ความเชื่อมโยงที่ซ่อนอยู่ซึ่งเปลี่ยนทฤษฎีจำนวน | นิตยสารควอนต้า

จำนวนเฉพาะมีสามประเภท อันแรกคือค่าผิดปกติอันเดียว: 2 ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะคู่เท่านั้น หลังจากนั้น ครึ่งหนึ่งของจำนวนเฉพาะจะเหลือเศษ 1 เมื่อหารด้วย 4 อีกครึ่งหนึ่งจะเหลือเศษ 3 (5 และ 13 ตกในแคมป์แรก 7 และ 11 ในแคมป์ที่สอง) ไม่มีเหตุผลที่ชัดเจนที่ส่วนที่เหลือจะเหลือ จำนวนเฉพาะ -1 และจำนวนเฉพาะ -3 ควรมีพฤติกรรมต่างกันโดยพื้นฐาน แต่พวกเขาทำ

ความแตกต่างที่สำคัญประการหนึ่งเกิดจากคุณสมบัติที่เรียกว่าการตอบแทนกำลังสอง ซึ่งพิสูจน์ครั้งแรกโดย Carl Gauss ซึ่งกล่าวได้ว่าเป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีอิทธิพลมากที่สุดแห่งศตวรรษที่ 19 “มันเป็นข้อความที่ค่อนข้างเรียบง่ายที่สามารถนำไปใช้ได้ทุกที่ ในทางคณิตศาสตร์ทุกประเภท ไม่ใช่แค่ทฤษฎีจำนวน” กล่าว เจมส์ ริกการ์ด, นักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยโคโลราโด โบลเดอร์ “แต่ก็ยังไม่ชัดเจนพอที่จะน่าสนใจจริงๆ”

ทฤษฎีจำนวนเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเต็ม (ซึ่งตรงข้ามกับ รูปร่าง หรือปริมาณต่อเนื่อง) จำนวนเฉพาะ — ที่หารด้วย 1 และตัวเองเท่านั้น — อยู่ที่แกนกลาง มากพอๆ กับที่ DNA เป็นแกนหลักของชีววิทยา การตอบแทนซึ่งกันและกันแบบกำลังสองได้เปลี่ยนความคิดของนักคณิตศาสตร์ที่ว่าจะสามารถพิสูจน์เกี่ยวกับสิ่งเหล่านี้ได้มากเพียงใด หากคุณคิดว่าจำนวนเฉพาะเป็นเทือกเขา การตอบแทนซึ่งกันและกันก็เหมือนกับเส้นทางแคบๆ ที่ให้นักคณิตศาสตร์ปีนขึ้นไปถึงยอดเขาที่ก่อนหน้านี้ไม่สามารถเข้าถึงได้ และจากยอดเขาเหล่านั้น จะได้เห็นความจริงที่ถูกซ่อนไว้

แม้ว่าจะเป็นทฤษฎีบทเก่า แต่ก็ยังมีการประยุกต์ใหม่ๆ อยู่ ช่วงซัมเมอร์นี้ ริคคาร์ดส์และเพื่อนร่วมงานของเขา แคทเธอรีน สเตนจ์พร้อมด้วยนักเรียนสองคน หักล้างการคาดเดาที่ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวาง เกี่ยวกับวิธีบรรจุวงกลมเล็กๆ ไว้ในวงกลมที่ใหญ่กว่า ผลลัพธ์ทำให้นักคณิตศาสตร์ตกใจ ปีเตอร์ สารนักนักทฤษฎีจำนวนหนึ่งจากสถาบันการศึกษาขั้นสูงและมหาวิทยาลัยพรินซ์ตันได้พูดคุยกับ Stange ในการประชุมไม่นานหลังจากทีมของเธอ โพสต์ กระดาษของพวกเขา “เธอบอกฉันว่าเธอมีตัวอย่างแย้ง” ซาร์นักเล่า “ฉันถามเธอทันทีว่า 'คุณกำลังใช้การตอบแทนซึ่งกันและกันอยู่ที่ไหนสักแห่งหรือเปล่า' และนั่นคือสิ่งที่เธอใช้จริงๆ'”

รูปแบบเป็นคู่ของจำนวนเฉพาะ

เพื่อทำความเข้าใจการตอบแทนซึ่งกันและกัน คุณต้องเข้าใจเลขคณิตแบบโมดูลาร์ก่อน การดำเนินการแบบโมดูลาร์อาศัยการคำนวณเศษเมื่อคุณหารด้วยตัวเลขที่เรียกว่าโมดูลัส ตัวอย่างเช่น 9 โมดูโล 7 คือ 2 เพราะถ้าคุณหาร 9 ด้วย 7 คุณจะเหลือเศษ 2 ในระบบเลขโมดูโล 7 จะมีตัวเลข 7 ตัว: {0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6}. คุณสามารถเพิ่ม ลบ คูณ และหารตัวเลขเหล่านี้ได้

เช่นเดียวกับจำนวนเต็ม ระบบตัวเลขเหล่านี้สามารถมีกำลังสองสมบูรณ์ได้ ซึ่งเป็นจำนวนที่เป็นผลคูณของจำนวนอื่นคูณด้วยตัวมันเอง ตัวอย่างเช่น 0, 1, 2 และ 4 เป็นกำลังสองสมบูรณ์แบบโมดูโล 7 (0 × 0 = 0, 1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4 และ 3 × 3 = 2 mod 7) กำลังสองธรรมดาทุกตัวจะเท่ากับ 0, 1, 2 หรือ 4 โมดูโล 7 (เช่น 6 × 6 = 36 = 1 mod 7) เนื่องจากระบบจำนวนโมดูลาร์มีจำกัด ดังนั้น กำลังสองสมบูรณ์จึงมีอยู่ทั่วไปมากกว่า

การตอบแทนซึ่งกันและกันกำลังสองเกิดจากคำถามที่ค่อนข้างตรงไปตรงมา ให้สองจำนวนเฉพาะ p และ qถ้าคุณรู้สิ่งนั้น p เป็นโมดูโลกำลังสองที่สมบูรณ์แบบ qคุณสามารถพูดได้หรือไม่ q เป็นโมดูโลกำลังสองที่สมบูรณ์แบบ p?

ปรากฎว่าตราบเท่าที่อย่างใดอย่างหนึ่ง p or q จะเหลือเศษ 1 เมื่อหารด้วย 4 ถ้า p เป็นโมดูโลกำลังสองที่สมบูรณ์แบบ qแล้ว q ยังเป็นโมดูโลกำลังสองที่สมบูรณ์แบบอีกด้วย p. นายกทั้งสองกล่าวกันว่าเป็นการตอบแทนกัน

ในทางกลับกัน หากทั้งคู่ทิ้งเศษ 3 ไว้ (เช่น พูด 7 และ 11) พวกเขาจะไม่ตอบโต้: ถ้า p เป็นโมดูโลสี่เหลี่ยม qนั่นหมายความว่า q จะไม่ใช่โมดูโลแบบสี่เหลี่ยม p. ในตัวอย่างนี้ 11 คือโมดูโลกำลังสอง 7 เนื่องจาก 11 = 4 mod 7 และเรารู้อยู่แล้วว่า 4 เป็นหนึ่งในกำลังสองที่สมบูรณ์แบบแบบโมดูโล 7 ผลตามมาคือ 7 ไม่ใช่โมดูโลกำลังสอง 11 ถ้าคุณเอารายการของสามัญ กำลังสอง (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …) และดูเศษโมดูโล 11 จากนั้น 7 จะไม่ปรากฏ

การใช้ศัพท์ทางเทคนิคนี่มันแปลกจริงๆ!

พลังแห่งลักษณะทั่วไป

เช่นเดียวกับแนวคิดทางคณิตศาสตร์อื่นๆ การตอบแทนซึ่งกันและกันมีอิทธิพลเพราะสามารถสรุปได้

ไม่นานหลังจากที่เกาส์ตีพิมพ์ข้อพิสูจน์เรื่องความสัมพันธ์ตอบแทนกำลังสองครั้งแรกในปี 1801 นักคณิตศาสตร์ก็พยายามที่จะขยายแนวคิดนี้ไปไกลกว่ากำลังสอง “เหตุใดจึงไม่ใช่พลังที่สามหรือพลังที่สี่? พวกเขาจินตนาการว่าอาจมีกฎการตอบแทนแบบลูกบาศก์หรือกฎการตอบแทนแบบควอติก” กล่าว คีธ คอนราดซึ่งเป็นนักทฤษฎีจำนวนแห่งมหาวิทยาลัยคอนเนตทิคัต

แต่พวกเขากลับติดขัด คอนราดกล่าว "เพราะไม่มีรูปแบบที่ง่าย" สิ่งนี้เปลี่ยนไปเมื่อเกาส์นำความสัมพันธ์ตอบแทนมาสู่ขอบเขตของจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งบวกรากที่สองของลบ 1 ซึ่งแทนด้วย iไปจนถึงตัวเลขธรรมดา เขาเสนอแนวคิดที่ว่านักทฤษฎีจำนวนสามารถวิเคราะห์ได้ไม่เพียงแต่จำนวนเต็มธรรมดาเท่านั้น แต่ยังวิเคราะห์ระบบทางคณิตศาสตร์ที่มีลักษณะคล้ายจำนวนเต็มอื่นๆ อีกด้วย เช่น ที่เรียกว่าจำนวนเต็มเกาส์เซียน ซึ่งเป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่งส่วนจริงและส่วนจินตภาพเป็นจำนวนเต็มทั้งคู่

ด้วยจำนวนเต็มเกาส์เซียน แนวคิดทั้งหมดเกี่ยวกับสิ่งที่นับเป็นจำนวนเฉพาะก็เปลี่ยนไป ตัวอย่างเช่น 5 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะอีกต่อไป เนื่องจาก 5 = (2 + i) × (2 − i). “คุณต้องเริ่มต้นใหม่เหมือนคุณอยู่ในโรงเรียนประถมอีกครั้ง” คอนราดกล่าว ในปี ค.ศ. 1832 เกาส์ได้พิสูจน์กฎการตอบแทนควอติกสำหรับจำนวนเต็มเชิงซ้อนที่เป็นชื่อของเขา

ทันใดนั้น นักคณิตศาสตร์ได้เรียนรู้ที่จะใช้เครื่องมือต่างๆ เช่น เลขคณิตแบบโมดูลาร์และการแยกตัวประกอบกับระบบตัวเลขใหม่เหล่านี้ การตอบแทนซึ่งกันและกันแบบกำลังสองเป็นแรงบันดาลใจ ตามที่คอนราดกล่าว

รูปแบบที่ยากจะเข้าใจโดยไม่มีจำนวนเชิงซ้อนเริ่มปรากฏให้เห็นแล้ว ในช่วงกลางทศวรรษที่ 1840 Gotthold Eisenstein และ Carl Jacobi ได้พิสูจน์กฎการตอบแทนซึ่งกันและกันแบบลูกบาศก์ฉบับแรก

จากนั้นในทศวรรษที่ 1920 เอมิล อาร์ติน หนึ่งในผู้ก่อตั้งพีชคณิตสมัยใหม่ ได้ค้นพบสิ่งที่คอนราดเรียกว่า "กฎการตอบแทนซึ่งกันและกันขั้นสูงสุด" กฎหมายต่างตอบแทนอื่นๆ ทั้งหมดอาจถูกมองว่าเป็นกรณีพิเศษของกฎหมายต่างตอบแทนของอาร์ติน

หนึ่งศตวรรษต่อมา นักคณิตศาสตร์ยังคงคิดค้นข้อพิสูจน์ใหม่ของกฎการตอบแทนกำลังสองข้อแรกของเกาส์ และสรุปให้เข้ากับบริบททางคณิตศาสตร์แบบใหม่ การมีหลักฐานที่แตกต่างกันมากมายจะเป็นประโยชน์ “หากคุณต้องการขยายผลลัพธ์ไปสู่สภาพแวดล้อมใหม่ บางทีข้อโต้แย้งข้อใดข้อหนึ่งจะดำเนินต่อไปได้อย่างง่ายดาย ในขณะที่ข้อโต้แย้งอีกข้อหนึ่งอาจไม่เป็นเช่นนั้น” คอนราดกล่าว

เหตุใดการตอบแทนซึ่งกันและกันจึงมีประโยชน์มาก

การตอบแทนซึ่งกันและกันกำลังสองถูกนำมาใช้ในการวิจัยที่หลากหลาย เช่น ทฤษฎีกราฟ โทโพโลยีพีชคณิต และวิทยาการเข้ารหัสลับ ในระยะหลังอัลกอริธึมการเข้ารหัสคีย์สาธารณะที่มีอิทธิพลได้รับการพัฒนาในปี 1982 โดย ชาฟิโกลด์วาสเซอร์ และ ซิลวิโอมิกาลี ขึ้นอยู่กับการคูณไพรม์ใหญ่สองตัว p และ q ร่วมกันแล้วเกิดผล Nพร้อมด้วยตัวเลข xซึ่งไม่ใช่โมดูโลแบบสี่เหลี่ยม N. อัลกอริทึมที่ใช้ N และ x เพื่อเข้ารหัสข้อความดิจิทัลเป็นชุดตัวเลขที่มากขึ้น วิธีเดียวที่จะถอดรหัสสตริงนี้คือตัดสินใจว่าแต่ละหมายเลขในสตริงที่เข้ารหัสนั้นเป็นโมดูโลแบบสี่เหลี่ยมหรือไม่ N — แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยหากไม่รู้ค่าของจำนวนเฉพาะ p และ q.

และแน่นอนว่าความสัมพันธ์ตอบแทนกำลังสองเกิดขึ้นซ้ำๆ ภายในทฤษฎีจำนวน ตัวอย่างเช่น สามารถใช้เพื่อพิสูจน์ว่าจำนวนเฉพาะใดๆ ที่เท่ากับ 1 โมดูโล 4 สามารถเขียนเป็นผลรวมของกำลังสองสองตัวได้ (เช่น 13 เท่ากับ 1 โมดูโล 4 และ 13 = 4 + 9 = 2² + 3²). ในทางตรงกันข้าม จำนวนเฉพาะที่เท่ากับ 3 โมดูโล 4 ไม่สามารถเขียนเป็นผลรวมของกำลังสองสองได้

ซาร์นัคตั้งข้อสังเกตว่าการตอบแทนซึ่งกันและกันอาจถูกนำมาใช้เพื่อแก้คำถามปลายเปิด เช่น การหาว่าตัวเลขใดที่สามารถเขียนเป็นผลรวมของลูกบาศก์สามลูกได้ เป็นที่ทราบกันว่าตัวเลขที่เท่ากับ 4 หรือ 5 โมดูโล 9 นั้นไม่เท่ากับผลรวมของลูกบาศก์สามลูก แต่ตัวเลขอื่นๆ ยังคงเป็นปริศนา (ในปี 2019 แอนดรูว์ บูเกอร์ หัวข้อข่าวที่สร้างขึ้น เมื่อเขาค้นพบว่า (8,866,128,975,287,528)³ + (−8,778,405,442,862,239)³ + (−2,736,111,468,807,040)³ = 33.)

สำหรับการใช้งานจำนวนมาก และการพิสูจน์ที่แตกต่างกัน มีบางอย่างเกี่ยวกับการตอบแทนซึ่งกันและกันที่ยังคงเป็นปริศนา Stange กล่าว

“สิ่งที่มักเกิดขึ้นกับการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์คือคุณสามารถทำตามทุกขั้นตอน คุณสามารถเชื่อได้ว่ามันเป็นเรื่องจริง” เธอกล่าว “และคุณยังคงสามารถออกมาจากอีกด้านหนึ่งได้โดยรู้สึกเหมือนว่า 'แต่ทำไม'”

ความเข้าใจในระดับอวัยวะภายใน สิ่งที่ทำให้ 7 และ 11 แตกต่างจาก 5 และ 13 อาจอยู่ไกลเกินเอื้อมตลอดไป “เราสามารถจัดการกับนามธรรมได้หลายระดับเท่านั้น” เธอกล่าว “มันปรากฏอยู่ทั่วทุกแห่งในทฤษฎีจำนวน…แต่มันยังเป็นเพียงก้าวที่เกินกว่าความรู้สึกที่คุณรู้จริงๆ”

ควอนตั้ม กำลังดำเนินการสำรวจชุดต่างๆ เพื่อให้บริการผู้ชมของเราได้ดียิ่งขึ้น เอาของเรา แบบสำรวจผู้อ่านคณิตศาสตร์ และคุณจะถูกป้อนเพื่อรับรางวัลฟรี ควอนตั้ม merch