Birinci Sınıf Mezunu Paradoksal Sayı Kümesi Buldu | Quanta Dergisi

Matematikçiler imkansız gibi görünen şeylerin var olduğunu kanıtladıklarında sevinirler. durum böyle bir yeni kanıt tarafından Mart ayında çevrimiçi olarak yayınlandı Cédric Pilatte, Oxford Üniversitesi'nde birinci sınıf yüksek lisans öğrencisi.

Pilatte, görünüşte uyumsuz olan iki özelliği karşılayan bir dizi (sayılardan oluşan bir koleksiyon) yaratmanın mümkün olduğunu kanıtladı. Birincisi, kümedeki hiçbir iki sayı çiftinin toplamı aynı toplamı sağlamaz. Örneğin, {1, 3, 5, 11}'deki herhangi iki sayıyı topladığınızda her zaman benzersiz bir sayı elde edersiniz. Bunun gibi küçük "Sidon" kümeleri oluşturmak kolaydır, ancak öğelerin sayısı arttıkça toplamların çakışma olasılığı da artar ve kümenin Sidon'luluğu bozulur.

İkinci gereklilik, setin çok büyük olması gerektiğidir. Sonsuz olmalı ve kümedeki en fazla üç sayıyı toplayarak yeterince büyük bir sayı üretebilmelisiniz. Kümeyi "3. mertebenin asimptotik temeli" yapan bu özellik, büyük, yoğun bir sayı kümesi gerektirir. Pilatte, "Zıt yönlere çekiyorlar," dedi. "Sidon kümeleri küçük olmaya ve asimptotik bir taban büyük olmaya sınırlıdır. İşe yarayabileceği açık değildi.”

Böyle bir setin var olup olmadığı sorusu, o zamandan beri onlarca yıldır oyalandı. poz verildi üretken Macar matematikçi Paul Erdős ve iki işbirlikçisi tarafından 1993 yılında. (Erdős daha sonra Sidon'u "ortalama bir matematikçiden daha çılgın" olarak tanımlayacaktı ve bunu neredeyse kesinlikle bir iltifat olarak kastetmişti.)

Sidon kümeleri, sayı teorisi, kombinatorik, harmonik analiz ve kriptografi dahil olmak üzere çeşitli matematiksel bağlamlarda ortaya çıkar, ancak ne kadar büyüyebileceklerine dair basit bir soru, Erdős'in kariyerinin büyük bir bölümünde kafa yorduğu kalıcı bir gizem olmuştur. Erdős, Sidon setlerinin ölçeklendirilmesinin son derece zor olduğunu erkenden fark etti. 1941'de o ve başka bir matematikçi kanıtladı üyelerinin tümü bir tamsayıdan daha küçük olan mümkün olan en büyük Sidon kümesi N karekökünden küçük olmalıdır N artı dördüncü köküyle orantılı olarak büyüyen bir terim N. (1969'da Bernt Lindström $latex sqrt{N}+sqrt[4]{N}+1$'den küçük olduğunu gösterecekti ve 2021'de başka bir grup matematikçi sınırı sıkılaştırdı $latex sqrt{N}+0.998 kez sqrt[4]{N}$'ye.) Diğer bir deyişle, Sidon kümeleri seyrek olmalıdır.

Bir Sidon kümesinin 2. dereceden asimptotik bir temel olamayacağı uzun zamandır bilinmektedir, burada herhangi bir tam sayı en fazla iki sayının toplamı olarak ifade edilebilir. (Örneğin, tek sayılar 2. mertebenin temelini oluşturur.) Pilatte'nin açıkladığı gibi, bunu göstermek o kadar basit ki, matematikçiler bunu yazmaya zahmet etmediler: "2. mertebenin imkansız olduğu muhtemelen literatürde açıkça yazıldığından çok daha önce biliniyordu." Bunun nedeninin "Sidon dizilerinin belirli bir yoğunluğu aşamaması, oysa 2. dereceden asimptotik bazların her zaman bu eşikten daha yoğun olması, dolayısıyla iki özelliğin aynı anda tutunamaması" olduğunu açıkladı.

Genel olarak, bir Sidon kümesinden 3. mertebenin asimptotik bir temelinin inşa edilebileceğine inanılıyordu, ancak bunu kanıtlamak başka bir konuydu. Pilatte'nin danışmanı, "İnsanlar bunun doğru olması gerektiğine inandı" dedi. James Maynard. "Fakat kullandığımız tekniklerde bir zorluk vardı."

Pilatte meydan okumaya başlamadan önce bazı ilerlemeler kaydedilmişti. 2010 yılında Macar matematikçi Sándor Kiss gösterdi bir Sidon kümesinin 5. mertebenin asimptotik bir temeli olabileceği - yani yeterince büyük herhangi bir tam sayının kümenin en fazla beş öğesinin toplamı olarak yazılabileceği anlamına gelir - ve 2013'te Kiss ve iki meslektaşı kanıtladı 4. dereceden asimptotik bir temel varsayımı. İki yıl sonra, İspanyol matematikçi Javier Cilleruelo bu sonuçları aldı 3 + mertebesinin asimptotik temeli olan bir Sidon kümesi oluşturmanın mümkün olduğunu kanıtlayarak bir adım daha ileri e, herhangi bir yeterince büyük tamsayı anlamına gelir N biri daha küçük olan Sidon kümesinin dört üyesinin toplamı olarak yazılabilir. N^e keyfi küçük pozitif için e.

Bu bulgular, öncülüğünü Erdős'nin yaptığı, rastgele bir tamsayı kümesi oluşturmayı ve her iki özelliği de karşılayan bir küme oluşturmak için onu hafifçe değiştirmeyi içeren olasılıksal bir yöntemin varyasyonları kullanılarak elde edildi.

Pilatte, olasılıkçı yöntemin gidebildiği kadar ileri götürüldüğünü fark etti. "Olasılık yöntemlerini kullanarak 4. dereceden bir taban elde edebilirsiniz, ancak 3. dereceden bir taban elde edemezsiniz" dedi. "Sadece başarısız oluyor."

Böylece Pilatte farklı bir yol izledi ve bunun yerine Sayda kümelerinin yapı taşları olarak asal sayıların logaritmalarını kullanan bir prosedüre yöneldi. Macar sayı kuramcısı tarafından geliştirilmiştir. İmre Ruzsa ve Çilleruelo, bu yaklaşım, Pilatte'in Sidon özelliğine de uyan bir düşük düzen temeli oluşturmak için ihtiyaç duyduğu olasılık yönteminden daha büyük, daha yoğun Sidon kümeleri verir. Ancak yöntem, dünyanın önde gelen uzmanlarının bile sahip olmadığı bir asal sayılar tesisi gerektiriyordu. Pilatte, "Sahip olduğumuz her şeyin ötesine geçen bir asal sayılar anlayışına ihtiyacınız olacak," dedi. "Yani bu iyi değildi."

Çözüm arayışı Pilatte'i beklenmedik bir yöne, toplamsal sayı teorisinden uzağa ve cebirsel geometri dünyasına, eğriler ve yüzeyler gibi geometrik şekiller ve onları tanımlayan denklemler arasındaki ilişkiyi inceleyen bir matematik dalı haline getirdi. Pilatte, Cilleruelo'nun bir fikrini kullanarak sayıların yerine polinomları koyarak işe başladı, bu da sorunu anında daha izlenebilir hale getirdi.

Bir polinom, her biri sabit bir katsayının ve negatif olmayan tamsayı kuvvetlerine yükseltilmiş bir veya daha fazla değişkenin bir ürünü olan terimlerin toplamından oluşan cebirsel bir ifadedir. Terimler toplama, çıkarma ve çarpma kullanılarak birleştirilebilir. Örneğin, 3x² + 22x +35, üç terimli bir polinomdur. Bir polinomu çarpanlara ayırmak, onu diğer daha basit polinomların bir ürününe bölmek anlamına gelir. Bu örnekte, 3x² + 22x + 35 = (x + 5)(3x +7). İndirgenemez bir polinom - çarpanlarına ayrılamayan - bir asal sayının analoğudur.

Tamsayıları değişkenler ve katsayılar için değiştirmek garip gelebilir, ancak düşündüğünüzden daha fazla ortak noktaları vardır. Pilatte'nin Oxford'daki meslektaşı, "Polinomların tamsayılara çok benzer şekilde davrandığı ortaya çıktı" dedi. Thomas Bloom. "Onları toplayabilir, çıkarabilir, çarpabilir, bölebilirim." Ve bazı açılardan matematikçiler, polinomları sayılardan çok daha iyi anlarlar. Maynard, "Asal sayılarla bize bilim kurgu gibi gelen tüm bu şeyler polinom dünyasında biliniyor" dedi.

Bir kullanma son sonuç Columbia Üniversitesi matematikçisi tarafından Will Sawin Pilatte, aritmetik ilerlemelerde indirgenemez polinomların dağılımı konusunda, Erdős'nin kısıtlamalarını karşılamak için tam olarak doğru miktarda rastgeleliğe ve tam olarak doğru sayı yoğunluğuna sahip bir küme oluşturmayı başardı.

Pilatte, "Son derece mutluydum" dedi. "Burada bir Erdős problemini çözen insan grubuna katılıyorum ve bu çok eğlenceli."

Ama onu en çok sevindiren şey, çözüme şaşırtıcı bir şekilde varmasıdır. "Cebirsel geometrideki bu çok derin tekniklerin, sayı kümeleriyle ilgili bu basit ve somut soru için de kullanılabilmesi harika," dedi.

Erdős problemleri, matematiğin sözde alakasız dalları arasındaki bağlantıları ortaya çıkarmak için esrarengiz bir ustalığa sahiptir ve matematikçilerin bunları cevaplamaya çalışırken yaptıkları keşifler genellikle cevapların kendisinden daha anlamlıdır. Bloom, "Ne kadar derin oldukları konusunda yanıltıcıdırlar ve Cédric'in çözümü bunun harika bir örneğidir," dedi. "Eminim Erdős çok heyecanlanırdı."

Düzeltme: Haziran 5, 2023
Bu makale başlangıçta aslında bir Sidon kümesi olmayan bir Sidon kümesinin örneğini veriyordu. O örnek kaldırıldı.