Sayılarla Boyama, Kesirlerde Aritmetik Kalıpları Ortaya Çıkarır

Doktora programına başladıktan bir yıl sonra. McGill Üniversitesi'nde matematikte Matt Bowen'ın bir sorunu vardı. "Eleme sınavlarıma girdim ve kesinlikle korkunç bir şekilde yaptım" dedi. Bowen, puanlarının matematiksel becerilerini yansıtmadığından emindi ve bunu kanıtlamaya karar verdi. Geçen sonbaharda danışmanıyla birlikte, Marcin Sabok, büyük bir avans yayınladı olarak bilinen alanda Ramsey teorisi.

Neredeyse bir asırdır, Ramsey teorisyenleri, matematiksel yapının düşmanca koşullarda devam ettiğine dair kanıtlar topluyorlar. Tamsayılar veya kesirler gibi büyük sayı kümelerini parçalayabilir veya bir ağ üzerindeki noktalar arasındaki bağlantıları dilimleyebilirler. Daha sonra, zekice bir şekilde kırarak veya dilimleyerek onları oluşturmaktan kaçınmaya çalışsanız bile, belirli yapıların kaçınılmaz olduğunu kanıtlamanın yollarını bulurlar.

Ramsey teorisyenleri bir dizi sayıyı bölmekten bahsederken, genellikle renklendirme dilini kullanırlar. Birkaç renk seçin: örneğin kırmızı, mavi ve sarı. Şimdi bir koleksiyondaki her sayıya bir renk atayın. Bunu gelişigüzel ya da kaotik bir şekilde yapsanız bile, sadece sınırlı sayıda farklı renk kullandığınız sürece, bu sayı çok büyük olsa bile, belirli desenler kaçınılmaz olarak ortaya çıkacaktır. Ramsey teorisyenleri, "tek renkli" olan yapılandırılmış sayı kümelerini arayarak bu kalıpları bulmaya çalışırlar, yani öğelerinin hepsine aynı renk atanmıştır.

İlk renklendirme sonuçları 19. yüzyılın sonlarına kadar uzanıyor. 1916'da Issai Schur, pozitif tam sayıları (doğal sayılar olarak da bilinir) nasıl boyarsanız boyayın, her zaman bir çift sayı olacağını kanıtladı. x ve y öyle ki x, yve toplamları x+y hepsi aynı renktir. 20. yüzyıl boyunca matematikçiler boyama problemleri üzerinde çalışmaya devam ettiler. 1974'te Neil Hindman genişletilmiş Schur sonucu tamsayıların sonsuz bir alt kümesini dahil etmek için. Schur'un teoremi gibi, Hindman'ın teoremi de doğal sayıların nasıl renklendirildiğine bakılmaksızın uygulanır (sonlu sayıda boya kalemi ile). Hindman'ın kümesindeki bu tamsayıların tümü aynı renkte olmakla kalmaz, aynı zamanda bunların herhangi bir koleksiyonunu toplarsanız, sonuç da o renk olacaktır. Bu tür kümeler, çift sayılara benzer, tıpkı çift sayıların herhangi bir toplamının her zaman çift olması gibi, Hindman'ın kümelerinden birindeki sayıların toplamı da o kümede yer alır.

Sabok, "Hindman teoremi harika bir matematik parçası," dedi. "Filmini çekebileceğimiz bir hikaye."

Ancak Hindman daha fazlasının mümkün olduğunu düşündü. Yalnızca üyelerinin toplamını değil, aynı zamanda çarpımlarını da içeren keyfi olarak büyük (ama sonlu) bir tek renkli küme bulabileceğinize inanıyordu. "Bunun bir gerçek olduğunu onlarca yıldır savundum" dedi ve ekledi: "Bunu kanıtlayabileceğimi iddia etmiyorum."

Hindman'ın Varsayımı

Toplamdan vazgeçerseniz ve yalnızca çarpımların aynı renkte olduğundan emin olmak istiyorsanız, toplamları çarpıma dönüştürmek için üstelleştirmeyi kullanarak (bir hesap cetvelinin yaptığı gibi) Hindman teoremini uyarlamak kolaydır.

Bununla birlikte, toplamlar ve ürünlerle aynı anda güreşmek çok daha zordur. "Bu ikisini birbiriyle konuşturmak çok zor" dedi Joel Moreira, Warwick Üniversitesi'nde bir matematikçi. "Toplama ve çarpmanın nasıl ilişkili olduğunu anlamak - bu, bir bakıma, neredeyse tüm sayı teorisinin temelidir."

Hindman'ın ilk olarak 1970'lerde önerdiği daha basit bir versiyon bile zorlayıcı oldu. Doğal sayıların herhangi bir renklendirilmesinin { şeklinde tek renkli bir dizi içermesi gerektiğini tahmin etti.x, y, xy, x+y} — iki sayı x ve y, bunların toplamı ve çarpımı. Bowen, "İnsanlar bu sorunda on yıllardır gerçekten bir ilerleme kaydetmedi" dedi. "Ve sonra aniden, 2010 yılı civarında, insanlar bu konuda giderek daha fazla şey kanıtlamaya başladı."

Bowen, {x, y, xy, x+y} 2016'da, üniversitenin ikinci sömestrinde, Carnegie Mellon Üniversitesi'ndeki profesörlerinden biri sınıfta problemi anlattığında. Bowen, sadeliği karşısında hayrete düştü. "Pek matematik bilmiyorum ama bunu biraz anlayabiliyorum" gibi harika şeylerden biri.

2017 yılında Moreira kanıtladı o sen yapabilmek her zaman istenen dört öğeden üçünü içeren tek renkli bir küme bulun: x, xy, ve x + y. Bu arada Bowen, son yılında soruyla gelişigüzel bir şekilde uğraşmaya başladı. "Aslında sorunu çözemedim," dedi. “Ama her altı ayda bir geri gelirdim.” Doktora derecesindeki kötü performansının ardından. 2020'de yeterlilik sınavları için çabalarını iki katına çıkardı. Birkaç gün sonra, {x, y, xy, x+y} iki renk durumu için varsayım, Ron Graham'ın 1970'lerde bir bilgisayar yardımıyla zaten kanıtlamış olduğu bir sonuç.

Bu başarı ile Bowen, sonucu herhangi bir sayıda renge genişletmek için Sabok ile birlikte çalıştı. Ancak hızla teknik ayrıntılara karıştılar. Sabok, "Renk sayısı çok olduğunda, sorunun karmaşıklığı tamamen kontrolden çıkıyor" dedi. 18 ay boyunca, çok az şansla kendilerini kurtarmaya çalıştılar. Sabok, "Bu bir buçuk yıl boyunca yaklaşık bir milyon yanlış kanıtımız oldu" dedi.

Özellikle bir zorluk, iki matematikçinin ilerlemesini engelledi. Rastgele iki tam sayı seçerseniz, muhtemelen onları bölemezsiniz. Bölme, yalnızca ilk sayının ikinci sayının katı olduğu nadir durumlarda çalışır. Bunun son derece sınırlayıcı olduğu ortaya çıktı. Bu farkındalığın ardından Bowen ve Sabok, {'yi kanıtlamaya yöneldiler.x, y, xy, x+y} bunun yerine rasyonel sayılarda (matematikçilerin kesirler dediği gibi) varsayım. Orada, sayılar terk edilerek bölünebilir.

Bowen ve Sabok'un ispatı, ilgili tüm renkler rasyonel sayılar boyunca sıklıkla göründüğünde en zarif halindedir. Renkler birkaç farklı şekilde “sıklıkla” görünebilir. Her biri sayı satırının büyük parçalarını kapsayabilir. Veya bu, her rengi görmeden sayı doğrusu boyunca çok uzağa gidemeyeceğiniz anlamına gelebilir. Ancak genellikle renkler bu kurallara uymaz. Sabok, bu durumlarda, rasyonel sayılar içinde renklerin daha sık göründüğü küçük bölgelere odaklanabileceğinizi açıkladı. “İşin büyük kısmı burada geldi” dedi.

Ekim 2022'de Bowen ve Sabok, rasyonel sayıları sonlu sayıda renkle boyarsanız { şeklinde bir küme olacağının kanıtını yayınladılar.x, y, xy, x+y} öğelerinin tümü aynı renge sahiptir. "Bu inanılmaz derecede zekice bir kanıt" dedi Imre Lideri Cambridge Üniversitesi'nden. "Bilinen sonuçları kullanıyor. Ama onları kesinlikle parlak, çok orijinal, çok yenilikçi bir şekilde birleştiriyor.”

Pek çok soru kaldı. Üçüncü bir sayı olabilir z takip eden meblağlar ve ürünlerle birlikte koleksiyona eklenecek mi? Hindman'ın en cesur tahminlerini tatmin etmek, diziye bir dördüncü, bir beşinci ve sonunda keyfi olarak birçok yeni sayı eklemek anlamına gelir. Ayrıca rasyonellerden doğal sayılara geçmeyi ve Bowen ile Sabok'un çabalarını engelleyen bölme bilmecesini aşmanın bir yolunu bulmayı da gerektirecekti.

Leader, Moreira, Bowen ve Sabok'un hepsi sorun üzerinde çalışırken, bu kanıtın çok uzakta olmayabileceğine inanıyor. "Bu adamlar, bir şeyleri yapmanın yeni yollarını bulma konusunda özellikle parlak görünüyorlar," dedi. "Bu yüzden onların veya bazı meslektaşlarının bunu bulabilecekleri konusunda biraz iyimserim."

Sabok tahminlerinde daha temkinli. Ama hiçbir şeyi dışlamıyor. "Matematiğin güzel yanlarından biri, bir kanıt elde etmeden önce her şeyin mümkün olmasıdır" dedi.