และ 5 ออกไปได้ และทำต่อไปจนกว่าผลรวมที่รวม/แยกออกเริ่มมีส่วนหารส่วนประมาณ 1 ล้าน — หลังจากจุดนั้น คุณจะคำนวณเงื่อนไขเป็นยอดรวมไม่ได้ ในช่วงกลางทศวรรษที่ 1900 นักทฤษฎีจำนวนได้พิสูจน์ทฤษฎีบทตะแกรงหลายรูปแบบว่า "ถ้าสมมติฐานทั่วไปของรีมันน์ถูกต้อง งั้นก็..."
แต่ผลลัพธ์จำนวนมากเหล่านี้ไม่ได้ต้องการความแข็งแกร่งเต็มที่ของสมมติฐานแบบรีมันน์ทั่วไป แค่รู้ว่าจำนวนเฉพาะมีการกระจายอย่างดีลงในถังสำหรับตัวหารเกือบทุกตัว แทนที่จะเป็นตัวหารทุกตัว ในช่วงกลางทศวรรษ 1960 เอ็นริโก บอมบิเอรี และอัสโคลด์ วิโนกราดอฟ แยกต่างหาก การจัดการ เพื่อพิสูจน์ว่า: จำนวนเฉพาะมีระดับการกระจายตัวอย่างน้อย 1/2 ถ้าเราพอใจกับการที่รู้ว่ากลุ่มจะเท่ากันสำหรับตัวหารเกือบทุกตัว
ทฤษฎีบทบอมบิเอรี-วิโนกราดอฟ ซึ่งยังคงใช้กันอย่างแพร่หลาย ได้พิสูจน์ผลลัพธ์หลายอย่างทันทีที่ก่อนหน้านี้อาศัยสมมติฐานทั่วไปของรีมันน์ที่ไม่ได้รับการพิสูจน์ “มันเป็นมาตรฐานทองคำของทฤษฎีการกระจายตัว” เทากล่าว
แต่นักคณิตศาสตร์สงสัยมานานแล้ว — และหลักฐานเชิงตัวเลขได้เสนอแนะ — ว่าระดับการกระจายตัวที่แท้จริงของจำนวนเฉพาะนั้นสูงกว่ามาก ในช่วงปลายทศวรรษ 1960 ปีเตอร์ เอลเลียต และไฮนี ฮัลเบอร์สตัม คาดคะเน ระดับการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะนั้นต่ำกว่า 1 เฉด หรืออีกนัยหนึ่งคือ หากคุณกำลังดูจำนวนเฉพาะจำนวนมหาศาล ก็ควรกระจายพวกมันให้เท่ากันในถัง แม้ว่าตัวหารจะมีขนาดใกล้เคียงกับจำนวนมากก็ตาม . และตัวหารใหญ่เหล่านี้มีความสำคัญเมื่อคุณทำการรวม/แยก เนื่องจากมันจะปรากฏขึ้นเมื่อคุณแก้ไขการนับเกิน ดังนั้น ยิ่งนักคณิตศาสตร์เข้าใกล้ระดับการกระจายตัวของเอลเลียตและฮัลเบอร์สตัมที่คาดการณ์ไว้มากเท่าใด เงื่อนไขที่พวกเขาสามารถคำนวณในผลบวกรวม/แยกออกก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น เทากล่าวว่าการพิสูจน์การคาดเดาของเอลเลียต-ฮัลเบอร์สตัมคือ “ความฝัน”
อย่างไรก็ตาม จนถึงทุกวันนี้ ยังไม่มีใครสามารถเอาชนะระดับ 1/2 ของการแจกแจงในระดับทั่วไปเต็มรูปแบบที่ทฤษฎีบทบอมบิเอรี-วิโนกราดอฟสามารถทำได้ นักคณิตศาสตร์ได้เรียกสิ่งกีดขวางนี้ว่า "อุปสรรครากที่สอง" สำหรับจำนวนเฉพาะ อุปสรรคนี้ Lichtman กล่าวว่าเป็น "จุดอ้างอิงพื้นฐานในการทำความเข้าใจจำนวนเฉพาะของเรา"
สถิติโลกใหม่
สำหรับปัญหาตะแกรงหลายๆ อย่าง คุณสามารถก้าวหน้าได้แม้ว่าจะมีข้อมูลที่ไม่สมบูรณ์เกี่ยวกับวิธีการแบ่งไพรม์ออกเป็นถังต่างๆ ก็ตาม โจทย์ปัญหาเรื่องจำนวนเฉพาะคู่: การกรองจำนวนเฉพาะถ้าจำนวนสองจุดทางซ้ายหารด้วย 3 หรือ 5 หรือ 7 ลงตัว ก็เหมือนกับการถามว่าจำนวนเฉพาะนั้นจะมีเศษเป็น 2 เมื่อหารด้วย 3 หรือ 5 หรือ 7 หรือไม่ — ใน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไม่ว่าจำนวนเฉพาะจะอยู่ในกลุ่ม "2" ของตัวหารเหล่านี้หรือไม่ ดังนั้น คุณไม่จำเป็นต้องรู้ว่าจำนวนเฉพาะมีการกระจายเท่าๆ กันในที่เก็บข้อมูลทั้งหมดสำหรับตัวหารเหล่านี้หรือไม่ คุณเพียงแค่ต้องรู้ว่าแต่ละที่เก็บข้อมูล “2” มีจำนวนเฉพาะที่เราคาดหวังหรือไม่
ในช่วงทศวรรษ 1980 นักคณิตศาสตร์เริ่มค้นพบวิธีพิสูจน์ทฤษฎีบทการกระจายตัวที่เน้นไปที่กลุ่มใดกลุ่มหนึ่งโดยเฉพาะ งานนี้จบลงที่ก กระดาษ 1986 โดย Bombieri, ฟรีดแลนเดอร์ และ เฮนรีค อิวาเนียค ซึ่งผลักดันระดับการกระจายสูงถึง 4/7 (ประมาณ 0.57) สำหรับบัคเก็ตเดี่ยว ไม่ใช่สำหรับตะแกรงทั้งหมด แต่สำหรับคลาสที่กว้าง
เช่นเดียวกับทฤษฎีบท Bombieri-Vinogradov เนื้อหาแนวคิดที่พัฒนาขึ้นในช่วงทศวรรษ 1980 พบว่ามีการนำไปประยุกต์ใช้มากมาย ที่สะดุดตาที่สุดคือมันเปิดใช้งาน a ใหญ่ เผ่น ในความเข้าใจของนักคณิตศาสตร์เกี่ยวกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ซึ่งบอกว่าสมการนั้น an + bn = cn ไม่มีคำตอบของจำนวนธรรมชาติสำหรับเลขชี้กำลังใดๆ n สูงกว่า 2 (ซึ่งต่อมาได้รับการพิสูจน์ในปี 1994 โดยใช้เทคนิคที่ไม่ขึ้นอยู่กับทฤษฎีการกระจายตัว) อย่างไรก็ตาม หลังจากความตื่นเต้นในทศวรรษปี 1980 อย่างไรก็ตาม ระดับการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะมีความก้าวหน้าเพียงเล็กน้อยมาหลายทศวรรษแล้ว
จากนั้นในปี 2013 Zhang ก็ค้นพบวิธีเอาชนะอุปสรรครากที่สองในทิศทางที่แตกต่างจาก Bombieri, Friedlander และ Iwaniec เขาขุดคุ้ยวิธีการเก่าๆ ที่ไม่ทันสมัยตั้งแต่ต้นทศวรรษ 1980 เพื่อหาการปรับปรุงเล็กน้อยที่สุดในระดับการกระจาย 1/2 ของ Bombieri และ Vinogradov ในบริบทที่คุณกำลังกรองด้วยตัวเลขที่ "ราบรื่น" เท่านั้น ซึ่งเป็นตัวเลขที่ไม่มีปัจจัยสำคัญมาก . การปรับปรุงเล็กๆ น้อยๆ นี้ทำให้ Zhang สามารถ พิสูจน์การคาดเดาที่มีมายาวนาน เมื่อคุณเดินไปตามเส้นจำนวน คุณจะเจอคู่จำนวนเฉพาะที่อยู่ใกล้กันมากกว่าขอบเขตคงที่ (ต่อมาเมย์นาร์ดและเต๋าก็คนละคนกัน แยกกันขึ้นมาด้วย ข้อพิสูจน์อีกประการหนึ่งของทฤษฎีบทนี้ โดยใช้ตะแกรงที่ได้รับการปรับปรุง แทนที่จะใช้ระดับการกระจายที่ดีขึ้น)
ผลลัพธ์ของจางดึงเอาสมมติฐานของรีมันน์เวอร์ชันหนึ่งที่อาศัยอยู่ในโลกของเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ในขณะเดียวกัน งานของบอมบิเอรี ฟรีดแลนเดอร์ และอิวาเนียคก็อาศัยสิ่งที่เมย์นาร์ดเรียกว่า "ความเชื่อมโยงที่ค่อนข้างมหัศจรรย์" กับวัตถุที่เรียกว่ารูปแบบออโตมอร์ฟิก ซึ่งมีสมมติฐานของรีมันน์ในเวอร์ชันของตัวเอง รูปแบบออโตมอร์ฟิกเป็นวัตถุที่มีความสมมาตรสูง ซึ่งเทากล่าวว่าเป็นของ "จุดสิ้นสุดของทฤษฎีตัวเลขที่มีกำลังสูง"
เมื่อไม่กี่ปีก่อน Maynard เชื่อว่ามีความเป็นไปได้ที่จะคั้นน้ำผลไม้ออกจากสองวิธีนี้มากขึ้นโดยการรวมข้อมูลเชิงลึกเข้าด้วยกัน ในชุดรายงานสามฉบับของเขาในปี 2020 ซึ่ง Granville เรียกว่า "tour de force" Maynard สามารถผลักดันระดับการกระจายได้ถึง 3/5 หรือ 0.6 ในบริบทที่แคบกว่าเล็กน้อยที่ Bombieri, Friedlander และ Iwaniec ศึกษา .
ตอนนี้ นักเรียนของเมย์นาร์ดกำลังผลักดันเทคนิคเหล่านี้ให้ก้าวไกลยิ่งขึ้น ลิคท์แมน เพิ่งคิดออก จะขยายระดับการกระจายของเมย์นาร์ดเป็นประมาณ 0.617 ได้อย่างไร จากนั้นเขาก็แบ่งการเพิ่มขึ้นนี้ออกเป็นขอบเขตบนใหม่ด้วยการนับจำนวนเฉพาะจำนวนคู่ทั้งสองและการแทนจำนวนคู่ของ Goldbach เป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองตัว สำหรับอย่างหลัง นี่เป็นครั้งแรกที่ทุกคนสามารถใช้ระดับการกระจายตัวที่เกินกว่า 1/2 จากทฤษฎีบทบอมบิเอรี-วิโนกราดอฟแบบคลาสสิก
ลูกศิษย์ของเมย์นาร์ดอีกคน อเล็กซานดรู ปาสกาดีมี ตรงกับตัวเลข 0.617 สำหรับระดับการกระจายตัวไม่ใช่จำนวนเฉพาะแต่เป็นจำนวนเรียบ เช่นเดียวกับจำนวนเฉพาะ ตัวเลขเรียบมักเกิดขึ้นจากทฤษฎีจำนวน และผลลัพธ์เกี่ยวกับระดับการกระจายตัวของพวกมันและจำนวนเฉพาะมักจะไปด้วยกัน
ขณะเดียวกัน นักเรียนคนที่สาม จูเลีย สตัดล์มันน์มี เพิ่มระดับการกระจายสินค้า ของจำนวนเฉพาะในสภาพแวดล้อมที่ Zhang ศึกษา ซึ่งตัวหาร (แทนที่จะเป็นจำนวนที่ถูกหาร) เป็นจำนวนเรียบ จางเอาชนะอุปสรรครากที่สองอย่างหวุดหวิด ในบริบทนี้ถึงระดับการกระจาย 0.5017 แล้วเกิดความร่วมมือออนไลน์ที่เรียกว่าโครงการ Polymath ยกจำนวนนั้นขึ้นมา ถึง 0.5233; Stadlmann ได้เพิ่มเป็น 0.525 แล้ว
นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ล้อเลียนนักทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ เทากล่าวว่าพวกเขาหมกมุ่นอยู่กับความก้าวหน้าทางตัวเลขเพียงเล็กน้อย แต่การปรับปรุงเล็กๆ น้อยๆ เหล่านี้มีความสำคัญมากกว่าตัวเลขที่เป็นปัญหา “มันเหมือนกับการวิ่ง 100 เมตรหรืออะไรบางอย่าง [โดย] คุณโกนได้ 3.96 วินาทีถึง 3.95 วินาที” เขากล่าว สถิติโลกใหม่แต่ละรายการคือ "เกณฑ์มาตรฐานว่าวิธีการของคุณก้าวหน้าไปมากเพียงใด"
โดยรวมแล้ว “เทคนิคต่างๆ มีความชัดเจนและเป็นหนึ่งเดียวกันมากขึ้น” เขากล่าว “มันชัดเจนขึ้นแล้ว เมื่อคุณก้าวหน้าในปัญหาหนึ่งแล้ว คุณจะปรับตัวเข้ากับปัญหาอื่นได้อย่างไร”
ยังไม่มีแอปพลิเคชันแบบระเบิดสำหรับการพัฒนาใหม่เหล่านี้ แต่งานใหม่ “เปลี่ยนวิธีคิดของเราอย่างแน่นอน” Granville กล่าว “นี่ไม่ใช่แค่การตอกตะปูให้แรงขึ้นเท่านั้น แต่ยังเป็นการได้ค้อนที่ได้รับการอัพเกรดมากขึ้นอีกด้วย”
ควอนตั้ม กำลังดำเนินการสำรวจชุดต่างๆ เพื่อให้บริการผู้ชมของเราได้ดียิ่งขึ้น เอาของเรา แบบสำรวจผู้อ่านคณิตศาสตร์ และคุณจะถูกป้อนเพื่อรับรางวัลฟรี ควอนตั้ม merch
- เนื้อหาที่ขับเคลื่อนด้วย SEO และการเผยแพร่ประชาสัมพันธ์ รับการขยายวันนี้
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai เพิ่มพลังให้กับตัวเอง เข้าถึงได้ที่นี่.
- เพลโตไอสตรีม. Web3 อัจฉริยะ ขยายความรู้ เข้าถึงได้ที่นี่.
- เพลโตESG. คาร์บอน, คลีนเทค, พลังงาน, สิ่งแวดล้อม แสงอาทิตย์, การจัดการของเสีย. เข้าถึงได้ที่นี่.
- เพลโตสุขภาพ เทคโนโลยีชีวภาพและข่าวกรองการทดลองทางคลินิก เข้าถึงได้ที่นี่.
- ที่มา: https://www.quantamagazine.org/a-new-generation-of-mathematicians-pushes-prime-number-barriers-20231026/
- :มี
- :เป็น
- :ไม่
- :ที่ไหน
- ][หน้า
- $ ขึ้น
- 000
- 1
- 100
- 11
- 13
- 15%
- 17
- 1994
- 2013
- 2020
- 23
- 7
- 8
- a
- สามารถ
- เกี่ยวกับเรา
- AC
- ลงชื่อเข้าใช้
- ประสบความสำเร็จ
- ข้าม
- จริง
- ปรับ
- เพิ่ม
- นอกจากนี้
- ความก้าวหน้า
- ความก้าวหน้า
- หลังจาก
- มาแล้ว
- ทั้งหมด
- เกือบจะ
- ตาม
- แล้ว
- ด้วย
- an
- วิเคราะห์
- วิเคราะห์
- และ
- Angeles
- อื่น
- คำตอบ
- ใด
- ทุกคน
- นอกเหนือ
- การใช้งาน
- การใช้งาน
- เข้าใกล้
- ประมาณ
- เป็น
- AS
- ขอให้
- At
- ผู้ฟัง
- ใช้ได้
- ยอดคงเหลือ
- อุปสรรค
- อุปสรรค
- ตาม
- BE
- ชนะ
- กลายเป็น
- เพราะ
- กลายเป็น
- สมควร
- รับ
- ก่อน
- พฤติกรรม
- หลัง
- กำลัง
- ด้านล่าง
- มาตรฐาน
- ดีกว่า
- เกิน
- ใหญ่
- ที่ใหญ่กว่า
- ที่ใหญ่ที่สุด
- ปิดกั้น
- ร่างกาย
- ทั้งสอง
- ขอบเขต
- ขอบเขต
- การหายใจ
- การนำ
- แต่
- by
- คำนวณ
- แคลิฟอร์เนีย
- ที่เรียกว่า
- โทร
- โทร
- มา
- CAN
- สามารถรับ
- จับ
- พกพา
- โด่งดัง
- ศตวรรษ
- ท้าทาย
- การเปลี่ยนแปลง
- ชั้น
- คลาสสิก
- ชัดเจน
- ปิดหน้านี้
- ใกล้ชิด
- การทำงานร่วมกัน
- โคโลราโด
- การรวมกัน
- อย่างไร
- มา
- อย่างธรรมดา
- ติดจะ
- ซับซ้อน
- ความกังวลเกี่ยวกับ
- การดำเนิน
- ความมั่นใจ
- การคาดเดา
- ผลที่ตามมา
- พิจารณา
- เนื้อหา
- สิ่งแวดล้อม
- อย่างต่อเนื่อง
- ความเชื่อมั่น
- แก้ไข
- การแก้ไข
- ตรงกัน
- ได้
- การนับ
- ข้าม
- ข้าม
- ที่ข้าม
- สำคัญมาก
- แดช หรือ Dash
- วัน
- ทศวรรษที่ผ่านมา
- องศา
- ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับ
- ขึ้นอยู่กับ
- ซึ่งล้างผลาญ
- พัฒนา
- การพัฒนา
- ต่าง
- ทิศทาง
- กระจาย
- การกระจาย
- แบ่ง
- แบ่งออก
- do
- การทำ
- ทำ
- Dont
- ฝัน
- หล่น
- แต่ละ
- ก่อน
- ง่าย
- ทั้ง
- เอลเลียต
- เปิดการใช้งาน
- เผชิญหน้า
- ปลาย
- พอ
- เข้า
- ข้อผิดพลาด
- เป็นหลัก
- ประมาณการ
- แม้
- อย่างเท่าเทียมกัน
- ในที่สุด
- ทุกๆ
- หลักฐาน
- ตัวอย่าง
- ยกเว้น
- ข้อยกเว้น
- ความตื่นเต้น
- คาดหวัง
- ขยายออก
- การขยาย
- สารสกัด
- อย่างยิ่ง
- ปัจจัย
- ตก
- ฟอลส์
- ไกล
- FAST
- คุณสมบัติ
- มนุษย์
- สองสาม
- สาขา
- คิด
- หา
- หา
- เสร็จสิ้น
- ชื่อจริง
- ครั้งแรก
- แก้ไขปัญหา
- การแก้ไข
- โฟกัส
- มุ่งเน้น
- ดังต่อไปนี้
- สำหรับ
- บังคับ
- ฟอร์ม
- รูปแบบ
- พบ
- ราคาเริ่มต้นที่
- เชื้อเพลิง
- เต็ม
- พื้นฐาน
- ต่อไป
- กําไร
- รุ่น
- ได้รับ
- ได้รับ
- กำหนด
- Go
- ไป
- ทองคำ
- มาตรฐานทองคำ
- ไป
- ค่อยๆ
- สำเร็จการศึกษา
- กรีก
- มี
- ครึ่ง
- ค้อน
- มือ
- ที่เกิดขึ้น
- ยาก
- มี
- he
- สูงกว่า
- ที่สูงที่สุด
- อย่างสูง
- ของเขา
- ถือ
- ถือ
- ความหวัง
- เจ้าภาพ
- ร้อน
- สรุป ความน่าเชื่อถือของ Olymp Trade?
- ทำอย่างไร
- อย่างไรก็ตาม
- HTTPS
- ใหญ่
- ฮังการี
- การล่าสัตว์
- ความคิด
- ความคิด
- แยกแยะ
- if
- การปรับปรุง
- การปรับปรุง
- การปรับปรุง
- in
- ในอื่น ๆ
- เพิ่ม
- ข้อมูล
- ข้อมูลเชิงลึก
- ตัวอย่าง
- ทันที
- แทน
- เข้าไป
- รวมถึง
- ที่เกี่ยวข้องกับ
- IT
- ITS
- ตัวเอง
- เพียงแค่
- เก็บ
- ชนิด
- ทราบ
- รู้ดี
- ใหญ่
- ชื่อสกุล
- ปลาย
- ต่อมา
- น้อยที่สุด
- ทิ้ง
- ซ้าย
- น้อยลง
- ชั้น
- ชีวิต
- กดไลก์
- ถูก จำกัด
- Line
- รายการ
- น้อย
- ชีวิต
- นาน
- ยาวนาน
- ดู
- ที่ต้องการหา
- ลอส
- Los Angeles
- Lot
- ลด
- นิตยสาร
- หลัก
- ทำ
- การจัดการ
- หลาย
- คณิตศาสตร์
- คณิตศาสตร์
- เรื่อง
- หมายความ
- ในขณะเดียวกัน
- วิธี
- วิธีการ
- อาจ
- ล้าน
- เดือน
- ข้อมูลเพิ่มเติม
- มากที่สุด
- ส่วนใหญ่
- ย้าย
- มาก
- หลาย
- จำเป็นต้อง
- จำเป็น
- ใหม่
- ถัดไป
- ไม่
- โดดเด่น
- ยวด
- ตอนนี้
- จำนวน
- ตัวเลข
- วัตถุ
- ได้รับ
- ที่เกิดขึ้น
- of
- ปิด
- มักจะ
- เก่า
- on
- ครั้งเดียว
- ONE
- คน
- ออนไลน์
- เพียง
- or
- อื่นๆ
- มิฉะนั้น
- ของเรา
- ออก
- ด้านนอก
- เกิน
- ของตนเอง
- ฟอร์ด
- คู่
- คู่
- เอกสาร
- ส่วนหนึ่ง
- ในสิ่งที่สนใจ
- อดีต
- รูปแบบ
- พอล
- คน
- สมบูรณ์
- บางที
- เพลโต
- เพลโตดาต้าอินเทลลิเจนซ์
- เพลโตดาต้า
- เล่น
- จุด
- เป็นไปได้
- ที่มีศักยภาพ
- อำนาจ
- ที่มีประสิทธิภาพ
- คาดการณ์
- ทายได้
- ที่คาดการณ์
- คำทำนาย
- คาดการณ์
- ป้องกัน
- ก่อน
- ก่อนหน้านี้
- สำคัญ
- ปัญหา
- ปัญหาที่เกิดขึ้น
- กระบวนการ
- ความคืบหน้า
- ความก้าวหน้า
- โครงการ
- พิสูจน์
- พิสูจน์
- พิสูจน์แล้วว่า
- พิสูจน์
- การตีพิมพ์
- ผลัก
- ผลักดัน
- ผลักดัน
- ใจเร่งเร้า
- ควอนทามากาซีน
- คำถาม
- อย่างรวดเร็ว
- ทีเดียว
- ยก
- ตั้งแต่
- ค่อนข้าง
- ถึง
- ผู้อ่าน
- จริง
- จริงๆ
- ระเบียน
- การอ้างอิง
- วางใจ
- เหลือ
- ลบออก
- ลบ
- ชีวิตใหม่
- ผล
- ผลสอบ
- ขวา
- บทบาท
- ราก
- ลวก
- ปัดเศษ
- วิ่ง
- กล่าวว่า
- เดียวกัน
- เห็น
- กล่าว
- พูดว่า
- ที่สอง
- วินาที
- เห็น
- ดูเหมือน
- ชุด
- ให้บริการ
- ชุด
- ชุดอุปกรณ์
- การตั้งค่า
- ชำระ
- หลาย
- ขยับ
- ขยับ
- น่า
- แสดงให้เห็นว่า
- ความสำคัญ
- คล้ายคลึงกัน
- ง่าย
- ตั้งแต่
- เดียว
- ขนาด
- เล็ก
- มีขนาดเล็กกว่า
- เรียบ
- So
- จนถึงตอนนี้
- โซลูชัน
- บาง
- บางสิ่งบางอย่าง
- บางครั้ง
- ในไม่ช้า
- จุดประกาย
- พิเศษ
- จุด
- สี่เหลี่ยม
- บีบ
- มาตรฐาน
- Stanford
- มหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด
- เริ่มต้น
- ข้อความที่เริ่ม
- เริ่มต้น
- ขั้นตอน
- ยังคง
- หยุด
- การหยุด
- ความแข็งแรง
- นักเรียน
- นักเรียน
- มีการศึกษา
- การศึกษา
- ที่สะดุด
- หรือ
- ต่อจากนั้น
- อย่างเช่น
- รอด
- เอา
- นำ
- เทคนิค
- ระยะ
- เงื่อนไขการใช้บริการ
- กว่า
- ที่
- พื้นที่
- โลก
- ของพวกเขา
- พวกเขา
- ตัวเอง
- แล้วก็
- ทฤษฎี
- ที่นั่น
- ล้อยางขัดเหล่านี้ติดตั้งบนแกน XNUMX (มม.) ผลิตภัณฑ์นี้ถูกผลิตในหลายรูปทรง และหลากหลายเบอร์ความแน่นหนาของปริมาณอนุภาคขัดของมัน จะทำให้ท่านได้รับประสิทธิภาพสูงในการขัดและการใช้งานที่ยาวนาน
- พวกเขา
- คิด
- ที่สาม
- นี้
- เหล่านั้น
- แต่?
- สาม
- ตลอด
- เวลา
- ไปยัง
- ในวันนี้
- ร่วมกัน
- เกินไป
- เครื่องมือ
- หัวข้อ
- โตรอน
- รวม
- ล้านล้าน
- จริง
- ลอง
- สองครั้ง
- แฝด
- สอง
- ชนิด
- ยูซีแอล
- บ่อนทำลาย
- เข้าใจ
- ความเข้าใจ
- ปึกแผ่น
- มหาวิทยาลัย
- มหาวิทยาลัยแห่งแคลิฟอร์เนีย
- ยังไม่ได้พิสูจน์
- จนกระทั่ง
- อัพเกรด
- ใช้
- มือสอง
- การใช้
- มักจะ
- รุ่น
- มาก
- ต้องการ
- คือ
- ทาง..
- we
- webp
- ดี
- คือ
- อะไร
- เมื่อ
- ว่า
- ที่
- WHO
- ทั้งหมด
- ใคร
- กว้าง
- อย่างกว้างขวาง
- จะ
- ชนะ
- ชนะ
- กับ
- คำ
- งาน
- โรงงาน
- โลก
- กังวล
- กังวล
- จะ
- เขียน
- เขียน
- เขียน
- ปี
- ยัง
- คุณ
- น้อง
- ของคุณ
- ลมทะเล